SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey Math Solution Class 11 || সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান ক্লাস ১১|| General solutions of trigonometric equations || General solution of trigonometric equations formula || Class11 Chaya Math Book Solution || 11 তম শ্রেণি | sn dey class 11 solutions pdf download in Our Chatra Mitra App
Share this page using :
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী
1. \(\cos \theta=0\)
সমীকরণের
সাধারণ সমাধান হয় -
a. \(\theta=n \pi\) b. \(\theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\) c. \(\theta=2 n \pi\) d. \(\theta=(2 n-1) \frac{\pi}{2}\)
a. \(\theta=n \pi\) b. \(\theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\) c. \(\theta=2 n \pi\) d. \(\theta=(2 n-1) \frac{\pi}{2}\)
\(\theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) b. সঠিক
\(\therefore\) b. সঠিক
2. \(\operatorname{cosec}
\theta=\operatorname{cosec} \alpha(\alpha \neq 0)\) সমীকরণের সাধারণ
সমাধান হয় -
a. \(\theta=n \pi+\alpha\) b. \(\theta=n \pi-\alpha\) c. \(\theta=n \pi+(-1)^{n} \alpha\) d. \(\theta=n \pi \alpha\)
a. \(\theta=n \pi+\alpha\) b. \(\theta=n \pi-\alpha\) c. \(\theta=n \pi+(-1)^{n} \alpha\) d. \(\theta=n \pi \alpha\)
\({cosec} \theta={cosec} \alpha\)
\(\sin\theta= \sin \alpha\)
\(\theta=n \pi+(-1)^{n} \alpha\)
\(\therefore\) c. সঠিক
\(\sin\theta= \sin \alpha\)
\(\theta=n \pi+(-1)^{n} \alpha\)
\(\therefore\) c. সঠিক
3. \(\sin \theta=\cos
\theta\)
সমীকরণের সাধারণ সমাধান হয় -
a. \(\theta=\frac{n \pi}{4}\) b. \(\theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4}\) c. \(\theta=n \pi+\frac{\pi}{4}\) d. \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
a. \(\theta=\frac{n \pi}{4}\) b. \(\theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4}\) c. \(\theta=n \pi+\frac{\pi}{4}\) d. \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
\(\sin \theta=\cos \theta\)
\(\tan \theta=1\)
\(\tan \theta=\tan \frac{\pi}{4}\)
\(\theta=n \pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore\) c. সঠিক
\(\tan \theta=1\)
\(\tan \theta=\tan \frac{\pi}{4}\)
\(\theta=n \pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore\) c. সঠিক
4. নীচের কোন বিবৃতিটি
সত্য ?
a. \(\tan x+\cot x=\sec x \operatorname{cosec} x\) সমাধানযোগ্য।
b. \(3 x+4=6-5 \tan 2 x\) সমীকরণটির একটি সমাধান \(x=\frac{\pi}{4}\)
c. \(\tan ^{2} \theta-\tan \theta+1=0\) সমীকরণটির সমাধানযোগ্য নয়।
d. \(\sin \theta+\cos \theta=2\) সমীকরণটি সমাধান করা যায়।
a. \(\tan x+\cot x=\sec x \operatorname{cosec} x\) সমাধানযোগ্য।
b. \(3 x+4=6-5 \tan 2 x\) সমীকরণটির একটি সমাধান \(x=\frac{\pi}{4}\)
c. \(\tan ^{2} \theta-\tan \theta+1=0\) সমীকরণটির সমাধানযোগ্য নয়।
d. \(\sin \theta+\cos \theta=2\) সমীকরণটি সমাধান করা যায়।
\(\tan ^{2} \theta\tan \theta+1=0\)
\(\therefore \tan \theta= \frac{1 \pm \sqrt({-1})^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}\)
\(=\frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}\)
\(\therefore\) c. সঠিক
\(\therefore \tan \theta= \frac{1 \pm \sqrt({-1})^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}\)
\(=\frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}\)
\(\therefore\) c. সঠিক
5. \(a \cos \theta+b \sin
\theta=c\) সমীকরণটি সমাধান করা যায় যখন -
a. \(c^{2} \leqslant a^{2}+b^{2}\) b. \(c^{2} \geqslant a^{2}+b^{2}\) c. \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\) d. এদের কোনটিই নয়
a. \(c^{2} \leqslant a^{2}+b^{2}\) b. \(c^{2} \geqslant a^{2}+b^{2}\) c. \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\) d. এদের কোনটিই নয়
\(a \cos \theta+b \sin \theta=c\)
উভয় পক্ষকে \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) দিয়ে ভাগ করি
\(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \cos \theta+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \sin \theta = \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
যা সমাধান করা যাবে
যখন,
\(\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \leqslant 1\)
\(c^{9} \leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
a. সঠিক
উভয় পক্ষকে \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) দিয়ে ভাগ করি
\(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \cos \theta+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \sin \theta = \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
যা সমাধান করা যাবে
যখন,
\(\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \leqslant 1\)
\(c^{9} \leqslant \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
a. সঠিক
6. নীচের কোনটি \(\tan 3
x=1\)
সমীকরণটির সাধারণ সমাধান ?
a. \(n \pi+\frac{\pi}{12}\) b. \(n \pi+\frac{\pi}{4}\) c. \(\frac{n \pi}{3}+\frac{\pi}{12}\) d. \(\frac{n \pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
a. \(n \pi+\frac{\pi}{12}\) b. \(n \pi+\frac{\pi}{4}\) c. \(\frac{n \pi}{3}+\frac{\pi}{12}\) d. \(\frac{n \pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
7. \(\sin \phi=\cos
\phi\) এবং
\(2 \pi < \phi < 4 \pi\) হলে নীচের কোনটি \(\phi\) -এর মান প্রকাশ
করে ?
a. \(\frac{5 \pi}{2}, 3 \pi\) b. \(\frac{11 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{2}\) c. \(\frac{15 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{4}\) d. \(\frac{9 \pi}{4}, \frac{13 \pi}{4}\)
a. \(\frac{5 \pi}{2}, 3 \pi\) b. \(\frac{11 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{2}\) c. \(\frac{15 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{4}\) d. \(\frac{9 \pi}{4}, \frac{13 \pi}{4}\)
8. \(\sec
\theta=-\frac{2}{\sqrt{3}}\) হলে নীচের কোনটি \(\theta\) -এর সাধারণ
সমাধান
?
a. \(2 n \pi \pm \frac{\pi}{6}\) b. \(2 n \pi \pm \frac{5 \pi}{6}\) c. \(n \pi \pm \frac{\pi}{6}\) d. \(n \pi \pm \frac{5 \pi}{6}\)
a. \(2 n \pi \pm \frac{\pi}{6}\) b. \(2 n \pi \pm \frac{5 \pi}{6}\) c. \(n \pi \pm \frac{\pi}{6}\) d. \(n \pi \pm \frac{5 \pi}{6}\)
9. \(\tan \theta=1\) এবং
\(0^{\circ} \leqslant \theta \leq 360^{\circ}\) হলে নীচের কোনটি
\(\theta\) -এর
মান প্রকাশ করে ?
a. \(45^{\circ}\) ও \(225^{\circ}\) b. \(45^{\circ}\) ও \(135^{\circ}\) c. \(45^{\circ}\) ও \(315^{\circ}\) d. \(45^{\circ} \) ও \(210^{\circ}\)
a. \(45^{\circ}\) ও \(225^{\circ}\) b. \(45^{\circ}\) ও \(135^{\circ}\) c. \(45^{\circ}\) ও \(315^{\circ}\) d. \(45^{\circ} \) ও \(210^{\circ}\)
10. \(\sin \theta=1\)
সমীকরণের
সাধারণ সমাধান হয় -
a. \((2 n+1) \frac{\pi}{4}\) b. \((4 n+1) \frac{\pi}{2}\) c. \((2 n+1) \pi\) d. \(\frac{\pi}{2}\)
a. \((2 n+1) \frac{\pi}{4}\) b. \((4 n+1) \frac{\pi}{2}\) c. \((2 n+1) \pi\) d. \(\frac{\pi}{2}\)
11. \(\cot \theta=\cot
\alpha(\alpha \neq 0)\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান হয় -
a. \(n \pi+\alpha\) b. \(n \pi+\frac{\alpha}{2}\) c. \(n \pi-\alpha\) d. \(\alpha\)
a. \(n \pi+\alpha\) b. \(n \pi+\frac{\alpha}{2}\) c. \(n \pi-\alpha\) d. \(\alpha\)
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
সমাধান করো :
1. \({\sin 2 \theta}=\cos 3 \theta \quad[0 < \theta < \pi]\)
2. \( \cos 2 \theta-\cos
4
\theta=0 \quad\left[0^{\circ} < \theta < 360^{\circ}\right]\)
6. \(3 \sin ^{2} \theta+7 \cos ^{2} \theta=6\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
10. \(\tan ^{2} x=3 \operatorname{cosec}^{2} x-1\)
16. \(4 \cos ^{2}
x+\sqrt{3}=2(\sqrt{3}+1)\)
17. \(\sec ^{3} \theta-2 \tan ^{2} \theta=2\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
18. \(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta=2 \sqrt{2}\)
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
সমাধান করো :
2. \(\cot \theta+\tan \theta=2 \sec \theta \quad\left(0^{\circ} <
\theta <
360^{\circ}\right)\)
3.
8. \(\sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\sin 4 \theta=0\)
10. \(\sin 5 x-\sin 3
x-\sin x=0
\quad[0 < x < 360^{\circ}]\)
11. \(\cos 4 \theta=\cos 3 \theta-\cos 2 \theta\)
12. \(\sin 5 x \cos 3 x=\sin 9 x \cos 7 x\)
13. \(\cos 9 x \cos 7 x=\cos 5 x \cos 3 x,-\frac{\pi}{4} \leqslant x
\leqslant
\frac{x}{4}\)
14. \(2\sin ^{2} \theta+3 \cos \theta=0\)
15.
\(\operatorname{cos}^{2}
\theta-\sin \theta=\frac{1}{4} \quad \left[0^{\circ} < \theta <
360^{\circ}\right]\)
16. \(2 \cos ^{2} \theta-\sin \theta+1=0 \quad\left[0^{\circ} <
\theta <
1000^{\circ}\right]\)
17. \(\cos 2 x-5 \cos x+3=0 \quad[0 < x < 2 \pi]\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
18.
(i) \(3\left(\sec ^{2}
\theta+\tan ^{2} \theta\right)=5\quad \left[0^{\circ} < \theta <
360^{\circ}\right]\)
(ii) \(2\left(\sec ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=5\)
19. \(\cos \theta -\sin
\theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \quad [-\pi < \theta < \pi]\)
20. \(\sin\theta
-\sqrt{3} \cos
\theta=1\)
25. \(\tan ^{2} x-(1+\sqrt{3}) \tan x+\sqrt{3}=0\)
26. \(\tan x+\tan 2 x+\tan x \tan 2 x=1\)
27. \(\tan \theta+\tan 2 \theta+\sqrt{3} \tan \theta \tan 2
\theta=\sqrt{3}\)
28. \(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)+\tan
\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=4\)
29. \(\frac{\sin \alpha}{\sin 2 x}+\frac{\cos \alpha}{\cos 2 x}=2\)
30. \( \sqrt{3} \tan
\theta \tan
\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \tan \left(\theta+\frac{2
\pi}{3}\right)=1
\)
31. \((2 + \sqrt{3})
\cos
\theta=1-\sin \theta\)
32. \(\cos 2 \theta=(\sqrt{2}+1)\left(\cos
\theta-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
33. \(\cos 3 \theta+\cos 2 \theta=\sin \frac{3 \theta}{2}+\sin
\frac{\theta}{2}
; 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\)
34. \(\cos 3 x+\sin
\left(2
x-\frac{7 \pi}{6}\right)=-2 \)
36. \(3 \tan \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right)=\tan
\left(\theta+\frac{\pi}{12}\right)\)
38. \(\sin x+\cos x=\frac{\cos 2 x}{1-\sin 2 x}\)
39. \(\tan \theta+\tan
\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)+\tan \left(\frac{2
\pi}{3}+\theta\right)=3\)
40. \(4 \cos \theta \cos
2
\theta \cos 3 \theta-2 \cos 4 \theta=1\)
41. \(2 \cos \theta-\cos
5
\theta=16 \sin ^{2} \theta \cos ^{3} \theta\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
42.
\(x-y=\frac{\pi}{4}\) এবং
\(\cot x+\cot y=2\) সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করে x ও y -এর এরকম ক্ষ্রুদ্রতম
ধনাত্মক
মান নির্ণয় করো।
43. \( 2(\sin x+\sin
y)-2 \cos
(x-y)=3\) সমীকরণ সমাধান করে x ও y -এর ক্ষ্রুদ্রতম ধনাত্মক মান নির্ণয়
করো।
44. \(\theta\) -র সাধারণ
মান
নির্ণয় করো, যাতে \(2 \cos \theta+1=0\) এবং \(2 \sin \theta-\sqrt{3}=0\)
সমীকরণ
দুটি সিদ্ধ হয়।
45. \(\cos x+\sin x=\cos
\alpha-\sin \alpha\) হলে, প্রমাণ করো যে, \(x-\frac{\pi}{4}=2 n \pi
\pm\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\)
46. যদি \(\tan a x=\tan
b x(a
\neq b)\) হয়, তবে দেখাও যে \(x\) -এর মানসমূহ একটি সমান্তর প্রগতি গঠন
করে।
47. দেখাও যে, \(\sin
^{2}
\theta=\sin ^{2} \alpha, \quad \cos ^{2} \theta=\cos ^{2} \alpha\) এবং
\(\tan
^{2} \theta=\tan ^{2} \alpha\) সমীকরণ তিনটি একই এবং প্রত্যেকটির সাধারণ
সমাধান
হয়, \(n \pi \pm \alpha\)
দীর্ঘ উত্তরধর্মী
সমাধান করো :
1. \(4 \sin \theta \cos \theta=1+2 \cos \theta-2 \sin \theta \quad[0
< \theta
< \pi]\)
2. \(1+2 \sin \theta \cos \theta-2 \sin \theta-\cos \theta=0
\quad\left[0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 360^{\circ}\right]\)
3. \(1-2 \sin \theta-2
\cos
\theta+\cot \theta=0 \quad[0 < \theta < 2 \pi]\)
5. \(\tan x+\tan 2 x+\tan 3 x=\tan x \tan 2 x \tan 3 x\)
6. \(\tan 3 \theta+\tan \theta=2 \tan 2 \theta\)
7. \(\sin 2 \theta \tan
\theta+1=\sin 2 \theta+\tan \theta \)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
8.
(i) \(\cos ^{3} \theta \sin 3 \theta+\sin ^{3} \theta \cos 3
\theta=\frac{3}{4}\)
(ii) \(\cos 3 x \cos ^{3} x+\sin 3 x \sin ^{3} x=0\)
9. \( 5 \cos \theta+2
\sin
\theta=2\), দেওয়া আছে \(\tan 68^{\circ} 12^{\prime}=\frac{5}{2}\)
10. \(4 \cos x+5 \sin
x=5\),
দেওয়া আছে \(\tan 51^{\circ} 21^{\prime}=\frac{5}{4}\)
11. \(1+\sin ^{2}
\theta=3 \sin
\theta \cos \theta\), দেওয়া আছে \(\cot 18^{\circ} 26^{\prime}=3 \)
13.
(i) \( (1-\tan \theta)(1+\sin 2 \theta)=1+\tan \theta\)
(ii) \(\sec
\theta+1=(2+\sqrt{3}) \tan \theta, \quad 0 < \theta < 2 \pi\)
14. \(\cot \theta+\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=2\)
15. \(\cot ^{3} \theta+6 \operatorname{cosec} 2 \theta-8
\operatorname{cosec}^{3} 2 \theta=0\)
16. \(\tan ^{2} 2 x+\cot ^{2} 2 x+2 \tan 2 x+2 \cot 2 x=6\)
17. \(\sin ^{3} x+\sin ^{3}\left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin
^{3}\left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=0\)
18. \(2 \tan x=\sin 4 x-2 \sin 2 x \cos 2 x \tan ^{2} x\)
19. \(\sin 3 \alpha=4 \sin \alpha \sin (x+\alpha) \sin (x-\alpha)\)
20.
(i) সমাধান করো : \(\cos (2 x+3 y)=\frac{1}{2} ; \cos (3 x+2
y)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(ii) যদি \(0 < x < \pi, \quad 0 < y < \pi\) এবং \(\cos
x+\cos y\)
\(-\cos (x+y)=\frac{3}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে \(x=y=\frac{\pi}{3}\)
21. দেখাও যে, নিন্মলিখিত সমীকরণ দুটি দিয়ে একই কোণসমূহ প্রকাশিত হয়,
\(\theta-\frac{\pi}{6}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}\) এবং
\(\theta+\frac{\pi}{3}=n
\pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{6}\)
22.
(i) \(\sin
\left(\frac{\pi}{2}
\cos \theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2} \sin \theta\right)\) হলে
দেখাও যে,
\(\pm \cos \left(\theta \mp \frac{\pi}{4}\right)=\frac{4 n \pm
1}{\sqrt{2}}\)
যেখানে, \(n\) যে-কোন পূর্ণসংখ্যা।
যেখানে, \(n\) যে-কোন পূর্ণসংখ্যা।
(ii) যদি \(\tan (\pi
\cos
\theta)=\cot (\pi \sin \theta)\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে \(\cos
\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2 n+1}{2 \sqrt{2}} ;
n=0,-1,1,-2,2,
\cdots\)
23.
\(\operatorname{cosec}
A=\operatorname{cosec} B\) এবং \(\sec A=\sec B\) হলে প্রমাণ করো যে, হয়
\(A = B\)
নতুবা, A ও B -এর মধ্যে পার্থক্য চার সমকোণের গুণিতকের সমান।
24. যদি \(8 \tan ^{8}
\phi=\cos
2 \theta+2 \cos \theta\) এবং \(3 \cos ^{2} \phi=2\) হয়, তবে \(\theta\)
-র সাধারণ
সমাধান নির্ণয় করো।
25. সমাধান করো :
\(2(\sin x-\cos 2 x)-\sin 2 x(1+2 \sin x)+2 \cos x=0\)
26. দেখাও যে
\(x-y=\frac{2
\pi}{3}\) এবং \(\cos x+\cos y=\frac{3}{2}\) সমীকরণ দুটির কোন বাস্তব
সমাধান
নেই।
27. সমাধান করো : \(\tan
x+\tan
y=1\) এবং \( x+y=\frac{\pi}{4}\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions General solutions of trigonometric equations || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান || SN Dey class 11 solutions
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright
আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত।
ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা
আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু
কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
