WBBSE Madhyamik Class 10(Ten) (X)Math Solution Of Chapter 1, Exercise 1.2 Quadratic Equation | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 Class 10 | গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ১০(টেন) কষে দেখি 1.2 | Ganit Prakash somadhan Class 10
Share this page using :
Class 10 কষে দেখি 1.2 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২ | কষে দেখি - 1.2
1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মান গুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি :
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্রআজই Install করুন Chatra Mitra
(i) \(x^{2}+x+1=0\), 1 ও – 1
\(x^{2}+x+1=0\), 1 ও – 1
সমীকরণ টিতে \(x=1\) বসিয়ে পাই, \(1^{2}+1+1=3\) এবং
\(x=-1\) বসিয়ে পাই, \((-1)^{2}+(-1)+1=1-1+1=1\)
সুতরাং, \(x^{2}+x+1=0\) সমীকরণটি \(x=1\) ও \(x=-1\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না ।
\(\therefore\) তাই, \(x^{2}+x+1=0\) সমীকরণের বীজ 1 ও \((- 1)\) হওয়া সম্ভব নয় ।
সমীকরণ টিতে \(x=1\) বসিয়ে পাই, \(1^{2}+1+1=3\) এবং
\(x=-1\) বসিয়ে পাই, \((-1)^{2}+(-1)+1=1-1+1=1\)
সুতরাং, \(x^{2}+x+1=0\) সমীকরণটি \(x=1\) ও \(x=-1\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না ।
\(\therefore\) তাই, \(x^{2}+x+1=0\) সমীকরণের বীজ 1 ও \((- 1)\) হওয়া সম্ভব নয় ।
(ii) \(8 x^{2}+7 x=0\), 0 ও – 2
\(8 x^{2}+7 x=0\), 0 ও – 2
\(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(8 \times 0^{2}+7 \times 0=0=0+0=0\) এটি সিদ্ধ
\(x=-2\) বসিয়ে পাই,
\(8(-2)^{2}+7 \cdot(-2)=32-14=18\)এটি সিদ্ধ নয়।
\(\therefore\) তাই \(8 x^{2}+7 x=0\) সমীকরণের একটি বীজ 0 হলেও অপর বীজটি \(( - 2)\) নয় ।
\(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(8 \times 0^{2}+7 \times 0=0=0+0=0\) এটি সিদ্ধ
\(x=-2\) বসিয়ে পাই,
\(8(-2)^{2}+7 \cdot(-2)=32-14=18\)এটি সিদ্ধ নয়।
\(\therefore\) তাই \(8 x^{2}+7 x=0\) সমীকরণের একটি বীজ 0 হলেও অপর বীজটি \(( - 2)\) নয় ।
(iii) \(x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}, \frac{5}{6}\) ও \(\frac{4}{3}\)
\(x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}, \frac{5}{6}\) ও \(\frac{4}{3}\)
\(x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}\)
বা,\(\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{13}{6}\)
বা, \(6 x^{2}-13 x+6=0\)
\(x=\frac{5}{6}\) বসিয়ে পাই,
\(=6 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}-13 \times \frac{5}{6}+6\)
= \(6 \times \frac{25}{36}-\frac{65}{6}+6\)
= \(\frac{25}{6}+6 - \frac{65}{6}=\frac{25+36-65}{6}=\frac{-4}{6}\)
\(x=\frac{4}{3}\) বসিয়ে পাই,
আবার, \(6 \times\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-13 \times \frac{4}{3}+6\)
= \(6 \times \frac{16}{9}-\frac{52}{3}+6\)
= \(\frac{32+18-52}{3}=\frac{-2}{3}\)
সমীকরণটি \(x=\frac{5}{6}\) ও \(x=\frac{4}{3}\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না।
\(\therefore\) তাই \(x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}\) সমীকরণের বীজ \(\frac{5}{6}\) ও \(\frac{4}{3}\) হওয়া সম্ভব নয়।
\(x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}\)
বা,\(\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{13}{6}\)
বা, \(6 x^{2}-13 x+6=0\)
\(x=\frac{5}{6}\) বসিয়ে পাই,
\(=6 \times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}-13 \times \frac{5}{6}+6\)
= \(6 \times \frac{25}{36}-\frac{65}{6}+6\)
= \(\frac{25}{6}+6 - \frac{65}{6}=\frac{25+36-65}{6}=\frac{-4}{6}\)
\(x=\frac{4}{3}\) বসিয়ে পাই,
আবার, \(6 \times\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-13 \times \frac{4}{3}+6\)
= \(6 \times \frac{16}{9}-\frac{52}{3}+6\)
= \(\frac{32+18-52}{3}=\frac{-2}{3}\)
সমীকরণটি \(x=\frac{5}{6}\) ও \(x=\frac{4}{3}\) দ্বারা সিদ্ধ হয় না।
\(\therefore\) তাই \(x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}\) সমীকরণের বীজ \(\frac{5}{6}\) ও \(\frac{4}{3}\) হওয়া সম্ভব নয়।
Class 10 | কষে দেখি 1.2 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২
(iv) \(x^{2}-\sqrt{3} x-6=0\), \(-\sqrt{3}\) ও \(2 \sqrt{3}\)
\(x^{2}-\sqrt{3} x-6=0\), \(-\sqrt{3}\) ও \(2 \sqrt{3}\)
\(x=-\sqrt{3}\) বসিয়ে পাই,\((-\sqrt3)^{2}-\sqrt3(-\sqrt3)-6=3+3-6=0\)
\(x=2\sqrt{3}\) বসিয়ে পাই ,\((2\sqrt3)^{2}-\sqrt3(2\sqrt3)-6=12-6-6=0\)
\(x^{2}-\sqrt{3} x-6=0\) সমীকরণটি \(x=-\sqrt{3}\) ও \(x=2 \sqrt{3}\) দ্বারা সিদ্ধহয়।
\(\therefore\) তাই \(x^{2}-\sqrt{3} x- 6 = 0\) সমীকরণের বীজ হবে \(-\sqrt{3}\) ও \(2 \sqrt{3}\)।
\(x=-\sqrt{3}\) বসিয়ে পাই,\((-\sqrt3)^{2}-\sqrt3(-\sqrt3)-6=3+3-6=0\)
\(x=2\sqrt{3}\) বসিয়ে পাই ,\((2\sqrt3)^{2}-\sqrt3(2\sqrt3)-6=12-6-6=0\)
\(x^{2}-\sqrt{3} x-6=0\) সমীকরণটি \(x=-\sqrt{3}\) ও \(x=2 \sqrt{3}\) দ্বারা সিদ্ধহয়।
\(\therefore\) তাই \(x^{2}-\sqrt{3} x- 6 = 0\) সমীকরণের বীজ হবে \(-\sqrt{3}\) ও \(2 \sqrt{3}\)।
2.
(i) k-এর কোন মানের জন্য \(7 x^{2}+k x-3=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\) হবে হিসাব করে লিখি।
\(\because 7 x^{2}+k x-3=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\),
সুতরাং, \(7\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+k \cdot \frac{2}{3}-3=0\)
বা, \(\frac{28}{9}+\frac{2 k}{3}-3=0\)
বা,\(\frac{28+6 k-27}{9}=0\)
বা, \(28+6 k-27=0\)
বা, \(6 k=27-28\)
বা, \(6k=-1\)
বা, \(k=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore\) \(k=-\frac{1}{6}\) হলে \(7 x^{2}+k x-3=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\) হবে।
সুতরাং, \(7\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+k \cdot \frac{2}{3}-3=0\)
বা, \(\frac{28}{9}+\frac{2 k}{3}-3=0\)
বা,\(\frac{28+6 k-27}{9}=0\)
বা, \(28+6 k-27=0\)
বা, \(6 k=27-28\)
বা, \(6k=-1\)
বা, \(k=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore\) \(k=-\frac{1}{6}\) হলে \(7 x^{2}+k x-3=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\) হবে।
(ii) k-এর কোন মানের জন্য \(x^{2}+3 a x+k=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ – a হবে হিসাব করে লিখি।
\(\because x^{2}+3 a x+k=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(– a\)।
সুতরাং , \((-a)^{2}+3 a(-a)+k=0\)
বা, \(a^{2}-3 a^{2}+k=0\)
বা, \(-2 a^{2}+k=0\)
\(\therefore \mathrm{k}=2 \mathrm{a}^{2}\)
\(\therefore \quad k=2 a^{2}\) হলে \(x^{2}+3 a x+k=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(–a\) হবে।
সুতরাং , \((-a)^{2}+3 a(-a)+k=0\)
বা, \(a^{2}-3 a^{2}+k=0\)
বা, \(-2 a^{2}+k=0\)
\(\therefore \mathrm{k}=2 \mathrm{a}^{2}\)
\(\therefore \quad k=2 a^{2}\) হলে \(x^{2}+3 a x+k=0\) সমীকরণের একটি বীজ \(–a\) হবে।
3. যদি \(a x^{2}+7 x+b=0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\frac{2}{3}\) এবং – 3 হয় তবে a ও b-এর মান নির্ণয় করি।
\(\because \frac{2}{3}, a x^{2}+7 x+b=0\) সমীকরণের একটি বীজ,
\(\therefore \quad a \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+7 \times \frac{2}{3}+b=0 \quad\)
বা, \(\frac{4 a}{9}+\frac{14}{3}+b=0\)
বা, \(4 a+42+9 b=0 \ldots \ldots(1)\)
আবার, \(\because(-3), a x^{2}+7 x+b=0\) সমীকরণের একটি বীজ,
\(\therefore a \times(-3)^{2}+7 \times(-3)+b=0 \) বা, \(9 a-21+b=0\)
বা, \(81 a-189+9 b=0 \ldots \ldots \ldots \ldots(2)\)
এখন, (2) থেকে (1) বিয়ােগ করে পাই, \(77a - 231 = 0\)
বা, \(77a = 231\)
বা, \(a=\frac{231}{77}\)
বা, \(a=3\)
(1) নং-এ \(a = 3\) বসিয়ে পাই, \(4 \times 3 + 42 + 9b = 0\)
বা, \(12 + 42 + 9b = 0\)
বা, \(9b + 54 = 0\)
বা, \(b=-\frac{54}{9}\)
বা, \(b = - 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মান \(a = 3, b = - 6\).
\(\therefore \quad a \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+7 \times \frac{2}{3}+b=0 \quad\)
বা, \(\frac{4 a}{9}+\frac{14}{3}+b=0\)
বা, \(4 a+42+9 b=0 \ldots \ldots(1)\)
আবার, \(\because(-3), a x^{2}+7 x+b=0\) সমীকরণের একটি বীজ,
\(\therefore a \times(-3)^{2}+7 \times(-3)+b=0 \) বা, \(9 a-21+b=0\)
বা, \(81 a-189+9 b=0 \ldots \ldots \ldots \ldots(2)\)
এখন, (2) থেকে (1) বিয়ােগ করে পাই, \(77a - 231 = 0\)
বা, \(77a = 231\)
বা, \(a=\frac{231}{77}\)
বা, \(a=3\)
(1) নং-এ \(a = 3\) বসিয়ে পাই, \(4 \times 3 + 42 + 9b = 0\)
বা, \(12 + 42 + 9b = 0\)
বা, \(9b + 54 = 0\)
বা, \(b=-\frac{54}{9}\)
বা, \(b = - 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মান \(a = 3, b = - 6\).
4. সমাধান করি :
(i) \(3 y^{2}-20=160-2 y^{2}\)
\(3 y^{2}-20=160-2 y^{2}\)
বা, \(3 y^{2}+2 y^{2}=160+20\)
বা, \(5 y^{2}=180\)
বা, \(y^{2}=\frac{180}{5}\)
বা, \(y^{2}=36\)
বা, \(y=\pm \sqrt{36}\),
বা, \(y=\pm 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান y = 6, অথবা y = -6
বা, \(3 y^{2}+2 y^{2}=160+20\)
বা, \(5 y^{2}=180\)
বা, \(y^{2}=\frac{180}{5}\)
বা, \(y^{2}=36\)
বা, \(y=\pm \sqrt{36}\),
বা, \(y=\pm 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান y = 6, অথবা y = -6
(ii) \((2 x+1)^{2}+(x+1)^{2}=6 x+47\)
\((2 x+1)^{2}+(x+1)^{2}=6 x+47\)
বা, \((2 x)^{2}+2.2 x \cdot 1+(1)^{2}+(x)^{2}+2 \cdot x \cdot 1+(1)^{2}=6 x+47\)
বা, \(4 x^{2}+4 x+1+x^{2}+2 x+1=6 x+47\)
বা, \(5 x^2+6 x+2-6 x-47=0\)
বা, \(5 x^{2}+2-47=0\)
বা, \(5 x^{2}-45=0\)
বা, \(5\left(x^{2}-9\right)=0\)
বা, \(x^{2}-9=0\)
বা, \(x^{2}=9\)
বা, \(x=\pm \sqrt{9}\)
বা, \(x=\pm 3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x=3\) এবং \(x=-3\)
বা, \((2 x)^{2}+2.2 x \cdot 1+(1)^{2}+(x)^{2}+2 \cdot x \cdot 1+(1)^{2}=6 x+47\)
বা, \(4 x^{2}+4 x+1+x^{2}+2 x+1=6 x+47\)
বা, \(5 x^2+6 x+2-6 x-47=0\)
বা, \(5 x^{2}+2-47=0\)
বা, \(5 x^{2}-45=0\)
বা, \(5\left(x^{2}-9\right)=0\)
বা, \(x^{2}-9=0\)
বা, \(x^{2}=9\)
বা, \(x=\pm \sqrt{9}\)
বা, \(x=\pm 3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x=3\) এবং \(x=-3\)
(iii) \((x-7)(x-9)=195\)
বা, \((x-7)(x-9)=195\)
বা, \(x^{2}-9 x-7 x+63=195\)
বা, \(x^{2}-16 x+63-195=0\)
বা, \(x^{2}-16 x-132=0\)
বা, \(x^2-(22-6) x-132=0\)
বা, \(x^{2}-22 x+6 x-132=0\)
বা, \(x(x-22)+6(x-22)=0\)
বা, \((x-22)(x+6)=0\)
এখন \(x- 22 = 0\) হলে \(x = 22\) এবং \(x + 6 = 0\) হলে \(x = -6 \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 22, x = -6 \)
বা, \(x^{2}-9 x-7 x+63=195\)
বা, \(x^{2}-16 x+63-195=0\)
বা, \(x^{2}-16 x-132=0\)
বা, \(x^2-(22-6) x-132=0\)
বা, \(x^{2}-22 x+6 x-132=0\)
বা, \(x(x-22)+6(x-22)=0\)
বা, \((x-22)(x+6)=0\)
এখন \(x- 22 = 0\) হলে \(x = 22\) এবং \(x + 6 = 0\) হলে \(x = -6 \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 22, x = -6 \)
(iv) \(3 x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3}, x \neq 0\)
\(3 x-\frac{24}{x}=\frac{x}{3}(x \neq 0)\)
বা, \(\frac{3 x^{2}-24}{x}=\frac{x}{3} \)
বা, \(9 x^{2}-72=x^{2} \)
বা, \(9 x^2-x^2-72=0\)
বা, \(8 x^{2}-72=0 \)
বা, \(8\left(x^{2}-9\right)=0\)
বা, \(x^{2}-9=0 \quad\)
বা, \(x^{2}=9 \quad\)
বা, \(x=\pm \sqrt{9}\)
বা, \(x=\pm 3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 3\) এবং \(x = - 3\)
বা, \(\frac{3 x^{2}-24}{x}=\frac{x}{3} \)
বা, \(9 x^{2}-72=x^{2} \)
বা, \(9 x^2-x^2-72=0\)
বা, \(8 x^{2}-72=0 \)
বা, \(8\left(x^{2}-9\right)=0\)
বা, \(x^{2}-9=0 \quad\)
বা, \(x^{2}=9 \quad\)
বা, \(x=\pm \sqrt{9}\)
বা, \(x=\pm 3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 3\) এবং \(x = - 3\)
(v) \(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x}, x \neq 0\)
\(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}=\frac{15}{x}\)
বা, \(\frac{x}{3}=\frac{15}{x}-\frac{3}{x}\)
বা, \(\frac{x}{3}=\frac{15-3}{x}\)
বা, \(\frac{x}{3}=\frac{12}{x}\)
বা, \(x^{2}=36\)
বা, \(x=\pm \sqrt{36}\)
বা, \(x^{2}=\pm 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x\) = -6 এবং \(x\) = 6
বা, \(\frac{x}{3}=\frac{15}{x}-\frac{3}{x}\)
বা, \(\frac{x}{3}=\frac{15-3}{x}\)
বা, \(\frac{x}{3}=\frac{12}{x}\)
বা, \(x^{2}=36\)
বা, \(x=\pm \sqrt{36}\)
বা, \(x^{2}=\pm 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x\) = -6 এবং \(x\) = 6
(vi) \(10 x-\frac{1}{x}=3, x \neq 0\)
\(10 x-\frac{1}{x}=3\)
বা, \(\frac{10 x^2-1}{x}=3\)
বা, \(10 x^{2}-1=3 x \)
বা, \(10 x^{2}-3 x-1=0\)
বা, \(10 x^2-(5-2) x-1=0\)
বা, \(10 x^{2}-5 x+2 x-1=0\)
বা, \(5 x(2 x-1)+1(2 x-1)=0\)
বা, \((2 x-1)(5 x+1)=0\)
হয় \(2 x-1=0 \therefore x=\frac{1}{2}\)
তখন, \(5 x+1=0\)
বা, \(5 x=-1\)
\(\therefore x=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore \quad x=-\frac{1}{5}\) ও \(x=\frac{1}{2}\) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরনটি সমাধান।
বা, \(\frac{10 x^2-1}{x}=3\)
বা, \(10 x^{2}-1=3 x \)
বা, \(10 x^{2}-3 x-1=0\)
বা, \(10 x^2-(5-2) x-1=0\)
বা, \(10 x^{2}-5 x+2 x-1=0\)
বা, \(5 x(2 x-1)+1(2 x-1)=0\)
বা, \((2 x-1)(5 x+1)=0\)
হয় \(2 x-1=0 \therefore x=\frac{1}{2}\)
তখন, \(5 x+1=0\)
বা, \(5 x=-1\)
\(\therefore x=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore \quad x=-\frac{1}{5}\) ও \(x=\frac{1}{2}\) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরনটি সমাধান।
(vii) \(\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x}+2=0, x \neq 0\)
\(\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x}+2=0(x \neq 0)\)
বা, \(\frac{2-5 x+2 x^{2}}{x^{2}}=0 \)
বা, \(2-5 x+2 x^{2}=0\)
বা, \(2-(1+4) x+2 x^{2}=0\)
বা, \(2-x-4 x+2 x^{2}=0\)
বা, \(1(2-x)-2 x(2-x)=0\)
বা, \((2-x)(1-2 x)=0\)
\(\therefore\) হয় \(2-x=0\) বা, \(2=x\) অথবা, \(1-2 x=0\) বা, \(2 x=1\) বা, \(x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 2\) এবং \(x=\frac{1}{2}\)
বা, \(\frac{2-5 x+2 x^{2}}{x^{2}}=0 \)
বা, \(2-5 x+2 x^{2}=0\)
বা, \(2-(1+4) x+2 x^{2}=0\)
বা, \(2-x-4 x+2 x^{2}=0\)
বা, \(1(2-x)-2 x(2-x)=0\)
বা, \((2-x)(1-2 x)=0\)
\(\therefore\) হয় \(2-x=0\) বা, \(2=x\) অথবা, \(1-2 x=0\) বা, \(2 x=1\) বা, \(x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 2\) এবং \(x=\frac{1}{2}\)
(viii) \(\left(\frac{x-2}{x+2}\right)+6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1, x \neq-2,6\)
এখানে,\(\frac{x-2}{x+2}+6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1\)
বা, \(\frac{6(x-2)}{x-6}=1-\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+2-x+2}{x+2}=\frac{4}{x+2}\)
বা, \(\frac{3(x-2)}{x-6}=\frac{2}{x+2} \)
বা, \(3(x-2)(x+2)=2 x-12\)
বা, \(3\left(x^{2}-4\right)=2 x-12 \)
বা, \(3 x^{2}-12=2 x-12\)
বা, \(3 x^{2}-2 x=0 \)
বা, \(x(3 x-2)=0\)
\(\therefore\) \(x = 0\) অথবা \(3x - 2 = 0\)
বা, \(x=\frac{2}{3}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 0\) বা, \(\frac{2}{3}\)
বা, \(\frac{6(x-2)}{x-6}=1-\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+2-x+2}{x+2}=\frac{4}{x+2}\)
বা, \(\frac{3(x-2)}{x-6}=\frac{2}{x+2} \)
বা, \(3(x-2)(x+2)=2 x-12\)
বা, \(3\left(x^{2}-4\right)=2 x-12 \)
বা, \(3 x^{2}-12=2 x-12\)
বা, \(3 x^{2}-2 x=0 \)
বা, \(x(3 x-2)=0\)
\(\therefore\) \(x = 0\) অথবা \(3x - 2 = 0\)
বা, \(x=\frac{2}{3}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 0\) বা, \(\frac{2}{3}\)
Class 10 | কষে দেখি 1.2 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
(ix) \(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}, x \neq 3,-5\)
\(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{x+5-x+3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{8}{x^2+5 x-3 x-15}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{8}{x^{2}+2 x-15}=\frac{1}{6}\)
বা, \(x^{2}+2 x-15=48\)
বা, \(x^2+2 x-15-48=0\)
বা, \(x^{2}+2 x-63=0\)
বা, \(x^2+(9-7) x-63=0\)
বা, \(x^{2}+9 x-7 x-63=0\)
বা, \(x(x+9)-7(x+9)=0\)
বা, \((x+9)(x-7)=0\)
\(\therefore\) \(x+9=0\) হলে \(x=-9\)
এবং \(x-7=0\) হলে \(x=7\)
\(\therefore x=7\) এবং \(x=-9\)
বা, \(\frac{x+5-x+3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{8}{x^2+5 x-3 x-15}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{8}{x^{2}+2 x-15}=\frac{1}{6}\)
বা, \(x^{2}+2 x-15=48\)
বা, \(x^2+2 x-15-48=0\)
বা, \(x^{2}+2 x-63=0\)
বা, \(x^2+(9-7) x-63=0\)
বা, \(x^{2}+9 x-7 x-63=0\)
বা, \(x(x+9)-7(x+9)=0\)
বা, \((x+9)(x-7)=0\)
\(\therefore\) \(x+9=0\) হলে \(x=-9\)
এবং \(x-7=0\) হলে \(x=7\)
\(\therefore x=7\) এবং \(x=-9\)
(x) \(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2 \frac{1}{12}, x \neq 0,-1\)
\(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2 \frac{1}{12}(x \neq 0,-1)\)
বা, \(a+\frac{1}{a}=2 \frac{1}{12} \) ধরি, \(\left[\frac{x}{x+1}=a, \therefore \frac{x+1}{x}=\frac{1}{a}\right]\)
বা, \(\frac{a^{2}+1}{a}=\frac{25}{12}\)
বা, \(12 a^{2}+12=25 a\)
বা, \(12 a^{2}-25 a+12=0\)
বা, \(12 a^{2}-(9+16) a+12=0\)
বা, \(12 a^{2}-9 a-16 a+12=0\)
বা, \(3 a(4 a-3)-4(4 a-3)=0\)
বা, \((4 a-3)(3 a-4)=0\)
হয়, \(4 a-3=0\)
বা, \(4 a=3\)
বা, \(a=\frac{3}{4}\)
বা, \(\frac{x}{x+1}=\frac{3}{4}\)
বা, \(4 x=3 x+3\)
বা, \(4 x-3 x=3\)
বা, \(x=3\)
অথবা, \(3a-4=0\)
বা, \(3 a=4\)
বা, \(a=\frac{4}{3}\)
বা, \(\frac{x}{x+1}=\frac{4}{3}\left[a=\frac{x}{x+1}\right.\) বসিয়ে \(]\)
বা, \(4 x+4=3 x\)
বা, \(4 x-3 x=-4\)
বা, \(x=-4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x=3\) এবং \(x=-4\)
বা, \(a+\frac{1}{a}=2 \frac{1}{12} \) ধরি, \(\left[\frac{x}{x+1}=a, \therefore \frac{x+1}{x}=\frac{1}{a}\right]\)
বা, \(\frac{a^{2}+1}{a}=\frac{25}{12}\)
বা, \(12 a^{2}+12=25 a\)
বা, \(12 a^{2}-25 a+12=0\)
বা, \(12 a^{2}-(9+16) a+12=0\)
বা, \(12 a^{2}-9 a-16 a+12=0\)
বা, \(3 a(4 a-3)-4(4 a-3)=0\)
বা, \((4 a-3)(3 a-4)=0\)
হয়, \(4 a-3=0\)
বা, \(4 a=3\)
বা, \(a=\frac{3}{4}\)
বা, \(\frac{x}{x+1}=\frac{3}{4}\)
বা, \(4 x=3 x+3\)
বা, \(4 x-3 x=3\)
বা, \(x=3\)
অথবা, \(3a-4=0\)
বা, \(3 a=4\)
বা, \(a=\frac{4}{3}\)
বা, \(\frac{x}{x+1}=\frac{4}{3}\left[a=\frac{x}{x+1}\right.\) বসিয়ে \(]\)
বা, \(4 x+4=3 x\)
বা, \(4 x-3 x=-4\)
বা, \(x=-4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x=3\) এবং \(x=-4\)
(xi) \(\frac{a x+b}{a+b x}=\frac{c x+d}{c+d x}[a \neq b, c \neq d], x \neq-\frac{a}{b}, \frac{-c}{d}\)
\(\frac{a x+b}{a+b x}=\frac{c x+d}{c+d x}\left(a \neq b, c \neq d, x \neq-\frac{a}{b},-\frac{c}{d}\right)\)
বা, \((a x+b)(c+d x)=(a+b x)(c x+d)\)
বা, \(a c x+b c+a d x^{2}+b d x=a c x+b c x^{2}+a d+b d x \)
বা, \(a d x^{2}-b c x^{2}=a d-b c\)
বা, \(x^{2}(a d-b c)=a d-b c\)
বা, \(x^{2}=\frac{a d-b c}{a d-b c}\)
বা, \(x^{2}=1\)
বা, \(x=\pm \sqrt{1}\)
বা, \(x=\pm 1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 1\) এবং \(x = - 1\)
বা, \((a x+b)(c+d x)=(a+b x)(c x+d)\)
বা, \(a c x+b c+a d x^{2}+b d x=a c x+b c x^{2}+a d+b d x \)
বা, \(a d x^{2}-b c x^{2}=a d-b c\)
বা, \(x^{2}(a d-b c)=a d-b c\)
বা, \(x^{2}=\frac{a d-b c}{a d-b c}\)
বা, \(x^{2}=1\)
বা, \(x=\pm \sqrt{1}\)
বা, \(x=\pm 1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 1\) এবং \(x = - 1\)
(xii) \((2 x+1)+\frac{3}{2 x+1}=4, \ x \neq-\frac{1}{2}\)
\((2 x+1)+\frac{3}{(2 x+1)}=4\left(x \neq-\frac{1}{2}\right)\)
বা, \(\frac{(2 x+1)^{2}+3}{2 x+1}=4\)
বা, \((2 x)^{2}+2.2 x .1+(1)^{2}+3=8 x+4 \)
বা, \(4 x^{2}+4 x+1+3-8 x-4=0\)
বা, \(4 x^{2}-4 x=0\)
বা, \(4 x(x-1)=0\)
\(\therefore\) হয় \(4x = 0\)
বা, \(x = 0\)
অথবা, \(x - 1 = 0\)
বা, \(x = 1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 0\) এবং \(x = 1\).
বা, \(\frac{(2 x+1)^{2}+3}{2 x+1}=4\)
বা, \((2 x)^{2}+2.2 x .1+(1)^{2}+3=8 x+4 \)
বা, \(4 x^{2}+4 x+1+3-8 x-4=0\)
বা, \(4 x^{2}-4 x=0\)
বা, \(4 x(x-1)=0\)
\(\therefore\) হয় \(4x = 0\)
বা, \(x = 0\)
অথবা, \(x - 1 = 0\)
বা, \(x = 1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = 0\) এবং \(x = 1\).
(xiii) \(\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6}, x \neq-1\)
\(\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6}\)
বা, \(\frac{x+1}{2}-\frac{x+1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+1}\)
বা, \(\frac{3(x+1)-2(x+1)+5}{6}=\frac{3-2}{x+1}\)
বা, \(\frac{3 x+3-2 x-2+5}{6}=\frac{1}{x+1}\)
বা, \(\frac{x+6}{6}=\frac{1}{x+1}\)
বা, \((x+6)(x+1)=6\)
বা, \(x^2+1 x+6 x+6=6\)
বা, \(x^{2}+7 x+6=6\)
বা, \(x^{2}+7 x=0\)
বা, \(x(x+7)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x = 0\) নতুবা \(x + 7 = 0\) বা, \(x = - 7\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 0\) বা, \(x =7\)
বা, \(\frac{x+1}{2}-\frac{x+1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+1}\)
বা, \(\frac{3(x+1)-2(x+1)+5}{6}=\frac{3-2}{x+1}\)
বা, \(\frac{3 x+3-2 x-2+5}{6}=\frac{1}{x+1}\)
বা, \(\frac{x+6}{6}=\frac{1}{x+1}\)
বা, \((x+6)(x+1)=6\)
বা, \(x^2+1 x+6 x+6=6\)
বা, \(x^{2}+7 x+6=6\)
বা, \(x^{2}+7 x=0\)
বা, \(x(x+7)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x = 0\) নতুবা \(x + 7 = 0\) বা, \(x = - 7\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 0\) বা, \(x =7\)
(xiv) \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-\frac{2 x+15}{x+7}=3 \frac{1}{5}, x \neq-\frac{1}{3},-7\)
\(\frac{12 x+17}{3 x+1}-\frac{2 x+15}{x+7}=3 \frac{1}{5}\)
বা, \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-2-\frac{2 x+15}{x+7}=\frac{16}{5}-2\) (উভয়পক্ষে \(-2\)যোগ করে পাই)
বা, \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-(4-2)-\frac{2 x+15}{x+7}=\frac{16}{5}-2\)
বা, \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-4+2-\frac{2 x+15}{x+7}=\frac{16}{5}-2\)
বা, \(\frac{12 x+17-4(3 x+1)}{3 x+1}+\frac{2(x+7)-(2 x+15)}{x+7}=\frac{16-10}{5}\)
বা, \(\frac{12 x+17-12 x-4}{3 x+1}+\frac{2 x+14-2 x-15}{x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13}{3 x+1}+\frac{-1}{x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13}{3 x+1}-\frac{1}{x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13(x+7)-(3 x+1)}{(3 x+1)(x+7)}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13 x+91-3 x-1}{3 x^{2}+21 x+x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{10 x+90}{3 x^{2}+22 x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{2(5 x+45)}{3 x^{2}+22 x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{5 x+45}{3 x^{2}+22 x+7}=\frac{3}{5}\) [উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে ]
বা, \(9 x^{2}+66 x+21=25 x+225\)
বা, \(9 x^{2}+66 x-25 x+21-225=0\)
বা, \(9 x^{2}+41 x-204=0 \)
বা, \(9 x^2+(68-27) x-204=0\)
বা, \(9 x^{2}+68 x-27 x-204=0\)
বা, \(x(9 x+68)-3(9 x+68)=0\)
বা, \((9 x+68)(x-3)=0\)
\(\therefore\) হয়, \(9 x+68=0\)
বা, \(9 x=-68\)
বা, \(x=-\frac{68}{9}\)
অথবা, \(x-3=0\) বা \(x=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=3, x=-\frac{68}{9}\)
বা, \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-2-\frac{2 x+15}{x+7}=\frac{16}{5}-2\) (উভয়পক্ষে \(-2\)যোগ করে পাই)
বা, \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-(4-2)-\frac{2 x+15}{x+7}=\frac{16}{5}-2\)
বা, \(\frac{12 x+17}{3 x+1}-4+2-\frac{2 x+15}{x+7}=\frac{16}{5}-2\)
বা, \(\frac{12 x+17-4(3 x+1)}{3 x+1}+\frac{2(x+7)-(2 x+15)}{x+7}=\frac{16-10}{5}\)
বা, \(\frac{12 x+17-12 x-4}{3 x+1}+\frac{2 x+14-2 x-15}{x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13}{3 x+1}+\frac{-1}{x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13}{3 x+1}-\frac{1}{x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13(x+7)-(3 x+1)}{(3 x+1)(x+7)}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{13 x+91-3 x-1}{3 x^{2}+21 x+x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{10 x+90}{3 x^{2}+22 x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{2(5 x+45)}{3 x^{2}+22 x+7}=\frac{6}{5}\)
বা, \(\frac{5 x+45}{3 x^{2}+22 x+7}=\frac{3}{5}\) [উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে ]
বা, \(9 x^{2}+66 x+21=25 x+225\)
বা, \(9 x^{2}+66 x-25 x+21-225=0\)
বা, \(9 x^{2}+41 x-204=0 \)
বা, \(9 x^2+(68-27) x-204=0\)
বা, \(9 x^{2}+68 x-27 x-204=0\)
বা, \(x(9 x+68)-3(9 x+68)=0\)
বা, \((9 x+68)(x-3)=0\)
\(\therefore\) হয়, \(9 x+68=0\)
বা, \(9 x=-68\)
বা, \(x=-\frac{68}{9}\)
অথবা, \(x-3=0\) বা \(x=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=3, x=-\frac{68}{9}\)
(xv) \(\frac{x+3}{x-3}+6\left(\frac{x-3}{x+3}\right)=5, x \neq 3,-3\)
\(\frac{x+3}{x-3}=y\) ধরলে, \(\frac{x-3}{x+3}=\frac{1}{\frac{x+3}{x-3}}=\frac{1}{y}\)
\(\therefore \frac{x-3}{x+3}=\frac{1}{y}\)
\(\frac{x+3}{x-3}=y\) এবং \(\frac{x-3}{x+3}=\frac{1}{y}\) বসালে প্রদও সমিকরণটি হয়
\(y+\frac{6}{y}=5\)
বা, \(\frac{y^2+6}{y}=5\)
বা, \(y^{2}+6=5 y\)
বা, \(y^{2}-5 y+6=0\)
বা, \(y^2-(3+2) y+6=0\)
বা, \(y^{2}-3 y-2 y+6=0\)
বা, \(y(y-3)-2(y-3)=0\)
বা, \((y-2)(y-3)=0\)
হয়, \(y-2=0\)
\(\Rightarrow y=2\)
নয়, \(y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore\) \(y=2,3\)
এখন, \(y=2\) হলে, \(\frac{x+3}{x-3}=2\)
বা, \(2 x-6=x+3\)
বা, \(2 x-x=6+3\)
বা, \(x=9\)
\(\therefore\) \(x=9\)
আবার, \(y=3\) হলে, \(\frac{x+3}{x-3}=3\)
বা, \(3 x-9=x+3\)
বা, \(3 x-x=3+9\)
বা, \(2 x=12\)
বা, \(x=\frac{12}{2}\)
বা, \(x=6\)
\(\therefore x=6\) \(\therefore x=6,9\)
উত্তর : নির্ণেয় সমাধান, \(x=6,9\)
\(\therefore \frac{x-3}{x+3}=\frac{1}{y}\)
\(\frac{x+3}{x-3}=y\) এবং \(\frac{x-3}{x+3}=\frac{1}{y}\) বসালে প্রদও সমিকরণটি হয়
\(y+\frac{6}{y}=5\)
বা, \(\frac{y^2+6}{y}=5\)
বা, \(y^{2}+6=5 y\)
বা, \(y^{2}-5 y+6=0\)
বা, \(y^2-(3+2) y+6=0\)
বা, \(y^{2}-3 y-2 y+6=0\)
বা, \(y(y-3)-2(y-3)=0\)
বা, \((y-2)(y-3)=0\)
হয়, \(y-2=0\)
\(\Rightarrow y=2\)
নয়, \(y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore\) \(y=2,3\)
এখন, \(y=2\) হলে, \(\frac{x+3}{x-3}=2\)
বা, \(2 x-6=x+3\)
বা, \(2 x-x=6+3\)
বা, \(x=9\)
\(\therefore\) \(x=9\)
আবার, \(y=3\) হলে, \(\frac{x+3}{x-3}=3\)
বা, \(3 x-9=x+3\)
বা, \(3 x-x=3+9\)
বা, \(2 x=12\)
বা, \(x=\frac{12}{2}\)
বা, \(x=6\)
\(\therefore x=6\) \(\therefore x=6,9\)
উত্তর : নির্ণেয় সমাধান, \(x=6,9\)
(xvi) \(\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}, x \neq 0,-(a+b)\)
\(\frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}[x \neq 0,-(a+b)] \)
বা, \(\frac{1}{a+b+x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
বা, \(\frac{x-a-b-x}{(a+b+x) x}=\frac{b+a}{a b}\)
বা, \(\frac{-(a+b)}{a x+b x+x^{2}}=\frac{a+b}{a b}\)
বা, \(\frac{-1}{x^{2}+a x+b x}=\frac{1}{a b}\)
বা, \(x^{2}+a x+b x=-a b\)
বা, \(x^{2}+a x+b x+a b=0\)
বা, \(x(x+a)+b(x+a)=0 \)
বা, \((x+a)(x+b)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x + a = 0\)
বা, \(x= - a\)
অথবা, \(x + b = 0\)
বা, \(x = - b\).
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x= - a\) এবং \(x = - b\).
বা, \(\frac{1}{a+b+x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
বা, \(\frac{x-a-b-x}{(a+b+x) x}=\frac{b+a}{a b}\)
বা, \(\frac{-(a+b)}{a x+b x+x^{2}}=\frac{a+b}{a b}\)
বা, \(\frac{-1}{x^{2}+a x+b x}=\frac{1}{a b}\)
বা, \(x^{2}+a x+b x=-a b\)
বা, \(x^{2}+a x+b x+a b=0\)
বা, \(x(x+a)+b(x+a)=0 \)
বা, \((x+a)(x+b)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x + a = 0\)
বা, \(x= - a\)
অথবা, \(x + b = 0\)
বা, \(x = - b\).
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x= - a\) এবং \(x = - b\).
(xvii) \(\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{2}-5\left(\frac{x+a}{x-a}\right)+6=0, x \neq a\)
ধরি, \(\frac{x+a}{x-a}=t\)
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণের আকারটি হয় \(t^{2}-5 t+6=0\)
বা, \(t^2-(3+2) t+6=0\)
বা, \(t^{2}-3 t-2 t+6=0 \)
বা, \(t(t-3)-2(t-3)=0\)
বা, \((t-3)(t-2)=0\)
\(\therefore\) হয় \(t-3=0\)
বা, \(t=3\)
নয়ত \(t-2=0\)
বা, \(t=2\)
এখন t = 3 হলে \(\frac{x+a}{x-a}=3 \quad\left(\because t=\frac{x+a}{x-a}\right)\)
বা, \(x + a = 3 (x– a) = 3x – 3a\)
বা, \(3x – x = 3a + a \)
বা, \(2x = 4a\)
বা, \(x=\frac{4 a}{2}\)
বা, \(x = 2a \)
আবার t = 2 হলে \(\frac{x+a}{x-a}=2 \quad\left(\because t=\frac{x+a}{x-a}\right)\)
বা, \(x+a=2(x-a)=2 x-2 a\)
বা, \(2 x-x=2 a+a\)
বা, \(x=3 a\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 2a, 3a\)
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণের আকারটি হয় \(t^{2}-5 t+6=0\)
বা, \(t^2-(3+2) t+6=0\)
বা, \(t^{2}-3 t-2 t+6=0 \)
বা, \(t(t-3)-2(t-3)=0\)
বা, \((t-3)(t-2)=0\)
\(\therefore\) হয় \(t-3=0\)
বা, \(t=3\)
নয়ত \(t-2=0\)
বা, \(t=2\)
এখন t = 3 হলে \(\frac{x+a}{x-a}=3 \quad\left(\because t=\frac{x+a}{x-a}\right)\)
বা, \(x + a = 3 (x– a) = 3x – 3a\)
বা, \(3x – x = 3a + a \)
বা, \(2x = 4a\)
বা, \(x=\frac{4 a}{2}\)
বা, \(x = 2a \)
আবার t = 2 হলে \(\frac{x+a}{x-a}=2 \quad\left(\because t=\frac{x+a}{x-a}\right)\)
বা, \(x+a=2(x-a)=2 x-2 a\)
বা, \(2 x-x=2 a+a\)
বা, \(x=3 a\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = 2a, 3a\)
Class 10 | কষে দেখি 1.2 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
(xviii) \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}, x \neq 0,-b\)
এখানে, \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\)
বা, \(\frac{x+b-x}{x(x+b)}=\frac{a+b-a}{a(a+b)}\)
বা, \(\frac{b}{x^{2}+b x}=\frac{b}{a^{2}+a b}\)
বা, \(\frac{1}{x^{2}+b x}=\frac{1}{a^{2}+a b}\) (উভয়পক্ষকে b দিয়ে ভাগ করে)
বা, \(x^{2}+b x=a^{2}+a b\)
বা, \(x^{2}+b x-a(a+b)=0\)
বা, \(x^{2}+(a+b) x-a x-a(a+b)=0\)
বা, \(x(x+a+b)-a(x+a+b)=0\)
বা, \((x+a+b)(x-a)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x+ a + b = 0\) অথবা \(x - a = 0\)
এখন \(x+ a + b = 0\) হলে \(x = - (a + b)\) এবং \(x - a = 0\) হলে \(x = a \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = -(a + b)\) অথবা \(x = a\)
বা, \(\frac{x+b-x}{x(x+b)}=\frac{a+b-a}{a(a+b)}\)
বা, \(\frac{b}{x^{2}+b x}=\frac{b}{a^{2}+a b}\)
বা, \(\frac{1}{x^{2}+b x}=\frac{1}{a^{2}+a b}\) (উভয়পক্ষকে b দিয়ে ভাগ করে)
বা, \(x^{2}+b x=a^{2}+a b\)
বা, \(x^{2}+b x-a(a+b)=0\)
বা, \(x^{2}+(a+b) x-a x-a(a+b)=0\)
বা, \(x(x+a+b)-a(x+a+b)=0\)
বা, \((x+a+b)(x-a)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x+ a + b = 0\) অথবা \(x - a = 0\)
এখন \(x+ a + b = 0\) হলে \(x = - (a + b)\) এবং \(x - a = 0\) হলে \(x = a \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান হল \(x = -(a + b)\) অথবা \(x = a\)
(xix) \(\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}, x \neq 1,2,3,4\)
\(\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{(x-3)(x-4)+(x-1)(x-4)+(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{x^2-4 x-3 x+12+x^2-4 x-1 x+4+x^2-2 x-x+2}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{x^{2}-7 x+12+x^{2}-5 x+4+x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3 x^{2}-15 x+18}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3\left(x^{2}-5 x+6\right)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3\left[x^2-(3+2) x+6\right]}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3\left(x^2-3 x-2 x+6\right)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3[x(x-3)-2(x-3)]}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3}{(x-1)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \((x-1)(x-4)=18\)
বা, \(x^2-4 x-x+4=18\)
বা, \(x^{2}-5 x+4=18\)
বা, \(x^{2}-5 x+4-18=0\)
বা, \(x^{2}-5 x-14=0\)
বা, \(x^2-(7-2) x-14=0\)
বা, \(x^{2}-7 x+2 x-14=0\)
বা, \(x(x-7)+2(x-7)=0\)
বা, \((x-7)(x+2)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x+2=0\) অথবা, \(x-7=0\)
এখন, \(x+2=0\) হলে, \(x=-2\)
এবং \(x-7=0\) হলে, \(x=7\)
উত্তর : নির্ণেয় সমাধান \(x=-2,7\)
বা, \(\frac{(x-3)(x-4)+(x-1)(x-4)+(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{x^2-4 x-3 x+12+x^2-4 x-1 x+4+x^2-2 x-x+2}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{x^{2}-7 x+12+x^{2}-5 x+4+x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3 x^{2}-15 x+18}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3\left(x^{2}-5 x+6\right)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3\left[x^2-(3+2) x+6\right]}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3\left(x^2-3 x-2 x+6\right)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3[x(x-3)-2(x-3)]}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3}{(x-1)(x-4)}=\frac{1}{6}\)
বা, \((x-1)(x-4)=18\)
বা, \(x^2-4 x-x+4=18\)
বা, \(x^{2}-5 x+4=18\)
বা, \(x^{2}-5 x+4-18=0\)
বা, \(x^{2}-5 x-14=0\)
বা, \(x^2-(7-2) x-14=0\)
বা, \(x^{2}-7 x+2 x-14=0\)
বা, \(x(x-7)+2(x-7)=0\)
বা, \((x-7)(x+2)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x+2=0\) অথবা, \(x-7=0\)
এখন, \(x+2=0\) হলে, \(x=-2\)
এবং \(x-7=0\) হলে, \(x=7\)
উত্তর : নির্ণেয় সমাধান \(x=-2,7\)
(xx) \(\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2 c}{x-c}, x \neq a, b, c\)
\(\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{2 c}{x-c}\)
বা, \(\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{c}{x-c}+\frac{c}{x-c}\)
বা, \(\frac{a}{x-a}-\frac{c}{x-c}=\frac{c}{x-c}-\frac{b}{x-b}\)
বা, \(\frac{a(x-c)-c(x-a)}{(x-a)(x-c)}=\frac{c(x-b)-b(x-c)}{(x-c)(x-b)}\)
বা, \(\frac{a x-a c-c x+a c}{(x-a)(x-c)}=\frac{c x-b c-b x+b c}{(x-c)(x-b)}\)
বা, \(\frac{a x-c x}{(x-a)(x-c)}=\frac{c x-b x}{\left(x-c\right)(x-b)}\)
বা, \(\frac{a x-c x}{x-a}=\frac{c x-b x}{x-b}\)
বা, \((a x-c x)(x-b)=(c x-b x)(x-a)\)
বা, \(a x^{2}-c x^{2}-a b x+b c x=c x^{2}-b x^{2}-a c x+a b x\)
বা, \((a+b-2 c) x^{2}-(a b-b c-a c+a b) x=0\)
বা, \(\{(a+b-2 c) x-(2 a b-b c-a c)\} x=0\)
\(\therefore\) \(x=0\) অথবা, \((a+b-2 c) x-(2 a b-b c-a c)=0\)
এখন, \((a+b-2 c) x-(2 a b-b c-a c)=0\) থেকে পাই,
বা, \((a+b-2 c) x=2 a b-b c-a c\)
\(\therefore\) \(x=\frac{2 a b-b c-a c}{a+b-2 c}\)
উত্তর : নির্ণেয় সমাধান, \(x=0, \frac{2 a b-b c-a c}{a+b-2 c}\)
বা, \(\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=\frac{c}{x-c}+\frac{c}{x-c}\)
বা, \(\frac{a}{x-a}-\frac{c}{x-c}=\frac{c}{x-c}-\frac{b}{x-b}\)
বা, \(\frac{a(x-c)-c(x-a)}{(x-a)(x-c)}=\frac{c(x-b)-b(x-c)}{(x-c)(x-b)}\)
বা, \(\frac{a x-a c-c x+a c}{(x-a)(x-c)}=\frac{c x-b c-b x+b c}{(x-c)(x-b)}\)
বা, \(\frac{a x-c x}{(x-a)(x-c)}=\frac{c x-b x}{\left(x-c\right)(x-b)}\)
বা, \(\frac{a x-c x}{x-a}=\frac{c x-b x}{x-b}\)
বা, \((a x-c x)(x-b)=(c x-b x)(x-a)\)
বা, \(a x^{2}-c x^{2}-a b x+b c x=c x^{2}-b x^{2}-a c x+a b x\)
বা, \((a+b-2 c) x^{2}-(a b-b c-a c+a b) x=0\)
বা, \(\{(a+b-2 c) x-(2 a b-b c-a c)\} x=0\)
\(\therefore\) \(x=0\) অথবা, \((a+b-2 c) x-(2 a b-b c-a c)=0\)
এখন, \((a+b-2 c) x-(2 a b-b c-a c)=0\) থেকে পাই,
বা, \((a+b-2 c) x=2 a b-b c-a c\)
\(\therefore\) \(x=\frac{2 a b-b c-a c}{a+b-2 c}\)
উত্তর : নির্ণেয় সমাধান, \(x=0, \frac{2 a b-b c-a c}{a+b-2 c}\)
(xxi) \(x^{2}-(\sqrt{3}+2) x+2 \sqrt{3}=0\)
\(x^{2}-(\sqrt{3}+2) x+2 \sqrt{3}=0\)
বা, \(x^{2}-\sqrt{3} x-2 x+2 \sqrt{3}=0\)
বা, \(x(x-\sqrt{3})-2(x-\sqrt{3})=0 \)
বা, \((x-\sqrt{3})(x-2)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x-\sqrt{3}=0 \)
বা, \(x=\sqrt{3} \)
অথবা, \(x-2=0\)
বা, \(x=2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = \sqrt{3}\) এবং \( x = 2\)
বা, \(x^{2}-\sqrt{3} x-2 x+2 \sqrt{3}=0\)
বা, \(x(x-\sqrt{3})-2(x-\sqrt{3})=0 \)
বা, \((x-\sqrt{3})(x-2)=0\)
\(\therefore\) হয় \(x-\sqrt{3}=0 \)
বা, \(x=\sqrt{3} \)
অথবা, \(x-2=0\)
বা, \(x=2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় \(x = \sqrt{3}\) এবং \( x = 2\)
Class 10 | কষে দেখি 1.2 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
