PS বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ \(\angle PRS\) ও \(\angle PQS\)
\(\therefore\) \(\angle PQS \) = \(\angle PRS \) = 65°
\(\therefore\) \(\angle SQP \) = 65°
আবার, RS বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ \(\angle \mathrm{RQS}\) ও \(\angle \mathrm{RPS}\)
\(\therefore\) \(\angle RQS \) = \(\angle RPS \)
\(\Rightarrow \angle \mathrm{RPS}=45^{\circ}\) [\(\because\) \(\angle RQS \) = 45°]
তাহলে, \(\Delta\)PRS-এ, \(\angle RSP \) + \(\angle PRS\) + \(\angle RPS\) = 180°
বা, \(\angle RSP \) + 65° + 45° = 180° [\(\because\) \(\angle RPS\) = 45°]
বা, \(\angle RSP \) = 180° - 65° – 45° = 180° – 110° = 70°
\(\therefore\) \(\angle SQP \) = 65° এবং \(\angle RSP \) = 70°.

দেওয়া আছে, \(\angle XBC \) = \(82^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle ABC \) = 180° - \(\angle XBC \) = 180° - \(82^{\circ}\) = 98°\(\left[\because \angle X B C=82^{\circ}\right]\)
আবার, AB চাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ \(\angle ADB \) ও \(\angle ACB \)
\(\therefore\) \(\angle ADB \) = \(\angle ACB \)
\(\therefore\) \(\angle ACB \) = \(47^{\circ}\)
এখন, \(\triangle ABC \) -এ \(\angle BAC \) + \(\angle ACB \) + \(\angle ABC \) = 180°
বা, \(\angle BAC\) + 47° + 98° = 180°
বা, \(\angle B A C+145^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-145^{\circ}=35^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle BAC \) = 35°

RS বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle RQS \) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle ROS\) = 80° [প্রদত্ত]
\(\therefore \angle \mathrm{RQS}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ROS}\) [ \(\because\) কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণর দ্বিগুন ]
\(=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}\)
এখন, \(\angle ROP \) = \(\angle ROQ\) + \(\angle POQ \) = 60° + 110° [\(\because\) \(\angle QOR \) = 60° এবং \(\angle POQ \) = \(110^{\circ}\)] = \(170^{\circ}\)
তাহলে, \(\angle RSP \) = \(\frac{1}{2} \angle \mathrm{ROP}
[\because \widehat{\mathrm{RQP}}\) বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ \(\angle RSP\) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle ROP\)]
\(=\frac{1}{2} \times 170^{\circ}=85^{\circ}\)
আবার, \(\angle SOQ \) = \(\angle QOR \) + \(\angle SOR \) = 60° + 80° = 140°
তাহলে, \(\angle \mathrm{SPQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{SOQ} \quad[\because \overparen{\mathrm{SRQ}}\) বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ \(\angle SPQ\) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle \mathrm{SOQ}\)]
\(=\frac{1}{2} \times 140^{\circ}=70^{\circ}\)
\(\therefore \triangle P T S-\)এ \(\angle PTS \) + \(\angle SPT \) + \(\angle PST \) = 180°
বা, \(\angle \mathrm{PTS}\) + 70° + 85° = 180° [\(\because \angle \mathrm{SPQ}\) = 70° ও \(\angle RSP \) = 85°]
বা, \(\angle PTS \) = 180° - 70° - 85° = 25° \(\therefore\) \(\angle RQS \) = 40° ও \(\angle QTR \) = \(25^{\circ}\)

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
\(\therefore\) ACQP চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে
\(\angle CAP\) + \(\angle PQC \) = 180° \(\ldots\ldots\) (1)
এবং BPQD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে
\(\angle PBD \) + \(\angle PQD \) = 180° \(\ldots\ldots\) (2)
এখন, (1) ও (2) যােগ করে পাই,
\(\angle C A P+\angle P B D+\angle P Q C+\angle P Q D=180^{\circ}+180^{\circ}\)
\(\angle CAP \) + \(\angle PBD \) + \(\angle PQC \) + \(\angle PQD \) = 360°
বা, \(\angle CAP \) + \(\angle PBD \) + \(\angle CQD\) = 360° [\(\because\) \(\angle PQC \) + \(\angle PQD \) = \(\angle CQD\) = 1 সরলকোণ = 180°] |
বা, \(\angle CAP \) + \(\angle PBD \) + 180° = 360°
বা, \(\angle CAP \) + \(\angle PBD \) = 360° - 180°
বা, \(\angle CAP \) + \(\angle PBD \) = 180°
কিন্তু AC ও BD সরলরেখা দুটির সাধারণ ছেদক AB-এর একই পার্শ্বস্থ দুটি সন্নিহিত কোণ \(\angle CAB \) এবং \(\angle DBA\), যাদের সমষ্টি 180°
\(\therefore\) AC || BD [\(\because\) দুটি সমান্তরাল সরলরেখার সাধারণ ছেদক-এর একই পার্শ্বস্থ দুটি সন্নিহিত কোণের মান 180°]
\(\therefore\) AC || BD. (প্রমাণিত)

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle BAD \) ও \(\angle DCE\)-এর সমদ্বিখণ্ডক দুটি বৃত্তের পরিধির উপর মিলিত হবে।
অঙ্কন : \(\angle BAD\)-এর সমদ্বিখণ্ডক AP অঙ্কন করা হল। ধরি, AP বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করে। P, C যুক্ত করে Q পর্যন্ত বর্ধিত করি।
প্রমাণ : \(\angle BCP \) = \(\angle QCE \) [\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ] \(\ldots\ldots\) (1)
এখন, ADCP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle PAD \) + \(\angle PCD \) = 180° \(\ldots\ldots\)(2)
কিন্তু চিত্রানুসারে, \(\angle PCD\) + \(\angle DCQ \) = 180° \(\ldots\ldots\)(3)
\(\therefore\) (2) ও (3) থেকে পাই, \(\angle PAD \) + \(\angle PCD \) = \(\angle PCD \) + \(\angle DCQ \)
বা, \(\angle PAD\) =\(\angle DCQ\)
বা, \(\angle PAB\) = \(\angle DCQ \) \(\ldots\ldots\)(4) [\(\because\) AP, \(\angle BAD\)-এর সমদ্বিখণ্ডক]।
বা, \(\angle PCB\) = \(\angle DCQ \) [\(\because\) BP চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ]
বা, \(\angle QCE \) = \(\angle DCQ\) [(1) থেকে]
বা, \(\angle ECQ \) = \(\angle DCQ\)
\(\therefore\) CQ, \(\angle DCE\)-এর সমদ্বিখণ্ডক
অর্থাৎ, PQ, \(\angle DCE\)-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ P বিন্দুটি বৃত্তটির পরিধির উপর অবস্থিত।
সুতরাং \(\angle BAD \) ও \(\angle DCE\)-এর সমদ্বিখণ্ডক দুটি বৃত্তের পরিধির উপর মিলিত হয়। (প্রমাণিত)

ABDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।।
\(\therefore\) \(\angle ABD \) + \(\angle ACD \) = 180° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\angle XCA \) + \(\angle ACD \) = 1 সরলকোণ = 180° \(\ldots\ldots\) (2)
তাহলে, (2) থেকে (1) বিয়ােগ করে পাই, \(\angle X C A+\angle A C D-\angle A B D-\angle A C D\)
\(=180^{\circ}-180^{\circ}\)
\(\angle XCA \) - \(\angle ABD \) = 0
বা, \(\angle XCA \) = \(\angle ABD \)
আবার, ABDC চতুর্ভুজের \(\angle BAC \) + \(\angle BDC \) = 180° \(\ldots\ldots\) (3)
এবং \(\angle XAC \) + \(\angle BAC \) = 1 সরলকোণ = 180° \(\ldots\ldots\)(4)
তাহলে, (4) থেকে (3) বিয়ােগ করে পাই, \(\angle B A C+\angle B D C-\angle X A C-\angle B A C\)
\(=180^{\circ}-180^{\circ}\)
\(\angle XAC \) - \(\angle BDC \) = 0
বা, \(\angle XAC \) = \(\angle BDC \)
\(\therefore \triangle \mathrm{XAC}\) ও \(\triangle \mathrm{XBD}\) ত্রিভুজদ্বয়ের \(\angle XCA \) = \(\angle XBD \) [\(\because\) \(\angle ABD \) = \(\angle XBD\) ]
এবং \(\angle XAC \) = \(\angle XDB \)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{XAC}\) ও \(\triangle \mathrm{XBD}\) ত্রিভুজদ্বয়ের দুটি করে কোণ সমান। (প্রমাণিত)

P, R, P, S এবং Q, S যােগ করি।
প্রশ্নানুসারে, PQ || RS; PS এদের ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle SPQ \) = \(\angle RSP \)\(\ldots\ldots\) (1) [\(\because\) একান্তর কোণ]
একইভাবে, PQ || RS; GH এদের ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle PGH \) = \(\angle SHG \) \(\ldots\ldots\) (2) [\(\because\) একান্তর কোণ]
আবার, PRHG চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ। \(\therefore\) \(\angle PGH \) + \(\angle PRH \) = 180° \(\ldots\ldots\) (3)
একইভাবে, QSHG চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ। \(\therefore \angle SQG \) + \(\angle SHG \) = 180° \(\ldots\ldots\)(4)
(3) ও (4) থেকে পাই, \(\angle PGH \) + \(\angle PRH \) = \(\angle SQG \) + \(\angle SHG \)
বা, \(\angle S H G+\angle P R H=\angle S Q G+\angle S H G\)
বা, \(\angle PRH\) = \(\angle SQG \) [(2) থেকে]
বা, \(\angle PRS \) = \(\angle SQP \) \(\ldots\ldots\) (5)
এখন, \(\Delta\)PRS ও \(\Delta\)PQS-এর \(\angle PSR \) = \(\angle QPS \) [(1) থেকে]
\(\angle PRS\) = \(\angle SQP \) [(5) থেকে]
এবং PS সাধারণ বাহু।
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{PRS} \cong \Delta \mathrm{PQS}\) [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) RS = PQ \(\therefore\) PQ = RS (প্রমাণিত)

\(\triangle \mathbf{A B C}\)-এর AB = AC,
\(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ACB \) \(\ldots\ldots\)(1)
এখন, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ABC \) + \(\angle ADC \) = 180° \(\ldots\ldots\)
বা, \(\angle ACB \) + \(\angle ADC \) = 180° \(\ldots\ldots\)(2) [(1) থেকে]
আবার, \(\angle ACB \) + \(\angle ACE \) = 1 সরলকোণ = 180° \(\ldots\ldots\) (3)
(2) ও (3) থেকে পাই, \(\angle ACB \) + \(\angle ADC \) = \(\angle ACB \) + \(\angle ACE \)
বা, \(\angle ADC \) = \(\angle ACE \)
বা, \(\angle DCE \) + \(\angle DEC \) = \(\angle ACD \) + \(\angle DCE \)
[\(\because\) বহিস্থ কোণ = অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি]
বা, \(\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{ACD}\)
\(\therefore\) \(\angle ACD \) = \(\angle DEC \) \([\because \angle D E C=\angle A E C]\)
\(\therefore\) \(\angle ACD \) = \(\angle AEC \) (প্রমাণিত)

BC-চাপের উপর বৃত্তস্থ দুটি কোণ হল
\(\angle BAC\) ও \(\angle BDC \)
\(\therefore\) \(\angle BAC \) = \(\angle BDC\)\(\ldots\ldots\) (1)
CE চাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হল \(\angle CAE \) ও \(\angle CDE\)
\(\therefore\) \(\angle CAE \) = \(\angle CDE \) \(\ldots\ldots\) (2)
এখন, \(\angle FDE\) + \(\angle CDE\) + \(\angle BDC \) = 1 সরলকোণ = 180°
বা, \(\angle CDE \) + \(\angle CDE \) + \(\angle BDC \) = 180° [\(\because\) DE, \(\angle FDC\)-এর সমদ্বিখণ্ডক, \(\therefore\) \(\angle FDE\) = \(\angle CDE\) ]
বা, 2 \(\angle CDE \) + \(\angle BDC \) = 180° \(\ldots\ldots\) (3)
আবার, \(\angle GAE \) + \(\angle CAE \) + \(\angle BAC \) = 1 সরলকোণ = 180° \(\ldots\ldots\)(4)
(3) ও (4) থেকে পাই, 2 \(\angle CDE \) + \(\angle BDC \) = \(\angle GAE \) + \(\angle CAE \) + \(\angle BAC \)
বা, \(2 \angle C D E+\angle B D C=\angle G A E+\angle C A E+\angle B D C\) বা, 2 \(\angle CDE \) = \(\angle GAE \) + \(\angle CAE \) [(1) থেকে)
বা, 2 \(\angle CAE \) = \(\angle GAE \) [ চিত্রানুসারে ]
বা, \(\angle CAE \) = \(\frac{1}{2} \angle \mathrm{GAC}\)
\(\therefore\) AE, \(\angle GAC\)-এর সমদ্বিখণ্ডক।
\(\therefore\) AE, \(\angle BAC \) -এর বহির্সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

\(\mathrm{BE} \perp \mathrm{AC}\), \(\therefore\) \(\angle BEC \) = 90°
CF \(\perp\) AB, \(\therefore\) \(\angle BFC \) = 90° |
\(\therefore\) \(\angle BEC \) = \(\angle BFC \)
অর্থাৎ BC বাহুর একই পার্শ্বে দুটি বিন্দু E ও F-এ উৎপন্ন দুটি কোণ সমান।
\(\therefore\) B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)
এখন, \(\triangle AEF \)-এর \(\angle AEF \) = \(\angle AEB \) - \(\angle BEF \)
= 90° - \(\angle BEF \) [\(\because\) \(\angle AEB \) = 90°]
= 90° - \(\angle BCF\) [\(\because\) \(\angle BEF \) = \(\angle BCF\), একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
= \(\angle CBF \) [\(\because\) \(\angle BFC \) = 90°]
আবার, \(\angle AFE \) = \(\angle AFC \) - \(\angle CFE \)
= 90° - \(\angle CFE \) [\(\because\) \(\angle AFC \) = 90°]
= 90° - \(\angle CBE \) [\(\because\) \(\angle CFE \) = \(\angle CBE\), একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
= \(\angle BCE\) [\(\because\) \(\angle BEC \) = 90°]
\(\therefore\) \(\triangle AEF \) ও \(\triangle ABC\)-এর \(\angle AEF \) = \(\angle ABC \) [\(\because\) \(\angle CBF\) = \(\angle ABC\) ]
এবং \(\angle AFE \) = \(\angle ACB \) [\(\because\) \(\angle BCE\) = \(\angle ACB\) ]
অর্থাৎ \(\triangle AEF \) ও \(\triangle ABC\)-এর দুটি করে কোণ সমান। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি AD-কে E বিন্দুতে এবং BC-কে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
প্রমাণ: চিত্রানুসারে, \(\angle AEF \) + \(\angle DEF \) = 1 সরলকোণ = 180° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\angle ABC \) + \(\angle BCD\) = 180° \(\ldots\ldots\) (2) [\(\because\) এরা ABCD সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ]
বা, 180° - \(\angle AEF \) + \(\angle BCD\) = 180° [\(\because\) ABEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ,
\(\because \angle \mathrm{ABF}+\angle \mathrm{AEF}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{ABF}=180^{\circ}-\angle \mathrm{AEF}\)
বা, \(\left.\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{AEF}\right]\)
বা, \(\angle \mathrm{DEF}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}\)
\(\left[\because 180^{\circ}-\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{DEF}\right]\)
বা, \(\angle \mathrm{DEF}+\angle \mathrm{FCD}=180^{\circ}\)
অর্থাৎ, E F C D চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
\(\therefore\) E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

ABCD-একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। \(\Delta\)BCP এবং \(\Delta\)CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, P, T, R সমরেখ।
প্রমাণ : CP জ্যা দ্বারা গঠিত \(\angle CBP \) ও \(\angle CTP\) দুটি একই বৃত্তস্থ কোণ,
\(\therefore\) \(\angle CBP \) = \(\angle CTP \) \(\ldots\ldots\) (1)
CR জ্যা দ্বারা গঠিত \(\angle CDR \) ও \(\angle CTR \) দুটি বৃত্তস্থ কোণ,
\(\therefore\) \(\angle CDR \) = \(\angle CTR \) \(\ldots\ldots\) (2)
এখন, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ,
\(\therefore\) \(\angle ABC \) + \(\angle ADC \) = 180°
[\(\because\) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।]
বা, 180° - \(\angle CBP\) + 180° - \(\angle CDR\) = 180° [\(\because\) \(\angle ABC\) + \(\angle CBP \) = 180° এবং \(\angle ADC \) + \(\angle CDR \) = 180°]
বা, \(\angle CBP \) + \(\angle CDR \) = 180°
বা, \(\angle CTP \) + \(\angle CTR\) = 180° [ (1) ও (2) থেকে]
\(\therefore\) \(\angle PTR\) = সরলকোণ
\(\therefore\) P T, R সমরেখ। (প্রমাণিত)

ধরি, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর BC, CA ও AB বাহুত্রয়ের উপর উহার বিপরীত শীর্ষ থেকে অঙ্কিত লম্বত্রয় যথাক্রমে AD, BE ও CF পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, O, ABC-এর লম্ববিন্দু।
D, E; E, F এবং F, D যুক্ত করি।
তাহলে, \(\Delta\)DEF, \(\Delta\)ABC-এর পাদত্রিভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, O, \(\Delta\)DEF-এর অন্তঃকেন্দ্র।
প্রমাণ : A, C, D, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [কারণ FD-এর একই পার্শ্বস্থ C ও A দুটি বিন্দুতে উৎপন্ন দুটি কোণ \(\angle DCF \) ও \(\angle DAF \) পরস্পর সমান, \(\angle DCF \) = 90° - \(\angle ABD \) = \(\angle BAD\) = \(\angle FAD\)
এখন, AF জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ দুটি কোণ হল \(\angle ADF \) ও \(\angle ACF\)
\(\therefore\) \(\angle ADF \) = \(\angle ACF \)
= 90° - \(\angle EAF \) [\(\because\) \(\angle AFC\) = 90° \(\therefore\) \(\angle ACF \) + \(\angle CAF \) = 90°]
=\(\angle ABE\) [\(\because\) \(\angle AEB \) = 90°, \(\therefore\) \(\angle ABE \) + \(\angle EAB \) = 90°]
= \(\angle ADE \) [\(\because\) A, B, D, E বৃত্তস্থ এবং \(\angle ABE \) ও \(\angle ADE\), AE জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
অর্থাৎ, \(\angle ODF \) = \(\angle ODE\), \(\therefore\) OD, \(\angle EDF\)-এর সমদ্বিখণ্ডক।
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, OE ও OF যথাক্রমে \(\angle DEF \) ও \(\angle DFE\)-এর সমদ্বিখণ্ডক।
সুতরাং, O, \(\Delta\)DEF-এর কোণগুলির অন্তর্দ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত এবং অন্তর্দ্বিখন্ডকগুলির ছেদবিন্দু।
\(\therefore\) O, \(\Delta\)DEF-এর অন্তঃকেন্দ্র। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AC, \(\angle BAD\)-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। AD-কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হয়েছে যে, DE = AB।
প্রমাণ করতে হবে যে, CE = CA
প্রমাণ : ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ABC \) + \(\angle ADC \) = 180° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\angle ADC \) + \(\angle CDE \) = 1 সরলকোণ = 180° \(\ldots\ldots\) (2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
\(\angle ABC \) + \(\angle ADC \) = \(\angle ADC \) + \(\angle CDE \)
\(\Rightarrow\) \(\angle ABC \) = \(\angle CDE \) \(\ldots\ldots\) (3)
এখন, \(\triangle ABC \) ও \(\triangle CDE\)-এর মধ্যে AB = DE (প্রদত্ত)।
BC = CD [\(\because\) BC জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ \(\angle BAC \) এবং CD জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ \(\angle CAD \) এবং \(\angle BAC\) = \(\angle CAD\), \(\therefore\) BC = CD]
এবং অন্তর্ভুক্ত \(\angle ABC \) = অন্তর্ভুক্ত \(\angle CDE \) [(3) থেকে]
\(\therefore\) \(\triangle ABC \) \(\cong\) \(\triangle CDE\) [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) CA = CE [\(\because\) সর্বসম \(\Delta\) দ্বয়ের অনুরূপ বাহু৷]
\(\therefore\) CE = CA (প্রমাণিত)।

ধরি, C কেন্দ্রীয় বৃত্তটি O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের O বিন্দুগামী। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PAR, O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
P, B ও B, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, PR = PB
অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, R যুক্ত করি
প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OB = OR [\(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\therefore\) \(\angle OBR \) = \(\angle ORB \) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, PAOB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle PAO \) + \(\angle PBO \) = 180° \(\ldots\ldots\)(2)
এখন, \(\angle PAO \) + \(\angle OAR \) = 1 সরলকোণ = 180° . \(\ldots\ldots\) (3)
তাহলে, (2) ও (3) থেকে পাই, \(\angle PAO \) + \(\angle PBO \) = \(\angle PAO\) + \(\angle OAR \)
বা, \(\angle PBO \) = \(\angle OAR \)
বা, \(\angle PBO \) = \(\angle ORA \) [\(\because\) OA = OR, \(\therefore\) \(\angle OAR \) = \(\angle ORA\)] \(\ldots\ldots\) (4)
এখন \(\angle PBR \) = \(\angle PBO \) + \(\angle OBR \) [চিত্রানুসারে)
= \(\angle ORA \) + \(\angle ORB \) [(4) ও (1) থেকে] = \(\angle PRB\)
\(\therefore\) \(\Delta\)PBR-এর \(\angle PBR \) = \(\angle PRB\), \(\therefore\) PR = PB (প্রমাণিত)

ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ। \(\therefore\) AB = BC = CD = DE = EA
প্রমাণ করতে হবে যে, পঞ্চভুজের যে-কোনাে চারটি শীর্ষবিন্দু, ধরি, A, B, C, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন : A, C এবং B, E যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\triangle ABC \) ও \(\triangle ABE\)-এর মধ্যে
BC = AE [\(\because\) ABCDE সুষম পঞ্চভুজ ]
AB সাধারণ বাহু এবং \(\angle ABC \) = \(\angle BAE \) [\(\because\) সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলি সমান]
\(\therefore\) \(\triangle ABC \) \(\cong\)\(\triangle ABE \) [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) \(\angle ACB \) =\(\angle AEB\)
অর্থাৎ, AB বাহুর একই পাশে অবস্থিত C ও E বিন্দু দুটিতে উৎপন্ন কোণ দুটি সমান।
\(\therefore\) A, B, C, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অনুরূপভাবে, যে-কোনাে চারটি বিন্দু নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে, বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
\(\therefore\) একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনাে চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ABC \) + \(\angle ADC \) = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, \(\angle ABC \) + 120° = 180°
বা, \(\angle ABC \) = 60°
আবার, AOB একটি ব্যাস। \(\therefore\) \(\angle ACB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) = 90°
তাহলে, \(\Delta\)ABC-এ \(\angle BAC \) + \(\angle ABC \) + \(\angle ACB \) = 180°
বা, \(\angle\)BAC + 60° + 90° = 180° [\(\because\) \(\angle ABC \) = 60°, \(\angle ACB \) = 90°]
বা, \(\angle BAC \) = 180° - 150° = 30°
\(\because\) (c) উত্তরটি সঠিক।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ব্যাস।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle ACB \) = 90°[অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
এখন, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ADC \) + \(\angle ABC \) = 180°
বা, \(\angle ADC \) + 65° = 180°
বা, \(\angle ADC \) = 180° – 65° = 115°
\(\therefore\) \(\Delta\)ACD-এ \(\angle ACD \) + \(\angle ADC \) + \(\angle CAD \) = 180°
বা, \(\angle ACD \) + 115° + 40° = 180°
বা, \(\angle ACD \) = 180° – 155°
বা, \(\angle ACD \) = 25°
\(\therefore\) \(\angle\)BCD = \(\angle ACB \) + \(\angle ACD \) = 90° + 25° = \(115^{\circ}\),
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

AOB বৃত্তটির ব্যাস।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) = \(90^{\circ}\) [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
এখন, \(\angle ABC \) = 180° - (\(\angle\)BAC + \(\angle\)ACB)
= 180° - (25° + 90°) = 180° – \(115^{\circ}\) = 65°
আবার, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। \(\therefore\) \(\angle ADC \) + \(\angle ABC \) = 180°
বা, \(\angle ADC \) + 65° = 180°
বা, \(\angle ADC \) = 180° – 65° = \(115^{\circ}\)
AB || DC এবং AC তাদের ভেদক।
\(\therefore\) \(\angle ACD \) = একান্তর \(\angle BAC \) = 25°
\(\therefore\) \(\angle\)DAC = 180° - (\(\angle\)ADC + \(\angle\)ACD)
\(\therefore\) 180° - (115° + 25°) = 180° – 140° = 40°
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ABC \) + \(\angle ADC \) = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 92° + \(\angle ADC \) = 180° [\(\because\) \(\angle ABC \) = 92° প্রদত্ত]
বা, \(\angle ADC \) = 180° – 92° = 88°
আবার, দেওয়া আছে, AE || CD এবং AD ভেদক।
\(\therefore\) \(\angle CDA \) = একান্তর \(\angle\)DAE
বা, 88° = \(\angle DAE \) [\(\because \angle\)CDA = 88°]
\(\therefore\) \(\angle\)DAE = 88°
\(\therefore\) \(\angle DAF \) =\(\angle\)DAE + \(\angle EAF \) = 88° + \(20^{\circ}\) = 108° [\(\because \angle \mathrm{DAE}=88^{\circ}\)]
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

C ও D বিন্দু দুটি যােগ করা হল (চিত্র দেখাে)।
যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক,
সুতরাং \(\angle BAD + \angle BCD = 180°\)
বা, \(75^{\circ}+B C D=180^{\circ}\left(\because \angle B A D=75^{\circ}\right)\)
বা, \(\angle B C D=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle D C F=180^{\circ}-\angle B C D=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle D C F+\angle D E F=180^{\circ} \quad\) বা, \(75^{\circ}+\angle D E F=180^{\circ}\)
বা, \(\angle D E F=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}\)
\(\therefore\) (d) নং সঠিক।

মিথ্যা। কারণ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরম্পর সম্পূরক।

সত্য।

সমবৃত্তস্থ

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক,
অর্থাৎ বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°।
যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান, সুতরাং বৃত্তস্থ সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ 90° হবে।
\(\therefore\) বৃত্তস্থ সামান্তরিক আয়তক্ষেত্র হবে।

সমবৃত্তস্থ

ARBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ARB \) + \(\angle ACB \) = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 150° + \(\angle ACB \) = 180°
বা, \(\angle ACB \) = 180° - 150° = 30°
আবার, \(\angle ACD \) = \(\angle ACB \) + \(\angle BCD \) = 1 সরলকোণ = 180°
বা, 30° + \(\angle\)BCD = 180°
বা, \(\angle BCD \) = 180° – 30°
বা, \(\angle\)BCD = 150°
এখন, Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(\angle\)BCD একটি বৃত্তস্থ কোণ এবং প্রবৃদ্ধ \(\angle BQD \) তার কেন্দ্রস্থ কোণ। \(\therefore\) প্রবৃদ্ধ \(\angle BQD \) = 2 \(\angle BCD \)
বা, \(360^{\circ}-\angle \mathrm{BQD}=2 \angle \mathrm{BCD}\)
বা, 360° - \(x^{\circ}=2 \times 150^{\circ}\)
বা, \(360^{\circ}-x^{\circ}=300^{\circ}\) বা, \(x^{\circ}=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}\)
\(\therefore\) \(x = 60\)

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ADPQ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ADP \) + \(\angle AQP \) = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 84° + \(\angle AQP \) = 180° [\(\because\) \(\angle\)ADP = 84°]
বা, \(\angle AQP \) \(= 180° – 84° = 96°\)
এখন, \(\angle BQP \) + \(\angle AQP \) = 1 সরলকোণ = 180°
বা, \(\angle BQP \) + \(96^{\circ}\) = 180° [\(\because\) \(\angle\)AQP = 96°]
বা, \(\angle BQP \) = 180° – 96° = 84°
আবার, BQPC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore \angle \mathrm{BCP}+\angle \mathrm{BQP}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{BCP}+84^{\circ}=180^{\circ}\) [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, \(\angle BCP \) \(= 180° - 84° = 96°\)
এখন, \(\angle DPQ \) + \(\angle DAQ \) = 180°
বা, \(\angle\)DPQ + 80° = 180° বা, \(\angle DPQ \) = 180° - 80° = 100°
\(\therefore\) \(\angle DPQ \) + \(\angle QPC \) = 1 সরলকোণ = 180°
বা, 100° + \(\angle QPC \) = 180°
বা, \(\angle QPC \) = 180° - 100° বা, \(\angle QPC \) = 80°
আবার, \(\angle QPC \) + \(\angle QBC \) = 180° [\(\because\) BQPC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]
বা, \(80^{\circ}\) + \(\angle QBC \) = 180°
বা, \(\angle QBC \) = 180° - 80°
বা, \(\angle QBC \) = 100°
\(\therefore\) \(\angle QBC \) = 100°, \(\angle BCP \) = 96°

\(\angle DPC \) = \(\angle APB \) [চিত্রানুসারে।
= 180° - (\(\angle\)PAB + \(\angle\)PBA)
\(= 180° – (60° + 80°) = 180° - 140° = 40°\)
আবার, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
\(\therefore\) \(\angle ADC \) + \(\angle ABC \) = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, \(\angle ADC \) \(+ 80° = 180°\)
বা, \(\angle ADC \) \(= 180° - 80° = 100°\)
\(\therefore\) \(\angle QDA \) = 100°
\(\therefore\) \(\angle BQC \) = \(\angle AQD \)
\(=180^{\circ}-(\angle \mathrm{QAD}+\angle \mathrm{QDA})\)
\(= 180° – (60° + 100°)\) [\(\because\) \(\angle\)QAD = 60° (প্রদত্ত), \(\angle QDA \) = 100°]
\(= 180° – 160° = 20°\)
\(\therefore\) \(\angle DPC \) = 40° এবং \(\angle BQC \) = 20°

দেওয়া আছে, DC || EB এবং CE এদের ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle DCE \) = \(\angle BEC\) [\(\because\)একান্তর কোণ] \(\ldots\ldots \) (1)
এখন, \(\angle AOB \) = 2 \(\angle ACB \) [ \(\because\) কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, 80° = 2\(\angle ACB\) [\(\because\) \(\angle AOB \) = 80° প্রদত্ত]
বা, \(\angle ACB \) = \(\frac{80^{\circ}}{2}=40^{\circ}\) এখন, \(\angle BOC \) = 180° - \(\angle AOB \) = 180° – 80° = 100°
এখন, BC জ্যা দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle BOC \) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle B E C\)
\(\therefore\) \(\angle BEC \) = \(\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}\) [\(\because\) \(\angle B O C\) = 100°]
\(\therefore\) \(\angle ECD \) = 50° [(1) থেকে]
এখন, \(\angle B C D\) = \(\angle BCA\) + \(\angle ACE \) + \(\angle ECD \) = 40° + 10 + 50° = 100°
আবার, \(\angle BED \) + \(\angle BCD\) = 180° [\(\because\) BCDE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]
বা, \(\angle BED \) = 180° - \(\angle BCD\)
\(=40^{\circ}+10^{\circ}+50^{\circ}=100^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle BED\) = 80°

দেওয়া আছে, \(\angle AOD \) = 140°,
\(\therefore\) প্রবৃদ্ধ \(\angle AOD \) = 360° - 140° = 220°
আবার, \(\widehat{A B D}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ \(\angle AOD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ACD\)
\(\therefore\) প্রবৃদ্ধ \(\angle AOD \) = 2 \(\angle ACD \)[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 220° = 2 \(\angle ACD \)
বা, 2 \(\angle ACD \) = 220°
বা, \(\angle \mathrm{ACD}=\frac{220^{\circ}}{2}=110^{\circ}\)
দেওয়া আছে, \(\angle CAB \) = 50°
এখন, \(\Delta\)ACE-এ \(\angle AEC \) + \(\angle EAC \) + \(\angle ACE \) = 180°
বা, \(\angle AEC \) + 50° + 110° = 180°
বা, \(\angle AEC \) = 180° – 50° - 110° = 180° – 160° = 20°
\(\therefore\) \(\angle BED \) = 20°