Koshe Dekhi 7.1 Class 10 X (Class10) | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১ | Ganit Prakash Somadhan Class 10 Chapter 7 Solution | মাধ্যমিক গনিত প্রকাশ সমাধান কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ (টেন) | Madhyamik Math Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse
Share this page using :
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
কষে দেখি - 7.1
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বেকেন্দ্ৰ O অবস্থিত। \(\angle\) BOC \(=100^{\circ}\)হলে \(\angle\) ABC ও \(\angle\) ABO-এর মানহিসাব করে ।
\(\angle B O C=100^{\circ}\)
প্রবৃদ্ধ \(\angle B O C=360^{\circ}-100^{\circ}=260^{\circ}\)
অধিচাপ BC -এর উপর কেন্দ্রস্থ কোন প্রবৃদ্ধ \(\angle B O C\) এবং বৃত্তস্থ কোন \(\angle B A C\)
\(\therefore \angle B A C=\frac{1}{2}\) প্রবৃদ্ধ \(\angle B O C=\frac{1}{2} \times 260^{\circ}\)\(=130^{\circ}\)
এখন \(\triangle A B C\) -এর \(A B=A C\) (প্রদত্ত)
\(\therefore \angle A B C=\angle A C B\)
আমারা জানি,
\(\angle B A C+\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}\)\
\(\Rightarrow 130^{\circ}+\angle A B C+\angle A B C=180^{\circ} \quad[\because \angle A C B=\angle A B C]\)
\(\Rightarrow 2 \angle A B C=180^{\circ}-130^{\circ}\)
\(\Rightarrow 2 \angle A B C=50^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle A B C=\frac{50^{\circ}}{2}=25^{\circ}\)
আবার, \(\triangle B O C\) -এর \(B O=C O\) (ব্যাসার্ধ)
\(\angle O B C=\angle O C B\)
\(\angle O B C+\angle O C B+\angle B O C=180^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle O B C+\angle O B C=180^{\circ}-100^{\circ}\)
\(\Rightarrow 2 \angle O B C=80^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle O B C=40^{\circ}\)
\(\therefore \angle A B O=\angle A B C+\angle O B C=25^{\circ}+40^{\circ}=65^{\circ}\)
\(\therefore \angle A B C=25^{\circ} \quad \angle A B O=65^{\circ}\)
2. পাশের চিত্রে \(\Delta\)ABC-এর পরিবৃত্তেরকেন্দ্র O, এবং \(\angle\) AOC = \(110^{\circ}\), \(\angle\) ABC-এর মান হিসাব করে লিখি।
প্রদত্ত ছবিতে \(\angle\) AOC = \(110^{\circ}\),
\(\therefore\) প্রদত্ত প্রবৃদ্ধ \(\angle\) AOC = \(360^{\circ}-110^{\circ}-250^{\circ}\)
এখন AC চাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ \(\angle\) ABC = \(\frac{1}{2} \times\) প্রবৃদ্ধ \(\angle A O C\)
\(\angle\) AOC = \(=\frac{1}{2} \times 250^{\circ}=125^{\circ}\)।
\(\therefore\) প্রদত্ত প্রবৃদ্ধ \(\angle\) AOC = \(360^{\circ}-110^{\circ}-250^{\circ}\)
এখন AC চাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ \(\angle\) ABC = \(\frac{1}{2} \times\) প্রবৃদ্ধ \(\angle A O C\)
\(\angle\) AOC = \(=\frac{1}{2} \times 250^{\circ}=125^{\circ}\)।
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থচতুৰ্ভুজ ; DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। \(\angle\) BCP = \(108^{\circ}\) হলে,\(\angle\) BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।
দেওয়া আছে O কেন্দ্রও বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DC বাহুকে P
পর্যন্ত বর্ধিত করায়,
\(\angle\) BCP = \(108^{\circ}\) (প্রদত্ত)।
\(\angle\) BOD-এর মান নির্ণয় করতে হবে ।
কোণের মান নির্ণয় : যেহেতু \(\angle\) BCD + \(\angle\) BCP = \(180^{\circ}\)
\(\angle\) BCD = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) BCP = \(180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}\)
আবার, BD চাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) BOD কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) BCD পরিধিস্থ কোণ।
\(\angle\) BOD = \(2 \times\)\(\angle\) BCD = \(2 \times 72^{\circ} = 144^{\circ}\)
আবার প্রবৃদ্ধ \(\angle\) BOD = \(\left(360^{\circ}-144^{\circ}\right)=216^{\circ}\)
\(\therefore \angle B O D\)-এর মান \(=144^{\circ}\)
\(\angle\) BCP = \(108^{\circ}\) (প্রদত্ত)।
\(\angle\) BOD-এর মান নির্ণয় করতে হবে ।
কোণের মান নির্ণয় : যেহেতু \(\angle\) BCD + \(\angle\) BCP = \(180^{\circ}\)
\(\angle\) BCD = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) BCP = \(180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}\)
আবার, BD চাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) BOD কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) BCD পরিধিস্থ কোণ।
\(\angle\) BOD = \(2 \times\)\(\angle\) BCD = \(2 \times 72^{\circ} = 144^{\circ}\)
আবার প্রবৃদ্ধ \(\angle\) BOD = \(\left(360^{\circ}-144^{\circ}\right)=216^{\circ}\)
\(\therefore \angle B O D\)-এর মান \(=144^{\circ}\)
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
4.পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের\(\angle\) AOD = \(40^{\circ}\) এবং \(\angle\) ACB = \(35^{\circ}\) হলে \(\angle\) BCO ও\(\angle\) BOD এর মান হিসাব করে লিখিও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
প্রদত্ত ছবিতে দেওয়া আছে : বৃত্তের কেন্দ্র O, \(\angle\) AOD = \(40^{\circ}\)
এবং \(\angle\) ACB = \(35^{\circ}\)
নির্ণয় করতে হবে : \(\angle\) BCO এবং \(\angle\) BOD-এর মান ।
অঙ্কন : CD-কে বর্ধিত করা হল; বর্ধিত CD বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করল।
কোণের পরিমাপ নির্ণয় : AE চাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) AOE কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ACE পরিধিস্থ কোণ ।
\(\angle\) ACE = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) AOE = \(\frac{1}{2} \times 40^{\circ}=20^{\circ}\)
এখন, \(\angle\) BCO= \(\angle\) BCA + \(\angle\) ACO = \(\angle\) ACB + \(\angle\) ACE = \(35^{\circ}+20^{\circ}=55^{\circ}\)
আবার, AB চাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ACB পরিধিস্থ কোণ ।
\(\therefore\) \(\angle\) AOB =\(2 \times\)\(\angle\) ACB = \(2 \times 35=70^{0}\)
এখন \(\angle\) BOD = \(\angle\) AOB + \(\angle\) AOD = \(70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}\)
সুতরাং দেখা গেল যে, \(\angle\) BCO = \(55^{\circ}\), \(\angle\) BOD = \(110^{\circ}\)
\(\therefore \angle B C O=55^{\circ} \) ও \( \angle B O D=110^{\circ}\).
নির্ণয় করতে হবে : \(\angle\) BCO এবং \(\angle\) BOD-এর মান ।
অঙ্কন : CD-কে বর্ধিত করা হল; বর্ধিত CD বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করল।
কোণের পরিমাপ নির্ণয় : AE চাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) AOE কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ACE পরিধিস্থ কোণ ।
\(\angle\) ACE = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) AOE = \(\frac{1}{2} \times 40^{\circ}=20^{\circ}\)
এখন, \(\angle\) BCO= \(\angle\) BCA + \(\angle\) ACO = \(\angle\) ACB + \(\angle\) ACE = \(35^{\circ}+20^{\circ}=55^{\circ}\)
আবার, AB চাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ACB পরিধিস্থ কোণ ।
\(\therefore\) \(\angle\) AOB =\(2 \times\)\(\angle\) ACB = \(2 \times 35=70^{0}\)
এখন \(\angle\) BOD = \(\angle\) AOB + \(\angle\) AOD = \(70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}\)
সুতরাং দেখা গেল যে, \(\angle\) BCO = \(55^{\circ}\), \(\angle\) BOD = \(110^{\circ}\)
\(\therefore \angle B C O=55^{\circ} \) ও \( \angle B O D=110^{\circ}\).
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের\(\angle\) APB = \(80^{\circ}\) হলে, \(\angle\) AOB ও \(\angle\) COD -এর মানের সমষ্টি নির্ণয়করি ও উত্তরেরসপক্ষে যুক্তি দিই ।
দেওয়া আছে, প্রদত্ত চিত্রে বৃত্তটির কেন্দ্র O এবং \(\angle\) ADB =
\(80^{\circ}\)
নির্ণয় করতে হবে : \(\angle\) AOB এবং \(\angle\) COD -এর সমষ্টি ।
অঙ্কন : B, C যুক্ত করা হল।
কোণদ্বয়ের সমষ্টির মান নির্ণয় : AB চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\) AOB এবং পরিধিস্থ কোণ \(\angle\) ACB
\(\angle\) AOB = \(2 \times\) \(\angle\) ACB
আবার, CD চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্ৰস্থ কোণ \(\angle\) COD এবং পরিধিস্থ কোণ \(\angle\) DBC
\(\therefore\) \(\angle\) COD = 2 \(\times\) \(\angle\) DBC
\(\therefore\) \(\angle\) AOB \(\times\) \(\angle\) COD = 2 \(\times\) (\(\angle\) ACB \(\times\) \(\angle\) DBC) ... (i)
এখন, \(\Delta\) BCP-এর CP বাহু A পর্যন্ত বর্ধিত হয়েছে।
সেজন্য বহিস্থ \(\angle\) BPA = \(\angle\) PCB + \(\angle\) PBC
অর্থাৎ, \(\angle\) APB = \(\angle\) ACB + \(\angle\) DBC
বা, \(\angle\) ACB + \(\angle\) DBC = \(\angle\) APB = \(80^{\circ}\). . . (ii)
এবার (i) এবং (ii) থেকে \(\angle\) AOB + \(\angle\) COD = 2\(\times\) (\(\angle\) ACB + \(\angle\) DBC) = 2 \(\times\) \(80^{\circ}=160^{\circ}\),
নির্ণয় করতে হবে : \(\angle\) AOB এবং \(\angle\) COD -এর সমষ্টি ।
অঙ্কন : B, C যুক্ত করা হল।
কোণদ্বয়ের সমষ্টির মান নির্ণয় : AB চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\) AOB এবং পরিধিস্থ কোণ \(\angle\) ACB
\(\angle\) AOB = \(2 \times\) \(\angle\) ACB
আবার, CD চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্ৰস্থ কোণ \(\angle\) COD এবং পরিধিস্থ কোণ \(\angle\) DBC
\(\therefore\) \(\angle\) COD = 2 \(\times\) \(\angle\) DBC
\(\therefore\) \(\angle\) AOB \(\times\) \(\angle\) COD = 2 \(\times\) (\(\angle\) ACB \(\times\) \(\angle\) DBC) ... (i)
এখন, \(\Delta\) BCP-এর CP বাহু A পর্যন্ত বর্ধিত হয়েছে।
সেজন্য বহিস্থ \(\angle\) BPA = \(\angle\) PCB + \(\angle\) PBC
অর্থাৎ, \(\angle\) APB = \(\angle\) ACB + \(\angle\) DBC
বা, \(\angle\) ACB + \(\angle\) DBC = \(\angle\) APB = \(80^{\circ}\). . . (ii)
এবার (i) এবং (ii) থেকে \(\angle\) AOB + \(\angle\) COD = 2\(\times\) (\(\angle\) ACB + \(\angle\) DBC) = 2 \(\times\) \(80^{\circ}=160^{\circ}\),
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটিবৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছিযা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,(i) \(\angle \mathrm{PBQ}=\angle \mathrm{CAD}\)
(ii) \(\angle \mathrm{BPC}=\angle\mathrm{BQD}\)
(ii) \(\angle \mathrm{BPC}=\angle\mathrm{BQD}\)
দেওয়া আছে, C এবং D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A এবং B বিন্দুতে ছেদ
করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q
বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমাণ করি যে, (i) \(\angle\) PBQ = \(\angle\) CAD এবং (ii) \(\angle\) BPC = \(\angle\) BQD
অঙ্কন : A, B; P, C; A, C; A, D; D, Q; B, P; B, Q; B, C এবং B এবং B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : C কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই বৃত্তচাপ AP-এর উপর অবস্থিত \(\angle\) ACP কেন্দ্রস্থ কোণ এবং \(\angle\) ABP পরিধিস্থ কোন।
\(\therefore\) \(\angle\) ABP = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) ACP
আবার \(\Delta\) CAP এর CA = CP [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle\) CAP = \(\angle\) CPA
এবার \(\Delta\) CAP-এর \(\angle\) CAP + \(\angle\) CPA + \(\angle\) ACP = \(180^{\circ}\)
বা, 2\(\angle\) CAP + \(\angle\) ACP = \(180^{\circ}\) \([\because \angle C A P=\angle C P A]\)
বা, 2\(\angle\) CAP = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) ACP
\(\therefore\) \(\angle\) CAP = 90 - \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) ACP = 90° - \(\angle\) ABP ( পূর্বে প্রমাণিত)
সুতরাং \(\angle\) CAP = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABP
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই AQ বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) ADQ কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ABQ পরিধিস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\) ABQ = \(=\frac{1}{2}\) \(\angle\) ADQ ADQ ত্রিভুজের DA = DQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
সেজন্য \(\angle\) DAQ = \(\angle\) DQA
\(\therefore\) \(\angle\) DAQ + \(\angle\) DQA = 2\(\angle\) DAQ
ADQ ত্রিভুজে, \(\angle\) ADQ + \(\angle\) DAQ + \(\angle\) DQA = \(180^{\circ}\)
বা, \(\angle\) AOQ + 2\(\angle\) DAQ = \(180^{\circ}\)
বা, 2\(\angle\) DAQ = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) ADQ
\(\therefore\) \(\angle\) DOQ = \(90^{\circ}\) - \(\frac{1}{2}\)\(\angle\) ADQ = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABQ [পূর্বে প্রমাণিত]
\(\angle\) DAQ = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABQ ... (ii)
(i) এবং (ii)-এর দুদিক যোগ করলে ।
\(\angle\) CAP + \(\angle\) DAQ = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABP + \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABQ
= \(180^{\circ}\) – (\(\angle\) ABP + \(\angle\) ABQ) = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) PBQ
বা, \(\angle\) PBQ = \(180^{\circ}\) - (\(\angle\) CAP + \(\angle\) DAQ) = \(\angle\) CAD
\(\therefore \angle P B Q=\angle C A D\) (প্রমাণিত)
[প্রথম অংশ প্রমাণিত হল]
আবার, ABC ত্রিভুজে CA = CB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle\) CAB = \(\angle\) CBA এবং DAB ত্রিভুজে DA = DB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle\) DAB = \(\angle\) DBA সেজন্য \(\angle\) CAB + \(\angle\) DAB = \(\angle\) CBA + \(\angle\) DBA
অর্থাৎ, \(\angle\) CAD = \(\angle\) CBD কিন্তু \(\angle\) CAD = \(\angle\) PBQ [পূর্বে প্রমাণিত]
\(\therefore\) \(\angle\) CBD = \(\angle\) CAD = \(\angle\) PBQ
দুদিকে \(\angle\) PBD যোগ করলে \(\angle\) CBD + \(\angle\) PBD = \(\angle\) PBD + \(\angle\) PBQ
বা, \(\angle\) CBP = \(\angle\) DBQ যেহেতু BC = PC, [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং BD = DQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
সেজন্য \(\angle\) BPC = \(\angle\) CBP এবং \(\angle\) DBQ = \(\angle\) BQD
\(\therefore\) \(\angle\) BPC = \(\angle\) CBP = \(\angle\) DBQ = \(\angle\) BQD
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, \(\angle\) BPC = \(\angle\) BQD [দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত]
প্রমাণ করি যে, (i) \(\angle\) PBQ = \(\angle\) CAD এবং (ii) \(\angle\) BPC = \(\angle\) BQD
অঙ্কন : A, B; P, C; A, C; A, D; D, Q; B, P; B, Q; B, C এবং B এবং B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : C কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই বৃত্তচাপ AP-এর উপর অবস্থিত \(\angle\) ACP কেন্দ্রস্থ কোণ এবং \(\angle\) ABP পরিধিস্থ কোন।
\(\therefore\) \(\angle\) ABP = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) ACP
আবার \(\Delta\) CAP এর CA = CP [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle\) CAP = \(\angle\) CPA
এবার \(\Delta\) CAP-এর \(\angle\) CAP + \(\angle\) CPA + \(\angle\) ACP = \(180^{\circ}\)
বা, 2\(\angle\) CAP + \(\angle\) ACP = \(180^{\circ}\) \([\because \angle C A P=\angle C P A]\)
বা, 2\(\angle\) CAP = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) ACP
\(\therefore\) \(\angle\) CAP = 90 - \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) ACP = 90° - \(\angle\) ABP ( পূর্বে প্রমাণিত)
সুতরাং \(\angle\) CAP = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABP
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই AQ বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) ADQ কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ABQ পরিধিস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\) ABQ = \(=\frac{1}{2}\) \(\angle\) ADQ ADQ ত্রিভুজের DA = DQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
সেজন্য \(\angle\) DAQ = \(\angle\) DQA
\(\therefore\) \(\angle\) DAQ + \(\angle\) DQA = 2\(\angle\) DAQ
ADQ ত্রিভুজে, \(\angle\) ADQ + \(\angle\) DAQ + \(\angle\) DQA = \(180^{\circ}\)
বা, \(\angle\) AOQ + 2\(\angle\) DAQ = \(180^{\circ}\)
বা, 2\(\angle\) DAQ = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) ADQ
\(\therefore\) \(\angle\) DOQ = \(90^{\circ}\) - \(\frac{1}{2}\)\(\angle\) ADQ = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABQ [পূর্বে প্রমাণিত]
\(\angle\) DAQ = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABQ ... (ii)
(i) এবং (ii)-এর দুদিক যোগ করলে ।
\(\angle\) CAP + \(\angle\) DAQ = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABP + \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABQ
= \(180^{\circ}\) – (\(\angle\) ABP + \(\angle\) ABQ) = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) PBQ
বা, \(\angle\) PBQ = \(180^{\circ}\) - (\(\angle\) CAP + \(\angle\) DAQ) = \(\angle\) CAD
\(\therefore \angle P B Q=\angle C A D\) (প্রমাণিত)
[প্রথম অংশ প্রমাণিত হল]
আবার, ABC ত্রিভুজে CA = CB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle\) CAB = \(\angle\) CBA এবং DAB ত্রিভুজে DA = DB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle\) DAB = \(\angle\) DBA সেজন্য \(\angle\) CAB + \(\angle\) DAB = \(\angle\) CBA + \(\angle\) DBA
অর্থাৎ, \(\angle\) CAD = \(\angle\) CBD কিন্তু \(\angle\) CAD = \(\angle\) PBQ [পূর্বে প্রমাণিত]
\(\therefore\) \(\angle\) CBD = \(\angle\) CAD = \(\angle\) PBQ
দুদিকে \(\angle\) PBD যোগ করলে \(\angle\) CBD + \(\angle\) PBD = \(\angle\) PBD + \(\angle\) PBQ
বা, \(\angle\) CBP = \(\angle\) DBQ যেহেতু BC = PC, [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং BD = DQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
সেজন্য \(\angle\) BPC = \(\angle\) CBP এবং \(\angle\) DBQ = \(\angle\) BQD
\(\therefore\) \(\angle\) BPC = \(\angle\) CBP = \(\angle\) DBQ = \(\angle\) BQD
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, \(\angle\) BPC = \(\angle\) BQD [দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত]
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, \(\angle\) OBC + \(\angle\) BAC = \(90^{\circ}\)
যেহেতু \(OB = OC =\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ, সুতরাং \(\angle OBC = \angle OCB = x°\) (ধরি)।
এখন, \(\angle B O C=2 \angle B A C \ldots(1)\)
আবার, BOC ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle B O C+\angle O B C+\angle O C B=180^{\circ}\)
\(\angle B O C+x+x=180^{\circ}\)
বা, \(\angle B O C=180^{\circ}-2 x \ldots(2)\)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(2 \angle B A C=180^{\circ}-2 x\)
বা, \(\angle B A C=\frac{180^{\circ}-2 x}{2}\)
বা, \(\angle B A C=90^{\circ}-x=90^{\circ}-\angle O B C\)
বা, \(\angle O B C+\angle B A C=90^{\circ}\) (প্রমাণিত)।
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্ৰগামীএবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে । A বিন্দুগামীএকটি সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও Dবিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করে যে, \(\triangle BCD\) সমবাহু ত্রিভুজ।
ধরি, P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি সমান। বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে A ও B বিদুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা CD, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, \(\triangle \mathrm{BCD}\) সমবাহু।
অঙ্কনঃ P Q; A, P; B, P, A, Q; B, Q বিন্দুগুলিকে যুক্ত করি। ধরি, PQ, AB-কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : \(\triangle APS \) ও \(\triangle \mathrm{BPS}\)-এর মধ্যে AP = BP [\(\therefore\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
AS = BS [\(\therefore\) S, AB-এর মধ্যবিন্দু] এবং PS সাধারণ বাহু।
\(\therefore \triangle \mathrm{APS} \cong \triangle \mathrm{BPS}\) \(\therefore\) \(\angle APS \) = \(\angle BPS \) [\(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু] \(\ldots\ldots\) (1)
এখন, P কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ACB \) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle APB \)
\(\therefore \angle \mathrm{APB}=2 \angle \mathrm{ACB}\) [যেহেতু, কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে কোন বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, \(\angle APS \) + \(\angle BPS \) = 2 \(\angle ACB \)
বা, \(\angle \mathrm{APS}+\angle \mathrm{APS}=2 \angle \mathrm{ACB}\) [(1) থেকে]
বা, \(2 \angle \mathrm{APS}=2 \angle \mathrm{ACB}\)
বা, \(\angle \mathrm{APS}=\angle \mathrm{ACB}\)\(\ldots\ldots\) (2)
এখন, Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(\widehat{\mathrm{ADB}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ \(\angle AQB \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle APB \)
\(\therefore\) প্রবৃদ্ধ \(\angle AQB \) = 2 \(\angle APB \) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, \(360^{\circ}-\angle \mathrm{AQB}=2 \angle \mathrm{APB}\)
বা, \(360^{\circ}-\angle \mathrm{APB}=2 \angle \mathrm{APB}[\because \angle \mathrm{AQB}=\angle \mathrm{APB}\) কারণ
\(\triangle \mathrm{APS} \cong \triangle \mathrm{AQS}\)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{APS}=\angle \mathrm{AQS}\), অনুরূপে\(\angle \mathrm{BPS}=\angle \mathrm{BQS}]\)
বা, \(360^{\circ}=3 \angle \mathrm{APB}\)
বা, \(\angle \mathrm{APB}=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}\)
বা, \(2 \angle \mathrm{APS}=120^{\circ}[\because \angle \mathrm{APB}=2 \angle \mathrm{APS}]\)
বা, \(\angle \mathrm{APS}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle ACB \) = 60° [ (2) থেকে ]
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, \(\angle BDC \) = 60°
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{BCD}\)-এর অপর কোণটিও 60° হবে।
অর্থাৎ \(\triangle \mathrm{BCD}\)-এর \(\angle BCD \) = \(\angle BDC \) = \(\angle \mathrm{CBD}\) = 60°
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{BCD}\) সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
9. \(\triangle ABC\)-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র \(S\) এবং \(AD \perp BC\) হলে, প্রমাণ করি যে \(\angle BAD = \angle SA C\)।
. দেওয়া আছে, \(\Delta\)ABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S; AD সরলরেখা
\(\Delta\)ABC-এর BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে \(\angle\) BAD = \(\angle\) SAC
অঙ্কন : S, A এবং S, C যুক্ত করা হল। প্রমাণ : SA = SC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ \(\Delta\)SAC-এর দুটি বাহু সমান সেজন্য \(\angle\) SAC = \(\angle\) SCA
আবার \(\Delta\)SAC-এর \(\angle\) ASC + \(\angle\) SAC + \(\angle\) SCA = \(180^{\circ}\)
বা, \(\angle\) ASC + 2 \(\angle\) SAC =\(180^{\circ}\), [ \(\angle\) SAC = \(\angle\) SCA]
অর্থাৎ, 2\(\angle\) SAC = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) ASC
বা, \(\angle\) SAC = \(90^{\circ}\) - \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) ASC ... (i)
আবার, S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AKC বৃক্তচাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) ASC কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ABC পরিধিস্থ কোণ।
\(\angle\) ABC = \(\frac{1}{2}\)\(\angle\) ASC……(ii)
\(\angle\) SAC = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABC .. (iii) [ (i)-এর সাহায্যে ]
আবার \(\Delta\)ABD-এর \(\angle\) ADB = \(\angle\) ADC = \(90^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle\) ADB + \(\angle\) BAD = \(90^{\circ}\)
বা, \(\angle\) BAD = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ADB = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABC ... (ii)
(iii) এবং (iv) থেকে \(\angle\) SAC = \(\angle\) BAD (প্রমাণিত)।
প্রমাণ করতে হবে যে \(\angle\) BAD = \(\angle\) SAC
অঙ্কন : S, A এবং S, C যুক্ত করা হল। প্রমাণ : SA = SC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ \(\Delta\)SAC-এর দুটি বাহু সমান সেজন্য \(\angle\) SAC = \(\angle\) SCA
আবার \(\Delta\)SAC-এর \(\angle\) ASC + \(\angle\) SAC + \(\angle\) SCA = \(180^{\circ}\)
বা, \(\angle\) ASC + 2 \(\angle\) SAC =\(180^{\circ}\), [ \(\angle\) SAC = \(\angle\) SCA]
অর্থাৎ, 2\(\angle\) SAC = \(180^{\circ}\) - \(\angle\) ASC
বা, \(\angle\) SAC = \(90^{\circ}\) - \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) ASC ... (i)
আবার, S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AKC বৃক্তচাপের উপর অবস্থিত \(\angle\) ASC কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং \(\angle\) ABC পরিধিস্থ কোণ।
\(\angle\) ABC = \(\frac{1}{2}\)\(\angle\) ASC……(ii)
\(\angle\) SAC = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABC .. (iii) [ (i)-এর সাহায্যে ]
আবার \(\Delta\)ABD-এর \(\angle\) ADB = \(\angle\) ADC = \(90^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle\) ADB + \(\angle\) BAD = \(90^{\circ}\)
বা, \(\angle\) BAD = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ADB = \(90^{\circ}\) - \(\angle\) ABC ... (ii)
(iii) এবং (iv) থেকে \(\angle\) SAC = \(\angle\) BAD (প্রমাণিত)।
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও
CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(\angle\) AOD + \(\angle\) BOC = 2\(\angle\)
BPC। যদি \(\angle\) AOD ও \(\angle\) BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি
পরস্পর লম্ব।
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য: প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle AOD \) + \(\angle BOC \) = 2 \(\angle BPC \)
এবং \(\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}\) যখন, \(\angle AOD \) + \(\angle BOC \) = \(180^{\circ}\)
অঙ্কন : O, A; O, B; O, C; O, D এবং B, D যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\widehat{A D}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle AOD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ABD \)
\(\therefore\) \(\angle AOD \) = 2 \(\angle ABD \) (উপপাদ্য-34 অনুসারে] \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\widehat{\mathrm{BC}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle BOC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle BDC \)
\(\therefore\) \(\angle B O C=2 \angle B D C\)) \(\ldots\ldots\) (2) [উপপাদ্য-34 অনুসারে]
এখন, (2) ও (2) যােগ করে পাই, \(\angle AOD \) + \(\angle BOC \) = 2 \(\angle \mathrm{ABD}+2 \angle \mathrm{BDC}=2(\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{BDC})\) \(\ldots\ldots\) (3)
কিন্তু, PBD ত্রিভুজের DP বাহুকে C পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিস্থ \(\angle BPC \) = অন্তঃস্থ বিপরীত \((\angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{BDP})\) = অন্তঃস্থ বিপরীত \((\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{BDC})\) [\(\therefore\) কোণগুলি একই]
\(\therefore\) \(\angle A B D+\angle B D C=\angle B P C\)
\(\therefore\) (3) থেকে পাই, \(\angle AOD \) + \(\angle BOC \) = 2 \(\angle BPC \)
\(\therefore \angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOC}=2 \angle \mathrm{BPC}\) (প্রমাণিত)
এখন, \(\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}\) হলে আমরা পাই,
\(180^{\circ}=2 \angle B P C\)
বা, \(\angle B P C=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}\)
\(\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}\)
\(\left[\because \angle B P C=90^{\circ}\right]\) (প্রমাণিত)।
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটিজ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, \(\angle AOC - \angle BOD= 2\angle BPC\)
ধরি, এ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle AOC \) - \(\angle BOD \) = 2 \(\angle BPC \)
অঙ্কন : B, C যুক্তি করি।
প্রমাণ : \(\widehat{\mathrm{AC}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle \mathrm{AOC}\) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ABC \) \(\therefore \angle A O C=2 \angle A B C\) \(\ldots\ldots\) (1) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
আবার \(\widehat{\mathrm{BD}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle BOD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ
= \(\angle B C D\) \(\therefore \angle B O D=2 \angle B C D\)\(\ldots\ldots\) (2) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
এখন,(1) থেকে (2) বিয়ােগ করে পাই,
\(\angle A O C-\angle B O D=2 \angle A B C-2 \angle B C D\)\(\ldots\ldots\) (3)
আবার, \(\triangle \mathrm{BPC}\)-এর PB বাহুকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন
বহিস্থ \(\angle \mathrm{ABC}\) = অন্তঃস্থ বিপরীত \((\angle \mathrm{BPC}+\angle \mathrm{BCP})\)[আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সময়]
বা, \(\angle A B C=\angle B \dot{P} C+\angle B C D\)
বা, \(2 \angle A B C=2 \angle B P C+2 \angle B C D\) [2 দ্বারা গুণ করে]
বা, \(2 \angle \mathrm{ABC}-2 \angle \mathrm{BCD}=2 \angle \mathrm{BPC}\)
\(\therefore\) (3) থেকে পাই, \(\angle AOC \) - \(\angle BOD \) = 2 \(\angle \mathrm{BPC}\)
\(\therefore\) \(\angle AOC \) - \(\angle BOD \) = 2 \(\angle \mathrm{BPC}\) (প্রমাণিত)
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করেএকটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করি যে \(\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD\)
ধরি, ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল, যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{CDB}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAD}\)
অঙ্কন : A, B; B, C; C, D; D, A; B, D এবং C, A যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\widehat{\mathrm{BC}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle BAC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle B D C\)
\(\therefore \angle B D C=\frac{1}{2} \angle B A C\) \(\ldots\ldots\) (1) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
আবার \(\widehat{\mathrm{CD}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle CAD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle CBD \)
\(\therefore \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAD}\) \(\ldots\ldots\) (2) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
তাহলে,(1) ও (2) যােগ করে পাই,
\(\angle \mathrm{BDC}+\angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAD}\)
\(=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD})=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAD}\) . \(\therefore \angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{CDB}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAD}\) (প্রমাণিত)।
13. \(\triangle ABC\) এর পরিকেন্দ্র O এবং\(OD, BC\) বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে \(\angle BOD = \angle BAC\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর পরিকেন্দ্র O এবং \(\mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}\)
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle BOD \) = \(\angle BAC \)
অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\triangle B O D\)
এবং \(\Delta \mathrm{COD}\)-এর মধ্যে
OB = OC [ \(\therefore\)একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\angle \mathrm{OBD}=\angle \mathrm{OCD}[\because \mathrm{OB}=\mathrm{OC}]\)
এবং \(\angle BDO \) = \(\angle CDO \) [ \(\therefore\) প্রত্যেকেই সমকোণ]
\(\therefore \quad \triangle B O D \cong \triangle C O D\) [ সর্বসমতার A – A - S শর্তানুসারে]
\(\therefore \angle B O D=\angle C O D\)[\(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
\(\therefore\) \(\angle BOC \) = \(\angle BOD \) + \(\angle COD \) = \(\angle BOD \) + \(\angle BOD \) [ \(\therefore\) \(\angle COD \) = \(\angle \mathrm{BOD}\)] = 2 \(\angle BOD \) \(\ldots\ldots\) (1)
এখন BC জ্যা দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle \mathrm{BOC}\) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle BAC \)
\(\therefore\) \(\angle BOC \) = 2 \(\angle BAC \) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] \(\ldots\ldots\) (2)
তাহলে (1) ও (2) থেকে পাই, 2 \(\angle \mathrm{BOD}=2 \angle \mathrm{BAC}\)
বা, \(\angle \mathrm{BOD}=\angle \mathrm{BAC}\)
\(\therefore\) \(\angle BOD \) = \(\angle BAC \) (প্রমাণিত)।
14. অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
A. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) পাশের চিত্রে \(O\) বৃত্তের কেন্দ্র এবং\(PQ\) ব্যাস হলে \(x\)-এর মান
(a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20
(a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20
চিত্রানুসারে, \(\angle POR \) = 140° (প্রদত্ত), \(\therefore\) \(\angle ROQ \) = 180° – 140° = 40°
এখন, QR চাপের দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle QSR \) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle ROQ \)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{QSR}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ROQ}\) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
\(=\frac{1}{2} \times 40^{\circ}=20^{\circ}\)
\(\therefore x^{\circ}=\angle \mathrm{QSR}=20^{\circ}\)
\(\therefore x=20\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।
(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,\(x\) -এর মান
(a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200
(a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200
চিত্রানুসারে, \(\angle P O Q=140^{\circ}, \angle P O R=80^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{QOR}=360^{\circ}-(\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{POR})=360^{\circ}-\left(140^{\circ}+80^{\circ}\right)=360^{\circ}-220^{\circ}\)
\(=140^{\circ}\)
আবার, QR চাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle QPR \) = \(x^{0}\) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle QOR \) = 140°
\(\therefore \angle Q P R=\frac{1}{2} \angle Q O R\) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
\(=\frac{1}{2} \times 140^{\circ}=70^{\circ}\)
\(\therefore x^{\circ}=70^{\circ}\),
\(\therefore x=70\)
\(\therefore\) (a) উত্তরটি সঠিক।
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এর BCব্যাস হলে, \(x\) এর মান
(a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80
(a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80
চিত্রানুসারে, \(\angle OAB \) = 50°, \(\angle ADC \) = \(\mathrm{x}^{\circ}\)
এখন, OA = OB [ \(\therefore\)একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
\(\therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=50^{\circ}\) \(\left[\because \angle O A B=50^{\circ}\right]\)
\(\therefore \angle \mathrm{AOC}\) অন্তঃস্থ বিপরীত (OAB + OBA) = 50° + 50° = 100°
আবার AC চাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ADC \) = \(x^{0}\) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle AOC \) = 100°
\(\therefore \angle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOC}\) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, \(\angle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}\) \(\left[\because \angle \mathrm{AOC}=100^{\circ}\right]\)
বা, \(x^{\circ}=50^{\circ} \therefore x=50\) \(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। \(\angle O A B=50^{\circ}\) হলে \(\angle ACB\) এর মান
(a) \(50^{\circ}\) (b) \(100^{\circ}\) (c)\(40^{\circ}\) (d) \(80^{\circ}\)
(a) \(50^{\circ}\) (b) \(100^{\circ}\) (c)\(40^{\circ}\) (d) \(80^{\circ}\)
(c) উত্তরটি সঠিক।
O,B যুক্ত করা হলো
\(\triangle A O B\)-এর \(O A=O B\) (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\(\angle A O B=180^{\circ}-(\angle O B+\angle A B O)\)
\(=180^{\circ}-\left(50^{\circ}+50^{\circ}\right) \quad\left[\angle O A B+\angle A B 0=50^{\circ}\right]\)
\(=180^{\circ}-100^{\circ}\)
\(=80^{\circ}\)
\(\widehat{A B}\) চাপের উপর \(\angle A O B\) কেন্দ্রস্থ কোণ ও \(\angle A C B\) বৃত্তস্থ কোণ
\(\angle A O B=2 \angle A C B\) (যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
\(\therefore \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B\)
\(=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}\)
\(=40^{\circ}\)
\(\therefore \angle A C B=40^{\circ}\)(c)
\(\triangle A O B\)-এর \(O A=O B\) (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\(\angle A O B=180^{\circ}-(\angle O B+\angle A B O)\)
\(=180^{\circ}-\left(50^{\circ}+50^{\circ}\right) \quad\left[\angle O A B+\angle A B 0=50^{\circ}\right]\)
\(=180^{\circ}-100^{\circ}\)
\(=80^{\circ}\)
\(\widehat{A B}\) চাপের উপর \(\angle A O B\) কেন্দ্রস্থ কোণ ও \(\angle A C B\) বৃত্তস্থ কোণ
\(\angle A O B=2 \angle A C B\) (যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
\(\therefore \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B\)
\(=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}\)
\(=40^{\circ}\)
\(\therefore \angle A C B=40^{\circ}\)(c)
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে\(\angle\) POR এর মান
(a) \(20^{\circ} (b) 40^{\circ} (c) 60^{\circ} (d) 80^{\circ}\)
(a) \(20^{\circ} (b) 40^{\circ} (c) 60^{\circ} (d) 80^{\circ}\)
(c) উত্তরটি সঠিক।
\(\triangle P O Q\)-এর \(P O=O Q\) (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\(\angle O P Q=\angle O Q P=10^{\circ}\)
আবার, \(\triangle O R Q\theta\)-এর \(O R=O Q\) (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\(\angle O R Q=\angle O Q R=40^{\circ}\)
\(\therefore \angle P Q R=40^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}\)
\(\widehat{PR}\) চাপের উপর \(\angle P O R\) কেন্দ্রস্থ কোণ ও \(\angle P Q R\) বৃত্তস্থ কোণ
\(\therefore \angle P O R=2 \angle P Q R\)
\(=2 \times 30^{\circ}\)
\(=60^{\circ}\)
\(\therefore \angle P O R=60^{\circ}\)
\(\angle O P Q=\angle O Q P=10^{\circ}\)
আবার, \(\triangle O R Q\theta\)-এর \(O R=O Q\) (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\(\angle O R Q=\angle O Q R=40^{\circ}\)
\(\therefore \angle P Q R=40^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}\)
\(\widehat{PR}\) চাপের উপর \(\angle P O R\) কেন্দ্রস্থ কোণ ও \(\angle P Q R\) বৃত্তস্থ কোণ
\(\therefore \angle P O R=2 \angle P Q R\)
\(=2 \times 30^{\circ}\)
\(=60^{\circ}\)
\(\therefore \angle P O R=60^{\circ}\)
B. সত্য বা মিথ্যা লিখি
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,
\(\angle AOB = 2\angle ACD\)
মিথ্যা।
(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দুএমনভাবে অবস্থিত যে \(OA = OB\) এবং \(\angle AOB = 2\angle ACB , O\) বিন্দুকে কেন্দ্র করে OAদৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
C. শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ
কেন্দ্ৰস্থ কোণের _______ ।
কোনাে বৃত্তের একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ
কোণের অর্ধেক।
(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটিরদৈর্ঘ্য সমান। \(\angle APB\) ও \(\angle DQC\) বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণদুটির মান _______ ।
\(A B=A C\)
\(\angle A O B=\angle A O C\) [কোন বৃত্তের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে]
\(\widehat{AB}\) চাপের উপর \(\angle AOB\) কেন্দ্রস্থ কোণ ও \(\angle APB\) বৃত্তস্থ কোণ
\(\therefore \angle AOB=2 \angle APB\)
\(=2 \times 30^{\circ}\)
আবার \(\angle AOC\) কেন্দ্রস্থ কোণ ও বৃত্তস্থ কোণ \(\angle AQC\)
\(\therefore \angle A O C=2 \angle A Q C\)
\(\therefore 2 \angle A P B=2 \angle A Q C \Rightarrow \angle A P B=\angle A Q C\)
[সমান]
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের
কেন্দ্র O হলে, যে-কোনো বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান _______ |
ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O। তাহলে, \(\angle BAC = 60°\) ।
\(\therefore \angle B O C=2 \angle B A C=2 \times 60^{\circ}=120^{\circ}\) (চিত্র দেখাে)।
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। \(\angle OAB = 30^{\circ}, \angle ABC = 120^{\circ}, \angle BCO = y^{\circ}\) এবং \(\angle COA =x^{\circ}\) হলে, \(x\) ও \(y\) এর মান নির্ণয় কর ।
চিত্রানুযায়ী, \(\angle AOC \) = \(x^{\circ}\), \(\angle ABC \) = 120°, \(\angle \mathrm{OCB}=y^{\circ}\), \(\angle BAO \) = \(40^{\circ}\)
এখন, \(\widehat{\mathrm{AC}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ \(\angle AOC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle \mathrm{ABC}\) = 120°
\(\therefore\) প্রবৃদ্ধ \(\angle A O C=2 \times \angle A B C\) = \(2 \times 120^{\circ}\) = 240°
তাহলে, \(\angle COA \) = 360° – প্রবৃদ্ধ \(\angle AOC \) = 360° - 240° = \(120^{\circ}\)
\(\therefore x^{\circ}=120^{\circ} \Rightarrow x=120\)
আবার, \(\angle AOC \) + \(\angle OCB \) + \(\angle OAB \) + \(\angle ABC \) = 360° [ \(\therefore\)চতুর্ভুজের 4 কোণের সমষ্টি 360°]
বা, \(120^{\circ}+y^{\circ}+40^{\circ}+120^{\circ}=360^{\circ}\)
বা, \(y^{\circ}+280^{\circ}=360^{\circ}\)
বা, \(y^{\circ}=360^{\circ}-280^{\circ}\)
বা, \(y^{\circ}=80^{\circ} \Rightarrow y=80 \quad \therefore x=120, y=80\)
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দুBC এর মধ্যবিন্দু। \(\angle BAC = 40^{\circ}\) হলে \(\angle BOD\)-এর মান নির্ণয় করি।
D, BC-এর মধ্যবিন্দু, \(\therefore\) BD = CD
এখন, \(\triangle \mathrm{BOD}\) ও \(\Delta \mathrm{COD}\)-এর মধ্যে।
OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধj, BD = CD
এবং \(\angle \mathrm{OBD}=\angle \mathrm{OCD}\) [\(\therefore\) OB = OC]
\(\therefore \Delta \mathrm{BOD} \cong \Delta \mathrm{COD}\)[সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) \(\angle BOD \) = \(\angle COD \) [ \(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
\(\therefore \angle B O D=\frac{1}{2} \angle B O C\) \(\ldots\ldots\) (1)
\([\because \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{BOD}+\angle \mathrm{COD} .=\angle \mathrm{BOD}+\angle \mathrm{BOD}=2 \angle \mathrm{BOD}]\)
এখন, \(\widehat{\mathrm{BC}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle BOC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle BAC \)
\(\therefore\) \(\angle BOC \) = 2 \(\angle \mathrm{BAC}\)= \(2 \times 40°\) [ \(\therefore\) \(\angle BAC \) = 40°] = 80°
তাহলে (1) থেকে পাই,
\(\angle \mathrm{BOD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}\left[\because \angle \mathrm{BOC}=80^{\circ}\right]=40^{\circ}\)
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর \(A, B, C\)তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে \(AOCB\) একটি সামান্তরিক। \(\angle AOC\)-এর মান নির্ণয় করি।
আমরা জানি, সামান্তরিকের যে-কোনাে দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°
\(\therefore\) \(\angle AOC \) + \(\angle OAB \) = 180° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\widehat{\mathrm{AC}}\) চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ \(\angle AOC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ABC \)
\(\therefore\) , প্রবৃদ্ধ \(\angle AOC \) = \(2 \angle \mathrm{ABC}\)(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, 360° \(-\) \(\angle AQC \) = 2 \(\angle AOC \) [ \(\therefore\) \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{AOC}\) কারণ সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
বা, 360° = 3 \(\angle AOC \)
বা, \(\angle \mathrm{AOC}=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{AOC}=120^{\circ}\)
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তেরকেন্দ্র O এর \(\angle ABC = 120^{\circ}\) ; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি হলে AB বাহুরদৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
O,A; O,B এবং O,C যুক্ত করি।
এখন, \(\widehat{\mathrm{AC}}\) চাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ \(\angle AOC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle \mathrm{ABC}\) =\(=120^{\circ}\)
\(\therefore\), প্রবৃদ্ধ \(\angle AOC \) = 2 \(\angle ABC \) (যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, 360° - \(\angle AOC \) = 2\(\times 120^{\circ}\)
বা, 360° - \(\angle AOC \) = 240°
বা, \(\angle AOC \) = \(120^{\circ}\) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB = BC [ \(\therefore\)সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]
এখন, \(\triangle \mathrm{OAB}\) ও \(\triangle \mathrm{OCB}\)-এর মধ্যে
OA = OC [ \(\therefore\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AB = BC এবং OB সাধারণ বাহু।
\(\therefore\) \(\Delta \mathrm{OAB}\) \(\cong\) \(\triangle \mathrm{OCB}\) [সর্বসমতার S – S – S শর্তানুসারে)।
\(\therefore\) \(\angle AOB \) = \(\angle BOC \) [ \(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
এবং \(\angle OBA=\angle OBC\) [\(\therefore\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
এখন, \(\angle ABO \) + \(\angle CBO \) = \(\angle ABC \) = 120°
বা, \(\angle ABO \) + \(\angle ABO \) = 120° [ \(\therefore\) \(\angle OBA \) = \(\angle \mathrm{OBC}\)]
বা, 2 \(\angle ABO \) = \(120^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{ABO}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}\)
আবার, \(\angle AOB \) + \(\angle COB \) = \(\angle AOC \) = 120° [(1) থেকে]
বা, \(\angle AOB \) + \(\angle AOB \) = 120° [\(\therefore\) \(\angle \mathrm{COB}\) = \(\angle \mathrm{AOB}\)]
বা, 2 \(\angle AOB \) =\(120^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{AOB}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB}\)-এর \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{ABO}=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB}\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
\(\therefore\) AB = AO = 5 সেমি [\(\therefore\) AO = ব্যাসার্ধ = 5 সেমি]
\(\therefore\) AB বাহুর নির্ণেয় দৈর্ঘ্য = 5 সেমি।
(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C-এর Dবিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত। \(\angle CQD =70^{\circ}\) হলে \(\angle CPD\)-এর মান নির্ণয় করি।
A, C; B, C; A, D এবং B, D বিন্দুগুলি যুক্ত করি।
এখন, B কেন্দ্রীয় বৃত্তে, \(\widehat{\mathrm{CD}}\) জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle CQD \) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle CBD \)
\(\therefore\) \(\angle CBD \) = 2 \(\angle \mathrm{CQD}\) = 2 \(\times 70^{\circ}\)(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
[\(\therefore\) \(\angle \mathrm{CQD}\) = 70°] = 140°
আবার, A কেন্দ্রীয় বৃত্তে, \(\overparen{\mathrm{CPD}}\) চাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ \(\angle CAD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle CBD \)
, প্রবৃদ্ধ \(\angle CAD \) = \(2 \angle \mathrm{CBD}\)(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, \(360^{\circ}-\angle \mathrm{CAD}=2 \times 140^{\circ}\) [\(\therefore\) \(\angle CBD \) = 140°]
বা, \(\angle \mathrm{CAD}=360^{\circ}-280^{\circ}=80^{\circ}\) এখন, A কেন্দ্রীয় বৃত্তে CD জ্যা দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle CAD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle \mathrm{CPD}\).
\(\angle CAD \) = 2 \(\angle \mathrm{CPD}\)(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, 80° = 2 \(\angle CPD \) [ \(\because\) \(\angle CAD \) = 80°]
বা, \(\angle \mathrm{CPD}=\frac{80^{\circ}}{2}=40^{\circ}\). \\(\therefore \angle \mathrm{CPD}=40^{\circ}\)
কষে দেখি ৭.১ ক্লাস ১০ Koshe Dekhi 7.1 Class 10 Math Solution Wbbse | বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.১
আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
