(i) ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল।
(ii) ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।

কাচের গ্লাস, জলের পাইপ, গোলাকার পেনসিল, টিউবলাইট, গ্যাস সিলিন্ডার।

মনে করি, ড্রামটির উচ্চতা = h সেমি।
ড্রামটির ব্যাসার্ধ \( = \frac{{28}}{2} = 14\) সেমি।
প্রশ্নানুসারে, \(2 \pi r^{2}+2 \pi r h=2816\)
\(\Rightarrow 2 \pi r(r+h)=2816\)
\(\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 14(14+h)=2816\)
\(\Rightarrow(14+h)=\frac{2816}{88}\)
\(\Rightarrow(14+h)=32\)
\(\Rightarrow h=32-14=18\)
\(\therefore\) ড্রামটির উচ্চতা 18 সেমি।

স্তম্ভ দুটির ব্যাসার্ধ (r) \(=\frac{5 \cdot 6}{2}\) ডেসিমি \(= 2.8\) ডেসিমি এবং উচ্চতা (h)\(= 2.5\) মিটার \(=2.5 \times 10\) ডেসিমি
\(= 25\) ডেসিমি।
\(\therefore\) স্তম্ভ দুটির মােট আয়তন \(\rightarrow 2 \pi r^{2} h\)
\(=2 \times \frac{22}{7} \times(2 \cdot 8)^{2} \times 25\) ঘনডেসিমি
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \times 25\) ঘনডেসিমি \(= 1232\) ঘনডেসিমি
\(\therefore \) নির্ণেয় কংক্রিটের ঢালাই \(= 1232\) ঘনডেসিমি
আবার, স্তম্ভ দুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(\rightarrow 2 \times 2 \pi \mathrm{mh}\)
\(=2 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 0.28 \times 2.5\) বর্গমিটার \(= 8.8 \) বর্গমিটার
\(\therefore \) নির্ণেয় খরচ \(=8.8 \times 125\) টাকা \(= 1100\) টাকা।

সমাধানঃ সিলিন্ডারের অন্তর্ব্যাসার্ধ \((r)\) = \(\frac{2 . 8}{2}\) ডেসিমি = 1.4 ডেসিমি
এবং উচ্চতা (লম্ব) \((h)\) = 7.5 ডেসিমি।
সিলিন্ডারের ভিতরের আয়তন, \(\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times 1.4 \times 1 . 4 \times 7 . 5\) ঘনডেসিমি
= 46.2 ঘনডেসিমি.
এখন, 15.015 কেজি = 15015 গ্রাম।
\(\therefore\) 46.2 ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন = 15015 গ্রাম
1 ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন = \(\frac{15015}{46 . 2}\) গ্রাম = 325 গ্রাম।
উত্তর : প্রতি ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন 325 গ্রাম।

ধরাে, জার তিনটির সমান উচ্চতা \(h\) ডেসিমি।
বড়াে জারটির ব্যাসার্ধ (r) \(=\frac{2.1}{2}\) ডেসিমি
বড়াে জারটির উচ্চতা \(=4.1\) ডেসিমি
প্রথম ছোট জারের আয়তন \(=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1.4}{2}\right)^2 \times h\)
দ্বিতীয় ছোট জারের আয়তন \(=\frac{5}{6} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1.4}{2}\right)^2 \times h\)
তৃতীয় ছোট জারের আয়তন \(=\frac{7}{9} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1.4}{2}\right)^2 \times h\)
\(\therefore\) বড়াে জারটির অ্যাসিডের আয়তন \(=\pi r^2 h\)
\(=\frac{22}{7} \times\left(\frac{2 \cdot 1}{2}\right)^{2} \times 4 \cdot 1\) ঘনডেসিমি
\(=\frac{22}{7} \times 1.05 \times 1.05 \times 4.1\) ঘনডেসিমি
\(= 14.2065\) ঘনডেসিমি।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 4}{2}\right)^{2} \times h+\frac{5}{6} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 4}{2}\right)^{2} \times h+\frac{7}{9} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 4}{2}\right)^{2} \times h=14 \cdot 2065\)
বা, \(\frac{22}{7} \times(0.7)^{2} \times h \times\left(\frac{2}{3}+\frac{5}{6}+\frac{7}{9}\right)=14.2065\)
বা, \(22 \times 0 \cdot 7 \times 0 \cdot 7 \times h \times ( \frac{12+15+14}{18})=14 \cdot 2065\)
বা, \(1.54 h \times \frac{41}{18}=14.2065\)
বা, \(h=\frac{14.2065 \times 18}{1.54 \times 41}=4.05\)
\(\therefore\) জার তিনটির সমান উচ্চতা \(= 4.05\) ডেসিমি।

মনে করি, পাত্রটির উচ্চতা = h সেমি।
\(\therefore\) একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r h+\pi r^2\)
\(=2 \pi \times 7 \times h+\pi(7)^2\)
ভূমির ব্যাসার্ধ (r) \( = \frac{{14}}{2} = 7\) সেমি।
প্রশ্নানুসারে, \(2\pi \times 7 \times h + \pi {(7)^2} = 2002\)
বা, \(2 \times \frac{{22}}{7}\times 7 \times h + \frac{{22}}{7} \times 49 = 2002\)
বা, \({\rm{44 h = 2002 - 154}}\)
বা, \(h = \frac{{1848}}{{44}} = 42\)
\(\therefore\) পাত্রটির উচ্চতা হল (h) = 42 সেমি = 4.2 ডেসিমি।
পাত্রটির ব্যাসার্ধ (r) = 7 সেমি = 0.7 ডেসিমি
পাত্রটিতে জল ধরে \(=\pi r^2h\)
\( = \pi {(0.7)^2} \times 4.2\) ঘন ডেসিমি।
\( = \frac{{22}}{7} \times \frac{{49}}{{100}} \times \frac{{42}}{{10}}\) ঘন ডেসিমি
\( = \frac{{6468}}{{1000}} = 6.468\) ঘন ডেসিমি।
= 6.468 লিটার [\(\because\) 1 ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
\(\therefore\) পাত্রটিতে \(6.468\) কত লিটার জল ধরবে।

\(14\) সেমি \(=\frac{14}{10}\) ডেসিমি \(= 1.4\) ডেসিমি ।
\(2500\) মিটার \(=2500 \times 10\) ডেসিমি \(= 25000\) ডেসিমি।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{1.4}{2}\) ডেসিমি
উচ্চতা \(=25000\) ডেসিমি
\(\therefore\) পাম্পসেটটি প্রতি মিনিটে যে জলসেচ করতে পারে তার আয়তন \(=\pi r^2 h\)
\(=\frac{22}{7} \times\left(\frac{1.4}{2}\right)^{2} \times 25000\) ঘনডেসিমি
\(= 38500\) ঘনডেসিমি \(= 38500\) লিটার [\(\because \) 1 লিটার =1 ঘন ডেসিমি]
\(=\frac{38500}{1000}\) কিলােলিটার \(= 38.5\) কিলােলিটার।
\(\therefore\) প্রতি ঘণ্টায় পাইপটি যে জলসেচ করতে পারে তার আয়তন \((=38.5 \times 60)\) কিলােলিটার \(= 2310\) কিলােলিটার।
\(\therefore \) নির্ণেয় জলের আয়তন \(= 2310\) কিলােলিটার।

ব্যাসার্ধ(r) \(=\frac{5.6}{2}\)
উচ্চতা(h) \( =5 \)
ব্যাসার্ধ(r) \(=\frac{7}{2}\) সেমি
নিরেট চোঙাকৃতি লােহার পাইপের আয়তন \(=\pi r^2 h\)
\(=\frac{22}{7} \times\left(\frac{5 \cdot 6}{2}\right)^{2} \times 5 \mathrm{cc}=123 \cdot 2 \) ঘনসেমি
ধরাে, গ্যাসজারে জলতল \(h\) সেমি উপরে উঠে আসবে।
\(\therefore\) উঠে আসা জলের আয়তন \(=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times h \mathrm{cc}=38.5 h\) ঘনসেমি
প্রশ্নানুসারে, \(38 \cdot 5 h=123 \cdot 2\)
বা, \(h=\frac{123 \cdot 2}{38 \cdot 5}=3 \cdot 2\)
\(\therefore \) জলতল \(3.2\) সেমি উপরে উঠে আসবে।

মনে করি ঐ স্তম্ভের ব্যাসার্ধ = r মিটার ও উচ্চতা = h মিটার।
১ম শর্তানুসারে, \(2\pi rh = 264 \ldots (i)\)
২য় শর্তানুসারে, \(\pi {r^2}h = 924\quad \ldots ({\rm{ ii }})\)
\((ii){\rm{ }} \div {\rm{ }}(i){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\frac{{\pi {r^2}h}}{{2\pi rh}} = \frac{{924}}{{264}}\) বা, \(r = \frac{{924}}{{132}} = 7\)
(i) নং থেকে \(2 \times \frac{{22}}{7} \times 7 \times h = 264\)
\(\therefore {\rm{ }}h = \frac{{264}}{{44}} = 6\)
\(\therefore\) স্তম্ভের ব্যাস = \((2 \times 7)\) = 14 মিটার ও উচ্চতা = 6 মিটার।

ধরাে, ট্যাংকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) মিটার।
উচ্চতা(h) = 9 মিটার
\(\therefore\) ট্যাংকের জলের আয়তন \(\pi r^2 h\)
\(=\frac{22}{7} \times r^{2} \times 9\) ঘনমিটার \(=\frac{198 r^{2}}{7}\) ঘনমিটার।
আবার, পাইপের ব্যাস \(= 6\) সেমি \(=\frac{6}{100}\) মিটার \(= 0.06\) মিটার
ব্যাসার্ধ \(=\frac{0.06}{2}\) মিটার
উচ্চতা \(= 225\) মিটার
\(\therefore\) প্রতি মিনিটে যে জলসেচ হয় তার আয়তন = \(\pi r^2 h\)
\(=\frac{22}{7} \times\left(\frac{0.06}{2}\right)^{2} \times 225\) ঘনমিটার
\(=\frac{22}{7} \times 0.03 \times 0.03 \times 225\) ঘনমিটার
\(=\frac{4 \cdot 455}{7}\) ঘনমিটার।
\(2\) ঘণ্টা \(24\) মিনিট = \((2 \times 60+24)\) মিনিট \(= 144\) মিনিট।
\(\therefore 2 \) ঘণ্টা \(24\) মিনিটে যে জলসেচ হয় তার আয়তন
\(=\frac{4.455}{7} \times 144\) ঘনমিটার
শর্তানুসারে, \(\frac{198 r^{2}}{7}=\frac{4.455}{7} \times 144\)
বা, \(r^2 \times 198=4.455 \times 144\)
বা, \(r^{2}=\frac{4 \cdot 455}{198} \times 144\)
বা, \(r^{2}=0.0225 \times 144\)
বা, \(r=\sqrt{0.0225 \times 144}=0.15 \times 12=1.8\)
\(\therefore \) নির্ণেয় ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(= 1.8\) মিটার \((=1.8 \times 100)\) সেমি \(= 180\) সেমি।

\(1\) কুইন্টাল \(= 100\) কেজি।
\(\therefore 9.24\) কুইন্টাল \(=100 \times 9.24\) কেজি \(= 924\) কেজি
আবার, \(1.5\) কেজি ওজন হয় \(1\) ঘনডেসিমি কাঠের
\(\therefore 1\) কেজি ওজন হয় \(\frac{1}{1.5}\) ঘনডেসিমি কাঠের
\(\therefore 924\) কেজি ওজন হয় \(\frac{1 \times 924}{1 \cdot 5}\) ঘনডেসিমি কাঠের = 616 ঘনডেসিমি কাঠের।
ধরি, কাঠের গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ \(r\) ডেসিমি এবং উচ্চতা \(h\) ডেসিমি
\(\therefore\) এটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \(2 \pi r h\)
\(=2 \times \frac{22}{7} \times r \times h\) বর্গডেসিমি
প্রশ্নানুসারে, \(2 \times \frac{22}{7} \times r \times h=440\)
\(\Rightarrow r h=\frac{440 \times 7}{2 \times 22} \Rightarrow r h=70\cdots(1)\)
আবার, গুড়িটির আয়তন \(=\pi r^2h\)
\(=\frac{22}{7} \times r^{2} \times h\) ঘনডেসিমি
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{22}{7} \times r^{2} \times h=616 \Rightarrow r \times r h=\frac{616 \times 7}{22}\)
\(\Rightarrow r \times 70=\frac{616 \times 7}{22}\) [(1) থেকে]
\(\Rightarrow r=\frac{616 \times 7}{22 \times 70} \Rightarrow r=2.8\)
\(\therefore \) \(2 r=2 \times 2.8=5.6\) (1) থেকে পাই, \(h=\frac{70}{2 \cdot 8}=25.\)
\(\therefore \) নির্ণেয় ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(= 5.6\) ডেসিমি এবং উচ্চতা \(= 25\) ডেসিমি।।

পাইপটির ভিতরের ব্যাস \(= 26\) সেমি।
\(\therefore\) ভিতরের ব্যাসার্ধ \(=\frac{26}{2}\) সেমি \(= 13\) সেমি \(= 1.3\) ডেসিমি
\(\therefore\) ভিতরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \(2 \pi r h\)
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 1.3 \times 147\) বৰ্গডেসিমি [\(\because 14.7\) মি \(= 147\) ডেসিমি]
\(= 120.12\) বর্গডেসিমি
আবার পাইপটির বাইরের ব্যাস \(= 30\) সেমি।
\(\therefore\) পাইপটির বাইরের ব্যাসার্ধ \(=\frac{30}{2}\) সেমি \(= 15\) সেমি \(= 1.5\) ডেসিমি
\(\therefore\) বাইরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \(2 \pi r h\)
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 147\) বৰ্গডেসিমি \(= 1386\) বর্গডেসিমি
\(\therefore \) পাইপটির সমগ্র বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(= (1201.2 + 1386)\) বর্গডেসিমি \(= 2587.2\) বর্গড়েসিমি
\(\therefore \) আলকাতরা লেপনের খরচ \((=2587.2 \times 2.25)\) টাকা \(= 5821.2\) টাকা
\(\therefore \) নির্ণেয় খরচ \(= 5821.2\) টাকা।

সমাধানঃ চোঙটির উচ্চতা = 2.8 মিটার = 28 ডেসিমি।
চোঙটির অন্তর্ব্যাস = 4.6 ডেসিমি \(\therefore\) অন্তর্ব্যাসার্ধ = \(\frac{4 \cdot 6}{2}\) ডেসিমি = 2.3 ডেসিমি।
ধরা যাক, চোঙটির বহিব্যাসার্ধ = R সেমি।
চোঙটিতে যে পরিমাণ লােহা দিয়ে তৈরি তার আয়তন 84.48 ঘনডেসিমি।
অতএব, চোঙটিতে যে পরিমাণ পদার্থ (লােহা) আছে তা হল 84.48 ঘনডেসিমি।
প্রশ্নানুসারে, \(\pi \times\left\{R^{2}-(2 \cdot 3)^{2}\right\} \times 28=84 \cdot 48\)
বা, \(\frac{22}{7} \times\left(R^{2}-5 \cdot 29\right) \times 28=84 \cdot 48\)
বা, \(R^{2}-5 \cdot 29=\frac{84 \cdot 48 \times 7}{22 \times 28}=\frac{84 \cdot 48}{22 \times 4}=\frac{21
\cdot 12}{22}\)
\(=\frac{1 \cdot 92}{2}=0.96\)
বা, \(R^{2}=5 \cdot 29+0 \cdot 96=6 \cdot 25\)
বা, \(R^{2}=(2 \cdot 5)^{2}\)
\(\therefore\) R = 2.5 \(\therefore\) বহির্ব্যাসার্ধ = 2.5 ডেসিমি
\(\therefore\) বহির্ব্যাস = 2\( \times \)2.5 ডেসিমি। = 5 ডেসিমি।
উত্তর : ফাঁপা চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধ = 5 ডেসিমি।

মনে করি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি এবং উচ্চতা = h ডেসিমি।
প্রথম ক্ষেত্রে \(h=2 r\) দ্বিতীয় ক্ষেত্রে \(h=6 r\)
প্রথম ক্ষেত্রে আয়তন \(=\pi \cdot r^{2} h=\pi \cdot r^{2} \cdot 2 r\) ঘন ডেসিমি।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আয়তন \(=\pi \cdot r^{2} \cdot 6 r\) ঘন ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে, \(\pi \cdot r^{2} \cdot 6 r-\pi \cdot r^{2} \cdot 2 r=539\)
বা, \(6 \pi r^{3}-2 \pi r^{3}=539\)
বা, \(4 \pi r^{3}=539\)
বা, \(4 \times \frac{22}{7} \times r^{3}=539\)
বা, \(r^{3}=539 \times \frac{7}{88}\)
বা, \(r^{3}=\frac{49 \times 7}{8}=\left(\frac{7}{2}\right)^{3} \quad \therefore
r=\frac{7}{2}\)
\(\therefore\) উচ্চতা \(=h=2 r=2 \times \frac{7}{2}=7\) ডেসিমি।
\(\therefore\) চোঙটির উচ্চতা \(=7\) ডেসিমি।

ট্যাঙ্কারটির ব্যাসার্ধ (r) \( = \frac{{2.8}}{2} = 1.4\) মিটার = 14 ডেসিমি।
ট্যাঙ্কারটির দৈর্ঘ্য (h) = 6 মিটার = 60 ডেসিমি।
ট্যাঙ্কারটির আয়তন \(=\pi r^2h\)
\( = \pi {(14)^2} \times 60\) ঘন ডেসিমি।
\( = \frac{{22}}{7} \times 196 \times 60\) ঘনডেসিমি = 36960 লিটার।
\(\therefore\) ট্যাঙ্কটিতে জল ধরে 36960 লিটার।
প্রতিটি হোসপাইপের ব্যাসার্ধ \( = \frac{2}{2} = 1\) সেমি \( = \frac{1}{{10}}\) ডেসিমি।
পাইপের দৈর্ঘ্য = 420 মিটার = 4200 ডেসিমি।
\(\therefore\) 40 মিনিটে জল খরচ হবে \( = 40 \times 3 \times \pi {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2} \times 4200\) লিটার।
\( = 120 \times \frac{{22}}{7} \times \frac{1}{{100}} \times 4200\) লিটার = 15840 লিটার।
\(\therefore\) ট্যাংকারের আর জল রয়েছে = (36960 – 15840) লিটার = 21120 লিটার।

(a) প্রতিটি স্তম্ভের ব্যাস \(= 17.5\) সেমি \(= 1.75\) ডেসিমি
\(\therefore\) এদের ব্যাসার্ধ \(=\frac{1 \cdot 75}{2}\) ডেসিমি \(= 0.875\) ডেসিমি
প্রতিটি স্তম্ভ \(3.5\) সেমি \(= 0.35\) ডেসিমি পুরু
\(\therefore\) আস্তরণের পর প্রতিটি স্তম্ভের বাইরের ব্যাসার্ধ হবে \((0.875 + 0.35)\) ডেসিমি \(= 1.225\) ডেসিমি
\(\therefore\) মশলার আয়তন \(=\frac{22}{7}\left\{(1.225)^{2}-(0.875)^{2}\right\} \times 30\) ঘনডেসিমি [\(\therefore 3\) মি \(= 30\) ডেসিমি]
\(=\frac{22}{7}(1.225+0.875)(1.225-0.875) \times 30\) ঘনডেসিমি
\(=\frac{22}{7} \times 2.1 \times 0.35 \times 30\) ঘনডেসিমি \(= 69.3\) ঘনডেসিমি।
\(\therefore 4\) টি স্তম্ভের জন্য মশলা প্রয়ােজন হবে \(=69.3 \times 4\) ঘনডেসিমি \(= 277.2\) ঘনডেসিমি
\(\therefore 277.2\) ঘনডেসিমি মশলার প্রয়ােজন হবে।
(b) বালি ও সিমেন্টের অনুপাত \(4 : 1.\)
\(\therefore\) \(= 55.44\) ঘনডেসিমি সিমেন্টের প্রয়ােজন। \(\therefore\) মশলায় সিমেন্টের আনুপাতিক ভাগ হার \(=\frac{1}{4+1}=\frac{1}{5}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সিমেন্টের পরিমাণ \(=277.2 \times \frac{1}{5}\) ঘনডেসিমি \(= 55.44\) ঘনডেসিমি।
\(\therefore\) \(= 55.44\) ঘনডেসিমি সিমেন্টের প্রয়ােজন।

ফাঁপা চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধ \(=\frac{16}{2}=8\) সেমি
অন্তব্যাসার্ধ \(=\frac{12}{2}=6\) সেমি এবং উচ্চতা = 36 সেমি
\(\therefore\) ফাঁপা চোঙটির আয়তন \(=\pi \times \left(8^{2}-6^{2}\right) \cdot \times 36\) ঘনসেমি।
\(=\pi(64-36) \times 36\) ঘনসেমি,
\(=\pi \times 28 \times 36\) সেমি।
নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ \(=\frac{2}{2}=1\) সেমি এবং উচ্চতা \(= 6\) সেমি।
\(\therefore \) একটি নিরেট চোঙের আয়তন \(=\pi \cdot 1^{2} \cdot 6\)
\(=\pi \times 6\) ঘন সেমি।
\(\therefore \) ফাঁপা চোঙটি গলিয়ে প্রাপ্ত নিরেট চোঙের সংখ্যা
\(=\frac{\pi \times 28 \times 36}{\pi \times 6}=28 \times 6 = 168\) টি।
\(\therefore\) নিরেট চোঙের সংখ্যা 168 টি।

ধরাে, লম্ব-বৃত্তাকার চোঙদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(2 x\) একক এবং \(3 x\) একক।
আবার ধরাে, চোঙ দুটির উচ্চতা যথাক্রমে \(5 h\) একক এবং \(3 h\) একক।
\(\therefore\) প্রথম চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল =\(2 \pi r h\)
\(=2 \pi \times 2 x \times 5 h\) বর্গএকক \(=20 \pi x h\) বর্গএকক।
এবং দ্বিতীয় চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল =\(2 \pi r h\)
\(=2 \pi \times 3 x \times 3 h\) বর্গএকক \(=18 \pi xh\) বর্গএকক।
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(=20 \pi x h: 18 \pi x h=\frac{20 \pi x h}{18 \pi x h}=\frac{10}{9}=10: 9.\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।।

ধরাে, চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(2 r\) একক ও \(3 r\) একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে \(5 h\) একক ও \(3 h\) একক।
তাহলে, প্রথম চোঙের আয়তন \(=\pi r^2h\)
\(=\pi \times(2 r)^{2} \times 5 h\) ঘনএকক \(=20 \pi r^{2} h\) ঘনএকক
এবং দ্বিতীয় চোঙের আয়তন \(=\pi r^2h\)
\(\pi \times(3 r)^{2} \times 3 h\) ঘনএকক \(=27 \pi r^{2} h\) ঘনএকক
\(\therefore\) নির্ণেয় আয়তনের অনুপাত
\(=20 \pi r^{2} h: 27 \pi r^{2} h=\frac{20 \pi r^{2} h}{27 \pi r^{2} h}=\frac{20}{27}=20: 27\).
\(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

মনে করি, লম্ব বত্তাকার চোঙ প্রথমটি ও দ্বিতীয়টির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R ও r এবং
তাদের উচ্চতা যথাক্রমে H ও h
\(\therefore\) তাদের আয়তন যথাক্রমে \(\pi R^{2} H\) ঘন একক এবং \(\pi r^{2} h\) ঘন একক।
প্রশ্নানুসারে, \(\pi R^{2} H=\pi r^{2} h\)
বা, \(\frac{R^{2}}{r^{2}}=\frac{h}{H}=\frac{2}{1}\) [\(\because\) \(H: h=1: 2\) \(\therefore\) \(h: H=2:
1\)]
বা,
\(\left(\frac{R}{r}\right)^{2}=\left(\sqrt{\frac{2}{1}}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{2}}{1}\right)^{2}\)
\(\therefore\) \(\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore\) \(R: r=\sqrt{2}: 1\)
উত্তর : (b) \(\sqrt{2}: 1\)

ধরাে, চোঙটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক। তাহলে চোঙটির আয়তন \(=\pi r^{2} h\) ঘনএকক।
যদি চোঙটির ব্যাসার্ধ অর্ধেক অর্থাৎ \(\frac{r}{2}\) একক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ অর্থাৎ \(2h\) একক করা হয়, তবে তার আয়তন হয় \(=\pi r^2h\)
\(= \pi \times\left(\frac{r}{2}\right)^{2} \times 2 h\) ঘনএকক
\(=\pi \times \frac{r^{2}}{4} \times 2 h\) ঘন একক
\(=\frac{\pi r^{2} h}{2}\) ঘনএকক।
\(\therefore\) তখন তার আয়তন অর্ধেক হবে।
\(\therefore \) (c) উত্তরটি সঠিক।

ধরাে, চোঙটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক।
\(\therefore \) বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r h\) বর্গএকক।
যদি চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ অর্থাৎ \(2 r\) একক এবং উচ্চতা অর্ধেক অর্থাৎ \(\frac{h}{2}\) একক করা হয়, তবে তার বক্রতলের ক্ষেত্রফল হয় \(2 \pi \times 2 r \times \frac{h}{2}\) বর্গএকক \(=2 \pi r h\) বর্গএকক।
\(\therefore\) বক্রতলের ক্ষেত্রফল একই থাকে, অর্থাৎ বক্রতলের ক্ষেত্রফল দুটি সমান হয়।

মিথ্যা। আয়তন হবে \(=\frac{\pi r^{2} h}{2}\) ঘনসেমি

সত্য ;
কারণ, আয়তনের সাংখ্যিক মান \(=\pi 2^{2} \cdot h=4 \pi h\) এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যিক মান \(=2 \pi \times 2 \times h=4 \pi h\) অর্থাৎ সাংখ্যিক মান দুটি সমান।
\(\therefore\) বিবৃতিটি সত্য।

\(\therefore\) \(lb\) ;
কারণ, বক্রতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি \(\times\) উচ্চতা \(=l \times b\) বর্গএকক \(=l b\) বর্গএকক।

\(\therefore\) \(5\) ;
কারণ, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) সেমি
\(=\sqrt{25}\) সেমি
\(=\sqrt{9+16}\) সেমি
\(= 5\) সেমি।

\(\therefore\) \(4\);
কারণ, মনে করাে, চোঙটির ব্যাস \(d \) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{d}{2}\)
প্রশ্নানুসারে, \(\pi \times\left(\frac{d}{2}\right)^{2} \times h=2 \pi \times \frac{d}{2} \times h\)
\(\Rightarrow \pi \times \frac{d^{2}}{4} \times h=\pi d h\)
\(\Rightarrow d=4\).

ধরাে, চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক।
\(\therefore\) এটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r h\) বর্গএকক এবং আয়তন \(=\pi r^{2} h\) ঘনএকক।
প্রশ্নানুসারে, \(2 \pi r h=264\)
বা, \(5 \pi n=\frac{264}{2}\)
বা, \(\pi r h=132\cdots(1)\)
এবং \(\pi r^{2} h=924\)
বা, \(\pi r h \times r=924\)
বা, \(132 \times r=924\) [(1) থেকে]
বা, \(r=\frac{924}{132}=7\).
\(\therefore\) চোঙটির নির্ণেয় ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(= 7\) একক।।

ধরাে, চোঙটির উচ্চতা \(h\) একক।
প্রশ্নানুসারে, \(C=2 \pi r h\cdots(1)\)
\(\mathrm{V}=\pi r^{2} h\cdots(2)\)
\(\therefore \frac{\mathrm{Cr} }{\mathrm{V}}=\frac{2 \pi r h \times r}{\pi r^{2} h}=\frac{2 \pi r^{2} h}{\pi r^{2} h}=2.\)
\(\therefore \frac{\mathrm{Cr} }{\mathrm{~V}}\) এর নির্ণেয় মান \(= 2.\)

ধরাে, চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি।
বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r h\) \(=2 \pi r \times 14\) বর্গসেমি
প্রশ্নানুসারে, \(2 \pi r \times 14=264\)
বা, \(2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14=264\)
বা, \(2 \times 22 \times r \times 2=264\)
বা, \(r=\frac{264}{2 \times 22 \times 2}=3\)
\(\therefore\) চোঙটির আয়তন \(=\pi r^{2} h\)
\(=\frac{22}{7} \times(3)^{2} \times 14 =22 \times 9 \times 2 =396 \) ঘনসেমি
\(\therefore\) চোঙটির নির্ণেয় আয়তন \(= 396\) ঘনসেমি

মনে করি, চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক ও উচ্চতা h ও 2h একক।
প্রশ্নানুসারে, \(2\pi r:2\pi R = 3:4\)
বা, \({\rm{r : R = 3 : 4}}\)
বা, \(\frac{r}{R}=\frac{3}{4}\)
বা, \(r = \frac{{3R}}{4}\)
\(\therefore\) আয়তনের অনুপাত \( = \pi {(r)^2} \times h:\pi \left( {{R^2}} \right) \times 2h = {\left( {\frac{{3R}}{4}} \right)^2}:2{R^2} = 9{R^2}:32{R^2} = 9:32\)

ধরাে, চোঙটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক
\(\therefore\) চোঙটির আয়তন \(=\pi r^{2} h\) ঘনএকক।।
ব্যাসার্ধ \(50\%\) কমালে হয় \(\left(r-r \times \frac{50}{100}\right)\) একক
\(=\left(r-\frac{r}{2}\right)\) একক
\(=\frac{r}{2}\) একক
আবার, উচ্চতা \(50\%\) বাড়ালে হয় \(\left(h+h \times \frac{50}{100}\right)\) একক \(=\frac{3 h}{2}\) একক
\(\therefore\) তখন চোঙটির আয়তন \(=\pi \times\left(\frac{r}{2}\right)^{2} \times \frac{3 h}{2}\) ঘন একক \(=\frac{3 \pi r^{2} h}{8}\) ঘনএকক।
\(\therefore\) আয়তন কমে যায় = \(\left(\pi r^{2} h-\frac{3 \pi r^{2} h}{8}\right)\) ঘনএকক
\(=\frac{8 \pi r^{2} h-3 \pi r^{2} h}{8}\) ঘনএকক
\(=\frac{5 \pi r^{2} h}{8}\) ঘনএকক
\(\therefore\) নির্ণেয় শতকরা হার
\(=\frac{\frac{5 \pi r^{2} h}{8}}{\pi r^{2} h} \times 100 \%=\frac{5}{8} \times 100 \%=\frac{125}{2} \%=62 \frac{1}{2} \%\)
\(\therefore\) চোঙটির আয়তন \(62 \frac{1}{2} \%\) কমে যাবে।।