WBBSE Madhyamik Class 10(Ten)(X) Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Class 10 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান ক্লাস ১০(টেন) | Madhyamik Math Solution In Bengali | মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution Of Chapter 1 Exercise 1.1
Share this page using :
Class 10 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 | কষে দেখি - 1.1
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/ কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্রআজই Install করুন Chatra Mitra
(i) \(x^{2}-7 x+2\)
\(x^{2}-7 x+2\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ,তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।
(ii) \(7 x^{5}-x(x+2)\)
\(7 x^{5}-x(x+2)\) = \(7 x^{5}-x^{2}-2 x\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 ,তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় ।
(iii) \(2 x(x+5)+1\)
\(2 x(x+5)+1\) = \(2 x^{2}+10 x+1\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ,তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।
(iv) \(2 x-1\)
\((2 x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\) এর সর্বোচ্চ ঘাত 1, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় ।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি \(a x^{2}+b x+c=0\), যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং \(a \neq 0\), আকারে লেখা যায় তা লিখি ।
(i) \(x-1+\frac{1}{x}=6,(x \neq 0)\)
\(x-1+\frac{1}{x}=6,(x \neq 0)\)
বা, \(\frac{x^{2}-x+1}{x}=6\)
বা, \(x^{2}-x+1=6 x\)
বা, \(x^{2}-x-6 x+1=0\)
বা, \(x^{2}-7 x+1=0\)
সুতরাং (i) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় ।
বা, \(\frac{x^{2}-x+1}{x}=6\)
বা, \(x^{2}-x+1=6 x\)
বা, \(x^{2}-x-6 x+1=0\)
বা, \(x^{2}-7 x+1=0\)
সুতরাং (i) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় ।
Class 10 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1
(ii) \(x+\frac{3}{x}=x^{2},(x\neq 0)\)
\(x+\frac{3}{x}=x^{2}\)
বা, \(\frac{x^2+3}{x}=x^2\)
বা, \(x^{2}+3=x^{3}\)
বা, \(x^{3}-x^{2}-3=0\)
সুতরাং (ii) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় না ।
বা, \(\frac{x^2+3}{x}=x^2\)
বা, \(x^{2}+3=x^{3}\)
বা, \(x^{3}-x^{2}-3=0\)
সুতরাং (ii) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় না ।
(iii) \(x^{2}-6 \sqrt{x}+2=0\)
\(x^{2}-6 \sqrt{x}+2=0\)
সুতরাং (iii) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় না ।
সুতরাং (iii) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় না ।
(iv) \((x-2)^{2}=x^{2}-4 x+4\)
\((x-2)^{2}=x^{2}-4 x+4\) এটি একটি অভেদ ।
সুতরাং (iv) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় না ।
সুতরাং (iv) নং সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0\) আকারে লেখা যায় না ।
3. \(x^{6}-x^{3}-2=0\) সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
\(x^{6}-x^{3}-2=0\) ;
বা, \(\left(x^{3}\right)^{2}-x^{3}-2=0\)
\(\therefore\) \(x^{3}\) কে y ধরলে \((y)^{2}-y-2=0\)
\(\therefore x^{3}\) এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
বা, \(\left(x^{3}\right)^{2}-x^{3}-2=0\)
\(\therefore\) \(x^{3}\) কে y ধরলে \((y)^{2}-y-2=0\)
\(\therefore x^{3}\) এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4.
(i) \((a-2) x^{2}+3 x+5=0\) সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না নির্ণয় করি ।
\((a-2) x^{2}+3 x+5=0\) সমীকরণটিদ্বিঘাত সমীকরণ হবে নাযদি \(x^{2}\)-এর সহগ শূন্য হয় ।
অর্থাৎ \(a-2=0\) ; \(\therefore\) a = 2
\(\therefore\) a = 2 এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।
অর্থাৎ \(a-2=0\) ; \(\therefore\) a = 2
\(\therefore\) a = 2 এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।
(ii) \(\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3 x}\), \((x \neq 0, x \neq 4)\) –কে \(a x^{2}+b x+c=0 (a \neq 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করলে \(x\) এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।
\(\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3 x}\)
বা, \(3 x^{2}=4-x\)
বা, \(3 x^{2}-4+x=0\)
বা, \(3 x^2+x-4=0\)
\(\therefore x\) -এর সহগ 1 হবে ।
বা, \(3 x^{2}=4-x\)
বা, \(3 x^{2}-4+x=0\)
বা, \(3 x^2+x-4=0\)
\(\therefore x\) -এর সহগ 1 হবে ।
(iii) \(3 x^{2}+7 x+23=(x+4)(x+3)+2\) -কে\(a x^{2}+b x+c=0\), \((a \neq 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
\(3 x^{2}+7 x+23 = (x+4)(x+3)+2\)
বা, \(3 x^{2}+7 x+23 = x^{2}+3x+4x+12+2\)
বা, \(3 x^{2}+7 x+23 = x^{2}+7 x+14\)
বা, \(3 x^{2}+7 x+23-x^{2}-7 x-14 = 0\)
বা, \(2 x^{2}+9=0\)
বা, \(2 x^{2}+0 . x+9=0\)
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ , যেখানে \(a=2\neq 0\), \(b=0, c=9\)।
বা, \(3 x^{2}+7 x+23 = x^{2}+3x+4x+12+2\)
বা, \(3 x^{2}+7 x+23 = x^{2}+7 x+14\)
বা, \(3 x^{2}+7 x+23-x^{2}-7 x-14 = 0\)
বা, \(2 x^{2}+9=0\)
বা, \(2 x^{2}+0 . x+9=0\)
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ , যেখানে \(a=2\neq 0\), \(b=0, c=9\)।
Class 10 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1
(iv) \((x+2)^{3}=x\left(x^{2}-1\right)\) – সমীকরণটিকে \(a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0)\) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি এবং \( x^{2},x,\) ও \(x^{0}\) এর সহগ লিখি ।
\((x+2)^{3}=x\left(x^{2}-1\right) \)
বা, \(x^{3}+3 x^{2} \cdot 2+3 x \cdot 2^{2}+2^{3}=x^{3}-x\)
বা, \(x^3+6 x^2+3 x \times 4+8=x^3-x\)
বা, \(x^{3}+6 x^{2}+12 x+8-x^{3}+x=0 \)
বা, \(6 x^{2}+13 x+8=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, \(6 x^{2}+13 x+8=0\).
এখানে, \(x^{2}\)-এর সহগ = 6, \(x\)-এর সহগ = 13 এবং \(x^{\circ}\)-এর সহগ = 8.
বা, \(x^{3}+3 x^{2} \cdot 2+3 x \cdot 2^{2}+2^{3}=x^{3}-x\)
বা, \(x^3+6 x^2+3 x \times 4+8=x^3-x\)
বা, \(x^{3}+6 x^{2}+12 x+8-x^{3}+x=0 \)
বা, \(6 x^{2}+13 x+8=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, \(6 x^{2}+13 x+8=0\).
এখানে, \(x^{2}\)-এর সহগ = 6, \(x\)-এর সহগ = 13 এবং \(x^{\circ}\)-এর সহগ = 8.
আজই Install করুন Chatra Mitra
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
(i) 42 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।
ধরি অংশ দুটি \(x\) ও \((42-x)\)
প্রশ্নানুসারে , \(x^{2}=(42-x)\)
বা, \(x^{2}-42+x=0\)
বা, \(x^2+x-42=0\)
বা, \(x^2+(7-6) x-42=0\)
বা, \(x^{2}+7 x-6 x-42=0\)
বা, \(x(x+7)-6(x+7)=0\)
বা, \((x+7)(x-6)=0\)
\(\therefore(x+7)=0\)
বা, \(x=-7\)
অথবা, \(x-6=0, x=6, x=-7\) গ্রহণযোগ্য নয় ।
\(\therefore\) \(x = 6\) , অপর অংশ , \(42-6=36\)
\(\therefore\) 42 কে 6 এবং 36 এই দুই অংশে বিভক্ত করতে হবে ।
প্রশ্নানুসারে , \(x^{2}=(42-x)\)
বা, \(x^{2}-42+x=0\)
বা, \(x^2+x-42=0\)
বা, \(x^2+(7-6) x-42=0\)
বা, \(x^{2}+7 x-6 x-42=0\)
বা, \(x(x+7)-6(x+7)=0\)
বা, \((x+7)(x-6)=0\)
\(\therefore(x+7)=0\)
বা, \(x=-7\)
অথবা, \(x-6=0, x=6, x=-7\) গ্রহণযোগ্য নয় ।
\(\therefore\) \(x = 6\) , অপর অংশ , \(42-6=36\)
\(\therefore\) 42 কে 6 এবং 36 এই দুই অংশে বিভক্ত করতে হবে ।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 ।
ধরি, \(n\) যে-কোনাে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। \(\therefore\) \((2n + 1)\) একটি অযুগ্ম ধনাত্মক সংখ্যা।
আমরা জানি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার অন্তর বা পার্থক্য সর্বদা 2।
\(\therefore (2n + 1)\) অযুগ্ম ধনাত্মক সংখ্যাটির পূর্ববর্তী বা পরবর্তী অযুগ ধনাত্মক সংখ্যাটি হবে যথাক্রমে
\((2 n+1-2)=(2 n-1)\)
বা, \((2 n+1+2)=(2 n+3)\)
প্রশ্নানুসারে, \((2 n-1)(2 n+1)=143\)
বা, \((2 n)^{2}-(1)^{2}=143\)
বা, \(4 n^{2}-1=143\)
বা, \(4 n^{2}-1-143=0\)
বা, \(4 n^{2}-144=0\)
বা, \(4\left(n^2-36\right)=0\)
বা, \(n^{2}-36=0\)
অথবা \((2 n+1)(2 n+3)=143\)
বা, \(4 n^{2}+2 n+6 n+3=143\).
বা, \(4 n^{2}+8 n+3-143=0\)
বা, \(4 n^{2}+8 n-140=0\)
বা, \(4\left(n^2+2 n-35\right)=0\)
বা, \(n^{2}+2 n-35=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, \(n^{2}-36=0\)
অথবা, \(n^{2}+2 n-35=0\)
আমরা জানি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার অন্তর বা পার্থক্য সর্বদা 2।
\(\therefore (2n + 1)\) অযুগ্ম ধনাত্মক সংখ্যাটির পূর্ববর্তী বা পরবর্তী অযুগ ধনাত্মক সংখ্যাটি হবে যথাক্রমে
\((2 n+1-2)=(2 n-1)\)
বা, \((2 n+1+2)=(2 n+3)\)
প্রশ্নানুসারে, \((2 n-1)(2 n+1)=143\)
বা, \((2 n)^{2}-(1)^{2}=143\)
বা, \(4 n^{2}-1=143\)
বা, \(4 n^{2}-1-143=0\)
বা, \(4 n^{2}-144=0\)
বা, \(4\left(n^2-36\right)=0\)
বা, \(n^{2}-36=0\)
অথবা \((2 n+1)(2 n+3)=143\)
বা, \(4 n^{2}+2 n+6 n+3=143\).
বা, \(4 n^{2}+8 n+3-143=0\)
বা, \(4 n^{2}+8 n-140=0\)
বা, \(4\left(n^2+2 n-35\right)=0\)
বা, \(n^{2}+2 n-35=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, \(n^{2}-36=0\)
অথবা, \(n^{2}+2 n-35=0\)
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313 ।
ধরি, \(x\) যে-কোনাে একটি সংখ্যা।
\(\therefore\) এটির পূর্ববর্তী বা পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যাটি হবে যথাক্রমে \((x- 1)\)
বা \((x + 1)\).
প্রশ্নানুসারে, \(x^{2}(x-1)^{2}+x^{2}=313 \)
বা, \((x)^2-2 \times x \times 1+(1)^2+x^2-313=0\)
বা, \(x^{2}-2 x+1+x^{2}-313=0\)
বা, \(2 x^{2}-2 x-312=0\)
বা, \(2\left(x^2-x-156\right)=0\)
বা, \(x^{2}-x-156=0\)
অথবা, \(x^{2}+(x+1)^{2}=313\)
বা, \(x^2+(x)^2+2 \times x \times 1+(1)^2-313=0\)
বা, \(x^{2}+x^{2}+2 x+1-313=0\)
বা, \(2 x^{2}+2 x-312=0\)
বা, \(2\left(x^2+x-156\right)=0\)
বা, \(x^{2}+x-156=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, \(x^{2}-x-156=0\) অথবা, \(x^{2}+x-156=0\)
\(\therefore\) এটির পূর্ববর্তী বা পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যাটি হবে যথাক্রমে \((x- 1)\)
বা \((x + 1)\).
প্রশ্নানুসারে, \(x^{2}(x-1)^{2}+x^{2}=313 \)
বা, \((x)^2-2 \times x \times 1+(1)^2+x^2-313=0\)
বা, \(x^{2}-2 x+1+x^{2}-313=0\)
বা, \(2 x^{2}-2 x-312=0\)
বা, \(2\left(x^2-x-156\right)=0\)
বা, \(x^{2}-x-156=0\)
অথবা, \(x^{2}+(x+1)^{2}=313\)
বা, \(x^2+(x)^2+2 \times x \times 1+(1)^2-313=0\)
বা, \(x^{2}+x^{2}+2 x+1-313=0\)
বা, \(2 x^{2}+2 x-312=0\)
বা, \(2\left(x^2+x-156\right)=0\)
বা, \(x^{2}+x-156=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, \(x^{2}-x-156=0\) অথবা, \(x^{2}+x-156=0\)
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।
ধরি, ক্ষেত্রটির প্রস্থ = \(x\) মিটার \(\therefore\) দৈর্ঘ্য =(x + 3) মিটার।
\(\therefore\) কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{x^{2}+(x+3)^{2}}\) মিটার (সূত্রানুসারে)
প্রশ্নানুসারে, \(\sqrt{x^{2}+(x+3)^{2}}=15 \)
বা, \(x^{2}+(x+3)^{2}=(15)^{2}\) [ বর্গ করে ]
বা, \(x^{2}+x^{2}+2 x \times 3+3^{2}=225 \)
বা, \(2 x^{2}+6 x+9-225=0\)
বা, \(2 x^{2}+6 x-216=0\)
বা, \(2\left(x^2+3 x-108\right)=0\)
বা, \(x^{2}+3 x-108=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, \(x^{2}+3 x-108=0\).
\(\therefore\) কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{x^{2}+(x+3)^{2}}\) মিটার (সূত্রানুসারে)
প্রশ্নানুসারে, \(\sqrt{x^{2}+(x+3)^{2}}=15 \)
বা, \(x^{2}+(x+3)^{2}=(15)^{2}\) [ বর্গ করে ]
বা, \(x^{2}+x^{2}+2 x \times 3+3^{2}=225 \)
বা, \(2 x^{2}+6 x+9-225=0\)
বা, \(2 x^{2}+6 x-216=0\)
বা, \(2\left(x^2+3 x-108\right)=0\)
বা, \(x^{2}+3 x-108=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, \(x^{2}+3 x-108=0\).
আজই Install করুন Chatra Mitra
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো ।
ধরি, লােকটি 80 টাকায় \(x\) কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন।
\(\therefore\) চিনির দাম =\(\frac{80}{x}\) টাকা/কিগ্রা।
যদি তিনি 80 টাকায় \((x + 4)\) কিগ্রা চিনি কিনতেন তবে, চিনির দাম হত \(\frac{80}{x+4}\) টাকা/কিগ্রা।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{80}{x}-\frac{80}{x+4}=1 \)
বা, \(80\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}\right)=1 \)
বা, \(80\left\{\frac{x+4-x}{x(x+4)}\right\}=1\)
বা, \(80 \times \frac{4}{x^{2}+4 x}=1\)
বা, \(\frac{320}{x^{2}+4 x}=1\)
বা, \(x^{2}+4 x=320\)
বা, \(x^{2}+4 x-320=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(x^{2}+4 x-320=0\)
\(\therefore\) চিনির দাম =\(\frac{80}{x}\) টাকা/কিগ্রা।
যদি তিনি 80 টাকায় \((x + 4)\) কিগ্রা চিনি কিনতেন তবে, চিনির দাম হত \(\frac{80}{x+4}\) টাকা/কিগ্রা।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{80}{x}-\frac{80}{x+4}=1 \)
বা, \(80\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}\right)=1 \)
বা, \(80\left\{\frac{x+4-x}{x(x+4)}\right\}=1\)
বা, \(80 \times \frac{4}{x^{2}+4 x}=1\)
বা, \(\frac{320}{x^{2}+4 x}=1\)
বা, \(x^{2}+4 x=320\)
বা, \(x^{2}+4 x-320=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(x^{2}+4 x-320=0\)
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত ।
ধরি, ট্রেনটির সমবেগ \(x\) কিমি/ঘণ্টা। \(\therefore\) দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগে \(\frac{300}{x}\) ঘণ্টা।
ট্রেনটির সমবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে হত \((x + 5)\) কিমি/ঘন্টা। তখন দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \(\frac{300}{x+5}\) ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2\)
বা, \(\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1\)
বা, \(\frac{150(x+5)-150 x}{x(x+5)}=1\)
বা, \(\frac{150 x+750-150 x}{x(x+5)}=1\)
বা, \(\frac{750}{x^{2}+5 x}=1\)
বা, \(x^{2}+5 x=750 \)
বা, \(x^{2}+5 x-750=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ \(x^{2}+5 x-750=0\)
ট্রেনটির সমবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে হত \((x + 5)\) কিমি/ঘন্টা। তখন দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে ট্রেনটির সময় লাগত \(\frac{300}{x+5}\) ঘণ্টা।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2\)
বা, \(\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1\)
বা, \(\frac{150(x+5)-150 x}{x(x+5)}=1\)
বা, \(\frac{150 x+750-150 x}{x(x+5)}=1\)
বা, \(\frac{750}{x^{2}+5 x}=1\)
বা, \(x^{2}+5 x=750 \)
বা, \(x^{2}+5 x-750=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ \(x^{2}+5 x-750=0\)
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো ।
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য =\(x\) টাকা , \(\therefore\) লাভ \((336 - x)\) টাকা
[\(\because\) বিক্রয়মূল্য = 336 টাকা ]
\(\therefore\) শতকরা লাভ
\(=\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100 \%\)
\(=\frac{336-x}{x} \times 100 \%\)
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{336-x}{x} \times 100 \%=x \% \)
বা, \(\frac{33600-100 x}{x}=x\)
বা, \(x^{2}=33600-100 x \)
বা, \(x^{2}+100 x-33600=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল : \(x^{2}+100 x-33600=0\)
[\(\because\) বিক্রয়মূল্য = 336 টাকা ]
\(\therefore\) শতকরা লাভ
\(=\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100 \%\)
\(=\frac{336-x}{x} \times 100 \%\)
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{336-x}{x} \times 100 \%=x \% \)
বা, \(\frac{33600-100 x}{x}=x\)
বা, \(x^{2}=33600-100 x \)
বা, \(x^{2}+100 x-33600=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল : \(x^{2}+100 x-33600=0\)
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে ।
ধরি, রতন মাঝির নৌকার বেগ = \(x\) কিমি/ঘণ্টা।
\(\therefore\) স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = \((x + 2)\) কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = \((x – 2)\) কিমি/ঘণ্টা।
\(\therefore\) 21 কিমি যেতে সময় লাগে \(=\frac{21}{x+2}\) ঘণ্টা এবং 21 কিমি ফিরে আসতে সময় লাগে =\(=\frac{21}{x-2}\) ঘণ্টা
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10 \)
বা, \(21\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}\right)=10 \)
বা, \(21\left\{\frac{x-2+x+2}{(x+2)(x-2)}\right\}=10\)
বা, \(21 \times \frac{2 x}{(x)^{2}-(2)^{2}}=10\)
বা, \(\frac{42 x}{x^{2}-4}=10\)
বা, \(\frac{21 x}{x^{2}-4}=5\)
বা, \(5 x^{2}-20=21 x\)
বা, \(5 x^{2}-21 x-20=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(5 x^{2}-21 x-20=0\)
\(\therefore\) স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = \((x + 2)\) কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = \((x – 2)\) কিমি/ঘণ্টা।
\(\therefore\) 21 কিমি যেতে সময় লাগে \(=\frac{21}{x+2}\) ঘণ্টা এবং 21 কিমি ফিরে আসতে সময় লাগে =\(=\frac{21}{x-2}\) ঘণ্টা
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10 \)
বা, \(21\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}\right)=10 \)
বা, \(21\left\{\frac{x-2+x+2}{(x+2)(x-2)}\right\}=10\)
বা, \(21 \times \frac{2 x}{(x)^{2}-(2)^{2}}=10\)
বা, \(\frac{42 x}{x^{2}-4}=10\)
বা, \(\frac{21 x}{x^{2}-4}=5\)
বা, \(5 x^{2}-20=21 x\)
বা, \(5 x^{2}-21 x-20=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(5 x^{2}-21 x-20=0\)
Class 10 | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে ।
ধরি, বাগানটি পরিষ্কার করতে মহিমের \(x\) ঘণ্টা সময় লাগে।
\(\therefore\) মজিদের সময় লাগে \((x + 3)\) ঘণ্টা।
এখন, মহিম 2 ঘণ্টায় করে কাজটির 2 অংশ এবং মজিদ 2 ঘণ্টায় করে কাজটির অংশ।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2}{x}+\frac{2}{x+3}=1\) [\(\because\) সম্পূর্ণ অংশ = 1 ]
বা, \(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1 \)
বা, \(2 \times\left\{\frac{x+3+x}{x(x+3)}\right\}=1 \)
বা, \(2 \times \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x}=1\)
বা, \(\frac{4 x+6}{x^{2}+3 x}=1\)
বা, \(x^{2}+3 x=4 x+6 \)
বা, \(x^2+3 x-4 x-6=0\)
বা, \(x^{2}-x-6=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(x^{2}-x-6=0\).
\(\therefore\) মজিদের সময় লাগে \((x + 3)\) ঘণ্টা।
এখন, মহিম 2 ঘণ্টায় করে কাজটির 2 অংশ এবং মজিদ 2 ঘণ্টায় করে কাজটির অংশ।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2}{x}+\frac{2}{x+3}=1\) [\(\because\) সম্পূর্ণ অংশ = 1 ]
বা, \(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1 \)
বা, \(2 \times\left\{\frac{x+3+x}{x(x+3)}\right\}=1 \)
বা, \(2 \times \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x}=1\)
বা, \(\frac{4 x+6}{x^{2}+3 x}=1\)
বা, \(x^{2}+3 x=4 x+6 \)
বা, \(x^2+3 x-4 x-6=0\)
বা, \(x^{2}-x-6=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(x^{2}-x-6=0\).
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং তা অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = \(x\),
\(\therefore\) একক স্থানীয় অঙ্ক = \((x + 6)\)
\(\therefore\) সংখ্যাটি \(=x \times 10+x+6=11 x+6\)
প্রশ্নানুসারে, \(x(x+6)=11 x+6-12 \)
বা, \(x^{2}+6 x=11 x-6 \)
বা, \(x^2+6 x-11 x+6=0\)
বা, \(x^{2}-5 x+6=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(x^{2}-5 x+6=0\)
\(\therefore\) একক স্থানীয় অঙ্ক = \((x + 6)\)
\(\therefore\) সংখ্যাটি \(=x \times 10+x+6=11 x+6\)
প্রশ্নানুসারে, \(x(x+6)=11 x+6-12 \)
বা, \(x^{2}+6 x=11 x-6 \)
বা, \(x^2+6 x-11 x+6=0\)
বা, \(x^{2}-5 x+6=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
\(x^{2}-5 x+6=0\)
(viii) 45 মিটার দীর্ঘও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার।
ধরি, রাস্তাটি \(x\) মিটার চওড়া।
\(\therefore\) রাস্তা সহ মাঠের দৈর্ঘ্য \(= (45 + x + x)\) মিটার = \((2x + 45)\) মিটার এবং রাস্তা সহ মাঠের প্রস্থ = \((40 + x +x )\) মিটার = \((2x + 40)\) মিটার
\(\therefore\) রাস্তা সহ মাঠের ক্ষেত্রফল = \((2x + 45)(2x + 40)\) বর্গমিটার এবং রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = \(45 \times 40\) বর্গমিটার = 1800 বর্গমিটার
\(\therefore\) রাস্তার ক্ষেত্রফল
\(=\{(2 x+45)(2 x+40)-1800\}\) বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \((2 x+45)(2 x+40)-1800=450\)
বা, \(4 x^{2}+90 x+80 x+1800-1800=450\)
বা, \(4 x^{2}+170 x=450\)
বা, \(2\left(2 x^2+85 x\right)=450\)
বা, \(2 x^{2}+85 x=225 \)
বা, \(2 x^{2}+85 x-225=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচুলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল : \(2 x^{2}+85 x-225=0\)
\(\therefore\) রাস্তা সহ মাঠের দৈর্ঘ্য \(= (45 + x + x)\) মিটার = \((2x + 45)\) মিটার এবং রাস্তা সহ মাঠের প্রস্থ = \((40 + x +x )\) মিটার = \((2x + 40)\) মিটার
\(\therefore\) রাস্তা সহ মাঠের ক্ষেত্রফল = \((2x + 45)(2x + 40)\) বর্গমিটার এবং রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = \(45 \times 40\) বর্গমিটার = 1800 বর্গমিটার
\(\therefore\) রাস্তার ক্ষেত্রফল
\(=\{(2 x+45)(2 x+40)-1800\}\) বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \((2 x+45)(2 x+40)-1800=450\)
বা, \(4 x^{2}+90 x+80 x+1800-1800=450\)
বা, \(4 x^{2}+170 x=450\)
বা, \(2\left(2 x^2+85 x\right)=450\)
বা, \(2 x^{2}+85 x=225 \)
বা, \(2 x^{2}+85 x-225=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় একচুলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল : \(2 x^{2}+85 x-225=0\)
আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
