(i) নং চিত্রে \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর
\( \angle B A C=70^{\circ}, \angle A B C=40^{\circ}, \angle A C B=70^{\circ} \)
\( \therefore \angle B A C=\angle A C B \)
\( \therefore B C=A B[\because \) কোনো ত্রিভুজের সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়]
(ii) নং চিত্রে \( \triangle \mathrm{PQR} \)-এর,
\( \angle \mathrm{QPR}=45^{\circ}, \angle \mathrm{PRQ}=45^{\circ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{PQR}=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+45^{\circ}\right)=90^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{PRQ} \)
\( \therefore \mathrm{QR}=\mathrm{PQ}[\because \) কোনো ত্রিভুজের সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়]
(iii) নং চিত্রে \( \Delta \mathrm{XYZ} \)-এর,
\( \angle Y X Z=35^{\circ}, \angle X Z Y=35^{\circ}, \angle X Y Z=110^{\circ} \)
\( \therefore \angle Y X Z=\angle X Z Y \)
\( \therefore Y Z=X Y \) [কোনো ত্রিভুজের সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়]

(i) নং চিত্রে \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর AB = 5 সেমি
\(BC = 5\) সেমি
\( \therefore A B=B C \)
\( \therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{BAC}\quad\)
\([\because \) কোনো ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হবে]
(ii) নং চিত্রে \( \triangle \mathrm{PQR} \)-এর \(PQ = 8\) সেমি ও \(PR = 8 \) সেমি
\( \therefore P Q=P R \)
\( \therefore \angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{PQR} \) [\(\because\) কোনো ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হবে]

প্রদত্ত:
\( AB\) ও \(CD\) সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
অর্থাৎ, \(AO = OB\) এবং \(CO = OD\)
প্রামাণ্য বিষয় :
\( A C \| B D \)
প্রামাণ্ : \( \triangle \mathrm{AOC} \) এবং \( \triangle B O D \) থেকে পাই—
AO = OB (প্রদত্ত)
CO = OD (প্রদত্ত)
\( \angle A O C=\angle B O D \) (বিপ্রতীপ কোণ)
\( \therefore \triangle A O C \cong B O D \) [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা অনুসারে]
\( \therefore A C=D B \)
এবং \( \angle C A O=\angle O B D \) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও কোণ]
বা, \( \angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ABD} \)
কিন্তু এরা একান্তর কোণ। \( \because A C \| D B \) (প্রমাণিত)
আবার, ACBD চতুর্ভুজের \(AC = DB\) এবং \( \mathrm{AC} \| \mathrm{DB} \)
অনুরূপভাবে,
অপর বিপরীত বাহু দুটিও সমান ও সমান্তরাল হবে।
অর্থাৎ, \( A D \| B C \)
\(\therefore\) \(ACBD\) একটি সামান্তরিক।

প্রদত্ত :
\( A B \| C D \) এবং \(E, F\) হল যথাক্রমে
\(AB\) ও \(CD\)-এর উপর দুটি বিন্দু \(EF\)-এর মধ্যবিন্দু \(O\)
দিয়ে যে-কোনো সরলরেখাংশ \(PQ\) টানা হল যা \(AB\) ও \(CD\)-কে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় :
\(PQ\) সরলরেখাংশ \(O\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়
অর্থাৎ, \(PO = OQ \)
প্রামাণ : \( \triangle E O P \) এবং \( \triangle \mathrm{FOQ} \)-এর মধ্যে
\(EO = OF\) (\(\because\) \(O, EF\)-এর মধ্যবিন্দু)
\( \angle E O P=\angle F O Q \) (বিপ্রতীপ কোণ)
\( \angle \mathrm{PEO}= \) একান্তর \( \angle O F Q[\because A B \| C D, E F \) ভেদক]
\( \therefore \triangle E O P \cong \triangle F O Q \) (AAS সর্বসমতা অনুসারে)
\(\therefore\) \(PO = OQ\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত)

ধরা যাক, \(ABC\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার \(AB = AC\), ভূমি \(BC\) বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করায় দুটি বহিঃকোণ
\( \angle A C D \) ও \( \angle A B E \) উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্য বিষয় :
\( \angle A C D=\angle A B E \)
প্রমাণ :
\( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AB = AC\)
\( \therefore \angle A C B=\angle A B C\)
\( \therefore \angle A C B+\angle A C D=180^{\circ} \)
[\(BD \) রেখাংশের উপর \(C\) বিন্দুতে \(AC\) রেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ায় উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
অনুরূপে, \(EC\) রেখাংশের উপর \(B\) বিন্দুতে \(AB\) রেখাংশ দণ্ডায়মান।
\( \therefore \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ABE}=180^{\circ} \ldots(ii)\)
(i) ও (ii) থেকে পাই, \( \angle A C B+\angle A C D=\angle A B C+\angle A B E \)
বা, \( \angle A B C+\angle A C D=\angle A B C+\angle A B E \)
\( [\because \angle A C B=\angle A B C] \)
অর্থাৎ, \( \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABE} \) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, \( \triangle \mathrm{ABC} \) একটি সমবাহু ত্রিভুজ
এবং \(AD, BE, CF\) তার তিনটি মধ্যমা।
প্রামাণ্য বিষয় :
\( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান অর্থাৎ, \(AD = BE = CF\)
প্রমাণ :
\( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AB = BC = CA\)
\( \therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{BAC}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ} \)
\( \triangle \mathrm{FBC} \) এবং \( \triangle \mathrm{BEC} \) থেকে পাই—
\( \angle \mathrm{FBC}=\angle \mathrm{ECB} \) (প্রত্যেকেই 60°)
\(FB = EC\) [\(\because\) \(F, AB\)-এর মধ্যবিন্দু এবং \(E, AC\)-এর মধ্যবিন্দু]
\(BC\) সাধারণ বাহু
\( \therefore \triangle \mathrm{FBC} \cong \triangle \mathrm{BEC} \) [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা অনুসারে]
\(\therefore\) \(FC = BE\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
অনুরূপে, \( \triangle \mathrm{AFC} \) ও \( \triangle \mathrm{ADC} \) থেকে প্রমাণ করা যায়
\(AD = FC\)
\(\therefore\) \(AD = BE = FC\)
অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত :
\(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামের \( A D \| B C \) এবং \( \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD} \)
প্রামাণ্য বিষয় :
\(ABCD\) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম ৷ অর্থাৎ, \(AB = DC\)
অঙ্কন :
\(BA\) এবং \(CD\) বাহু দুটিকে বর্ধিত করা হল, যারা পরস্পরকে\( P\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ :
\( \triangle \mathrm{PBC} \)-এর, \( \angle P B C=\angle P C B \) (প্রদত্ত) .......................(i)
\( \therefore P C=P B \)...........(ii)
[\(\because\) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ সমান হলে, তাদের বিপরীত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়]
এক্ষেত্রে, \( A D \| B C \) এবং PB ভেদক;
\( \therefore \angle \mathrm{PAD}=\angle \mathrm{PBC} \) (অনুরূপ কোণ)..........(iii)
এবং \( A D \| B C \) এবং PC ভেদক;
\( \therefore \angle \mathrm{PDA}=\angle \mathrm{PCB} \) (অনুরূপ কোণ) ......(iv)
এখন প্রদত্ত যে, \( \angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCB} \)
\( \therefore \angle \mathrm{PAD}=\angle \mathrm{PDA} \) [(i), (iii) ও (iv) থেকে পাই]
\( \therefore \triangle P A D \)-এর ক্ষেত্রে বলা যায়, \(PD = PA\) ......(v)
[\(\because\) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ সমান হলে, তাদের বিপরীত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়]
এখন (ii) থেকে (v) বিয়োগ করে পাওয়া যায়,
\( P C-P D=P B-P A \)
বা, \(DC = AB\) বা, \(AB = DC\)
\(\therefore\) \(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামটির তির্যক বাহু \(AB\) ও \(DC\)-এর দৈর্ঘ্য সমান।
সুতরাং, \(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামটি একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত :
\( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AB\) অতিভুজ
অর্থাৎ, \( \angle C=90^{\circ} \)
\( \angle B A C \)-এর সমদ্বিখণ্ডক \(AD, BC\) বাহুকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় :
\( A C+C D=A B \)
অঙ্কন : D বিন্দু থেকে \( D O \perp A B \) অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ :
\( \triangle A C D \) ও \( \triangle \mathrm{AOD} \)-এর মধ্যে
\( \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{DOA} \) [প্রত্যেকেই 90°]
\( \angle C A D=\angle D A O\quad [\because \angle B A C \)-এর সমদ্বিখণ্ডক AD]
\(AD\) হল সাধারণ বাহু
\( \therefore \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{ADO} \) [\(AAS\) সর্বসমতা অনুসারে]
\(\therefore\) \(AC = AO\) এবং \(CD = DO\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
অর্থাৎ, \(AC + CD = AO + OD\ldots(i)\)
আবার, \( \angle D O B=90^{\circ}\quad [\because O D \perp A B] \)
\( \therefore \angle O D B+\angle O B D=90^{\circ} \)
কিন্তু \( \triangle \mathrm{ACB} \) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
\( \therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}\left(\because \angle C=90^{\circ}\right) \)
অর্থাৎ, \( \angle O D B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} \)
সুতরাং \( \triangle \mathrm{DOB} \)-এর \( \angle B=\angle D=45^{\circ} \)
\( \therefore \mathrm{OD}=\mathrm{OB} \)
[\(\because\) কোনো ত্রিভুজের সমান কোণগুলির বিপরীত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান]
এখন (i) নং সমীকরণ থেকে পাই
\( A C+C D=A O+O B\quad [\because O D=O B] \)
\(\therefore\) \( A C+C D=A B \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত :
\(ABC\) এবং \(DBC\) দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ \(BC\) বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত।
মনে করি, \(AD, BC\)-কে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় :
\(AD, BC\) বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, \(BO = OC\) এবং \( A D \perp B C \)
প্রমাণ :
\( \triangle \mathrm{ABD} \) ও \( \triangle \mathrm{ACD} \) থেকে,
\(AB = AC\) [\( \triangle \mathrm{ABC} \) সমদ্বিবাহু]
\(BD = CD\) [\( \because \Delta \mathrm{BDC} \) সমদ্বিবাহু]
\(AD\) হল সাধারণ বাহু
\( \therefore \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{ACD} \) [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা সূত্রানুসারে]
\( \therefore \angle \mathrm{BDA}=\angle \mathrm{DAC} \) এবং \( \angle B A D=\angle A D C \) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
এবং \( B D=A C, A B=D C \) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহ্]
কিন্তু \( \angle B D A \) ও \( \angle D A C \) একান্তর কোণ \( \therefore \mathrm{BD} \| \mathrm{AC} \)
এবং \( \angle B A D \) ও \( \angle AD C \) একান্তর কোণ \( \therefore A B \| D C \)
সুতরাং, \( ABDC\) একটি সামান্তরিক যার \( A B=A C=B D=D C \)
অর্থাৎ, \(ABDC\) একটি রম্বস।
\(\therefore\) \(AD\) ও \(BC\) পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।
অর্থাৎ, \(BO = OC\) এবং \( A O \perp B C \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত :
\(PQ\) এবং \(RS\) সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে
\(X\) বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে, \(XP = XR\)
\(P, S\) ও \(R, Q\) যোগ করা হল।
তাহলে, \( \angle \mathrm{PSX}=\angle \mathrm{RQX} \)
প্রামাণ্য বিষয় : \( \triangle P X S \cong \triangle R Q X \)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{PXS} \) ও \( \triangle \mathrm{RQX} \)-এর মধ্যে
\( \angle \mathrm{PSX}=\angle \mathrm{RQX} \) [প্রদত্ত]
\( \angle P X S=\angle R X Q \) [বিপ্রতীপ কোণ]
\( X P=X R \) [প্রদত্ত]
\( \therefore \triangle \mathrm{PXS} \cong \triangle \mathrm{RQX}\quad [\mathrm{AAS} \) সর্বসমতা সূত্রানুসারে] (প্রমাণিত)