12, 16, 20, 24 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল সংখ্যাগুলির লসাগু।

\(\therefore\) লসাগু \( =2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 2^{2} \times 3 \times 5=240 \)
\(\therefore\) এখানে দেখা যাচ্ছে যে, 240-এর উৎপাদকগুলোর মধ্যে 3 ও 5 বিজোড় সংখ্যক বার আছে। সুতরাং, 240 কে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা \( (3 \times 5) \) বা 15 দিয়ে গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
\(\therefore\) নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল \( =(240 \times 15)=3600 \)

শর্তানুসারে, ছোটো সংখ্যা \( \times 2\) = বড়ো সংখ্যা
আবার, বড়ো সংখ্যা \( \times \) ছোটো সংখ্যা = 98
বা, \(2 \times \) ছোটো সংখ্যা \( \times \) ছোটো সংখ্যা = 98
বা, \((\)ছোটো সংখ্যা\()^2 =\frac{98}{2}=49 \)
\(\therefore\) ছোটো সংখ্যা \( =\sqrt{49}=\sqrt{7 \times 7}=7 \)
এবং বড়ো সংখ্যা \( =2 \times 7=14 \)

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা \( =17 \times 17=289 \)

10, 15, 20, 30 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল তাদের লসাগু।

লসাগু \( =2 \times 5 \times 3 \times 2=60 \)
এখানে দেখা যাচ্ছে যে 60-এর উৎপাদকগুলির মধ্যে 3 ও 5 বিজোড় সংখ্যক বার আছে। সুতরাং, 60 কে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা \( (5 \times 3) \) বা 15 দিয়ে গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
\(\therefore\) 10, 15, 20 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা
\( =60 \times 15=900 \)
\(\therefore\) 10, 15, 20 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য 900-এর পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে
\( 900 \times 2 \times 2=900 \times 4=3600 \)

20, 27, 50, 75, 100, 108, 144, 169, 180, 256

পূর্ণবর্গ সংখ্যা	পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়	ক্ষুদ্রতম কোন্ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলেপূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
100,144,169,256	20,27,50,75,108,180,	\( 20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5 \) \(\therefore\) \(20 \times 5\) দ্বারা গুণ করতে হবে। \( 27=3 \times 3 \times 3=3^{2} \times 3 \) \(\therefore\) \(27 \times 3\) দ্বারা গুণ করতে হবে। \( 50=2 \times 5 \times 5=5^{2} \times 2 \) \(\therefore\) \(50 \times 2\)দ্বারা গুণ করতে হবে। \( 75=5 \times 5 \times 3=5^{2} \times 3 \) \(\therefore\) \(75 \times 3\) দ্বারা গুণ করতে হবে। \( 108=2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3=2^{2} \times 3^{2} \times 3 \) \(\therefore\) \(108 \times 3\) দ্বারা গুণ করতে হবে। \( 180=3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 5 \) \(\therefore\) \(180 \times 5\) দ্বারা গুণ করতে হবে।

18, 24, 27 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল সংখ্যাগুলির লসাগু।

লসাগু \( =2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3=3^{2} \times 2^{2} \times 6 \)
শিক্ষার্থীদের নিরেট বর্গক্ষেত্রাকারে সাজানো হলে কমপক্ষে উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যা
\( =\left(3^{2} \times 2^{2} \times 6 \times 6\right) \) জন
\( =(9 \times 4 \times 6 \times 6) \) জন
\( =(36 \times 36) \) জন
= 1296 জন
\(\therefore\) ওইদিন আমরা কমপক্ষে 1296 জন ছাত্র উপস্থিত ছিলাম।

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 147
বড়ো সংখ্যাটি \( =3 \times \) ছোটো সংখ্যা
প্রশ্নানুসারে, বড়ো সংখ্যা \( \times \) ছোটো সংখ্যা = 147
বা, \( 3\times \) ছোটো সংখ্যা \( \times \) ছোটো সংখ্যা = 147
বা, \( 3\times (\)ছোটো সংখ্যা\()^2\) = 147
বা, \((\)ছোটো সংখ্যা\()^2 =\frac{147}{3}=49 \)
\(\therefore\) ছোটো সংখ্যা \( =\sqrt{49}=7 \) এবং বড়ো সংখ্যা \( =7 \times 3=21 \)
\(\therefore\) সংখ্যা দুটি হল = 21, 7

প্রথম রাশি \( =\sqrt{36}+\sqrt{25}=6+5=11\)
দ্বিতীয় রাশি \(=\sqrt{49}+\sqrt{9}=7+3=10\)
তৃতীয় রাশি \(=\sqrt{25}+\sqrt{100}=5+10=15\)
চতুর্থ রাশি \(=\sqrt{4}+\sqrt{16}=2+4=6 \)
\( \because 6<10<11<15 \)
\(\therefore\) মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই—
\( \sqrt{4}+\sqrt{16}, \sqrt{49}+\sqrt{9}, \sqrt{36}+\sqrt{25}, \sqrt{25}+\sqrt{100} \)

প্রথম সংখ্যা \( \times \) দ্বিতীয় সংখ্যা \(= 24\ldots(i)\)
দ্বিতীয় সংখ্যা \( \times \) তৃতীয় সংখ্যা \(= 48\ldots(ii)\)
প্রথম সংখ্যা \( \times \) তৃতীয় সংখ্যা \(= 32\ldots(iii)\)
\((i) \times (ii) \times (iii)\) করে পাই,
প্রথম\(^2\)\( \times \)দ্বিতীয়\(^2\)\( \times \)তৃতীয়\(^2\) \(=24 \times 48 \times 32\)
\(\therefore\) প্রথম \( \times \) দ্বিতীয় \( \times \) তৃতীয়
\( =\sqrt{24 \times 48 \times 32}\)
\(=\sqrt{24 \times 48 \times 2 \times 16}\)
\(=\sqrt{48 \times 48 \times 16}\)
\(=\sqrt{48^{2} \times 4^{2}}\)
\( =48 \times 4=192 \ldots(iv)\)
প্রথম সংখ্যা \(= \frac{\text{প্রথম}\times \text{দ্বিতীয়}\times \text{তৃতীয়}}{\text{দ্বিতীয়}\times \text{তৃতীয়}} =\frac{192}{48}=4 \quad\) [(iv) ও (ii) থেকে পাই]
দ্বিতীয় সংখ্যা = \(\frac{\text{প্রথম}\times \text{দ্বিতীয়}\times \text{তৃতীয়}}{\text{প্রথম}\times \text{তৃতীয়}} =\frac{192}{32}=6\quad \) [(iv) ও (iii) থেকে পাই]
তৃতীয় সংখ্যা \(\frac{\text{প্রথম}\times \text{দ্বিতীয়}\times \text{তৃতীয়}}{\text{প্রথম}\times \text{দ্বিতীয়}}=\frac{192}{24}=8 \quad\) [(iv) ও (i) থেকে পাই]
\(\therefore\) সংখ্যা তিনটি হল \(= 4, 6, 8 \)
বিকল্প পদ্ধতি :
প্রথম সংখ্যা \( \times \) দ্বিতীয় সংখ্যা = 24 \(\ldots(i)\)
দ্বিতীয় সংখ্যা \( \times \) তৃতীয় সংখ্যা = 48 \(\ldots(ii)\)
প্রথম সংখ্যা \( \times \) তৃতীয় সংখ্যা = 32 \(\ldots(iii)\)
\(\frac{(i) \times (ii)}{(iii)}\) করে পাই,
\(\frac{\text{প্রথম সংখ্যা}\times \text{দ্বিতীয় সংখ্যা}\times \text{দ্বিতীয় সংখ্যা}\times \text{তৃতীয় সংখ্যা}}{\text{প্রথম সংখ্যা}\times \text{তৃতীয় সংখ্যা}}\)
\( =\frac{24 \times 48}{32}=36 \)
\(\therefore (\)দ্বিতীয় সংখ্যা\()^2 = 36\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় সংখ্যা \( =\sqrt{36}=6 \)
\(\therefore\) প্রথম সংখ্যা \( \times \) দ্বিতীয় সংখ্যা \(= 24\)
\(\therefore\) প্রথম সংখ্যা \( \times 6=24 \)
বা, প্রথম সংখ্যা \( =\frac{24}{6}=4 \)
\(\therefore\) প্রথম সংখ্যা = 4
\(\because\) দ্বিতীয় সংখ্যা \( \times \) তৃতীয় সংখ্যা = 48
\( \therefore 6 \times \) তৃতীয় সংখ্যা = 48
বা, তৃতীয় সংখ্যা \( =\frac{48}{6}=8 \)
\(\therefore\) তৃতীয় সংখ্যা = 8
\(\therefore\) তিনটি সংখ্যা হল যথাক্রমে 4, 6, 8

12, 15, 20 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা হল সংখ্যাগুলির লসাগু

\(\therefore\) নির্ণেয় লসাগু
\( =2 \times 2 \times 3 \times 5\)
\( =2^{2} \times 3 \times 5\)
\(=2^{2} \times 15\)
\(=60 \)
আবার যেহেতু, তাদের নিরেট বর্গাকারে সাজানো যায় সেহেতু নির্ণেয় সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
12, 15, 20 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা \( =60 \times 15=900 \)
\(\therefore\) বিদ্যালয়ে কমপক্ষে 900 জন ছাত্রছাত্রী উপস্থিত ছিল।