বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৩.২ || Koshe Dekhi 3.2 Class 10 | Ganit Prakash Class 10 Chapter 3, Solution | WB Board Class 10 Math Solution In Bengali | class 10 maths solution wbbse | WBBSE Class 10(Ten)(X) Math Solution Of Chapter 3

ধরি, OC \(\perp\) AB
\(\therefore\) O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দুরত্ব = OC
\(\therefore\) C, AB-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore \mathrm{AC}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=(\frac{1}{2} \times 8)\) সেমি = 4 সেমি।
এখন, OAC সমকোণী ত্রিভুজে, \(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}\)
বা, \((5)^{2}=O C^{2}+(4)^{2}\)
[\(\because\) OA = ব্যাসার্ধ = 5 সেমি, AC = 4 সেমি]
বা, \(25=O C^{2}+16\)
বা, \(\mathrm{OC}^{2}=25-16\)
বা, \(\mathrm{OC}^{2}=9\)
বা, \(\mathrm{OC}=\sqrt{9}\)
বা, OC = 3 সেমি।
\(\therefore\) O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর লম্ব-দূরত্ব = 3 সেমি।

ধরি, OD \(\perp\) PQ, \(\because\) D, PQ-এর মধ্যবিন্দু
অর্থাৎ, \(\mathrm{PD}=\frac{1}{2} \mathrm{PQ}\)
বা,\(\mathrm{PQ}=2 \mathrm{PD}\)
\(\because O D \perp P Q\),
\(\therefore\) O থেকে PQ-এর দূরত্ব = OD = 5 সেমি।
এখন, বৃত্তের ব্যাস = 26 সেমি,
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(=\frac{26}{2}\) সেমি = 13 সেমি।
এখন, OPD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\mathrm{OP}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{PD}^{2}\)
বা, \(13^{2}=5^{2}+\mathrm{PD}^{2}\)
[\(\because\) OP = ব্যাসার্ধ = 13 সেমি, OD = 5 সেমি]
বা, \(169=25+\mathrm{PD}^{2}\)
বা, \(P D^{2}=169-25\)
বা, \(\mathrm{PD}^{2}=144\)
বা, \(\mathrm{PD}=\sqrt{144}=12\)
\(\therefore \mathrm{PQ}=2 \mathrm{PD}=2 \times 12\) সেমি = 24 সেমি।
\(\therefore\) PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=2 \times P D\)
\(=(2 \times 12)= 24\) সেমি।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা-র দৈর্ঘ্য = 4 সেমি; কেন্দ্র O বিন্দু থেকে PQ জ্যার উপর ON লম্ব আঁকা হয়েছে।
দেওয়া আছে যে, ON = 2.1 সেমি।

যেহেতু \({\rm{ ON }} \bot {\rm{ PQ}},{\rm{ PN}} = {\rm{QN}} = \frac{1}{2}{\rm{PQ}} = \frac{1}{2} \times 4\) সেমি = 2 সেমি।
\(\triangle OPN=\) সমকোণী ত্রিভুজে OP = অতিভুজ সেজন্য
\({\rm{O}}{{\rm{P}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{N}}^2} + {\rm{P}}{{\rm{N}}^2} = {(2.1)^2} + {(2)^2}\)\( = 4.41 + 4 = 8.41{\rm{ }}\)
\(\therefore {\rm{ OP }} = \sqrt {8.41} = 2.9\)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 2.9 সেমি।
\(\therefore\) বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 \(\times\) ব্যাসার্ধ = \((2 \times 2.9)\) সেমি = 5.8 সেমি।

ধরি, AB = 6 সেমি, CD = ৪ সেমি
AM = BM = \(\frac{6}{2}\) = 3 সেমি।
সমকোণী \(\Delta\)MOB হইতে পাই
\({\rm{O}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{M}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} = {4^2} + {3^2} = 16 + 9 = 25\)
\(\therefore {\rm{OB}} = \sqrt {25} = 5\) সেমি অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 সেমি. OC = 5 সেমি।
\({\rm{CN}} = \frac{1}{2} \times {\rm{CD}} = (\frac{1}{2} \times 8) = 4\) সেমি
সমকোণী \(\Delta\)CON হইতে পাই,
\(O C^2=O N^2+C N^2\)
\({\rm{ON}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{C}}{{\rm{N}}^2}} \) সেমি।
\( = \sqrt {{5^2} - {4^2}} \) সেমি \( = \sqrt {25 - 16} \) সেমি = \(\sqrt 9 \) সেমি = 3 সেমি
\(\therefore\) অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।

ধরি, এ কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও PQ দুটি জ্যা। O থেকে AB ও PQ-এর উপর লম্ব যথাক্রমে OC এবং OD
প্রশ্নানুসারে, OC = 7 সেমি। AB = 48 সেমি। OD = 20 সেমি। PQ = কত ?
এখন, AB = 48 সেমি,
\(\therefore \mathrm{BC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB}=(\frac{1}{2} \times 48)\) সেমি = 24 সেমি
তাহলে, OBC সমকোণী ত্রিভুজে,\(\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{OC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{OB}^{2}=(24)^{2}+(7)^{2}\)
\([\because B C=24 \mathrm{~cm}, O C=7 \mathrm{~cm}]\)
বা, \(\mathrm{OB}^{2}=576+49\)
বা, \(\mathrm{OB}^{2}=625\)
বা, \(\mathrm{OB}=\sqrt{625}=25\) \(\therefore\) OQ = 25 সেমি।
[ \(\therefore\) OB = OQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)]
আবার, OQD সমকোণী ত্রিভুজে,
\(\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{DQ}^{2}\)
বা, \((25)^{2}=(20)^{2}+D Q^{2}\)
\([\because O Q=25 \mathrm{~cm}, O D=20 \mathrm{~cm}]\)
বা, \(625=400+\mathrm{DQ}^{2}\)
বা, \(\mathrm{DQ}^{2}=625-400\)
বা, \(\mathrm{DQ}^{2}=225\)
\(\therefore \mathrm{DQ}=\sqrt{225}=15\)
তাহলে \(\mathrm{PQ}=2 \mathrm{DQ}=(2 \times 15)=30\) সেমি
\(\therefore\) PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 30 সেমি।

O, A যুক্ত করি। তাহলে, OA বৃত্তটির ব্যাসার্ধ। এখন, AB = 6 সেমি,
\(\therefore\) \(A P=\frac{1}{2} A B\), [ \(\because P, A B\)-এর মধ্যবিন্দু।]
বা, \(\mathrm{AP}=\frac{1}{2} \times 6\) সেমি; \(\therefore\) AP = 3 সেমি। \(\ldots \ldots\) (1)
আবার, \(\mathrm{OP}=\mathrm{OC}-\mathrm{PC}\)
বা, \(\mathrm{OP}=(\mathrm{OC}-2)\) \(\ldots \ldots\) (2)
\([\because PC=2 \mathrm{~cm}]\)
এখন, AOP সমকোণী ত্রিভুজে পাই,
\(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{OP}^{2}\)
বা, \(\mathrm{OA}^{2}=(3)^{2}+(\mathrm{OC}-2)^{2}[\because \mathrm{OP}=\mathrm{OC}-2]\)
বা, \(O A^2=9+(O C)^2-2 \times O C \times 2 +(2)^2\)
বা, \(\mathrm{OA}^{2}=9+\mathrm{OC}^{2}- 4OC + 4\)
বা, \(O A^2-O C^2=13-40 C\)
বা, \(0=13-4 \mathrm{OC}[\because \mathrm{OC}=\mathrm{OA}]\)
বা, \(4 \mathrm{OC}=13\)
বা, \(\mathrm{OC}=\frac{13}{4}=3 \cdot 25\)
\(\therefore\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 3.25 সেমি। .

মনে করি, \(O\) কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে একটি সরলরেখা যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) এবং \(C\) ও \(D\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, \(AC = DB.\)
অঙ্কন : \(O\) বিন্দু থেকে \(AB\) জ্যা-এর উপর \(OP\) লম্ব আঁকা হল।
প্রমাণ : \(AB\) জ্যা এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) থেকে \(OP\) লম্ব,
অর্থাৎ \(AB\) জ্যা এবং \(A B \perp O P\),
\(\therefore A P=P B\ldots(i)\)
আবার, \(CD\) জ্যা এবং \(C D \perp O P\),
\(\therefore C P=P D\ldots(ii)\)
এখন, (i) ও (ii) থেকে পাই,
\(A P-C P=P B-P D\)
\(\therefore AC = DB.\) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে, P বিন্দু AB-এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, P, CD-এর মধ্যবিন্দু হবে না।
অঙ্কন : O, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\because\) P, AB-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) OP \(\perp\) AB

\(\because\) AB ও CD উভয়েই P বিন্দুগামী
\(\therefore\) AB ও CD উভয়েই OP-এর উপর P বিন্দুতে লম্ব হতে পারে না।
(কারন আমরা জানি একটি সরলরেখাংশের উপর একটি বিন্দুতে একটি লম্ব অঙ্কন করা যায়)
\(\therefore\) AB, OP-এর উপর লম্ব।
\(\therefore\) CD, OP-এর উপর লম্ব নয়।
আবার যেহেতু কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ও বৃত্তের কেন্দ্র-সংযোজক রেখাংশ জ্যা-এর উপর লম্ব।
সুতরাং, P, CD-এর মধ্যবিন্দু নয়।
উভয়েই ব্যাস হলে, অবশ্যই সংজ্ঞানুসারে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

ধরি, কেন্দ্র X ও Y থেকে PA ও AQ-এর উপর যথাক্রমে XM ও YN দুটি লম্ব অঙ্কন করা হল। X, A এবং Y, A যুক্ত করি।
\(\because \mathrm{XM} \perp \mathrm{PA}, \therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{PA}\)\(\ldots \ldots\)(1)।
আবার, \(\mathrm{YN} \perp \mathrm{AQ}, \therefore \mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{AQ}\)\(\ldots \ldots\)(2)
এখন, \(\because\) S, XY-এর মধ্যবিন্দু, \(\therefore \mathrm{AS} \perp \mathrm{XY}\) [ \(\because\) পরস্পরছেদী দুটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযুক্ত সরলরেখা উহার সাধারণ জ্যাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
\(\therefore\) AXS ও AYS সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে
XS = YS [ \(\therefore\) S, XY-এর মধ্যবিন্দু]
\(\angle ASX \) = \(\angle ASY \) [ \(\because\) প্রত্যেকেই সমকোণ]
এবং AS সাধারণ বাহু।
\(\triangle \mathrm{AXS} \cong \triangle \mathrm{AYS}\) [ সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore \mathrm{XA}=\mathrm{YA}\) [ \(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
এখন, XY এবং PQ উভয়ই AS-এর উপর লম্ব। \(\therefore X Y \| P Q\)
আবার, \(\because\) XM ও YN উভয়ই PQ-এর উপর লম্ব। \(\therefore \mathrm{XY}|| \mathrm{PQ}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{AXM}\) ও \(\triangle \mathrm{AYN}\)-এর মধ্যে \(\mathrm{XA}=\mathrm{YA}, \mathrm{SX}=S \mathrm{Y}\)
এবং SA সাধারণ বাহু। \(\therefore \Delta \mathrm{AXM} \cong \Delta \mathrm{AYN}\) [ \(\therefore\) সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) AM = AN [ \(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
বা, \(\frac{1}{2} \mathrm{PA}=\frac{1}{2} \mathrm{AQ}\) [ (1) ও (2) থেকে]
বা, PA = AQ \(\therefore\) PA = AQ (প্রমাণিত)।

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব \(x\) সেমি।
\(\therefore\) বৃত্তের কেন্দ্র থেকে CD জ্যা-এর দূরত্ব \( (17 –x)\) সেমি.।
\(\therefore \mathrm{r}^{2}=\mathrm{x}^{2}+5^{2}\) এবং \(r^{2}=(17-x)^{2}+(12)^{2}\),
সুতরাং, \({x^2} + {5^2} = {(17 - x)^2} + {12^2} \)
বা, \(x^2+25=289-34 x+x^2+144\)
বা, \(34 x=408\)
বা, \(x=12\)
\(\therefore x = 12\)
জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব = PQ = 10 সেমি AB = 10 সেমি।
\(\therefore\) PB = 5 সেমি। CD = 24 সেমি \(\therefore\) QD = 12 সেমি

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(= x\) সেমি
\(\Delta\)OPB তে; \({\rm{O}}{{\rm{P}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{P}}{{\rm{B}}^2} = {x^2} - {5^2} = {x^2} - 25\)
\(\therefore {\rm{OP}} = \sqrt {{x^2} - 25} \)
আবার অনুরূপে, \(\Delta\)OQD তে;
\({\rm{O}}{{\rm{Q}}^2} = {\rm{O}}{{\rm{D}}^2} - {\rm{Q}}{{\rm{D}}^2} = {x^2} - {12^2} = {x^2} - 144\)
\(\therefore O Q=\sqrt{x^2-144}\)
প্রশ্নানুসারে, \(OP + OQ = 17\)
\(\therefore \sqrt {{x^2} - 25} + \sqrt {{x^2} - 144} = 17\)
বা, \({x^2} - 25 + {x^2} - 144 + 2\sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 289\)
বা, \(2{x^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 289 + 169\)
বা, \(2{x^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 458\)
বা, \(2\left(x^2+\sqrt{\left(x^2-25\right)\left(x^2-144\right.}\right)=458\)
বা, \({x^2} + \sqrt {\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)} = 229\)
বা, \(\left(x^2-229\right)^2=\sqrt{\left(x^2-25\right)\left(x^2-144\right)}\)
বা, \({\left( {{x^2} - 229} \right)^2} = \left( {{x^2} - 25} \right)\left( {{x^2} - 144} \right)\)
বা, \({x^4} - 458{x^2} + {(229)^2} = {x^4} - 169{x^2} + 3600\)
বা, \( - 458{x^2} + 169{x^2} + 52441 = 3600\)
ৰা, \(458{x^2} - 169{x^2} - 48841 = 0\)
বা, \(289{x^2} = 48841\)
বা, \({x^2} = \frac{{48841}}{{289}} = 169\)
\(\therefore\) \(x = \sqrt {169} = 13\)
\(\therefore\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13 সেমি।

\(\mathrm{PM} \perp \mathrm{CA}\) এবং \(\mathrm{QN} \perp \mathrm{AD}\) অঙ্কন করি।
\(\therefore \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{CA}\) এবং \(\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}\)
\(\therefore \mathrm{AM}+\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{CA}+\frac{1}{2} \mathrm{AD}\)
বা, \(\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{CA}+\mathrm{AD})\)
বা, \(\mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}\)\(\ldots \ldots\)(1) ।
আবার, CD || PQ এবং \(\mathrm{PM} \perp \mathrm{CD}\) ও \(\mathrm{QN} \perp \mathrm{CD}\), \(\therefore\) PQ = MN
\(\therefore \mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}\) [ (1) থেকে]
বা, CD = 2PQ
\(\therefore\) CD = 2PQ (প্রমাণিত)।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC দুটি সমান জ্যা। A, O যুক্ত করি এবং D পর্যন্ত বর্ধিত করি।
প্রমাণ করতে হবে যে,\(\angle \mathrm{BAC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী। অর্থাৎ AD, \(\angle \mathrm{BAC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক প্রমাণ করলেই প্রমাণটি যথেষ্ট হবে।
অঙ্কন : O, B এবং O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{AOB}\) ও \(\Delta \mathrm{AOC}\)-এর মধ্যে OB = OC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
AB = AC (প্রদত্ত) এবং OA সাধারণ বাহু।
\(\therefore \Delta \mathrm{AOB} \cong \Delta \mathrm{AOC}\) [সর্বসমতার S-S-S শর্তানুসারে) ।
\(\therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
\(\therefore\) AO বা AD, \(\angle \mathrm{BAC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক।
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী। (প্রমাণিত)

ধরি, AB ও AC দুটি জ্যা O_কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করেছে। জ্যা-দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\angle \mathrm{BAC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক AO কেন্দ্রগামী।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC
অঙ্কন : O, B এবং O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{AOB}\) ও\(\triangle \mathrm{AOC}\)-এর মধ্যে
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{OAB}[\because \mathrm{OB}=\mathrm{OA}\), একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(=\angle \mathrm{OAC}[\because \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}\) প্রদত্ত]
\(=\angle \mathrm{OCA}[\because \mathrm{OC}=\mathrm{OA}\), একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{OCA}\) এবং \(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}\)
এবং OA সাধারণ বাহু।
সর্বসমতার A - A - S শর্তানুসারে, \(\Delta \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{AOC}\)
\(\therefore\) AB = AC [ \(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
\(\therefore\) AB ও AC জ্যা দুটি সমান। (প্রমাণিত)

প্রমাণ : AB এবং CD দুটি জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে উহাদের দূরত্ব যথাক্রমে OP ও OQ. OP < OQ
প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD
OB ও OD যোগ করা হল। এখন P, AB-এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore\) PB = \(\frac{1}{2}\) AB এবং Q, CD-এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore\) QD = \(\frac{1}{2}\) CD

\(\Delta \mathrm{OPB}\) তে; \(\mathrm{OB}=\sqrt{\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{OP}^{2}}\)
\(\Delta \mathrm{OQD}\) তে ; \(\mathrm{OD}=\sqrt{\mathrm{OQ}^{2}+\mathrm{QD}^{2}} \because \mathrm{OB}=\mathrm{OD}\)
\(\therefore \sqrt{P B^{2}+O P^{2}}=\sqrt{O Q^{2}+Q D^{2}}\) \(\because \mathrm{OP}\mathrm{QD}\)
বা, \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{AB > }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{CD}}\)
বা, AB > CD (প্রমাণিত)

একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনাে বিন্দু দিয়ে অসংখ্য জ্যা অঙ্কন করা যায়। এদের মধ্যে বৃত্তটির কেন্দ্র এবং অভ্যন্তরীণ বিন্দুয়ের সংযােজক সরলরেখাংশ যে জ্যা-টির লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক হবে, সেই জ্যা-টিই ক্ষদ্রতম হবে। কারণ আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনাে জ্যা-এর লম্ব-দূরত্ব যত বৃদ্ধি পাবে, জ্যা-টির দৈর্ঘ্য তত হ্রাস পাবে এবং উক্ত বিন্দু দিয়ে অপর যতগলি জ্যা অঙ্কন করা যায় তার মধ্যে উক্ত জ্যা-টির লম্ব-দুরত্বই বৃহত্তম হবে। অর্থাৎ, উক্ত জ্যা-টির লম্ব-দুরত্ব কেন্দ্র থেকে সর্বাধিক হবে। সুতরাং উক্ত জ্যা-টির দৈর্ঘ্যই ক্ষুদ্রতম হবে।
গাণিতিকভাবে, ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অভ্যন্তরে P যে-কোনাে একটি বিন্দু। O, P যুক্ত করা হল। OP-এর P বিন্দুতে লম্ব হয় এরূপ একটি সরলরেখাংশ CD অঙ্কন করি যা বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, CD, P বিন্দুগামী একটি জ্যা।
ধরি, AB, P বিন্দুগামী অপর একটি জ্যা।।
প্রমাণ করতে হবে যে, CD জ্যাটিই ক্ষুদ্রতর।
অঙ্কন : \(O Q \perp A B\) অঙ্কন করি।
প্রমাণ : \(\angle O Q P\) = সমকোণ \([\because \mathrm{OQ} \perp \mathrm{AB}]\)
\(\therefore\) \(\triangle O P Q\)-এর \(\angle \mathrm{OQP}>\angle \mathrm{OPQ}\)
\(\Rightarrow \mathrm{OP}>\mathrm{OQ}\) [\(\therefore\) বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
অর্থাৎ, কেন্দ্র O থেকে CD জ্যাটির লম্ব-দূরত্ব AB জ্যাটির লম্ব-দূরত্ব অপেক্ষা বৃহত্তর। সুতরাং কেন্দ্র থেকে CD জ্যাটি দূরবর্তী। সুতরাং, CD জ্যাটি AB জ্যা-এর চেয়ে ক্ষুদ্রতর।
এভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, P বিন্দু দিয়ে যত জ্যা-ই অঙ্কন করা যােক না কেন, তাদের সবগুলিই CD অপেক্ষা বৃহত্তর। সুতরাং CD-ই ক্ষুদ্রতম জ্যা। (প্রমাণিত)

\(\angle A O B=60^{\circ}\) হলে \(\angle C O D=60^{\circ}\)
কারন একই বৃত্তের সমান দুটি জ্যা কেন্দ্রে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।
(c) \(60^{\circ}\)

ধরি, AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি।
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(\mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দুরত্ব = \(\mathrm{OC}\)
প্রশ্নানুসারে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = 13 সেমি।
এখন, OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
\(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}[\because \mathrm{OA}\) = অতিভুজ] \(\ldots\ldots\) (1)
এখন \(O C \perp A B\), C, AB-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) \(\mathrm{AC}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=(\frac{1}{2} \times 10)\) সেমি = 5 সেমি
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(13^{2}=O C^{2}+5^{2}[\because O A=13\) সেমি]।
বা, \(169=O C^{2}+25\)
বা,\(O C^{2}=169-25=144\) \(\therefore O C=\sqrt{144}=12\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দূরত্ব = 12 সেমি। \(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB ও CD-এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব।
\(\therefore\) O বিন্দু থেকে AB-এর দূরত্ব = OP এবং O বিন্দু থেকে CD-এর দূরত্ব = OQ
এখন AB-এর উপর OP লম্ব। \(\therefore\) P, AB-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) \(\mathrm{BP}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB}\) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, CD-এর উপর OQ লম্ব। \(\therefore\) Q, CD-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore C Q=\frac{1}{2} \times C D\) \(\ldots\ldots\)(2)
(I) ও (2) থেকে পাই, BP = CQ [ \(\therefore\) AB = CD প্রদত্ত]
এখন, OBP ও QCQ সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে
অতিভুজ OB = অতিভুজ \(\mathrm{OC}\) [\(\therefore\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
BP = CQ এবং \(\angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OQC}\) [\(\because\) প্রত্যেকেই সমকোণ]
\(\therefore \triangle O B P\) \(\cong \Delta O C Q\)
\(\therefore\) OP = OQ
বা, \(4=\mathrm{OQ}\) [ \(\therefore\) OP = 4 সেমি]
\(\therefore\)\(\mathrm{OQ}=4\) সেমি।\(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা। O থেকে AB ও CD-এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব।
\(\because\) AB || CD, \(\therefore\) OP ও \(\mathrm{OQ}\) একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\(\therefore\) জ্যা-দুটির মধ্যে দূরত্ব = OP + OQ \(\ldots\ldots\)(1)
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{OA}=\mathrm{OC}\) = বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10 সেমি। এখন, \(O P \perp A B\),\ (\therefore\) P, AB-এর মধ্যবিন্দু। একইভাবে, Q, CD-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) \(\mathrm{AP}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2} \times 16\) সেমি = 8সেমি।
আবার, \(\mathrm{CQ}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}=\frac{1}{2} \times 16\) সেমি = 8সেমি
এখন, OAP সমকোণী ত্রিভুজে, \(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{AP}^{2}\)
বা, \((10)^{2}=O P^{2}+(8)^{2}\) [ \(\because\) AP = 8 সেমি এবং OA = 10 সেমি]
বা, \(100=O P^{2}+64\)
বা, \(\mathrm{OP}^{2}=100-64=36 \Rightarrow \mathrm{OP}=6 .\)
অনুরূপে OCQ সমকোণী ত্রিভুজে, \(\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{OQ}^{2}+\mathrm{CQ}^{2}\)
বা, \((10)^{2}=\mathrm{OQ}^{2}+(8)^{2}\) [ \(\because\) OC = 10 সেমি এবং CQ = 8, সেমি]
বা, \(100=\mathrm{OQ}^{2}+64\)
বা, \(\mathrm{OQ}^{2}=100-64\)
বা, \(\mathrm{OQ}^{2}=36\)
বা, OQ = 6
(1) নং থেকে পাই, জ্যা-দুটির দুরত্ব = \(\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}\) = 6 + 6 সেমি = 12 সেমি।
\(\therefore\) নির্ণেয় দূরত্ব = 12 সেমি।

ধরি, \(\mathrm{O}\) সমকেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তে AB সরলরেখাটি বড়াে বৃত্তটিকে A ও B বিন্দুতে এবং ছােটো বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ধরি,\(\mathrm{OP} \perp \mathrm{CD}, \therefore \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}\) উভয়ের মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) PC = PD এবং PA = PB
এখন, BD = PB – PD [চিত্রানুসারে]
= PA – PC [ \(\because\) PB = PA এবং PD = PC]
= AC
= 5 সেমি [ \(\because\) AC = 5 সেমি প্রদত্ত]
\(\therefore\) BD-এর দৈর্ঘ্য = 5 সেমি, \(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

মিথ্যা,
কারণ দুটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

সত্য

মিথ্যা।

কারণ জ্যা দ্বয় সমান কিনা তা আমাদের অজানা।

\(P Q: R S=1: 1\)
জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান,
আমরা জানি কোন বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে।
\(\therefore \angle P O Q: \angle R O S=1: 1\)

কেন্দ্রগামী

ধরি, P ও Q বৃত্ত দুটির কেন্দ্র এবং CD এদের সাধারণ জ্যা। ধরি, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব PQ, CD-কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore \mathrm{O}, \mathrm{CD}\) এর মধ্যবিন্দু \([\because \mathrm{PO} \perp \mathrm{CD}]\)
\(\therefore C O=\frac{1}{2} C D=(\frac{1}{2} \times 12)\) সেমি (\(\because \mathrm{CD}=12\) সেমি) = 6 সেমি
প্রশ্নানুসারে, CP = 10 সেমি।
এখন, POC সমকোণী ত্রিভুজে, \(\mathrm{CP}^{2}=\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OP}^{2}\)
বা, \((10)^{2}=(6)^{2}+\mathrm{OP}^{2}\)[\(\therefore\) CP = 10 সেমি, OC = 6 সেমি]
বা, \(100=36+\mathrm{OP}^{2}\)
বা, \(\mathrm{OP}^{2}=100-36\)
বা, \(\mathrm{OP}^{2}=64\)
বা, \(O P=\sqrt{64}\)
বা, OP = 8
\(\therefore P Q=2 \times O P\) [ \(\because\) OP = OQ] = \(( 2 \times 8)\) সেমি = 16 সেমি।
\(\therefore\) বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি।

ধরি, O বৃত্তের কেন্দ্র। O, A যুক্ত করি। ধরি, OA, BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এখন, \(\triangle \mathrm{BOD}\) ও \(\Delta \mathrm{COD}\)-এর মধ্যে OB = OC [ \(\therefore\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\angle B O D=\angle C O D\) [\(\therefore\) সমান সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে ] এবং OD সাধারণ বাহু।
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{BOD} \cong \triangle \mathrm{COD}\)
(S-A-S শর্তানুসারে)
\(\therefore\) BD = CD,
\(\therefore\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore\) \(\mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}\).
\(\therefore\) BOD সমকোণী ত্রিভুজ। \(\therefore \mathrm{OB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}\)
বা, \((5)^{2}=B D^{2}+O D^{2}\)
বা, \(25=B D^{2}+O D^{2}\) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার ABD সমকোণী ত্রিভুজে,\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}\)
বা, \((6)^{2}=B D^{2}+A D^{2}\)
বা, \(36=B D^{2}+A D^{2}\) \(\ldots\ldots\) (2)
\(\therefore\) (2) থেকে (1) বিয়ােগ করে পাই,
\(\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{OD}^{2}=36-25=11\)
বা\((\mathrm{AD}+\mathrm{OD})(\mathrm{AD}-\mathrm{OD})=11\)
বা, \(\mathrm{OA}(\mathrm{AD}-\mathrm{OD})=11\)
বা, \(5(\mathrm{AD}-\mathrm{OD})=11\)
বা, \(\mathrm{AD}-\mathrm{OD}=\frac{11}{5}\) \(\ldots\ldots\) (3)
আবার, \(\mathrm{AD}+\mathrm{OD}=5\)\(\ldots\ldots\) (4)
এখন (3) ও (4) যােগ করে পাই,
\(2 \mathrm{AD}=\frac{11}{5}+5 =\frac{11+25}{5}=\frac{36}{5}\)
বা, \(A O=\frac{36}{5} \times \frac{1}{2}\)
বা, \(2 \mathrm{AD}=\frac{36}{5}\)
বা, \(\mathrm{AD}=\frac{18}{5}\)
\(\therefore\) ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, \(A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}\)
বা, \((6)^{2}=B D^{2}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}\)
বা, \(36=\mathrm{BD}^{2}+\frac{324}{25}\)
বা, \(\mathrm{BD}^{2}=36-\frac{324}{25}\)
বা, \(\mathrm{BD}^{2}=\frac{900-324}{25}\)
বা, \(\mathrm{BD}=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}\)
\(\therefore B C=2 \times B D\) [ \(\therefore\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু]
\(=2 \times \frac{24}{5}\) সেমি \(=\frac{48}{5}\) সেমি \(=9.6\)
\(\therefore\) BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 9.6 সেমি।

\(\triangle \mathrm{AOB}\)-এ OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\therefore\) \(\angle OAB \) = \(\angle OBA \)
এখন, \(\angle AOB \) + \(\angle OAB \) + \(\angle OBA \) = 180°
বা, 60° + \(\angle OAB \) + \(\angle OAB \) = 180° [\(\therefore\)\(\angle OBA \) = \(\angle \mathrm{OAB}\)]
বা, \(2 \angle \mathrm{OAB}=120^{\circ}\)
বা, \(\angle O A B=\frac{120^{\circ}}{2}\)
বা, \(\angle \mathrm{OAB}=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{OAB}\)-এর \(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB}\) সমবাহু। \(\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}\)
কিন্তু \(A B=C D=6\)সেমি। \(\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=6\) সেমি।
\(\therefore\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 6 সেমি।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে P বিন্দুগামী জ্যা AB. O, P যুক্ত করি।
প্রশ্নানুসারে, OA = 5 সেমি। OP = 3 সেমি।
এখন, AB-এর দৈর্ঘ্য ন্যূনতম হবে যদি OP, AB-এর উপর লম্ব হয় ।
\(\therefore\) \(\Delta \mathrm{OAP}\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
\(\therefore \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{OP}^{2}\)
বা, \((5)^{2}=A P^{2}+(3)^{2}\) \([\because OA=5 \mathrm{~cm}, O P=3 \mathrm{~cm}]\)
বা, \(25=\mathrm{AP}^{2}+9\)
বা, \(\mathrm{AP}^{2}=25-9\)
বা, \(\mathrm{AP}^{2}=16\)
বা, \(\mathrm{AP}=\sqrt{16}=4\) .
আবার, \(\because \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}\) \(\therefore \mathrm{P}, \mathrm{AB}\)-এর মধ্যবিন্দু ।
\(\therefore \mathrm{AB}=2 \times \mathrm{AP}=2 \times 4\) সেমি = 8 সেমি।
\(\therefore\) P বিন্দুগামী যে জ্যা-টির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম সেটির দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

ধরি, PM \(\perp\) CD এবং \(\mathrm{QN} \perp \mathrm{CD}\)
\(\because \mathrm{PQ}|| \mathrm{CD}\), \(\therefore \mathrm{PQ}=\mathrm{MN}\) এখন PQ= 5 সেমি
\(\therefore\) MN = 5 সেমি
এখন , \(\mathrm{MN}=\mathrm{AM}+\mathrm{AN}\)
বা, \(\mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}+\frac{1}{2} \mathrm{AD}\) \(\left[\because \mathrm{PM} \perp \mathrm{AC} \Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}\right.\) এবং
\(\mathrm{QN} \perp \mathrm{AD} \Rightarrow\) \(\left.\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{AD} .\right]\)
বা, \(\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{AC}+\mathrm{AD})\)
বা, \(5=\frac{1}{2} \times \mathrm{CD}\) \([\because \mathrm{AC}+\mathrm{AD}=\mathrm{CD}]\)
বা, \(\mathrm{CD}=5 \times 2=10\)
\(\therefore\) CD জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি।