উপরের চিত্রটিতে \(PQ\) ও \(RS\) পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
তাহলে বিপ্রতীপ কোণগুলি হল
\( \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ}\)
\(\angle \mathrm{POR}=\angle \mathrm{SOQ} \)

\( \angle 1 \) ও \( \angle 3 \) পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ
তাহলে \( \angle 1=\angle 3 \)
\( \angle 1=35^{\circ} \) হলে, \( \angle 3=35^{\circ} \) হবে
আবার \( \angle 1+\angle 4=180^{\circ} \)
\( \angle 4=180^{\circ}-\angle 1\)
\(\angle 4=180^{\circ}-35^{\circ}\left[\because \angle 1=35^{\circ}\right]\)
\(\therefore \angle 4=145^{\circ} \)
যেহেতু \( \angle 4= \) বিপ্রতীপ \( \angle 2 \)
\( \therefore \angle 2=145^{\circ}\)
\(\therefore \angle 2=145^{\circ}, \angle 3=35^{\circ}, \angle 4=145^{\circ}\)

\( \angle \mathrm{POS}= \) বিপ্রতীপ \( \angle R O Q=60^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{POT}+\angle \mathrm{TOS}=60^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{POT}+20^{\circ}=60^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{POT}=60^{\circ}-20^{\circ}=40^{\circ} \)
আবার, \( \angle R O P+\angle R O Q=180^{\circ} \)
বা, \( \angle R O P=180^{\circ}-\angle R O Q \)
\( =180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} \)
\( \angle Q O S= \) বিপ্রতীপ \( \angle R O P=120^{\circ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{POT}=40^{\circ}, \angle \mathrm{ROP}=120^{\circ}, \angle \mathrm{QOS}=120^{\circ} \)

তীর্থ \(PQ\) ও \(XY\) দুটি সরলরেখা আঁকল যারা পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
তাহলে উৎপন্ন কোণগুলি হল-
\( \angle \mathrm{POY}, \angle \mathrm{QOY}, \angle \mathrm{XOQ}, \angle \mathrm{POX} \)
এবার চাঁদার সাহায্যে মাপ নিয়ে দেখা গেল যে,
\( \angle \mathrm{POY}=90^{\circ}\)
\(\angle \mathrm{QOY}=90^{\circ}\)
\(\angle \mathrm{QOX}=90^{\circ}\)
\(\angle \mathrm{POX}=90^{\circ} \)
তাহলে, \( \angle \mathrm{POY}=\angle \mathrm{QOY}=\angle \mathrm{QOX}=\angle \mathrm{POX}=90^{\circ} \)
এবং \( \angle P O Y= \) বিপ্রতীপ \( \angle Q O X \)
\( \angle Q O Y= \) বিপ্রতীপ \( \angle P O X \)

(i) চিত্রানুসারে,
\( \angle B O C=\angle A O C=\angle A O D=\angle B O D=90^{\circ} \)
এখন, \( \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{AOM}+\angle \mathrm{MOD} \)
আবার, \( \angle A O M+\angle M O D=90^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{MOD}=90^{\circ}-\angle \mathrm{AOM} \)
\( \therefore \angle \mathrm{MOD} \) ও \( \angle A O M \) হল পরস্পর পূরক কোণ।
(ii) \(AB\) সরলরেখাংশর উপর \(OC\) সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ \( \angle A O C \) ও \( \angle B O C \)
\( \therefore \angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ} \)
\( \therefore \angle A O C \) ও \( \angle B O C \) হল পরস্পর সম্পূরক কোণ।
(iii) \(AB\) ও \(CD\) সরলরেখাংশদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\( \therefore \angle A O C= \) বিপ্রতীপ \( \angle B O D \)
এবং \( \angle B O C= \) বিপ্রতীপ \( \angle A O D \)

\(AB\) ও \(CD\) দুটি সরলরেখা \(O\) বিন্দুতে ছেদ করায় \(\angle\) \(AOD\) এবং তার বিপ্রতীপ কোণ
\(\angle\) \(COB\) তৈরি হলো এবং \(\angle\) \(AOC\) এবং তার বিপ্রতীপ \(\angle\) DOB
তৈরি হলো।
আমরা জানি, \(\angle\) \(AOD\) ও \(\angle\) \(DOB\) পরস্পর সন্নিহিত কোণ
\(\therefore\) \(\angle\) AOD + \(\angle DOB = 180^{\circ}\)
একইভাবে, \(\angle AOC\) + \(\angle AOD = 180^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle AOD \)+ \(\angle DOB =\) \(\angle\) \(AOC\) + \(\angle\)
\(AOD\) দুপাশ থেকে \(\angle\) \(AOD\) বিয়োগ করে পাই।
\(\angle\) \(DOB\) = \(\angle\) \(AOC\)
একইভাবে প্রমাণ করা যায় ।
\(\angle\) \(AOD =\) \(\angle\) \(COB\).

AB ও CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, \( \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC} \) [বিপ্রতীপ কোণ]
\( \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD} \) [বিপ্রতীপ কোণ]
\( \angle A O D=120^{\circ} \) [প্রদত্ত]
\( \therefore \angle B O C=120^{\circ}[\because \angle A O D=\angle B O C] \)
আবার CD সরলরেখাংশের উপর OA দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণগুলি হল \( \angle \mathrm{AOD} \) ও \( \angle \mathrm{AOC} \)
তাহলে, \( \angle A O D+\angle A O C=180^{\circ} \)
বা, \( 120^{\circ}+\angle A O C=180^{\circ}\)
বা, \(\angle A O C=180^{\circ}-120^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle A O C=60^{\circ} \)
আবার, \( \angle A O C=\angle B O D \)
\( \therefore \angle B O D=60^{\circ}, \angle \mathrm{AOC}=60^{\circ}, \angle B O C=120^{\circ} \)

\(PQ\) ও \(RS\) সরলরেখাংশ দুটি পরস্পর পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে,
\( \therefore \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ} \) [বিপ্রতীপ কোণ]
\( \angle \mathrm{POR}=\angle \mathrm{SOQ} \) [বিপ্রতীপ কোণ]
আবার, \( \angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{SOQ}=110^{\circ} \) [প্রদত্ত]
\( \angle S O Q=110^{\circ}-\angle P O R \)
\( \therefore \angle \mathrm{SOQ}=110^{\circ}-\angle \mathrm{SOQ}[\because \angle \mathrm{POR}=\angle \mathrm{SOQ}] \)
বা, \( \angle \mathrm{SOQ}+\angle \mathrm{SOQ}=110^{\circ}\)
বা, \(2 \angle \mathrm{SOQ}=110^{\circ} \)
বা, \( \angle S O Q=\frac{110^{\circ}}{2} \)
\( \therefore \angle \mathrm{SOQ}=55^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{POR}=55^{\circ}[\because \angle \mathrm{POR}=\angle \mathrm{SOQ}]\)
আবার \(RS\) সরলরেখাংশের উপর \(OQ\) দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণগুলি হল \( \angle \mathrm{SOQ} \) ও \( \angle \mathrm{ROQ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{SOQ}+\angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ} \)
বা, \( \angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ}-55^{\circ}\left[\because \angle \mathrm{SOQ}=55^{\circ}\right]\)
বা, \(\angle \mathrm{ROQ}=125^{\circ} \)
তাহলে,\( \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ}=125^{\circ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{POS}=125^{\circ}, \angle \mathrm{QOR}=125^{\circ}, \angle \mathrm{POR}=55^{\circ}, \angle \mathrm{QOS}=55^{\circ} \)

\(OP\) ও \( OR\) একই সরলরেখায় অবস্থিত হওয়ার ফলে, \(PR\) একই সরলরেখা। \(PR\) সরলরেখার উপর \(OQ \) রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে দুটি সন্নিহিত কোণ \( \angle Q O R \) ও \( \angle \mathrm{POQ} \) উৎপন্ন করে,
তাহলে, \( \angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{QOR}=180^{\circ} \)
বা, \( 50^{\circ}+\angle \mathrm{QOR}=180^{\circ}\left[\because \angle \mathrm{POQ}=50^{\circ}\right. \) (প্রদত্ত)]
বা, \( \angle Q O R=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{QOR}=\angle \mathrm{POS}=130^{\circ}\)
আবার, \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}=50^{\circ}\)
তাহলে, \(\angle Q O R=130^{\circ}, \angle \mathrm{POS}=130^{\circ}, \angle \mathrm{ROS}=50^{\circ} \)

প্রদত্ত : \(OA, OB, OC\) ও \(OD\) রশ্মিগুলি পরস্পর পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এর ফলে উৎপন্ন কোণগুলি হল \( \angle A O C \), \( \angle B O C, \angle A O D \) ও \( \angle B O D \)
\( \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}\) (প্রদত্ত)
\(\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOC} \) (প্রদত্ত)
প্রামাণ্য বিষয় : \(OA\) ও \(OB\) রশ্মি একই সরলরেখায় অবস্থিত। অর্থাৎ, \(A, O\) ও \(B\) সমরেখ।
একইভাবে, \(OD\) ও \(OC\) রশ্মি একই সরলরেখায় অবস্থিত। অর্থাৎ, \(D, O\) ও \(C\) সমরেখ।
প্রমাণ : \(O\) একটি বিন্দু যেখান থেকে নির্গত রশ্মি \(OA, OB, OC, OD\)
\( \therefore \angle A O C+\angle A O D+\angle B O C+\angle B O D=360^{\circ} \ldots(i)\)
যেহেতু, \( \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD} \) (প্রদত্ত)
এবং \( \angle A O D=\angle B O C \) (প্রদত্ত)
তাহলে, \( \angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{AOC}=360^{\circ} \)
বা, \( 2(\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD})=360^{\circ} \)
বা, \( \angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOD}=\frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ} \)
আমরা জানি, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি \(2\) সমকোণের সমান হলে, কোণ দুটির বহিস্থ বাহুগুলি একই সরলরেখায় অবস্থান করে।
অর্থাৎ, \(OC\) ও \(OD\) একই সরলরেখার উপর অবস্থিত। \(D, O,\) ও \(C\) সমরেখ।
একইভাবে, (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\( 2 (\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC})=360^{\circ} \)
\( [\because \angle B O D=\angle A O C\) ও \(\angle A O D=\angle B O C] \)
বা, \( \angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ} \)
একইভাবে, \(OA\) ও \(OB\) রশ্মি দুটি একই সরলরেখার উপর অবস্থিত। অর্থাৎ \(A, O\) ও \(B\) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
\(D, O, C\) এবং \(A, O, B\) সমরেখ। অর্থাৎ, \(AB\) ও \(CD\) দুটি সরলরেখা যা চারটি রশ্মি দ্বারা তৈরি হয়েছে। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(BC\) সরলরেখার উপর \(OA\) রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণটি হল \( \angle A O B \)। \( \angle A O B \)-এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিসমদ্বিখণ্ডক দুটি হল যথাক্রমে \(OP\) ও \(OQ\)
প্রামাণ্য বিষয় : \( \angle A O B \)-এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক OP ও বহিসমদ্বিখণ্ডক \(OQ\) পরস্পর লম্ব, অর্থাৎ, \( O P \perp O Q \)
বা, \( \angle \mathrm{QOP}=90^{\circ} \)
প্রমাণ : \(BC\) সরলরেখার উপর \(OA\) রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ায়, \( \angle A O B \) ও \( \angle A O C \) দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়।
আবার \( \angle A O P=\angle P O B[\because O P, \angle A O B \) এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক]
\( \therefore \angle A O B=\angle A O P+\angle A O P \)
বা, \( \angle A O B=2 \times \angle A O P \)
আবার \( \angle A O Q=\angle Q O C[\because O Q, \angle A O C \)-এর বহিসমদ্বিখন্ডক]
বা, \( \angle A O C=\angle A O Q+\angle A O Q\)
বা, \(\angle A O C=2 \times \angle A O Q \)
আবার, \( \angle A O B+\angle A O C=180^{\circ} \)
বা, \( 2 \times \angle A O P+2 \times \angle A O Q=180^{\circ}\)
বা, \(2(\angle A O P+\angle A O Q)=180^{\circ}\)
বা, \(\angle A O P+\angle A O Q=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}\)
বা, \(\angle Q O P=90^{\circ} \)
\(\therefore\) \(OP\) ও \(OQ\) পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পর পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে, ফলে উৎপন্ন কোণগুলি হল \( \angle \mathrm{POS}, \angle \mathrm{POR} \),\( \angle R O Q \) ও \( \angle Q O S \)
প্রামাণ্য বিষয় : দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে উৎপন্ন চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ,
অর্থাৎ, \( \angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}+\angle \mathrm{QOS}=4 \) সমকোণ
\( =4 \times 90^{\circ} \)
প্রমাণ : RS সরলরেখার উপর OP রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle \mathrm{POS} \) ও \( \angle \mathrm{POR} \)
\( \angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{POR}=180^{\circ} \ldots(i)\)
আবার RS সরলরেখার উপর OQ রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle \mathrm{ROQ} \) ও \( \angle \mathrm{QOS} \)
তাহলে, \( \angle R O Q+\angle Q O S=180^{\circ} \ldots(ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
\( \begin{array}{l}\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{POR}=180^{\circ} \\ \angle \mathrm{ROQ}+\angle \mathrm{QOS}=180^{\circ} \\ \hline \angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}+\angle \mathrm{QOS}=180^{\circ}+180^{\circ}\end{array} \)
\( =360^{\circ}=4 \times 90^{\circ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}+\angle \mathrm{QOS}=4 \times 90^{\circ} \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{PQR}\)-এর \( \angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ} \), \(QR\) বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করা হল \(X\) ও \(Y\) পর্যন্ত।
তার ফলে \( \angle P Q X \) ও \( \angle \mathrm{PRY} \) উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \( QR\) কে উভয়দিকে বর্ধিত করার ফলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয়, তারা সমান
অর্থাৎ, \( \angle \mathrm{PQX}=\angle \mathrm{PRY} \)
প্রমাণ : \( \triangle P Q R \)-এর মধ্যে \( \angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ} \) (প্রদত্ত)
এখন \(RX\) রেখাংশের উপর \(PQ\) রেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে, উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle P Q R \) ও \( \angle \mathrm{PQ} X \)
তাহলে, \( \angle \mathrm{PQR}+\angle \mathrm{PQX}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{PQX}=180^{\circ}-\angle \mathrm{PQR} \)
একইভাবে, \(QY\) রেখাংশের উপর \(PR\) রেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle \mathrm{PRQ} \) ও \( \angle P R Y \)
তাহলে, \( \angle P R Q+\angle P R Y=180^{\circ}\)
বা, \(\angle P R Y=180^{\circ}-\angle P R Q\)
বা, \(\angle P R Y=180^{\circ}-\angle P Q R \)
[\( \because \angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ} \) (প্রদত্ত)]
\( \therefore \angle P Q X=\angle P R Y \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : দুটি সরলরেখা \(PQ\) ও \(RS\) পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(XY\) ও \(GH\) সরলরেখা হল উৎপন্ন চারটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক।
প্রামাণ্য বিষয় : \( \mathrm{GH} \perp \mathrm{XY} \)
অর্থাৎ, \( \angle G O Y=90^{\circ} \)
প্রমাণ : \(PQ\) ও \(RS\) সরলরেখা পরস্পর পরস্পরকে \( O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ, \( \angle \mathrm{POR}=\angle \mathrm{SOQ} \) [বিপ্রতীপ কোণ]
\( \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ROQ} \) [বিপ্রতীপ কোণ]
এখন \(GH\) হল \( \angle \mathrm{POS} \) ও \( \angle R O Q \)-এর সমদ্বিখণ্ডক
তাহলে \( \angle \mathrm{GOS}=\angle \mathrm{POG} \) [চিত্রানুসারে]
\( \therefore \angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{GOS}+\angle \mathrm{POG}=2 \angle \mathrm{GOS} \)
আবার \( XY\) হল \( \angle Q O S \) ও \( \angle \mathrm{POR} \)-এর সমদ্বিখণ্ডক।
তাহলে \( \angle S O Y=\angle Q O Y \) [চিত্রানুসারে]
\( \therefore \angle Q O S=\angle S O Y+\angle Q O Y=2 \angle S O Y \)
এখন, \(PQ\) সরলরেখার উপর \(OS\) রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle \mathrm{POS} \) ও \( \angle S O Q \)
তাহলে, \( \angle P O S+\angle Q O S=180^{\circ} \)
বা, \( 2 \angle \mathrm{GOS}+2 \angle \mathrm{SOY}=180^{\circ} \)
\( [\therefore \angle \mathrm{POS}=2 \angle \mathrm{GOS}, \angle \mathrm{QOS}=2 \angle \mathrm{SOY}] \)
বা, \( 2(\angle \mathrm{GOS}+\angle \mathrm{SOY})=180^{\circ} \)
বা, \( \angle \mathrm{GOS}+\angle \mathrm{SOY}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ} \)
\( \therefore \angle G O Y=90^{\circ} \)
[চিত্রানুসারে, \( \angle \mathrm{GOY}=\angle \mathrm{GOS}+\angle \mathrm{SOY} \)]
\( \therefore \mathrm{GH} \perp \mathrm{XY} \) (প্রমাণিত)