প্রদত্ত ছবিতে \(\angle\) DBA = \(40^{\circ}\), \(\angle\) BAC = \(60^{\circ}\) এবং \(\angle\) CAD = \(20^{\circ}\)
\(\angle\) DCA এবং \(\angle\) DBA একই বৃত্তচাপ CD-এর উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ ।
সেজন্য \(\angle\) DCA = \(\angle\) DBA = \(40^{\circ}\)
এবার, \(\angle\) BAD = \(\angle\) BAC + \(\angle\) CAD = \(60^{\circ}+20^{\circ}\) = \(80^{\circ}\) [ দেওয়া আছে ]
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি \(180^{\circ}\)
সেজন্য \(\Delta\) ABD-এর \(\angle\) BDA + \(\angle\) BAD + \(\angle\) ABD = \(180^{\circ}\)
বা, \(\angle\) BDA = \(180^{\circ}\) - (\(\angle\) BAD + \(\angle\) ABD) = \(180^{\circ}\) - \(\left(80^{\circ}+40^{\circ}\right)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)
একই বৃত্তচাপ AB-এর উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ \(\angle\) BCA = \(\angle\) BDA = \(60^{\circ}\) [ পূর্বে প্রমাণিত ]
\(\therefore\) \(\angle\) BCD = \(\angle\) BCA + \(\angle\) ACD = \(60^{\circ}+40^{\circ}=100^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle\) BAD + \(\angle\) BCD = \(80^{\circ}+100^{0}=180^{\circ}\)
সুতরাং প্রমাণ করা হল যে, \(\angle\) DCA = \(40^{\circ}\), \(\angle\) BCA = \(60^{\circ}\) এবং \(\angle\) BAD ও \(\angle\) BCD-এর মানের সমষ্টি \(180^{\circ}\) (উত্তর)।

AB \(\perp\) OC
\(\therefore\) \(\angle\) AOC = \(\angle\) BOC = \(90^{\circ}\)
আবার, \(\triangle \mathrm{AOC}\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, AO = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\therefore\) \(\angle\) OAC = \(\angle\) OCA
এখন \(\angle\) OAC + \(\angle\) OCA = \(90^{\circ}\) [ \(\because\) \(\angle\) AOC = \(90^{\circ}\)]
বা, \(\angle\) OAC + \(\angle\) OAC = \(90^{\circ}\) \([\because \angle O C A=\angle O A C]\)
\(\therefore\) 2\(\angle\) OAC = \(90^{\circ}\)
বা, \(\angle\) OAC = \(\angle\) BAC = \(45^{\circ}\)
অনুরূপ, \(\angle\) ABC = \(45^{\circ}\)
আবার, \(\angle\) ABC ও \(\angle\) APC একই বৃত্তাস্থ কোণ
\(\therefore\) \(\angle\) APC = \(\angle\) ABC = \(45^{\circ}\)

অঙ্কন :
\(BG\) যুক্ত করা হল এবং বর্ধিত করলে \(AC\) কে \(X\) বিন্দুতে ছেদ করল। \(BD\) যুক্ত করা হল।
প্রমাণ :
\(\triangle B C X\) এবং \(\triangle ACO\) ত্রিভুজের মধ্যে, (সাধারণ কোণ)
\(\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BXC}\left(=90^{\circ}\right)\)
[\(\because\) শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের ছেদবিন্দু লম্ববিন্দু]
\(\therefore\) অবশিষ্ট \(\angle \mathrm{OAC}\) = অবশিষ্ট \(\angle \mathrm{CBX}\) অর্থাৎ \(\angle C A D=\angle O B G\)
আবার, \(\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{CBD}\) [\(\because\) একই চাপ দ্বারা পরিধিস্থ কোণ ]
অর্থাৎ \(\angle \mathrm{CAO}=\angle \mathrm{OBD}\)
অতএব, \(\angle \mathrm{OBD}=\angle \mathrm{OBG}\)
এখন, \(\triangle OBD \) এবং \(\triangle OBG\) ত্রিভুজের মধ্যে,
\(\angle \mathrm{OBD}=\angle \mathrm{OBG}\)
\(\angle \mathrm{BOG}=\angle \mathrm{BOD}=90^{\circ}\)
\(BO\) সাধারণ বাহু
\(\therefore\) ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম।
\(\therefore\) \(GO = DO\) (প্রমাণিত)

I, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর অন্তঃকেন্দ্র।
\(\therefore \angle \mathrm{IBC}=\angle \mathrm{IBA}, \angle \mathrm{IAB}=\angle \mathrm{IAC}\)
এবং \(\angle ICB \) = \(\angle ICA \)
\(\because \angle \mathrm{IAB}=\angle \mathrm{IAC}, \therefore \angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PAC}\)
\(\therefore\) PB = PC [উপপাদ্য-35-এর বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে] \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\widehat{\mathrm{PB}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ \(\angle \mathrm{BCP}\) ও \(\angle B A P\)
\(\therefore\), \(\angle BCP \) = \(\angle B A P\)[একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান]
বা, \(\angle PBC \) = \(\angle BAP \) [\(\because\) PB = PC,
\(\therefore\) \(\angle B C P=\angle P B C\)]
এখন,
\(\triangle \mathrm{AIB}\)-এর বহিস্থ \(\angle BIP \) = অন্তঃস্থ বিপরীত \((\angle \mathrm{IAB}+\angle \mathrm{IBA})\) [বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
= \(\angle IAB \) + \(\angle IBC \) = \(\angle BAP \) + \(\angle IBC \) [\(\because\) \(\angle IAB \) ও \(\angle BAP \) একই কোণ]
= \(\angle PBC \) + \(\angle IBC \) [ \(\because\) \(\angle PBC \) = \(\angle B A P\)] = \(\angle IBP \)
\(\therefore\) \(\angle BIP \) = \(\angle IBP \) \(\therefore\) PB = BI
বা, \(\mathrm{PB}=\mathrm{PI}\) [\(\because\) \(BI = PI\), একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] \(\ldots\ldots\) (2)
\(\therefore\) (1) ও (2) থেকে পাই, \(PB = PC = PI\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : O এবং O' কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা APC ও BPD প্রথম বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle AQC \) = \(\angle BQD \)
অঙ্কন : A, Q; B, Q; C, Q; D, Q বিন্দুগুলি যুক্ত করি।
প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB চাপ দ্বারা উৎপন্ন \(\angle APB \) ও \(\angle AQB \) দুটি বৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle APB \) = \(\angle AQB \) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তে CD চাপ দ্বারা উৎপন্ন \(\angle CQD \) ও \(\angle CPD \) দুটি বৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle CQD \) = \(\angle CPD \) \(\ldots\ldots\) (2)
কিন্তু \(\angle APB \) = \(\angle CPD \) [\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ]
\(\therefore\) \(\angle AQB \) = \(\angle CQD \) [ (1) ও (2) থেকে ]
এখন, \(\angle \mathrm{AQD}+\angle \mathrm{AQB}=\angle \mathrm{AQD}+\angle \mathrm{CQD}\)
[ \(\because\) \(\angle AQB \) = \(\angle C Q D\)]
বা, \(\angle BQD \) = \(\angle AQC \) \(\therefore\) \(\angle AQC \) = \(\angle B Q D\) (প্রমাণিত)

\(\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}\), \(\angle APD \) = \(\angle BPC \) = 90°
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{ADP}=90^{\circ}-\angle \mathrm{DAP}\) \(\ldots\ldots\) (1)
এখন, \(\widehat{\mathrm{AC}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ দুটি কোণ হল \(\angle ADC \) ও \(\angle ABC \)
\(\therefore\) \(\angle ADC \) = \(\angle ABC \) \(\ldots\ldots\) (2)
আবার, \(\angle BPE \) = \(\angle APF \) [\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ] \(\ldots\ldots\) (3)
এখন, \(\angle \mathrm{APF}=90^{\circ}-\angle \mathrm{PAF}\left[\because \angle \mathrm{AFP}=90^{\circ}\right]\)
\(=\angle \mathrm{ADP}\left[\because \angle \mathrm{APD}=90^{\circ}\right]\) \(\ldots\ldots\) (4)
(3) ও (4) থেকে পাই, \(\angle BPE \) = \(\angle ADP \) = \(\angle ADC \) = \(\angle ABC \) = \(\angle PBE \)
\(\therefore \triangle B P E\)-এর \(\angle BPE \) = \(\angle \mathrm{PBE}\),
\(\therefore\) \(BE = PE\) \(\ldots\ldots\) (5)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, \(CE = PE\) \(\ldots\ldots\) (6)
(5) ও (6) থেকে পাই, \(BE = CE\)
\(\therefore\) \(E, BC\)-এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)

ABCD- বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC
\(\therefore\) AB ও CD জ্যাদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণগুলি সমান হবে।
\(\therefore\) \(\angle ACB \) = \(\angle ADB \) \(\ldots\ldots\) (1)
এবং \(\angle CBD \) = \(\angle CAD \) \(\ldots\ldots\) (2)
উপরন্তু \(\angle ACB \) = \(\angle CBD \) [ \(\because\) AB = DC]
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{EBC}\) -এর \(\angle ECB \) = \(\angle \mathrm{EBC}\) .\(\therefore\) BE = CE
আবার, \(\angle ADB \) = \(\angle CAD \) [\(\because\) AB = DC]
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{EAD}\)-এর \(\angle EAD \) = \(\angle \mathrm{EDA}\). \(\therefore\) DE = AE
এখন, \(AE + CE = DE + BE\) [\(\because\) \(AE = DE \)এবং \(CE = BE\)]
বা, \(AC = BD\) (প্রমাণিত)।

প্রদত্ত : O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। C, P যােগ করা হল।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, CP = PQ
অঙ্কন : O,C; O,Q, O,P যুক্ত করি।
প্রমাণ : APOC বৃত্তে OP জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ \(\angle OAP \) ও \(\angle O C P\) \(\therefore\) \(\angle OAP \) = \(\angle \mathrm{OCP}\) \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, \(\triangle \mathrm{OAQ}\)-এ OA = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\therefore\) \(\angle OAQ \) = \(\angle O Q A\) \(\ldots\ldots\) (2)
(1) ও (2) থেকে পাই, \(\angle O C P=\angle O Q A\) \(\ldots\ldots\) (3)\([\angle O A P=\angle O A Q]\)
\(\therefore\) \(CP = PQ\) [ \(\because\) \(\triangle \mathrm{CPQ}\)-এ \(\angle QCP \) = \(\angle \mathrm{CQP}\)]
\(\therefore\) \(CP = PQ\) (প্রমাণিত)।

ধরি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(\triangle ABC \) অন্তর্লিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে \(\angle \mathrm{BAC}\), \(\angle ABC \) ও \(\angle ACB \) -এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তটিকে যথাক্রমে X, Y এবং z বিন্দুতে ছেদ করে।
ধরি, AX, BY এবং CZ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে O বৃত্তটির অন্তঃকেন্দ্র হবে।
আবার, ধরি, AX, YZ-কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, \(\mathrm{AX} \perp \mathrm{YZ}\) অর্থাৎ \(\mathrm{AE} \perp \mathrm{YZ}\)
প্রমাণ : \(\angle ABY \) = \(\angle CBY \) [\(\because B Y, \angle A B C\)-এর সমদ্বিখণ্ডকা]
\(\therefore\) চাপ AY = চাপ CY
অনুরূপভাবে, চাপ BX = চাপ CX এবং চাপ AZ = চাপ BZ
[\(\because\) সমান সমান চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণগুলি সমান।]
আবার, চাপ AZ ও চাপ BZ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণদ্বয় সমান।
\(\therefore \angle \mathrm{AOZ}=\angle \mathrm{BOZ}\) \(\ldots\ldots\) (1)
একইভাবে, \(\angle AOY \) = \(\angle COY \) [\(\because\) চাপ AY = চাপ CY]
বা, \(\angle AOY \) =\(\angle \mathrm{BOZ}\) [ \(\because\) \(\angle COY \) ও \(\angle BOZ \) বিপ্রতীপ কোণ] \(\ldots\ldots\) (2)
\(\therefore\) \(\angle AOZ \) = \(\angle AOY \)
বা, \(\angle EOZ\) = \(\angle EOY \) \(\ldots\ldots\)(3)
এখন, \(\triangle \mathrm{EOY}\) ও \(\triangle \mathrm{EOZ}\)-এর মধ্যে
OY = OZ [ \(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
\(\angle EOY \) = \(\angle EOZ \) [(3) থেকে] এবং OE সাধারণ বাহু।
\(\therefore \Delta \mathrm{EOY} \cong \Delta \mathrm{EOZ}\) (সর্বসমতার S – A - S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) \(\angle OEY \) = \(\angle OEZ \) [ \(\because\)সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
কিন্তু এরা OE রেখাংশ YZ রেখাংশের উপর দণ্ডায়মান হওয়ায় উৎপন্ন দুটি সন্নিহিত কোণ, যারা পরস্পর সমান।
\(\therefore\) প্রত্যেকেই সমকোণ অর্থাৎ \(\angle OEY \) = \(\angle OEZ \) = সমকোণ।
\(\therefore O E \perp Y Z\)
বা, \(\mathrm{AX} \perp \mathrm{YZ}\)
\(\therefore\) AX, YZ-এর উপর লম্ব (প্রমাণিত)।

প্রদত্ত, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে \(\triangle ABC \) অন্তর্লিখিত। \(\angle \mathrm{BAC}\), \(\angle ABC \) ও \(\angle \mathrm{ACB}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তটিকে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(X, Y ; Y, Z ; Z, X\) বিন্দুগুলিকে যুক্ত করি।
প্রামাণ্য : \(\angle \mathrm{YXZ}=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}\)
প্রমাণ : চাপ AZ দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ হল \(\angle AXZ \) এবং \(\angle \mathrm{ACZ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{AXZ}=\angle \mathrm{ACZ}\) \(\ldots\ldots\) (1) [একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান]
একইভাবে, চাপ AY দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ হল \(\angle AXY \) ও \(\angle ABY \)
\(\therefore\) \(\angle AXY \) = \(\angle ABY \) \(\ldots\ldots\) (2) [একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান]
এখন, (1) ও (2) যােগ করে পাই,
\(\angle A X Z+\angle A X Y=\angle A C Z+\angle A B Y\)
বা, \(\angle \mathrm{YXZ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{C}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{B}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{B})=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle \mathrm{A}\right)\left[\because \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}\right]\)
\(=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}\)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{YXZ}=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}\) (প্রমাণিত)।

অঙ্কন : D, E যোগ করা হল।
প্রমাণ :\(\because\) AD \(\perp\) BC ও AE CA
\(\therefore\) \(\angle\) ADB = \(\angle\) ADC = 1 সমকোণ।
\(\angle\) AEB = \(\angle\) BEC = 1 সমকোণ।
বহিস্থ কোণ \(\angle\) EDC = অন্তস্থ বিপরীত কোণ \(\angle\) BAE
\(\angle\) BDE + \(\angle\) EDC = 2 সমকোণ।
অথাৎ, \(\angle\) BDE + \(\angle\) BAE = 2 সমকোণ।
আবার, বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\) DEC = অন্তস্থ বিপরীত কোণ \(\angle\) ABD
\(\angle\) AED + \(\angle\) DEC = 2 সমকোণ।
অথাৎ, \(\angle\) AED + \(\angle\) ABD = 2 সমকোণ।
\(\therefore\) ABDE চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক ।
\(\because\) বৃত্তস্থ চৰ্ভুভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক ।
\(\therefore\) A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে CD বৃত্তচাপের দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ \(\angle DBC \) এবং \(\angle CAD \)
\(\therefore\) \(\angle DBC \) = \(\angle CAD \) \(\ldots\ldots\) (1)
এখন, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর \(\angle ACB \) = 30° এবং \(\angle ABC \) = 60°
\(\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ABC})=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\)
আবার, \(\angle DAB \) = 35° (প্রদত্ত), \(\therefore\) \(\angle CAD \) = \(\angle BAC \) - \(\angle DAB \) = 90° – 35° = 55°
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(\angle DBC \) = \(\angle CAD \) = 55°
\(\therefore x^{\circ}=55^{\circ}\)
\(\therefore x=55\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।

\(\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC =\)
\(65^{\circ}-45^{\circ}=20^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle\) CAD = \(\angle\) CBD = \(20^{\circ}\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে \(\widehat{\mathrm{AB}}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ দুটি কোণ হল \(\angle ADB \) ও \(\angle \mathrm{ACB}\)
\(\therefore\) \(\angle ADB \) = \(\angle ACB \) \(\ldots\ldots\) (1) [একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান]
এখন, BCE ত্রিভুজের CE বাহুকে A পর্যন্ত বর্ধিত করলে উৎপন্ন' বহিস্থ কোণ \(\angle \mathrm{AEB}\) = অন্তঃস্থ বিপরীত \((\angle \mathrm{CBE}+\angle \mathrm{BCE})\)
বা, \(110^{\circ}=\angle \mathrm{CBE}+\angle \mathrm{BCE}\) [ \(\because \angle \mathrm{AEB}=110^{\circ}\) (প্রদত্ত)]
বা, \(\angle BCE \) = 110° - \(\angle CBE \)
বা, \(\angle B C E=110^{\circ}-30^{\circ}\) [ \(\therefore\) \(\angle CBE \) = 30° (প্রদত্ত)]
বা, \(\angle ACB \) = 80° [\(\because \angle B C E\) ও \(\angle ACB \) একই কোণ]
\(\therefore\) \(\angle ADB \) = \(\angle ACB \) = 8O° [(1) থেকে]
বা,\(\angle \mathrm{ADB}=80^{\circ}\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

\(\angle\) BCD = \(\angle\) BAD = \(28^{\circ}\)
\(\angle\) CBE = \(180^{\circ}-\left(38^{\circ}+28^{\circ}\right)=114^{\circ}\) \(\therefore\) \(\angle\) ABX = \(180^{\circ}-114^{\circ}=66^{\circ}\)
\(\angle\) AXB = \(180^{0}-\left(66^{\circ}+28^{\circ}\right)=180^{\circ}-94^{\circ}=86^{\circ}\)
\(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

B, D এবং A, D যুক্ত করি।
\(\therefore\) AB || CD,
\(\therefore\) \(\angle ABD \) + \(\angle CDB \) = 180°
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে \(\widehat{\mathrm{CD}}\)চাপ দ্বারা গঠিত \(\angle CED \) ও \(\angle CBD \) দুটিই বৃত্তস্থ কোণ। \(\therefore\) \(\angle CED \) = \(\angle \mathrm{CBD}\)\(\ldots\ldots\)(1)
এখন, \(\angle ABC \) = 25° (প্রদত্ত),
\(\therefore\) \(\angle B C D\) = 25° [ \(\therefore\) AB || CD, \(\therefore\) \(\angle ABC \) ও \(\angle \mathrm{BCD}\) একান্তর কোণ]
আবার, \(\angle ADC \) = \(\angle ABC \) [একই বৃত্তাংশথ কোণ]
= 25° [ \(\therefore\) \(\angle ABC \) = 25° (প্রদত্ত)]
\(\therefore\) AB ব্যাস, \(\therefore\) \(\widehat{A E B}\) চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle AOB \) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle ADB \)
\(\therefore \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB}=\frac{1}{2} \times 180^{\circ}=90^{\circ}[\because \angle \mathrm{AOB}\) সরলকোণ]
\(\therefore\) তাহলে, \(\angle BDC \) = \(\angle ADC \) + \(\angle ADB \) = 25° + 90° = \(115^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{BCD}\)-এ \(\angle \mathrm{CBD}\) = 180° –\((\angle \mathrm{BCD}+\angle \mathrm{BDC})\) \(= 180° – (25° + 115°) = 180° - 140° = 40°\)
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(\angle CED \) = \(\angle CBD \) = 40°\(\left[\because \angle B C D=25^{\circ}, \angle B D C=115^{\circ}\right]\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।

সত্য; কারণ,
AB সরলরেখার একই পার্শ্বে দুটি কোণ \(\angle AEB \) ও \(\angle \mathrm{ADB}\). এখন, \(\angle AEB \) ও \(\angle ADB \) উভয়ই সমকোণ।
\(\therefore\) \(\angle AEB \) = \(\angle ADB \) \(\therefore\) A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

মিথ্যা; কারণ,
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB = AC, \(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ACB \)
বা, \(\frac{1}{2} \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB}\)
বা, \(\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{BCF}\), [\(\therefore\) BE ও CF যথাক্রমে \(\angle ABC \) ও \(\angle \mathrm{ACB}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক]
এখন, \(\triangle \mathrm{BEC}\) ও \(\triangle \mathrm{BFC}\)-এর মধ্যে।
\(\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{BCF}, \angle \mathrm{ECB}=\angle \mathrm{FBC}\) এবং BC সাধারণ বাহু।
\(\therefore\) \(\Delta \mathrm{BEC} \cong \triangle \mathrm{BFC}\) [ সর্বসমতার A - A - S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) \(\angle BEC \) = \(\angle BFC \)
কিন্তু এরা BC বাহুর একই পার্শ্বে অবস্থিত E ও F বিন্দুতে দুটি কোণ যারা পরস্পর সমান।
\(\therefore\) B, C, E, F সমবৃত্তস্থ হবে।
কিন্তু দেওয়া আছে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।
\(\therefore\) বিবৃতিটি মিথ্যা।

সমান ।

সমবৃত্তস্থ ।

সমান।

D, O যুক্ত করি।
তাহলে, CD জ্যা দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle COD \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle CBD \)
\(\therefore\) \(\angle COD \) = 2 \(\angle CBD \) [কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, \(\angle C O D=2 \times 60^{\circ}\)
বা, \(\angle C O D=120^{\circ}\)
\(\therefore \Delta \mathrm{COD}\)-এ \(\angle O C D\) + \(\angle ODC \) = 180° - \(\angle COD \) [\(\therefore\) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°] = 180° – 120° = 60°
বা, \(\angle O C D+\angle O C D=60^{\circ}\) \([\because \angle O D C=\angle O C D]\)
বা, \(2 \angle O C D=60^{\circ}\)
বা, \(\angle O C D=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}\)
আবার, AC || DE, \(\therefore\) \(\angle ACD \) = \(\angle CDE \) [\(\therefore\) একান্তর কোণ]
বা, \(\angle C D E=\angle O C D\) [\(\therefore\) \(\angle ACD \) ও \(\angle OCD \) একই কোণ] = 30°
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{CDE}\)-এর মান 30°।

O, Q এবং O, R যুক্ত করি।
এখন, QR জ্যা দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle QOR \) ও বৃত্তস্থ কোণ \(\angle QPR \) ও \(\angle QSR \)
\(\therefore\) \(\angle QOR \) = 2 \(\angle QPR \) \(\ldots\ldots\)(1) এবং
\(\angle QOR \) = 2 \(\angle QSR \) \(\ldots\ldots\)(2)
এখন, \(\angle PQR \) = 2 \(\angle SQR \) [ \(\therefore\) QS, \(\angle \mathrm{PQR}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক] = \(2 \times 35^{\circ}=70^{\circ}\) এবং \(\angle PRQ \) = 32° (প্রদত্ত)
\(\therefore\) \(\angle QPR \) = 180° - \((\angle \mathrm{PQR}+\angle \mathrm{PRQ})\) = 180° – (70° + 32°) [\(\therefore\) \(\angle \mathrm{PQR}=70^{\circ}\) এবং \(\angle PRQ \) = \(32^{\circ}\)]
\(=180^{\circ}-102^{\circ}=78^{\circ}\) \(\therefore\) \(\angle QSR \) = 78° [ \(\therefore\) একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]

AC জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ \(\angle ADC \) ও \(\angle ABC \)
\(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ADC \) = 50° (প্রদত্ত) [কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
আবার, \(\widehat{A D B}\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = \(\angle AOB \) এবং বৃত্তস্থ কোণ = \(\angle ACB \)
\(\therefore\) \(\angle AOB \) = \(2 \angle \mathrm{ACB}\) [উপপাদ্য-34 অনুসারে]
বা, \(180^{\circ}=2 \angle \mathrm{ACB}\) [ \(\because\) \(\angle AOB \) = সরলকোণ = 180°]
বা, \(\angle \mathrm{ACB}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}\)
তাহলে, \(\angle \mathrm{CAB}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ABC})\) [\(\because\) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
= 180°- (90° + 50°) [ \(\because\) \(\angle ACB \) = 90° এবং \(\angle ABC \) = 50°] = 40°
আবার, AB ও CDপরস্পর লম্ব। ধরি, AB ও CD পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore\) \(\angle EAD \) = 180° – ( \(\angle \mathrm{ADE}\) + \(\angle \mathrm{AED})\) [\(\because\) ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি 180°]
= 180° – (50° + 90°) \([\because\) \(\angle ADE \) = \(\angle ADC \) = 50° এবং \(\angle AED \) = 90°] = 180° - 140° = 40°
এখন, \(\angle CAD \) = \(\angle EAD \) + \(\angle EAD \) = 40° + 40° [\(\because \angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{CAB}=40^{\circ}\) এবং \(\angle EAD \) = 40°] = 80°
\(\therefore\) \(\angle CAD \) = 80°

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB = AC, \(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ACB \) = 32° [ \(\because\) \(\angle ABC \) = 32]
এখন, AB জ্যা দ্বারা উৎপন্ন \(\angle ACB \) ও \(\angle ADB \) বৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ADB \) = \(\angle ACB \) = 32° \(\ldots\ldots\)(1)
আবার AC জ্যা দ্বারা উৎপন্ন \(\angle ABC \) ও \(\angle ADC \) বৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ADC \) = \(\angle ABC \) = 32° \(\ldots\ldots\)(2)
এখন, \(\angle BDC \) = \(\angle ADB \) + \(\angle ADC \)
\(=32^{\circ}+32^{\circ}\) [(1) ও (2) থেকে ] = 64° \(\therefore\) \(\angle BDC \) = \(64^{\circ}\)

\(\Delta\) ABC-এর AB = AC, \(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ACB \)
\(\therefore \frac{1}{2} \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB}\)
বা, \(\angle ABX \) = \(\angle BCY \) [ \(\because\) BX ও CY যথাক্রমে \(\angle ABC \) C ও \(\angle \mathrm{ACB}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক]
\(\therefore\) উপপাদ্য 35-এর বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে,
চাপ AX = চাপ BY = 4 সেমি [ \(\because\) BY = 4 সেমি (প্রদত্ত)]
\(\therefore\) AX-এর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি।