1 বছর 6 মাস \(=(1 \times 12+6)\) মাস \(=18\) মাস
4 মাস এবং 1 বছর 6 মাসের অনুপাত = \(4:(12+6)=4: 18=2: 9\)
\(\therefore\) অনুপাতটি লঘু অনুপাত।

1 টাকা 25 পয়সা \(=(1 \times 100+25)\) পয়সা \(=125\) পয়সা
75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত = \(75: 125=3: 5\)
\(\therefore\) অনুপাতটি লঘু অনুপাত 1 অনুপাত ।

0.6 মিটার \(=(0.6 \times 100)\) সেমি
60 সেমি এবং 0.6 মিটারের অনুপাত \(=60:(0.6 \times 100)=60: 60=1: 1\)
\(\therefore\) অনুপাতটি সমানুপাত।

1.2 কিগ্রা \(=\frac{1.2}{10} \times 1000\) গ্রাম \(=1200\) গ্রাম
1.2 কিগ্রা ও 60 গ্রামের অনুপাত \(=1200: 60=20: 1\)
\(\therefore\) অনুপাতটি গুরু অনুপাত।

\(P\) কিগ্রা \(=P \times 1000\) গ্রাম \(=1000 p\) গ্রাম
\(p\) কিগ্রা ও \(q\) গ্রামের অনুপাত \(=1000 \mathrm{p}: \mathrm{q}\)

সম্ভব।
যখন উভয়ই সমজাতীয় রাশিতে প্রকাশ করা যাবে অর্থাৎ একই এককে আনলে দুটিই দিন বা দুটিই মাসে।

সাম্যানুপাত হবে ।

\(\frac{a}{b}: c, \frac{b}{c}: a, \frac{c}{a}: b\) -অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত \(=\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a}: c \times a \times b=1:
a b c\).

ধরি, \(x^2 : yz\) এবং a; b অনুপাতের মিশ্র অনুপাত \(xy : z^2\) হবে।
\(\therefore x^{2} \times a: y z \times b=x y: z^{2}\)
বা, \(\frac{x^{2} a}{y z b}=\frac{x y}{z^{2}} \)
বা, \(\quad \frac{a}{b}=\frac{x y \times y z}{z^{2} \times x^{2}}=\frac{y^{2}}{x
z}=y^{2}: x z\)
বা, \(a: b=y^2: x z\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অনুপাত = \(y^{2}: x z\).

\(x^{2}: \frac{y z}{x}\) -এর ব্যস্ত অনুপাত \(=\frac{yz}{x}: x^{2}\)
\(=\frac{y z}{x} \times \frac{1}{x^{2}}=\frac{y z}{x^{3}}\)
\(y^{2}: \frac{z x}{y}\) -এর ব্যস্ত অনুপাত \(=\frac{z x}{y}: y^{2}\)
\(=\frac{z x}{y} \times \frac{1}{y^{2}}=\frac{z x}{y^{3}}\)
\(z^{2}: \frac{y x}{z}\)-এর ব্যস্ত অনুপাত \(=\frac{yx}{z} \cdot z^{2}\)
\(=\frac{y x}{z} \times \frac{1}{z^{2}}=\frac{y x}{z^{3}}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতসমূহের যৌগিক অনুপাত \(=\frac{y z \times z x \times y x}{x^{3} \times y^{3} \times z^{3}}=\frac{1}{x y z}=1: x y z\)
\(\therefore\) \(x^{2}: \frac{y z}{x}, y^{2}: \frac{z x}{y}, z^{2}: \frac{y x}{z}\) অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতসমূহের যৌগিক অনুপাত হল \(1: x y z\)।

নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত \( = 4 \times 5 \times 9:5 \times 7 \times 11 = 36:77\)

নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত \( = (x + y) \times \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \times {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}:\)\((x - y) \times {(x + y)^2} \times \left( {{x^4} - {y^4}} \right)\)
\( = (x + y)\left( {{x^2} + {y^2}} \right){(x + y)^2}{(x - y)^2}:\)\((x - y){(x + y)^2}\)× \(\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\)
\( = (x + y)\left( {{x^2} + {y^2}} \right){(x + y)^2}{(x - y)^2}:\)\((x - y){(x + y)^2}\).\((x^{2}+y^{2}) \cdot\left(x^{2}-y^{2}\right)\)
\( = (x + y){(x - y)^2}:(x - y) \cdot (x + y)(x - y)\)
\( = {(x - y)^2}:{(x - y)^2} = 1:1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত \(= 1:1\)

\(\frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \quad A: B=6: 7 \quad B: C=8: 7\)
\(\Rightarrow \frac{A}{C}=\frac{6}{7} \times \frac{8}{7} \quad \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{6}{7} \quad \Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{8}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{A}{c}=\frac{48}{49}\) \(\therefore A: C=48: 49\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(A: C=48: 49\).

প্রদত্ত আছে, \(A: B=2: 3, B: C=4: 5\) এবং \(C: D=6: 7\);
\(\therefore \quad \frac{A}{B}=\frac{2}{3}, \frac{B}{C}=\frac{4}{5}\) এবং \(\frac{C}{D}=\frac{6}{7}\)
\(\therefore \quad \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7}\)
বা, \(\frac{A}{D}=\frac{16}{35}\)
\(\because A: D=16: 35\)
\(\therefore\) নিৰ্ণেয় \(A: D=16: 35\)

A: B = 3 : 4 ;
B : C = 2 : 3
= \((2 \times 2):(3 \times 2)\) [এখানে B কে সমান করা হয়েছে]
= 4 : 6
A: B : C = 3 : 4 : 6
\(\therefore\) নির্ণেয় \(A: B: C=3: 4: 6\)

\(x: y=(2: 3) \times 4=8: 12\)
\(y: z=(4: 7) \times 3=12: 21\) [এখানে y-কে সমান করা হয়েছে]
\(\therefore x: y:
z=8: 12: 21\)

\(x: y=3: 4\)
বা, \(\frac{x}{v}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{3 k}{4 k}[k \neq 0]\)
ধরি, \(x = 3k, y = 4k\).
এখন, \((3 y-x):(2 x+y)=\frac{3 y-x}{2 x+y}=\frac{3 \times 4 k-3 k}{2 \times 3 k+4
k}=\frac{9 k}{10 k}=\frac{9}{10}=9: 10\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অনুপাত \(9: 10\)

a : b = 8 : 7
মনেকরি, a = 8k, b = 7k যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা।
বামপক্ষ = (7a - 3b) : (11a - 9b)
\(=(7 \times 8k-3 \times 7 k):(11 \times 8k-9 \times 7 k)\)
= (56k - 21k) : (88k - 63k)
= 35k : 25k
\(=35: 25\)
= 7 : 5 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

\(p : q = 5 : 7\)
বা, \(\frac{p}{q}=\frac{5}{7}\)
\(\therefore\) ধরি, \(p = 5k\) এবং \(q = 7k\).
আবার, \(p - q = - 4\)
বা, \(5k - 7k = - 4\)
বা, \(- 2k = -4\)
বা, \(k=\frac{-4}{-2}\)
বা, \(k = 2\).
\(\therefore p = 5 \times 2 = 10\) এবং \(q = 7 \times 2 = 14\).
\(\therefore 3 p+4 q=3 \times 10+4 \times 14=30+56=86\).
\(\therefore\) নির্ণেয় মান = 86.

\((5x - 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12\)
বা, \(\frac{5 x-3 y}{2 x+4 y}=\frac{11}{12} \quad\)
বা, \(60 x-36 y=22 x+44 y\)
বা, \(60 x-22 x=44 y+36 y\)
বা, \(38x = 80y\)
\(\therefore x: y=40: 19\)

\(\frac{{3a + 7b}}{{5a - 3b}} = \frac{5}{3}\)
বা, 25a - 15b = 9a + 21b
বা 25a - 9a = 21b + 15b
বা, 16a = 36b
বা, \(\frac{a}{b} = \frac{{36}}{{16}}\) \(=\frac{9}{4}\)
\(\therefore a:b = 9:4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(a: b=9: 4\)

\(\frac{{7x - 5y}}{{3x + 4y}} = \frac{7}{{11}}\)
বা, \(77 x-55 y=21 x+28 y\)
বা, \(77 x-21 x=28 y+55 y\)
বা, \(56 x=83 y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{{83}}{{56}}\)
ধরি, \(x=83 \mathrm{k}, \mathrm{y}=56 \mathrm{k}\) যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা।
বামপক্ষ = \((3 x-2 y):(3 x+4 y)\)
\(=(3 \times 83 \mathrm{k}-2 \times 56 \mathrm{k}):(3 \times 83 \mathrm{k}+4 \times 56 \mathrm{k})\)
\(=(249k-112 \mathrm{k}):(249 \mathrm{k}+224 \mathrm{k})\)
\(=137 \mathrm{k}: 473 \mathrm{k}=137: 473=\)ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

\((10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5\)
বা, \(\frac{10 x+3 y}{5 x+2 y}=\frac{9}{5} \quad\)
বা, \(50 x+15 y=45 x+18 y\)
বা, \(5 x=3 y \quad\)
বা, \(x=\frac{3 y}{5}\)
বামপক্ষ =\((2 x+y):(x+2 y)\)
\(=\frac{2 x+y}{x+2 y}\)
\(=\frac{2 \times \frac{3y}{5}+y}{\frac{3 y}{5}+2 y}\)
\(=\frac{\frac{6 y+5 y}{5}}{\frac{3 y+10 y}{5}}\)
\(=\frac{\frac{11 y}{5}}{\frac{13 y}{5}}\)
\(=\frac{11 y}{5} \times \frac{5}{13y}\)
\(=\frac{11}{13}=11: 13\) = ডানপক্ষ
\(\therefore (2x + y) : (x + 2y) = 11: 13.\) (প্রমাণিত)

মনে করি, 2 : 5 অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে \(x\) যােগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে।
\(\therefore\) \((2+x):(5+x)=6: 11\)
বা, \(\frac{2+x}{5+x}=\frac{6}{11}\)
বা, \(22+11 x=30+6 x\)
বা, \(11 x-6 x=30-22\)
বা, \(5 x=8\)
বা, \(x=\frac{8}{5}\) \(\therefore x=\frac{8}{5}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যা \(\frac{8}{5}\)
\(\therefore\) উভয় পদের সঙ্গে \(\frac{8}{5}\) যােগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে।

মনে করি, \(a: b\) অনুপাতের প্রত্যেকটি পদ থেকে k বিয়ােগ করলে, অনুপাতটি \(m: n\) হয়।
সুতরাং \(\frac{a-k}{b-k}=\frac{m}{n}\)
বা, \(a n-k n=b m-k m\)
বা, \(k m-k n=b m-a n\)
বা, \(k(m-n)=b m-a n\)
বা, \(k=\frac{b m-a n}{m-n}\)
উত্তর : উভয় পদ থেকে \(\frac{b m-a n}{m-n}\) বিয়ােগ করতে হবে।

ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি \(x\).
প্রশ্নানুসারে, \((4+x) : (7 - x) = 2 \times 5: 3 \times 4\) [\(\because\) \(2 : 3\) এবং \(5 : 4\) অনুপাত দুটির যৌগিক অনুপাত \(2 \times 5:3 \times 4\)]
বা, \(\frac{4+x}{7-x}=\frac{2 \times 5}{3 \times 4} \quad\)
বা, \(\frac{4+x}{7-x}=\frac{5}{6} \quad\)
বা, \(24+6 x=35-5 x \)
বা, \(6 x+5 x=35-24\)
বা, \(11 x=11\)
বা, \(x=\frac{11}{11}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যাটি = 1.