WBBSE Ganit Prakash Class 10 (Ten)(X) 12 Exercise 12 Sphere Solution | গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২ ক্লাস ১০ | Koshe Dekhi 12 Class10
Share this page using :
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
কষে দেখি - 12
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
আজই Install করুন Chatra Mitra
1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য(r) 10.5 সেমি,
\(\therefore\) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times(10.5)^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5\)
\(=1386\) বর্গসেমি ।
\(\therefore\) গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(1386\) বর্গসেমি।
\(\therefore\) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times(10.5)^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5\)
\(=1386\) বর্গসেমি ।
\(\therefore\) গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(1386\) বর্গসেমি।
2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটিরব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরা যাক, বলটির ব্যাসার্ধ \(= r\) সেমি
অতএব বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\) বর্গসেমি
\(17.50\) টাকা লেগেছে \(1\) বর্গসেমি চামড়ার বল তৈরি করতে
অতএব \(431.20\) টাকা লেগেছে \(=\frac{431 \cdot 20}{17 \cdot 50}\) বর্গসেমি চামড়ার বল তৈরি করতে
অতএব \(4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=\frac{431 \cdot 20}{17 \cdot 50} \)
\(=\frac{43120 \times 100}{1750 \times 100}=\frac{43120}{1750}\)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{43120 \times 7}{1750 \times 4 \times 22} \)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{49}{25}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{\frac{49}{25}}\)
\(\Rightarrow r=\frac{7}{5}\)
অতএব চামড়ার বলটির ব্যাস \(=2 \times \frac{7}{5}\) সেমি \(= 2.8\) সেমি।
অতএব চামড়ার বলটির ব্যাস \(2.8\) সেমি।
অতএব বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\) বর্গসেমি
\(17.50\) টাকা লেগেছে \(1\) বর্গসেমি চামড়ার বল তৈরি করতে
অতএব \(431.20\) টাকা লেগেছে \(=\frac{431 \cdot 20}{17 \cdot 50}\) বর্গসেমি চামড়ার বল তৈরি করতে
অতএব \(4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=\frac{431 \cdot 20}{17 \cdot 50} \)
\(=\frac{43120 \times 100}{1750 \times 100}=\frac{43120}{1750}\)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{43120 \times 7}{1750 \times 4 \times 22} \)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{49}{25}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{\frac{49}{25}}\)
\(\Rightarrow r=\frac{7}{5}\)
অতএব চামড়ার বলটির ব্যাস \(=2 \times \frac{7}{5}\) সেমি \(= 2.8\) সেমি।
অতএব চামড়ার বলটির ব্যাস \(2.8\) সেমি।
3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
সটপাট খেলার বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি,
\(\therefore\) বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{7}{2}\) সেমি
বলটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\( =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) ঘন সেমি
\(=\frac{539}{3}\) ঘন সেমি
\(= 179 \frac{2}{3}\) ঘন সেমি
\(\therefore\) বলটিতে \(179 \frac{2}{3}\) ঘন সেমি লোহা আছে।
\(\therefore\) বলটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{7}{2}\) সেমি
বলটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\( =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) ঘন সেমি
\(=\frac{539}{3}\) ঘন সেমি
\(= 179 \frac{2}{3}\) ঘন সেমি
\(\therefore\) বলটিতে \(179 \frac{2}{3}\) ঘন সেমি লোহা আছে।
4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
গােলকটির ব্যাস \(= 28\) সেমি
অতএব গােলকটির ব্যাসার্ধ = \(\frac{28}{2}\) সেমি \(= 14\) সেমি
অতএব গােলকটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^{3}\) ঘনসেমি \(=11498 \frac{2}{3}\) ঘনসেমিন
অতএব গােলকটিকে জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে \(11498 \frac{2}{3}\) ঘনসেমি জল অপসারিত হবে।
অতএব গােলকটির ব্যাসার্ধ = \(\frac{28}{2}\) সেমি \(= 14\) সেমি
অতএব গােলকটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^{3}\) ঘনসেমি \(=11498 \frac{2}{3}\) ঘনসেমিন
অতএব গােলকটিকে জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে \(11498 \frac{2}{3}\) ঘনসেমি জল অপসারিত হবে।
5. কোনো গোলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ \(= 7\) সেমি।
অতএব বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= 4 \pi r^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 7^{2}\) বর্গসেমি
আবার বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ \(= 21\) সেমি
অতএব বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= 4 \pi r^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\) বর্গসেমি।
অতএব, বেলুনটির পূর্বের এবং পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=4 \times \frac{22}{7} \times 7^{2}: 4 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\)
\(=\frac{7 \times 7}{21 \times 21}=\frac{1}{9}=1: 9\)
অতএব, বেলুনটির পূর্বের এবং পরের সমগ্রতলের অনুপাত হবে \(1:9.\)
অতএব বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= 4 \pi r^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 7^{2}\) বর্গসেমি
আবার বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ \(= 21\) সেমি
অতএব বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= 4 \pi r^{2}\)
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\) বর্গসেমি।
অতএব, বেলুনটির পূর্বের এবং পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=4 \times \frac{22}{7} \times 7^{2}: 4 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\)
\(=\frac{7 \times 7}{21 \times 21}=\frac{1}{9}=1: 9\)
অতএব, বেলুনটির পূর্বের এবং পরের সমগ্রতলের অনুপাত হবে \(1:9.\)
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
আজই Install করুন Chatra Mitra
6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে \(127 \frac{2}{7}\) বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ধরা যাক, বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি।
অতএব বাটিটি তৈরি করতে পাত লেগেছে \(2 \pi r^{2}\) বর্গসেমি।
প্রশ্নানুসারে, \(2 \pi r^{2}=127 \frac{2}{7} \)
\(\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=\frac{891}{7}\)
\(\Rightarrow 2 \times 22 \times r^{2}=891\)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{891}{2 \times 22} \)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{\frac{81}{4}}\)
\(\Rightarrow r=\frac{9}{2}\)
অতএব বাটিটির ব্যাস \(=2 \times \frac{9}{2}\) সেমি \(= 9\) সেমি
অতএব বাটিটির মুখের ব্যাস \(9\) সেমি।
অতএব বাটিটি তৈরি করতে পাত লেগেছে \(2 \pi r^{2}\) বর্গসেমি।
প্রশ্নানুসারে, \(2 \pi r^{2}=127 \frac{2}{7} \)
\(\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=\frac{891}{7}\)
\(\Rightarrow 2 \times 22 \times r^{2}=891\)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{891}{2 \times 22} \)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{\frac{81}{4}}\)
\(\Rightarrow r=\frac{9}{2}\)
অতএব বাটিটির ব্যাস \(=2 \times \frac{9}{2}\) সেমি \(= 9\) সেমি
অতএব বাটিটির মুখের ব্যাস \(9\) সেমি।
7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্ৰতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
নিরেট লোহার গোলাটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি।
\(\therefore\) গোলাটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2 \cdot 1)^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\) ঘন সেমি
\( = 38.808\) ঘন সেমি ।
\(\therefore\) গোলাটিতে 38.81 ঘন সেমি লোহা আছে।
এবং ওই লোহার গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times(2.1)^{2}\) বর্গ সেমি
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \)
\( =55.44\) বর্গ সেমি।
\(\therefore\) গোলাটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2 \cdot 1)^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\) ঘন সেমি
\( = 38.808\) ঘন সেমি ।
\(\therefore\) গোলাটিতে 38.81 ঘন সেমি লোহা আছে।
এবং ওই লোহার গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times(2.1)^{2}\) বর্গ সেমি
\(=4 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \)
\( =55.44\) বর্গ সেমি।
8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
নিরেট সীসার গােলকের ব্যাস = 14 সেমি,
\(\therefore\) গােলকের ব্যাসার্ধ \(=\frac{14}{2}\) সেমি।
\(\therefore\) 14 সেমি ব্যাসের নিরেট সীসার গােলকের ঘনফল \(\=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{14}{2}\right)^{3}\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \pi(7)^{3}\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\) ঘনসেমি
\(=\frac{88 \times 49}{3}\) ঘনসেমি।
ছােটো নতুন গােলকের প্রতিটির ব্যাসার্ধ= 3.5 সেমি
\(=\frac{35}{10}\) সেমি
\(=\frac{7}{2}\) সেমি
\(\therefore\) নতুন 3.5 সেমি ব্যাসার্ধের প্রতিটি গােলকের ঘনফল\(\=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{7}{2}\right)^{3}\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) ঘনসেমি।
\(=\frac{11 \times 49}{3}\) ঘনসেমি
নতুন 3.5 সেমি ব্যাসার্ধের গােলকের সংখ্যা \(=\frac{\frac{88 \times 49}{3}}{\frac{11 \times
49}{3}}=\frac{88 \times 49}{3} \times \frac{3}{11 \times 49}=8\)
উত্তর : নিরেট সীসার গােলক গলিয়ে 8টি নতুন ছােটো গােলক তৈরি করা যাবে।
\(\therefore\) গােলকের ব্যাসার্ধ \(=\frac{14}{2}\) সেমি।
\(\therefore\) 14 সেমি ব্যাসের নিরেট সীসার গােলকের ঘনফল \(\=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{14}{2}\right)^{3}\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \pi(7)^{3}\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\) ঘনসেমি
\(=\frac{88 \times 49}{3}\) ঘনসেমি।
ছােটো নতুন গােলকের প্রতিটির ব্যাসার্ধ= 3.5 সেমি
\(=\frac{35}{10}\) সেমি
\(=\frac{7}{2}\) সেমি
\(\therefore\) নতুন 3.5 সেমি ব্যাসার্ধের প্রতিটি গােলকের ঘনফল\(\=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{7}{2}\right)^{3}\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) ঘনসেমি।
\(=\frac{11 \times 49}{3}\) ঘনসেমি
নতুন 3.5 সেমি ব্যাসার্ধের গােলকের সংখ্যা \(=\frac{\frac{88 \times 49}{3}}{\frac{11 \times
49}{3}}=\frac{88 \times 49}{3} \times \frac{3}{11 \times 49}=8\)
উত্তর : নিরেট সীসার গােলক গলিয়ে 8টি নতুন ছােটো গােলক তৈরি করা যাবে।
9. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ছােটো গােলক তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(3\) সেমি, \(4\) সেমি এবং \(5\) সেমি।
অতএব ছােটো গােলক তিনটির মােট আয়তন \(=\left(\frac{4}{3} \pi \times 3^{3}+\frac{4}{3} \pi \times 4^{3}+\frac{4}{3} \pi \times 5^{3}\right)\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \pi(27+64+125)\) ঘনসেমি \(=\frac{4}{3} \pi \times 216\) ঘনসেমি
ধরা যাক, বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধ \(R\) সেমি
অতএব বড়াে গােলকটির আয়তন \(\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}\) ঘনসেমি ।
অতএব, \(\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}=\frac{4}{3} \pi \times 216\)
\(\Rightarrow \mathrm{R}^{3}=216 \Rightarrow \mathrm{R}^{3}=\mathrm{6}^{3} \Rightarrow \mathrm{R}=\mathrm{6}\)
অতএব বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধ \(6\) সেমি।
অতএব ছােটো গােলক তিনটির মােট আয়তন \(=\left(\frac{4}{3} \pi \times 3^{3}+\frac{4}{3} \pi \times 4^{3}+\frac{4}{3} \pi \times 5^{3}\right)\) ঘনসেমি
\(=\frac{4}{3} \pi(27+64+125)\) ঘনসেমি \(=\frac{4}{3} \pi \times 216\) ঘনসেমি
ধরা যাক, বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধ \(R\) সেমি
অতএব বড়াে গােলকটির আয়তন \(\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}\) ঘনসেমি ।
অতএব, \(\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}=\frac{4}{3} \pi \times 216\)
\(\Rightarrow \mathrm{R}^{3}=216 \Rightarrow \mathrm{R}^{3}=\mathrm{6}^{3} \Rightarrow \mathrm{R}=\mathrm{6}\)
অতএব বড়াে গােলকটির ব্যাসার্ধ \(6\) সেমি।
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
আজই Install করুন Chatra Mitra
10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
গম্বুজটির ভূমিতলের ব্যাস \(= 42\) ডেসিমি
অতএব গম্বুজটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(=\frac{42}{2}\) ডেসিমি \(= 21\) ডেসিমি
অতএব গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r^{2}\)
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\) বর্গডেসিমি
\(= 2772\) বর্গডেসিমি \(= 27.72\) বর্গমিটার
অতএব গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ হবে \(=27.72 \times 35\) টাকা \(= 970.2\) টাকা বা 970 টাকা 20 পয়সা
অতএব গম্বুজটি রং করতে \(970.2\) টাকা খরচ হবে।
অতএব গম্বুজটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(=\frac{42}{2}\) ডেসিমি \(= 21\) ডেসিমি
অতএব গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r^{2}\)
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\) বর্গডেসিমি
\(= 2772\) বর্গডেসিমি \(= 27.72\) বর্গমিটার
অতএব গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ হবে \(=27.72 \times 35\) টাকা \(= 970.2\) টাকা বা 970 টাকা 20 পয়সা
অতএব গম্বুজটি রং করতে \(970.2\) টাকা খরচ হবে।
11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
ফাঁপা গােলক দুটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(21\) সেমি এবং \(17.5\) সেমি
অতএব ফাঁপা গােলক দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\)সেমি এবং \(\frac{17 \cdot 5}{2}\) সেমি
অতএব ফাঁপা গােলক দুটির তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=4 \pi\left(\frac{21}{2}\right)^{2}: 4 \pi\left(\frac{17 \cdot 5}{2}\right)^{2}=\frac{21^{2}}{4}: \frac{17 \cdot 5^{2}}{4}\)
\(=\frac{21 \times 21 \times 100 \times 100}{175 \times 175}=\frac{36}{25}=36: 25\)
অতএব গােলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতু লেগেছে তার অনুপাত \(36 : 25.\)
অতএব ফাঁপা গােলক দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\)সেমি এবং \(\frac{17 \cdot 5}{2}\) সেমি
অতএব ফাঁপা গােলক দুটির তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=4 \pi\left(\frac{21}{2}\right)^{2}: 4 \pi\left(\frac{17 \cdot 5}{2}\right)^{2}=\frac{21^{2}}{4}: \frac{17 \cdot 5^{2}}{4}\)
\(=\frac{21 \times 21 \times 100 \times 100}{175 \times 175}=\frac{36}{25}=36: 25\)
অতএব গােলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতু লেগেছে তার অনুপাত \(36 : 25.\)
12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নিৰ্ণয় করি।
ধরি, পুরানো গোলকের ব্যাসার্ধ R সেমি, নতুন গোলকের (কেটে নেওয়ার পর) ব্যাসার্ধ r সেমি
তাহলে, প্রথম গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi \mathrm{R}^{2}\) বর্গ সেমি
দ্বিতীয় গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\) বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী, \(\frac{1}{2} \times 4 \pi R^{2}=4 \pi r^{2}\)
বা, \(\Rightarrow \frac{R^{2}}{2}=r^{2}\)
বা, \(R^{2}=2 r^{2}\)
বা, \(R=\sqrt{2} r\)
\(\therefore\) সম্পূর্ণ গোলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi(\sqrt{2} r)^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi \times 2 \sqrt{2} r^{3}\)
\(=2 \sqrt{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
নতুন (অবশিষ্ট) গোলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
অবশিষ্ট গোলকের আয়তন \((2 \sqrt{2}-1) \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(\therefore\) কেটে নেওয়া গোলকের আয়তন : অবশিষ্ট গোলকের আয়তন
\(=\frac{4}{3} \pi r^{3}:(2 \sqrt{2}-1) \frac{4}{3} \pi r^{3}=1:(2 \sqrt{2}-1)\)
তাহলে, প্রথম গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi \mathrm{R}^{2}\) বর্গ সেমি
দ্বিতীয় গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\) বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী, \(\frac{1}{2} \times 4 \pi R^{2}=4 \pi r^{2}\)
বা, \(\Rightarrow \frac{R^{2}}{2}=r^{2}\)
বা, \(R^{2}=2 r^{2}\)
বা, \(R=\sqrt{2} r\)
\(\therefore\) সম্পূর্ণ গোলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi(\sqrt{2} r)^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi \times 2 \sqrt{2} r^{3}\)
\(=2 \sqrt{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
নতুন (অবশিষ্ট) গোলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
অবশিষ্ট গোলকের আয়তন \((2 \sqrt{2}-1) \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(\therefore\) কেটে নেওয়া গোলকের আয়তন : অবশিষ্ট গোলকের আয়তন
\(=\frac{4}{3} \pi r^{3}:(2 \sqrt{2}-1) \frac{4}{3} \pi r^{3}=1:(2 \sqrt{2}-1)\)
13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্ৰতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমগ্র ভূগােলকটির ক্ষেত্রফল \(= 4 \pi r^{2}\) [ ব্যাসার্ধ = 14 সেমি ]
\(=4 \pi \times(14)^{2}\) বর্গসেমি
আবার ছিদ্র দুটির ক্ষেত্রফল \(= 2 \times \pi r^{2}\) [ ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি ]
\(=2 \pi \times(0.7)^{2}\) বর্গসেমি
অতএব নির্ণেয় ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
\(=\left[4 \pi \times 14^{2}-2 \pi(0.7)^{2}\right]\) বর্গসেমি
\(=2 \pi\left[2 \times 14^{2}-(0.7)^{2}\right]\) বর্গসেমি
\(=2 \times \frac{22}{7}(392-0.49)\) বর্গসেমি
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 391.51\) বর্গসেমি
\(= 2460.92\) বর্গসেমি
অতএব ভুগােলকটির গােলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল \(2460.92\) বর্গসেমি।
\(=4 \pi \times(14)^{2}\) বর্গসেমি
আবার ছিদ্র দুটির ক্ষেত্রফল \(= 2 \times \pi r^{2}\) [ ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি ]
\(=2 \pi \times(0.7)^{2}\) বর্গসেমি
অতএব নির্ণেয় ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
\(=\left[4 \pi \times 14^{2}-2 \pi(0.7)^{2}\right]\) বর্গসেমি
\(=2 \pi\left[2 \times 14^{2}-(0.7)^{2}\right]\) বর্গসেমি
\(=2 \times \frac{22}{7}(392-0.49)\) বর্গসেমি
\(=2 \times \frac{22}{7} \times 391.51\) বর্গসেমি
\(= 2460.92\) বর্গসেমি
অতএব ভুগােলকটির গােলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল \(2460.92\) বর্গসেমি।
14. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
নিরেট লােহার গােলকটির ব্যাসার্ধ \(= 8\) সেমি।
অতএব নিরেট লােহার গােলকটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi 8^{3}\) ঘনসেমি
প্রতিটি নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ \(= 1\) সেমি
অতএব নিরেট গুলির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi \times 1^{3}\) ঘনসেমি
ধরা যাক \(x\) টি গুলি তৈরি করা যাবে।
অতএব, \(x \times \frac{4}{3} \pi \times 1^{3}=\frac{4}{3} \pi \times 8^{3} \Rightarrow x=8^{3}=512\)
অতএর \(512\) টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে।
অতএব নিরেট লােহার গােলকটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi 8^{3}\) ঘনসেমি
প্রতিটি নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ \(= 1\) সেমি
অতএব নিরেট গুলির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi \times 1^{3}\) ঘনসেমি
ধরা যাক \(x\) টি গুলি তৈরি করা যাবে।
অতএব, \(x \times \frac{4}{3} \pi \times 1^{3}=\frac{4}{3} \pi \times 8^{3} \Rightarrow x=8^{3}=512\)
অতএর \(512\) টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে।
15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন : (V.S.A.)
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
আজই Install করুন Chatra Mitra
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) \(\frac{32 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক (b) \(\frac{16 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক (c) \(\frac{8 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক (d) \(\frac{64 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক
(a) \(\frac{32 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক (b) \(\frac{16 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক (c) \(\frac{8 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক (d) \(\frac{64 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক
নিরেট গােলকের ব্যাসার্ধ \(=2 r\) একক
\(\therefore\) নিরেট গােলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi(2 r)^{3}\) ঘনএকক
\(=\frac{4}{3} \pi \times 8 r^{3}\) ঘনএকক \(=\frac{32 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক।
\(\therefore\) (a) \(\frac{32 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক।
\(\therefore\) নিরেট গােলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi(2 r)^{3}\) ঘনএকক
\(=\frac{4}{3} \pi \times 8 r^{3}\) ঘনএকক \(=\frac{32 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক।
\(\therefore\) (a) \(\frac{32 \pi r^{3}}{3}\) ঘনএকক।
(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1: 8 হলে, তাহলে বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) 1 : 2 (b) 1 : 4 (c) 1 : 8 (d) 1 : 16
(a) 1 : 2 (b) 1 : 4 (c) 1 : 8 (d) 1 : 16
ধরি, গােলকদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(r_{1}\) একক এবং \(r_{2}\) একক।
\(\therefore\) গােলকদ্বয়ের আয়তন যথাক্রমে \(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}\) একক এবং \(\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}\) একক।
প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=1: 8\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{4}{3} \pi_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi_{2}^{3}}=\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) গােলকদ্বয়ের বক্তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}\)
\(=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}\)
\(=\left(\frac{r_{1}{r_{2}}\right)^{2}\)
\(=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}=1: 4\)
\(\therefore\) (b) \(1 : 4\)
\(\therefore\) গােলকদ্বয়ের আয়তন যথাক্রমে \(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}\) একক এবং \(\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}\) একক।
প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=1: 8\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{4}{3} \pi_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi_{2}^{3}}=\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) গােলকদ্বয়ের বক্তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}\)
\(=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}\)
\(=\left(\frac{r_{1}{r_{2}}\right)^{2}\)
\(=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}=1: 4\)
\(\therefore\) (b) \(1 : 4\)
(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) \(588 \pi\) বর্গ সেমি (b) \(392 \pi\) বর্গ সেমি (c) \(147 \pi\) বর্গ সেমি (d) \(98 \pi\) বর্গ সেমি।
(a) \(588 \pi\) বর্গ সেমি (b) \(392 \pi\) বর্গ সেমি (c) \(147 \pi\) বর্গ সেমি (d) \(98 \pi\) বর্গ সেমি।
নিরেট অর্ধগােলকের ব্যাসার্ধ \(= 7\) সেমি।
\(\therefore\) নিরেট অর্ধগােলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=3 \pi(7)^{2}\) বর্গসেমি \(=3 . \pi \cdot 49\) বর্গসেমি \(=147. \pi\) বর্গসেমি।
\(\therefore\) \(147 \pi\) বর্গসেমি।
\(\therefore\) নিরেট অর্ধগােলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=3 \pi(7)^{2}\) বর্গসেমি \(=3 . \pi \cdot 49\) বর্গসেমি \(=147. \pi\) বর্গসেমি।
\(\therefore\) \(147 \pi\) বর্গসেমি।
(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্ৰতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16: 9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
(a) 64 : 27 (b) 4 : 3 (c) 27 : 64 (d) 3 : 4
(a) 64 : 27 (b) 4 : 3 (c) 27 : 64 (d) 3 : 4
ধরি, দুটি নিরেট গােলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(r_{1}\) একক ও \(r_{2}\) একক।
\(\therefore\) গােলকদ্বয়ের বক্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে \(4 \pi r_{1}^{2}\) বর্গএকক ও \(4 \pi r_{2}^{2}\) বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore\) তাদের আয়তনের অনুপাত \(=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}\)
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\)\(=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\)
\(=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}=\frac{64}{27}=64: 27\)
\(\therefore\) (a) \(64 : 27\)
\(\therefore\) গােলকদ্বয়ের বক্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে \(4 \pi r_{1}^{2}\) বর্গএকক ও \(4 \pi r_{2}^{2}\) বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore\) তাদের আয়তনের অনুপাত \(=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}\)
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}\)\(=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}\)
\(=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}=\frac{64}{27}=64: 27\)
\(\therefore\) (a) \(64 : 27\)
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
আজই Install করুন Chatra Mitra
(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
(a) 1 একক (b) 2 একক (c) 3 একক (d) 4 একক
(a) 1 একক (b) 2 একক (c) 3 একক (d) 4 একক
ধরি, গােলকটির ব্যাসার্ধ \(=\boldsymbol{r}\) একক
\(\therefore\) গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\) বর্গএকক
\(\therefore\) গােলকটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\) ঘনএকক
প্রশ্নানুসারে,
\(4 \pi r^{2}=3 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} \Rightarrow 1=r \Rightarrow r=1\).
\(\therefore\) (a) \(1\) একক।
\(\therefore\) গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r^{2}\) বর্গএকক
\(\therefore\) গােলকটির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\) ঘনএকক
প্রশ্নানুসারে,
\(4 \pi r^{2}=3 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} \Rightarrow 1=r \Rightarrow r=1\).
\(\therefore\) (a) \(1\) একক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।
বিবৃতিটি মিথ্যা
(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্ৰতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2 : 3
ধরা যাক গােলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(r_{1}\) একক এবং \(r_{2}\) একক।
অতএব \(4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}=4: 9 \)
\(\Rightarrow r_{1}^{2}: r_{2}^{2}=4: 9\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{4}{9} \)
\(\Rightarrow\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow r_{1}: r_{2}=2: 3 \)
\(\therefore\) বিবৃতিটি সত্য।
অতএব \(4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}=4: 9 \)
\(\Rightarrow r_{1}^{2}: r_{2}^{2}=4: 9\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{4}{9} \)
\(\Rightarrow\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow r_{1}: r_{2}=2: 3 \)
\(\therefore\) বিবৃতিটি সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম________ ।
গােলক;
(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ________ ।
1;
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল। _______ \(\pi r^{2}\) বর্গ একক।
12.
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্ৰশ্ন (S.A) :
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
ধরা যাক, নিরেট অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধ \(\boldsymbol{r}\) একক
অতএব অর্ধগােলকটির আয়তন \(=\frac{2}{3} \pi r^{3}\) ঘনএকক
এবং অর্ধগােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=\frac{2}{3} \pi r^{3}\) বর্গএকক
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2}{3} \pi r^{3}=3 \pi r^{2} \Rightarrow r=\frac{9}{2}=4 \cdot 5\)
অতএব, অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধ \(4.5\) একক।
অতএব অর্ধগােলকটির আয়তন \(=\frac{2}{3} \pi r^{3}\) ঘনএকক
এবং অর্ধগােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=\frac{2}{3} \pi r^{3}\) বর্গএকক
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2}{3} \pi r^{3}=3 \pi r^{2} \Rightarrow r=\frac{9}{2}=4 \cdot 5\)
অতএব, অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধ \(4.5\) একক।
(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি।
\(\therefore\) নিরেট গোলকের বক্ৰতলের ক্ষেত্রফল = \(4 \pi r^{2}\) বর্গ সেমি।
আবার চোঙটির উচ্চতা 12 সেমি এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
\(\therefore\) চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r h=2 \pi \times 6 \times 12=144 \pi\)
প্রশ্নানুসারে, \(4 \pi r^{2}=144 \pi\)
বা, \(r^{2}=36\)
বা, \(r=\sqrt{36} \Rightarrow r=6\)
\(\therefore\) r = 6 গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
\(\therefore\) নিরেট গোলকের বক্ৰতলের ক্ষেত্রফল = \(4 \pi r^{2}\) বর্গ সেমি।
আবার চোঙটির উচ্চতা 12 সেমি এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
\(\therefore\) চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=2 \pi r h=2 \pi \times 6 \times 12=144 \pi\)
প্রশ্নানুসারে, \(4 \pi r^{2}=144 \pi\)
বা, \(r^{2}=36\)
বা, \(r=\sqrt{36} \Rightarrow r=6\)
\(\therefore\) r = 6 গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
ধরা যাক, নিরেট অর্ধগােলকটির ব্যাসার্ধ \(r_{1}\) একক এবং নিরেট গােলকটির ব্যাসার্ধ \(r_{2}\) একক।
অতএব, অর্ধগােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=3 \pi r_{1}^{2}\) বর্গএকক। এবং গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r_{2}^{2}\) বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,
\(3 \pi r_{1}^{2}=4 \pi r_{2}^{2} \)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{n_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\frac{4}{3} \) বা, \(\frac{n_{1}}{n_{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \)
\(\Rightarrow r_{1}: r_{2}=2: \sqrt{3}\)
\(\therefore\) অর্ধগােলক এবং গােলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত \(2: \sqrt{3}.\)
অতএব, অর্ধগােলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(=3 \pi r_{1}^{2}\) বর্গএকক। এবং গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(=4 \pi r_{2}^{2}\) বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,
\(3 \pi r_{1}^{2}=4 \pi r_{2}^{2} \)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{n_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\frac{4}{3} \) বা, \(\frac{n_{1}}{n_{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \)
\(\Rightarrow r_{1}: r_{2}=2: \sqrt{3}\)
\(\therefore\) অর্ধগােলক এবং গােলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত \(2: \sqrt{3}.\)
(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(= S\) এবং আয়তন \(= V\) হলে, \(\frac{s^{3}}{v^{2}}\), -এর মান কত তা লিখি। ( \(\pi\)-এর মান না বসিয়ে)
ধরি নিরেট গােলকের ব্যাসার্ধ \(r\) একক।
\(\therefore\) নিরেট গােলকের বতলের ক্ষেত্রফল \((S)=4 \pi r^{2}\) বর্গএকক।
আবার নিরেট গােলকের আয়তন (\(V)=\frac{4}{3} \pi r^{3}\) ঘনএকক
অতএব, \(\frac{s^{3}}{v^{2}}=\frac{\left(4 \pi r^{2}\right)^{3}}{\left(\frac{4}{3} \pi r^{3}\right)^{2}}=\frac{64 \pi^{3} r^{6} \times 9}{16 \pi^{2} r^{6}}=36 \pi\)
\(\therefore \frac{s^{3}}{v^{2}}\)-র মান হবে \(36 \pi\).
\(\therefore\) নিরেট গােলকের বতলের ক্ষেত্রফল \((S)=4 \pi r^{2}\) বর্গএকক।
আবার নিরেট গােলকের আয়তন (\(V)=\frac{4}{3} \pi r^{3}\) ঘনএকক
অতএব, \(\frac{s^{3}}{v^{2}}=\frac{\left(4 \pi r^{2}\right)^{3}}{\left(\frac{4}{3} \pi r^{3}\right)^{2}}=\frac{64 \pi^{3} r^{6} \times 9}{16 \pi^{2} r^{6}}=36 \pi\)
\(\therefore \frac{s^{3}}{v^{2}}\)-র মান হবে \(36 \pi\).
(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্ৰতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।
ধরি গােলকের ব্যাসার্ধ \(r\) একক।
অতএব গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \((\mathrm{S})=4 \pi r^{2}\)
এখন ব্যাসার্ধ \(50\%\) বৃদ্ধি পেলে গােলকটির নতুন ব্যাসার্ধ হবে \(=\left(r+r \times \frac{50}{100}\right)\) একক \(=\frac{3 r}{2}\) একক।
সেক্ষেত্রে, গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(=4 \pi\left(\frac{3 r}{2}\right)^{2}\) বর্গএকক \(=4 \pi \frac{9 r^{2}}{4}\) বর্গএকক \(=\frac{9}{4} \mathrm{~S}\) বর্গএকক।
অতএব, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি \(=\left(\frac{9}{4} \mathrm{~S}-\mathrm{S}\right)\) বর্গএকক \(=\frac{5 S}{4}\) বর্গএকক।
অতএব, বতলের ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি \(=\frac{4}{S} \times 100 \%=\frac{5 S}{4 S} \times 100 \%=125 \%\)
\(\therefore \) বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(125\%\) বৃদ্ধি পাবে।
অতএব গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \((\mathrm{S})=4 \pi r^{2}\)
এখন ব্যাসার্ধ \(50\%\) বৃদ্ধি পেলে গােলকটির নতুন ব্যাসার্ধ হবে \(=\left(r+r \times \frac{50}{100}\right)\) একক \(=\frac{3 r}{2}\) একক।
সেক্ষেত্রে, গােলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(=4 \pi\left(\frac{3 r}{2}\right)^{2}\) বর্গএকক \(=4 \pi \frac{9 r^{2}}{4}\) বর্গএকক \(=\frac{9}{4} \mathrm{~S}\) বর্গএকক।
অতএব, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি \(=\left(\frac{9}{4} \mathrm{~S}-\mathrm{S}\right)\) বর্গএকক \(=\frac{5 S}{4}\) বর্গএকক।
অতএব, বতলের ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি \(=\frac{4}{S} \times 100 \%=\frac{5 S}{4 S} \times 100 \%=125 \%\)
\(\therefore \) বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(125\%\) বৃদ্ধি পাবে।
গণিত প্রকাশ ক্লাস ১০(দশম শ্রেণী)(টেন) সমাধান | Koshe Dekhi 12 Class 10 | গোলক কষে দেখি ১২
আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
