Koshe dekhi 7.3 Class 10|Koshe dekhi 7.3 Class10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|মাধ্যামিক গণিত প্রকাশ সমাধান|WBBSE Madhyamik Class 10(Ten)(X) Math Solution Of Chapter 7| Ganit Prakash Class 10 Solution Of Chapter 7|কষে দেখি ৭.৩ ক্লাস ১০(টেন) সমাধান
Share this page using :
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
কষে দেখি - 7.3
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
আজই Install করুন Chatra Mitra
1. ABC ত্রিভুজের \(B\) কোণটি সমকোণ। যদি \(AC\) কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা \(AB\)-কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোনটি ঠিক লিখি -
(i) \(AB > AD\) (ii) \(AB = AD\) (iii) \(AB < AD\)
(i) \(AB > AD\) (ii) \(AB = AD\) (iii) \(AB < AD\)
ABC-ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। \(\therefore\) \(\angle ABC \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) AC বৃত্তটির ব্যাস।
\(\therefore\) AC-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত AB-কে B বিন্দুতে ছেদ করবে। অর্থাৎ B ও D একই বিন্দু হবে।
\(\therefore\) AB = AD হবে।
\(\therefore\) (ii) উত্তরটি সঠিক।
2. প্ৰমাণ করি যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে-কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ধরি, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB = AC, AB-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য : D, BC-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ BD = CD
প্রমাণ : বৃত্তটি BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore\) \(\angle ADB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ADB \) = 90° \(\Rightarrow\)\(\angle ADC \) = 90°
আবার, \(\triangle \mathrm{ABC}\) এর AB = AC, \(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ACB \)
বা, \(\angle ABD \) = \(\angle ACD \)
তাহলে, \(\triangle ABD \) ও \(\triangle \mathrm{ACD}\)-এর মধ্যে \(\angle ADB \) = \(\angle \mathrm{ADC}\),
[\(\because\) প্রত্যেকেই 90°]
\(\angle ABD \) = \(\angle ACD \) এবং AD সাধারণ বাহু।
\(\therefore\) \(\triangle ABD \) \(\cong\) \(\triangle ACD \) [সর্বসমতার A - A – S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) BD =CD \(\because\) দুটি সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু; \(\therefore\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore\) D, BC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)
3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। PA ও PB যথাক্ৰমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
ধরি, O ও O' কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
PA, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি ব্যাস এবং PB, O' কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি ব্যাস।
প্রামাণ্য : A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কন : P Q যুক্ত করি।
প্রমাণ : O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(\angle AQP \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। [আমরা জানি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) \(\angle PQA \) = 1 সমকোণ।
আবার, O' কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(\angle B Q P\) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle PQB \) = 1 সমকোণ।
এখন, \(\angle PQA \) + \(\angle PQB \) = 1 সমকোণ + 1 সমকোণ।
বা, \(\angle AQB \) = 2 সমকোণ।
বা, \(\angle AQB \) = 180°
বা, \(\angle AQB \) = 1 সরলকোণ |
\(\therefore\) \(\angle AQB \) = 1 সরলকোণ
\(\therefore\) A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ। (প্রমাণিত)
4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ-কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি, \(PS = ST\)।
S, R যুক্ত করি।
এখন, \(\angle\) PSR একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle PSR \) = 90°, [\(\because\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore \angle \mathrm{TSR}=90^{\circ}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{PSR}\) ও \(\Delta \mathrm{TSR}\)-এর মধ্যে PR = RQ [ \(\because\) R, PQএর মধ্যবিন্দু]
SR সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত \(\angle PSR \) = অন্তর্ভুক্ত \(\angle TSR \) [\(\because\) প্রত্যেকেই 90°]
\(\therefore\) \(\Delta \mathrm{PSR}\) \(\cong\) \(\Delta\) TSR (সর্বসমতার S – A - S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) PS = ST (প্রমাণিত) [\(\because\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্ৰমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, \(RQ = ST\)।
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর P, Q, R তিনটি বিন্দু। \(\mathrm{PS} \perp \mathrm{PQ}\) এবং \(\mathrm{PT} \perp \mathrm{PR}\).
প্রামাণ্য : QR = ST
অঙ্কন : Q, S; R, T এবং P, S ও S, T যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\mathrm{PS} \perp \mathrm{PQ}\), \(\therefore\) \(\angle QPS \) = 90° .
\(\therefore\) \(\angle QPS \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।[\(\because\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) QS বৃত্তটির একটি ব্যাস; O যার মধ্যবিন্দু। \(\therefore\) OQ = OS = ব্যাসার্ধ।
একইভাবে, \(\mathrm{PT} \perp \mathrm{PR}\),
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{RPT}\) = 90°,
\(\therefore\) \(\angle RPT \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।[\(\because\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) RT বৃত্তের একটি ব্যাস, যার মধ্যবিন্দু O, \(\therefore\) OR = OT = ব্যাসার্ধ।
এখন, \(\Delta\) OQR ও \(\Delta\)OST-এর মধ্যে OQ = OS [\(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OR = OT [একই কারণে] এবং অন্তর্ভুক্ত \(\angle QOR \) = অন্তর্ভুক্ত \(\angle SOT \) [ \(\because\) বিপ্রতীপ কোণ]।
\(\therefore\) \(\Delta\) OQR \(\cong\) \(\Delta\)OST [সর্বসমতার S - A – S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) QR = ST (প্রমাণিত) [ \(\because\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরুপ বাহ্]
6. ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ । ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস \(AP; BE\) ও \(CF\) যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(BPCQ\) একটি সামান্তরিক।
\(\triangle ABC \) একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। BE \(\perp\) AC এবং CF \(\perp\) AB এবং BE ও CF পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। AP, \(\Delta\)ABC-এর পরিবৃত্তের ব্যাস।
প্রামাণ্য : BPCQ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : AP বৃত্তের একটি ব্যাস। \(\therefore\) \(\angle ABP \) ও \(\angle ACP \) উভয়ই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle ABP \) = \(\angle ACP \) = 90° \(\ldots\ldots\) (1)[\(\because\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\because\) CF \(\perp\) AB, \(\therefore\) \(\angle CFB \) = 90°, \(\therefore\) \(\angle \mathrm{FBC}\) = 90° - \(\angle FQB \)\(\ldots\ldots\) (2)
আবার, BE \(\perp\) AC, \(\therefore \angle \mathrm{BEC}=90^{\circ}\), \(\therefore\) \(\angle ECQ \) = 90° - \(\angle CQE \) \(\ldots\ldots\) (3)
কিন্তু \(\angle \mathrm{FQB}\) = \(\angle CQE \) [\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ]
\(\therefore\) (2) ও (3) থেকে পাই, \(\angle \mathrm{FBQ}=\angle \mathrm{ECQ}\)
তাহলে, \(\angle PBQ \) = \(\angle PBA \) – \(\angle FEQ \)
= \(\angle ACP \) = \(\angle ECQ \) [\(\because\) \(\angle PBA \) = \(\angle ACP \) এবং \(\angle FBQ \) = \(\angle \mathrm{ECQ}\) ] = \(\angle PCQ \)
\(\therefore\) চতুর্ভুজ BPCQ-এর দুটি বিপরীত কোণ \(\angle \mathrm{PBQ}\) ও \(\angle PCQ \) পরস্পর সমান।
\(\therefore\) BPCQ একটি সামান্তরিক। (সামান্তরিকের ধর্মানুসারে) (প্রমাণিত)।
7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।
প্রদত্ত \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর শীর্ষকোণ \(\angle \mathrm{A}\)-এর অন্তর্সমদ্বিখণ্ডক AP ও বহির্সমদ্বিখণ্ডক
AE, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।
প্রমাণ : \(\angle BAC \) + \(\angle CAD \) = 1 সরলকোণ = 180°
বা, \(\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}\) [2 দ্বারা ভাগ করে] ।
বা, \(\angle \mathrm{PAC}+\angle \mathrm{CAE}=.90^{\circ}\) [ \(\because\) AP, \(\angle \mathrm{A}\)-এর অন্তর্সমদ্বিখণ্ডক এবং AE, \(\angle \mathrm{A}\)-এর বহির্সমদ্বিখণ্ডক।]
বা, \(\angle PAQ \) = 90°[\(\because\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) \(\angle PAQ \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) PQ বৃত্তের একটি ব্যাস। (প্রমাণিত)
8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস । প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
আজই Install করুন Chatra Mitra
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে দুটি ব্যাস AOB ও COD
প্রামাণ্য : ACBD একটি আয়তক্ষেত্র।
অঙ্কন : A, D; D, B; B, C এবং C, A যুক্ত করি।
প্রমাণ : AOB একটি ব্যাস। \(\therefore\) \(\angle ACB \) ও \(\angle ADB \) দুটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) = 1 সমকোণ এবং \(\angle ADB \) = 1 সমকোণ।
\(\therefore\) ACBD চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ উভয়ই সমকোণ। একইভাবে, COD একটি ব্যাস,
\(\therefore\) \(\angle CAD \) ও \(\angle CBD \) উভয়ই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{CAD}\) = 1 সমকোণ ও \(\angle CBD \) = 1 সমকোণ। [\(\because\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) ACBD চতুর্ভুজের অপর দুটি বিপরীত কোণের প্রত্যেকেই সমকোণ।
আবার, \(\triangle AOD \) ও \(\triangle \mathrm{BOC}\)-এর মধ্যে OA = OB, OD = OC [\(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
এবং অন্তর্ভুক্ত \(\angle AOD \) = অন্তর্ভুক্ত \(\angle BOC \)
[\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ ]
\(\therefore \triangle \mathrm{AOD}\) \(\cong\) \(\triangle \mathrm{BOC}\) [সর্বসমতার S – A - S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) AD = BC [ \(\because\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, AC = BD
\(\therefore\) ACBD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ।
\(\therefore\) ACBD একটি আয়তাকার চিত্র। (প্রমাণিত)
9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
প্রমাণ : প্রমাণ করতে হবে যে ABCD রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে।
মনে করি, AB-কে ব্যাস করে অকিত বৃত্ত BC বা বর্ধিত BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। A, D যোগ করা হল।
\(\therefore\) \(\angle\) ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলিয়া এক সমকোণ।
\(\therefore\) \(\angle\) AOC = 1 সমকোণ।
\(\therefore\) AC যে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত ঐ সমকৌণিক বিন্দু দিয়া যায় অর্থাৎ D বিন্দু দিয়ে যাবে। সুতরাং AB ও AC
বাহুকে ব্যাস করিয়া অঙ্কিত বৃত্তদ্বয় D বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে ।
\(\therefore\) রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। (প্রমাণিত)।
মনে করি, AB-কে ব্যাস করে অকিত বৃত্ত BC বা বর্ধিত BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। A, D যোগ করা হল।
\(\therefore\) \(\angle\) ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলিয়া এক সমকোণ।
\(\therefore\) \(\angle\) AOC = 1 সমকোণ।
\(\therefore\) AC যে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত ঐ সমকৌণিক বিন্দু দিয়া যায় অর্থাৎ D বিন্দু দিয়ে যাবে। সুতরাং AB ও AC
বাহুকে ব্যাস করিয়া অঙ্কিত বৃত্তদ্বয় D বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে ।
\(\therefore\) রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। (প্রমাণিত)।
10. অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহু বিকল্পীয়, প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস এর \(PR = RQ ; \angle RPQ\) এর মান
(a) \(30^{\circ}\) (b) \(90^{\circ}\) (c) \(60^{\circ}\) (d) \(45^{\circ}\)
(a) \(30^{\circ}\) (b) \(90^{\circ}\) (c) \(60^{\circ}\) (d) \(45^{\circ}\)
PR = RQ, \(\angle\) PRQ = \(90^{\circ}\) (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)
\(\angle\) RPQ = \(\angle\) RQP = \(\frac{180^{0}-90^{0}}{2}=\frac{90^{0}}{2}=45^{\circ}\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।
\(\angle\) RPQ = \(\angle\) RQP = \(\frac{180^{0}-90^{0}}{2}=\frac{90^{0}}{2}=45^{\circ}\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।
(ii) \(QR\) বৃত্তের একটি জ্যা এর \(PQR\) বৃত্তের একটি ব্যাস। \(OD, QR\) বাহুর উপর লম্ব। \(OD = 4\) সেমি হলে \(PQ\) এর দৈর্ঘ্য -
(a) 4 সেমি (b) 2 সেমি (c) 8 সেমি (d) কোনটিই নয়।
(a) 4 সেমি (b) 2 সেমি (c) 8 সেমি (d) কোনটিই নয়।
\(O D \perp Q R\), \(\therefore\) \(\angle ODR \) = 1 সমকোণ
আবার, POR, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাস।
\(\therefore\) \(\angle PQR \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle PQR \) = 1 সমকোণ[অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) OD | | PQ এবং \(\angle \mathrm{PRQ}\), \(\triangle \mathrm{PQR}\) ও \(\triangle \mathrm{ODR}\)-এর সাধারণ কোণ।
\(\therefore \triangle \mathrm{PQR}\) ও \(\triangle \mathrm{ODR}\) সদৃশকোণী।
\(\therefore \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{PR}}\)
বা, \(\frac{4}{\mathrm{PO}}=\frac{\mathrm{OR}}{2 \mathrm{OR}}\) [ \(\because \mathrm{PR}=2 \mathrm{OR}\)]
বা, \(\frac{4}{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}\)
বা, \(\mathrm{PQ}=8\)
\(\therefore\) PQ-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
বিকল্প : POR, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাস। \(\therefore \angle \mathrm{PQR}\) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle \mathrm{PQR}\) = 1 সমকোণ বা 90°[অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore \triangle \mathrm{PQR}\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ PR
\(\therefore \mathrm{PR}^{2}=\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}\) \(\ldots\ldots\) (1) [পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
আবার, \(O D \perp Q R\), যেখানে QR বৃত্তের একটি জ্যা।
\(\therefore\) D, QR-এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore \mathrm{DR}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}\)
\(\therefore\) ODR একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ OR
\(\therefore \mathrm{OR}^{2}=\mathrm{OD}^{2}+\mathrm{DR}^{2}\)
বা, \(\left(\frac{1}{2} \mathrm{PR}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{QR}\right)^{2}\left[\because \mathrm{OR}=\frac{1}{2} \mathrm{PR}\right.\) এবং \(\mathrm{DR}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}\) এবং OD = 4 সেমি]
বা, \(\frac{\mathrm{PR}^{2}}{4}=16+\frac{\mathrm{QR}^{2}}{4}\)
বা, \(\frac{P R^{2}}{4}=\frac{64+Q R^{2}}{4}\)
বা, \(\mathrm{PR}^{2}=64+\mathrm{QR}^{2}\) \(\ldots\ldots\) (2)
\(\therefore\) (1) ও (2) থেকে পাই, \(\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2}=64+\mathrm{QR}^{2}\)
বা, \(\mathrm{PQ}^{2}=64\)
বা, \(\mathrm{PQ}=\sqrt{64}=8\)
\(\therefore\) PQ-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি,
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
আজই Install করুন Chatra Mitra
(iii) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC ও BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। \(\angle COD = 40^{\circ}, \angle CED\) এর মান —
(a) \(40^{\circ}\) (b) \(80^{\circ}\) (c) \(20^{\circ}\) (d) \(70^{\circ}\)
(a) \(40^{\circ}\) (b) \(80^{\circ}\) (c) \(20^{\circ}\) (d) \(70^{\circ}\)
B, C এবং C, D যুক্ত করি। AOB, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাস।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle ACB \) = 90° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার \(\angle BCE \) = 180° - \(\angle ACB \) = 180° - 90° [(1) থেকে] = 90° \(\ldots\ldots\) (2)
এখন, CD জ্যা দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle COD \) = 40° এবং সম্মুখ বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle CBD \)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{COD}\) [কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, \(\angle \mathrm{CBE}=\frac{1}{2} \times 40^{\circ}=20^{\circ}\) \(\ldots\ldots\)(3)
তাহলে, \(\triangle \mathrm{BCE}\) থেকে পাই, \(\angle BEC \) + \(\angle BCE \) + \(\angle CBE \) = 180°
বা, \(\angle BEC \) + 90° + 20° = 180° [ (2) ও (3) থেকে]
বা, \(\angle BEC \) = 180° - 110°
বা, \(\angle BEC \) = 70°
\(\therefore\) \(\angle CED \) = 70°,\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।
(iv) \(AQB\) বৃত্তের ব্যাস। \(AC = 3\) সেমি ও \(BC = 4\) সেমি হলে \(AB\) এর দৈর্ঘ্য-
(a) 3 সেমি (b) 4 সেমি (c) 5 সেমি (d) 8 সেমি
(a) 3 সেমি (b) 4 সেমি (c) 5 সেমি (d) 8 সেমি
AOB বৃত্তের একটি ব্যাস। \(\therefore\) \(\angle ACB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle ACB \) = 90°[অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই, \(A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}=3^{2}+4^{2}\) [ \(\because\) AC = 3 সেমি, BC = 4 সেমি] = 9 + 16 = 25
\(\therefore\) \(A B=\sqrt{25}=5\)
\(\therefore\) AB-এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি,
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এর AB ব্যাস। \(\angle BCE = 20^{\circ}, \angle CAE = 25^{\circ}\) হলে, \(\angle AEC\) এর মান নিৰ্ণয় করি—
(a) \(50^{\circ}\) (b) \(90^{\circ}\) (c) \(45^{\circ}\) (d) \(20^{\circ}\)
(a) \(50^{\circ}\) (b) \(90^{\circ}\) (c) \(45^{\circ}\) (d) \(20^{\circ}\)
CA-জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি হল \(\angle AEC \) ও \(\angle ABC \)
\(\therefore\) \(\angle AEC \) = \(\angle ABC \) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, BE জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি হল \(\angle BAE \) ও \(\angle \mathrm{BCE}\)
\(\therefore\) \(\angle BAE \) = \(\angle BCE \) = 20° [\(\because\)\(\angle BCE \) = 20]
CE জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি হল \(\angle CBE \) ও \(\angle \mathrm{CAE}\), \(\therefore\) \(\angle CBE \) = \(\angle CAE \) = 25° [ \(\because\) \(\angle CAE \) = 25°]
আবার, \(\angle AEB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle AEB \) = 90°
তাহলে, \(\triangle \mathrm{ABE}\)-এ \(\angle ABE \) = 180° – \((\angle \mathrm{BAE}+\angle \mathrm{AEB})\) = 180° – (20° + 90°) = 70.
\(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ABE \) - \(\angle CBE \) = 70° - 25° = 45°
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(\angle AEC \) = \(\angle ABC \) = 45°, \(\therefore\) \(\angle AEC \) = 45°.(c)
B. সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ।
মিথ্যা; কারণ অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ সূক্ষ্মকোণ হবে। চিত্র দেখাে।
(ii) ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দুর O এর \(OA = OB = OC; AB\) বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।
সত্য; কারণ, \(OA = OB = OC.\) চিত্র দেখাে।
C. শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ______।
সমকোণ
(ii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ ______।
স্থূলকোণ
(iii) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি ______ বিন্দু দিয়ে যাবে।
সমকৌণিক।
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) \(ABC\) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের \(AB = AC ; AB\) বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি \(BC\) বাহুকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে \(BD = 4\) সেমি হলে \(CD\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি ।
ধরি, AB বাহুর মধ্যবিন্দু O; O-কে কেন্দ্র করে অঙ্কিত বৃত্তটি BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। A, D যুক্ত করি। তাহলে \(\angle ADB \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ADB \) = 90°, [ ∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) \(\angle ADC \) = 90°,
এখন, \(\triangle ABD \) ও \(\triangle \mathrm{ACD}\)-এর মধ্যে AB = AC, \(\angle ABD \) = \(\angle ACD \) এবং \(\angle ADB \) = \(\angle \mathrm{ADC}\).
\(\therefore\) \(\triangle ABD \) \(\cong\) \(\triangle ACD \) [সর্বসমতার A - A – S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) BD = CD [\(\because\) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
কিন্তু BD = 4 সেমি (প্রদত্ত);
\(\therefore\) CD-এর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি।
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
আজই Install করুন Chatra Mitra
(ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। \(AB = 4\) সেমি ও \(AC = 3\) সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
\(\because\) AB-এবং AC পরস্পর লম্ব।
\(\therefore\) \(\angle BAC \) = 90°. \(\therefore\) \(\triangle ABC \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BC.
\(\therefore\) \(\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}\) [ পীথাগােরাসের সূত্রানুসারে ]
\(=4^{2}+3^{2}=16+9=25\). \(\therefore B C=\sqrt{25}=5\).
এখন, BC হল বৃত্তটির একটি ব্যাস।
\(\therefore\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(=\frac{5}{2}\) সেমি = 2.5 সেমি।
(iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ এবং PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি হলে, জ্যা QR-এর দৈর্ঘ্য নিৰ্ণয় করি।
\(\because\) PQ ও PR পরস্পর লম্ব,
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{QPR}\) = 90°
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{QPR}\) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।[ ∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
\(\therefore\) QR বৃত্তটির একটি ব্যাস।
\(\because\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = \(r\) সেমি (প্রদত্ত);
\(\because\) QR-এর দৈর্ঘ্য = \(2 r\) সেমি।
(iv) \(AOB\) বৃত্তের একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। \(\angle OBC= 60^{\circ}\) হলে \(\angle OCA\) এর মান নির্ণয় করি।
AOB বৃত্তের একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। \(\therefore\) \(\angle ACB \) = 1 সমকোণ বা 90°
আবার, \(\triangle \mathrm{OBC}\)-এর OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\therefore \angle O C B\) = \(\angle OBC \) = 60° [ \(\because\) \(\angle OBC \) = 60°, প্রদত্ত]
\(\therefore\) \(\angle OCA \) = \(\angle ACB \) - \(\angle OCB \) = 90° - 60° = 30°, \(\therefore\) \(\angle OCA \) = 30°,
\(\therefore \angle O C A\)-এর মান = 30°
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। \(\angle APB\)-এর মান নির্ণয় করি।
B, C যুক্ত করি।
এখন, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB ব্যাস। \(\therefore\) \(\angle ACB \) = 90°.
আবার, \(\triangle \mathrm{COD}\)-এর OC = OD = CD (প্রদত্ত)
\(\therefore\) এটি সমবাহু ত্রিভুজ। \(\therefore\) প্রতিটি কোণ = 60°
\(\therefore\) \(\angle COD \) = 60°, এখন, CD জ্যা দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle COD \) ও বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle CBD \)
\(\therefore\) \(\angle C O D=2 \angle C B D\)
বা, \(60^{\circ}=2 \angle \mathrm{CBD}\) \(\left[\because \angle C O D=60^{\circ}\right]\)
বা, \(\angle C B D=\frac{60^{\circ}}{2}\)
বা, \(\angle CBD \) = 30°
\(\therefore \triangle \mathrm{PBC}\)-এর \(\angle PCB \) = 90° [\(\because\) \(\angle ACB \) = 90°], \(\angle PBC \) = \(\angle CBD \) = 30°.
\(\therefore \angle \mathrm{BPC}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{PCB}+\angle \mathrm{PBC})=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+30^{\circ}\right)\)
= 180° - 120° = 60°
\(\therefore\) \(\angle BPC \) = 60°.
\(\therefore\) \(\angle APB \) = 60°.
\(\therefore \angle APB\)-এর মান = 60°.
Koshe dekhi 7.3 Class 10|বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩|কষে দেখি 7.3 ক্লাস 10
আজই Install করুন Chatra Mitra
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
