লম্ব = AB
ভূমি = BC = 20m
অতিভুজ = AC
আমরা জানি, tan60 = \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\)
বা, \(\sqrt 3 = \frac{{{\rm{AB}}}}{{20}}\)
বা, \({\rm{AB}} = 20\sqrt 3 \)
\(\therefore\) গাছটির উচ্চতা \(20\sqrt 3 \) মিটার

লম্ব = AB
ভূমি = BC = 9m
অতিভুজ = AC
মনে করি AB স্তম্ভে চিত্র হইতে
\(\tan {30^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\)
বা, \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{\rm{AB}}}}{9}\)
বা, \({\rm{AB}} = \frac{9}{{\sqrt 3 }}\)
\(= \frac{{\sqrt 3 \times \sqrt 3 \times 3}}{{\sqrt 3 }}\)
\(= 3\sqrt 3 \) মিটার
\(\therefore\) স্তম্ভটির উচ্চতা মিটার

লম্ব = AB = \(x\)m (ধরি)
ভূমি = BC
অতিভুজ = AC = 150m
চিত্র হইতে মনে করি ঘুড়িটি \(x\) উচ্চতায় A বিন্দুতে উড়ছে
\(\therefore {\rm{ }}\sin {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\)
বা, \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{x}{{150}}\)
বা, \(x = \frac{{150\sqrt 3 }}{2} = 75\sqrt 3 \)
\(\therefore\) ঘুড়িটি মাটি থেকে \(75\sqrt 3 \) উচ্চতায় উড়ছে।

লম্ব = AB = \(x\)m (ধরি)
ভূমি = BC \(=7 \sqrt{3} \mathrm{~m}\)
অতিভুজ = AC
মনে করি AB নদী; যাহা চওড়া \(x\) মিটার।
চিত্র হইতে \(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\)
বা, \(\sqrt 3 = \frac{x}{{7\sqrt 3 }}\)
বা, \(x=7 \sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
বা, \(x=7 \times 3\)
বা, \(x = 21\)
\(\therefore\) নদীটি 21 মিটার চওড়া

মনে করি, \(AB =\) টেলিগ্রাফ পােস্ট।
মনে করি, পােস্টটি C বিন্দুতে ভেঙে যাওয়ায় ওর অগ্রভাগ A ভূমিকে D বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
সুতরাং \(AC = CD\)।
প্রশ্নানুসারে, \(\angle CDB =30^{\circ}\) এবং \(BD = 8 \sqrt{3}\) মিটার।
লম্ব = BC (ধরি)
ভূমি = BC \(=8 \sqrt{3} \mathrm{~m}\)
অতিভুজ = DC
এখন সমকোণী ত্রিভুজ CBD থেকে পাই,
\(\frac{B C}{B D}=\tan 30^{\circ}\)
বা, \(\frac{B C}{8 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad(\because B D=8 \sqrt{3}\) মিটার)
বা, \(13 C=\frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
বা, BC = 8 মিটার।
আবার, \(\frac{B D}{D C}=\cos 30^{\circ}\)
বা, \(\frac{8 \sqrt{3}}{D C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বা, \(\sqrt{3} \times D C=16 \sqrt{3}\)
বা, \(D C=\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
বা, \(DC = 16\) মিটার।
সুতরাং টেলিগ্রাফ পােস্টটি মাটি থেকে 8 মিটার ওপরে মচকেছিল এবং টেলিগ্রাফ পােস্টটির উচ্চতা
\(= AB = AC + CB = DC + CB (\because AC = DC)\)
= 16 মিটার + 8 মিটার = 24 মিটার।

সমাধান : চিত্র হইতে \(\Delta\) ABE হইতে
\(\cos 30^{\circ}=\frac{\text { ভূমি }}{\text { অতি }}\)
বা, \(\cos {30^\circ } = \frac{6}{{{\rm{AE}}}}\)
বা, \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{6}{{{\rm{AE}}}}\)
বা, \({\rm{AE}} = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} =\frac{12 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{12 \sqrt{3}}{3}=4 \sqrt{3}\)
\(\therefore\) মইটির দৈঘ্য \(4 \sqrt{3}\) মিটার
\(\Delta\)CDE হইতে
\(\cos {60^\circ } = \frac{{{\rm{ED}}}}{{{\rm{CE}}}}\)
বা, \(\frac{1}{2} = \frac{{{\rm{ED}}}}{{4\sqrt 3 }}\)
বা, \(E D=\frac{4 \sqrt{3}}{2}\)
বা, \({\rm{ED}} = 2\sqrt 3 \)
মান \(\Delta\)CED হইতে
\(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{ED}}}}\)
বা, \(\sqrt 3 = \frac{{{\rm{CD}}}}{{2\sqrt 3 }}\)
বা, \(C D=2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
বা, \(C D=2 \times 3\)
বা, \({\rm{CD = 6}}\)
(i) মইটির দৈঘ্য \(4\sqrt 3 \) মিটার
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির গোড়া থেকে মইটির দৈঘ্য \(2\sqrt 3 \) মিটার।
(iii) বাড়ি দুটির মধ্যে দুরত্ব = BE + ED
= \((6 + 2\sqrt 3 ) = 2(3 + \sqrt 3 )\) মিটার।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উচুতে মইটির ঠেকানো আছে।

সমাধান : মনে করি AB চিমনি যাহার উচ্চতা \(x\) মিটার
\(\triangle A B D\)-এর ক্ষেত্রে \(\tan {30^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}}\)
বা, \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{{\rm{BD}}}}\)
বা, \({\rm{BD}} = x\sqrt 3 \ldots ({\rm{i}})\)
\(\triangle A B C\)-এর ক্ষেত্রে \(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}} - 24}}\)
বা, \(\sqrt 3 = \frac{x}{{{\rm{BD}} - 24}}\)
বা, \(\sqrt{3}(B D-24)=x\)
বা, \({\rm{ BD }}\sqrt 3 - 24\sqrt 3 = x\)
বা, \(B D \sqrt{3}=x+24 \sqrt{3}\)
বা, \({\rm{BD}} = \frac{{x + 24\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\ldots ({\rm{ii}})\)
(i) ও (ii) হইতে পাই
বা, \(\frac{{x\sqrt 3 }}{1} = \frac{{x + 24\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
বা, \(3x = x +24\sqrt 3 \)
বা, \(3 x-x=24 \sqrt{3}\)
বা, \(2x = 24\sqrt 3 \)
বা, \(x = 12\sqrt 3 [\sqrt 3 = 1.732]\)\(=12 \times 1.732\)
\(\therefore\) \(x = 20.784\) মিটার
\(\therefore\) চিমনির উচ্চতা = 20.784 মিটার

সমাধান : চিত্র হইতে AB খুঁটি যাহার উচ্চতা \(x\) মিটার
\(\Delta\)ABC হইতে \(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\)
বা, \(\frac{{\sqrt 3 }}{1} = \frac{x}{{{\rm{BC}}}}\)
বা, \({\rm{BC}} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} \ldots ({\rm{i}})\)
আবার \(\Delta\)ABD হইতে \(\tan 45^{\circ}=\frac{A B}{B D}\)
বা, \(\tan {45^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}} + 3}}\ldots ({\rm{ii}})\)
বা,\(1 = \frac{x}{{{\rm{BC}} + 3}}\)
বা, \(B C+3=x\) বা, \(B C=x-3\)
(i) ও (ii) হইতে পাই
\(\frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x - 3}}{1}\)
বা, \(x = x\sqrt 3 - 3\sqrt 3 \)
বা, \(x - x\sqrt 3 = - 3\sqrt 3 \)
বা, \(x(1 - \sqrt 3 ) = - 3\sqrt 3 \)
বা, \(x = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }}\)
বা, \(x = \frac{{ - 3 \times 1.732}}{{1 - 1.732}} [\therefore \sqrt 3 = 1.732]\)
\( = \frac{{ - 5.196}}{{ - .732}} = \frac{{5196}}{{732}} = 7.098\) মিটার
\(\therefore\) খুঁটিটির উচ্চতা = 7.098 মিটার

ধরাে, চিমনিটি হল \(AB\) এবং বাড়িটি হল \(\mathrm{CD} . \mathrm{CE} \perp \mathrm{AB}\), \(\therefore \mathrm{CE}=\mathrm{BD}\) এবং \(\mathrm{CD}=\mathrm{BE}=9 \sqrt{3}\) মিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(\angle \mathrm{ACE}=30^{\circ}\)
এখন, \(\Delta\)\(ACE\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই,
\(\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{CE}}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{CE}}\)
বা, \(\sqrt{3} \mathrm{AE}=\mathrm{CE}\)
বা, \(\sqrt{3} A E=B D[\because C E=B D]\)
বা, \(\sqrt{3 A E}=30\)
বা, \(\mathrm{AE}=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{30 \sqrt{3}}{3}=10 \sqrt{3}\)
এখন, \(\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}\)
\(=10 \sqrt{3}+9 \sqrt{3}\)
\(=19 \sqrt{3}\) মি.
\(\because \mathrm{BE}=\mathrm{CD}=9 \sqrt{3}\) মি
\(\therefore\) চিমনিটির উচ্চতা \(=19 \sqrt{3}\) মিটার।

সমাধান : চিত্র হইতে মনেকরি, AB লাইট হাউস যাহার উচ্চতা \(x\) মিটার
প্রথমক্ষেত্রে \(\Delta\)ABC হইতে
\(\tan 60 = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\)
বা, \(\frac{{\sqrt 3 }}{1} = \frac{x}{{150}}\)
বা, \(x = 150\sqrt 3 \) মিটার
\(\therefore\) লাইট হাউসটির উচ্চতা \(150 \sqrt{3}\) মিটার,
আবার \(\triangle A B D\) থেকে,
\(\tan {30^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{150 + {\rm{CD}}}}\)
বা, \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{150\sqrt 3 }}{{150 + {\rm{CD}}}}\)
বা, \(150+C D=150 \times 3\)
বা, \(150+C D=450\)
বা, CD = 450 – 150
বা, CD = 300 মিটার
\(\therefore\) লাইট হাউস থেকে দ্বিতীয় জাহাজের মাস্তুলের দুরত্ব
\(B D=(B C+C D)\)
(300+150) = 450 মিটার

ধরাে, \(AB\) হল মনুমেন্ট এবং \(CD\) হল বাড়িটি।
'
\(\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB} . \quad \therefore \mathrm{DE}=\mathrm{BC}\) এবং \(\mathrm{CD}=\mathrm{BE}=16\) মিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(\angle \mathrm{ADE}=60^{\circ}\) এবং \(\angle \mathrm{BDE}=30^{\circ}\)
এখন, \(\Delta\)\(BDE\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(tan 30°=\frac{B E}{D E}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\mathrm{DE}}\)
বা, \(\mathrm{DE}=16 \sqrt{3}\) \(\ldots\) (1)
আবার, \(\Delta\)\(ADE\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\sqrt{3}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\)
বা, \(\sqrt{3}=\frac{\mathrm{AE}}{16 \sqrt{3}}\) \([\because D E=16 \sqrt{3}]\)
বা, \(\mathrm{AE}=48\)
\(\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}=(48+16)\) মিটার \(= 64\) মিটার।
\(\therefore\) মনুমেন্টের উচ্চতা \(64\) মিটার এবং মুনমেন্টটি থেকে বাড়িটির দূরত্ব \(16 \sqrt{3}\) মিটার।

\(\triangle A B D\) থেকে পাই,
\(\sin 60^{\circ}=\frac{A B}{A D}\)
বা, \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{250}}\)
বা, \({\rm{AB}} = \frac{{250\sqrt 3 }}{2} = 125\sqrt 3 \)
আবার, \(\Delta\) CBD হইতে
\(\sin {45^\circ } = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{CD}}}}\)
বা, \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{250}}\)
বা, \({\rm{BC}} = \frac{{250}}{{\sqrt 2 }} = 125\sqrt 2 \) মিটার
\(\therefore\) প্রথম ক্ষেত্রে অর্থাৎ A বিন্দুতে \(125 \sqrt{2}\) মিটার উচুতে থাকবে।

ধরাে, হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের অবস্থান যথাক্রমে \(H\) এবং \(S\)।
উড়ােজাহাজের উচ্চতা \(OD\)।
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{OD}=545 \sqrt{3}\) মিটার,
\(\angle \mathrm{EOH}=\angle \mathrm{OHD}=60^{\circ}\) এবং \(\angle \mathrm{FOS}=\angle \mathrm{OSD}=30^{\circ}\)
এখন, \(\triangle\) \(OHD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{HD}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\sqrt{3}=\frac{545 \sqrt{3}}{\mathrm{HD}}\)
বা, \(H D=\frac{545 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
বা, \(\mathrm{HD}=545\)
আবার, \(\triangle\) \(OSD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{DS}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{545 \sqrt{3}}{\mathrm{DS}}\)
বা, \(\mathrm{DS}=545 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=545 \times 3 =1635\)
এখন, \(HS = HD + DS\)
\(= 545 + 1635 = 2180.\)
\(\therefore\) হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের মধ্যেকার দূরত্ব \(2180\) মিটার।

ধরাে, বাড়িটি \(AB\) এবং পতাকা দণ্ডটি \(AC\).
প্রশ্নানুসারে, \(AC = 3 . 3\) মিটার,
\(\angle \mathrm{AOB}=45^{\circ}\) এবং \(\angle \mathrm{BOC}=50^{\circ}\)
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ \(BOC\) থেকে পাই,
\(\tan 50^{\circ}=\frac{B C}{O B}\)
বা, \(1.192=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OB}}\)
বা, \(1 \cdot 192=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{OB}}\)
বা, \(1 \cdot 192=\frac{\mathrm{AB}+3 \cdot 3}{\mathrm{OB}}\)
বা, \(1 \cdot 1920 B-3 \cdot 3=A B\)
বা, \(1.192 \mathrm{OB}=\mathrm{AB}+3.3\) \(\ldots\) (1)
আবার, \(AOB\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 45^{\circ}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}\)
বা, \(1=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}\)
বা, \(\mathrm{OB}=\mathrm{AB}\)
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(1.1920 B-3.3=O B\)
বা, \(1.192 O B-O B=3.3\)
বা, \(0.192 O B=3.3\)
বা, \(O B=\frac{3.3}{0.192}=17.19\) (প্রায়)
\(\therefore O B=A B=17.19\) (প্রায়)
\(\therefore\) তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা \(17.19\) মিটার (প্রায়)।

মনে করি, প্রথম স্তম্ভটির উচ্চতা \(= AB = 180\) মিটার এবং দ্বিতীয় স্তম্ভটির
উচ্চতা \(= CD = 60\) মিটার (চিত্র দেখাে)।
শর্তানুসারে, দ্বিতীয় স্তম্ভটির গােড়া থেকে প্রথম স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ \(= 60^{\circ}\), অর্থাৎ \(\angle ADB = 60^{\circ}\)
মনে করি, প্রথম স্তম্ভের গােড়া থেকে দ্বিতীয় স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ = \(\boldsymbol{\theta}\), অর্থাৎ \(\angle CBD \) = \(\boldsymbol{\theta}\)।
এখন ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\frac{A B}{B D}=\tan 60^{\circ}\)
বা, \(\frac{A B}{B D}=\sqrt{3}\)
বা, \(\frac{180}{B D}=\sqrt{3}\) (\(\because\) AB = 180 মিটার)
বা, \(B D=\frac{180}{\sqrt{3}}\) মিটার = \(\frac{180 \sqrt{3}}{3}\) মিটার ।
বা, \(B D=60 \sqrt{3}\) মিটার।
আবার \(CDB\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\frac{C D}{B D}=\tan \theta\)
বা, \(\frac{60}{60 \sqrt{3}}=\tan \theta\) (\(\because\) CD = 60 মিটার এবং BD = \(60 \sqrt{3}\) মিটার)।
বা, \(\tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ}\)
বা, \(\theta=30^{\circ}\)।
\(\therefore\) নির্ণেয় উন্নতি কোণ = \(30^{\circ}\)।

\(\triangle A D C\)-এর
\(\tan 45^{\circ}=\frac{A D}{D C}\)
বা, \(1=\frac{A D}{D C}\)
বা, \(A D=D C\) . . . . (i)
\(\triangle A B D\) - এর
\(\tan 30^{\circ}=\frac{A D}{B D}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A D}{B C+C D}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A D}{60+C D}\)
বা, \(A D=\frac{60+C D}{\sqrt{3}}\) . . . . (ii)
(i) ও (ii) সমীকরণ থেকে পাই,
\(C D=\frac{60+C D}{\sqrt{3}}\)
বা, \(C D \sqrt{3}-C D=60\)
বা, \(C D(\sqrt{3}-1)=60\)
বা, \(C D(1.732-1)=60\)
বা, \(C D=\frac{60}{0.732}\)
\(=81.96\) (প্রায়)
(i) থেকে পাই,
\(A D=C D=81.96\) (প্রায়)
\(\therefore\) স্তম্ভটির উচ্চতা = 81.96 মিটার (প্রায়)

মনে করি, AD হল চিমনি। B এবং C বিন্দু থেকে চিমনির চুড়া A বিন্দুর উন্নতি কোণ যথাক্রমে \(30^{\circ}\) এবং \(60^{\circ}\)
প্রশ্নানুসারে, BC=50 মিটার এবং \(\angle D B A=30^{\circ}, \angle D C A=60^{\circ}\)
ABD সমকোণ \(\angle A D B=1\) এবং \(\angle D B A=30^{\circ}\);
\(\therefore \quad \frac{A D}{B D}=\tan \angle D B A\)
বা,\(\frac{A D}{B D}=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore\) \(B D=A D \times \sqrt{3} \ldots(i)\)
আবার, ACD সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle A D C=\)
1 সমকোণ এবং \(\angle D C A=60^{\circ}\);
\(\therefore \frac{A D}{C D}=\tan \angle D C A\)
বা, \(\frac{A D}{C D}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\)
\(\therefore C D=\frac{A D}{\sqrt{3}} \ldots(ii)\)
(i) এবং (ii) থেকে পাই, \(B D-C D=A D \times \sqrt{3}-\frac{A D}{\sqrt{3}}\)
\(B D-C D=A D \times \sqrt{3}-\frac{A D}{\sqrt{3}}=A D\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
\(=A D\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right)=A D \times \frac{2}{\sqrt{3}}\)
বা, \(B C=A D \times \frac{2}{\sqrt{3}}[\because B D-C D=B C]\)
বা, \(A D=\frac{B C \times \sqrt{3}}{2}=\frac{50 \times \sqrt{3}}{2}\) মিটার \([\because B C=50\) মিটার]
\(=25 \sqrt{3}\) মিটার ।
উত্তর : চিমনির উচ্চতা \(=25 \sqrt{3}\) মিটার।

ধরাে, দণ্ডটি ছিল \(AB\) এবং এটিকে \(C\) বিন্দুতে বাঁকানাে হয়েছিল যাতে সেটি ভূমির সমতলে \(D\) বিন্দুতে মাটিকে স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে \(30^{\circ}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore\) \(AC = CD\) এবং, \(\angle \mathrm{BDC}=30^{\circ}\)
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle B C D\) থেকে পাই,
\(\sin 30^{\circ}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{A B-A C}{C D}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{AB}-\mathrm{CD}}{\mathrm{CD}}\)
বা, \(2 \mathrm{AB}-2 \mathrm{CD}=\mathrm{CD}\)
বা, \(2 A B=C D+2 C D\)
বা, \(2 \mathrm{AB}=3 \mathrm{CD}\)
বা, \(2 \times 126=3 \mathrm{CD}\) \([\because A B=126\) ডেসিমি \(]\)
বা, \(\mathrm{CD}=\frac{2 \times 126}{3}\)
বা, \(\mathrm{CD}=84\)
\(\therefore A C=84,\)
\(\therefore B C=A B-A C\)
\(=126-84=42\)
আবার, \(BDC\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{42}{\mathrm{BD}} \quad[\because \mathrm{BC}=42]\)
বা, \(B D=42 \sqrt{3}.\)
\(\therefore\) দণ্ডটিকে ভূমি থেকে \(42\) ডেসিমি উপরে বাঁকানাে হয়েছিল এবং এটির অগ্রভাগ গােড়া থেকে \(42 \sqrt{3}\) ডেসিমি দূরে মাটিকে স্পর্শ করেছিল।

সমাধান : মনে করি, পাখিটি A বিন্দুতে \(50 \sqrt{3}\) মিটার উচ্চতায় আছে।
\(\Delta\)ABD হইতে, \(\tan {30^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AD}}}}\) (সংজ্ঞানুসারে)
বা, \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{50\sqrt 3 }}{{{\rm{AD}}}}\)
বা, \(A D=\frac{50 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
বা, AD = 150 মিটার ।
\(\Delta\)ACB হইতে \(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\) (সংজ্ঞানুসারে)
বা, \(\sqrt 3 = \frac{{50\sqrt 3 }}{{{\rm{AC}}}}\)
বা, \(A C=\frac{50 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
বা, AC = 50 মি:
\(\therefore\) CD = AD + AC = (150 + 50) = 200 মি:
পাখিটি 2 \(\times\) 60 = 120 সে. যায় 200 মি.
\(\therefore\) 60 \(\times\) 60 মিটার \( = \frac{{200 \times 60 \times 60}}{{120 \times 1000}} = 6000\) মি. = 6 কিমি।
\(\therefore\) তার গতিবেগ 6 কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায়।

ধরাে, লক্ষ্মীদেবী ওভারব্রিজের \(O\) বিন্দুতে দাঁড়িয়ে প্রথমে \(A\) বিন্দুতে ইঞ্জিনটিকে \(30^{\circ}\) অবনতি কোণে দেখতে পেল এবং এর ঠিক \(2\) সেকেণ্ড পরে তিনি ইঞ্জিনটিকে \(B\) বিন্দুতে \(45^{\circ}\) অবনতি কোণে দেখতে পেল।
আবার, ধরাে \(OD\perp \mathrm{AB}\).
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{OD}=5 \sqrt{3}\) মিটার
\(\angle \mathrm{EOA}=\angle \mathrm{OAD}=30^{\circ}\) এবং \(\angle B O F=\angle O B D=60^{\circ}\)
এখন, \(AOD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 30^{\circ}=\frac{O D}{A D}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা,\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5 \sqrt{3}}{\mathrm{AD}}\) [\(\because O D=5 \sqrt{3}\) মি]
বা, \(AD = 15\).
বা, \(A D=5 \sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
বা, \(A D=5 \times 3\)
আবার, \(BOD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan 45^{\circ}=\frac{O D}{B D}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(1=\frac{5 \sqrt{3}}{B D}\)
বা, \(B D=5 \sqrt{3}\)
\(\therefore A B=A D+B D\)
\(=15+5 \sqrt{3}=(15+5 \times 1.732)\)
\(=(15+8.660)\) মিটার
\(=23.66\) মিটার
\(\therefore\) ট্রেনটির গতিবেগ
\(=\frac{23.66}{2}\) মিটার/ সেকেন্ড।
\(=11.83\) মিটার/ সেকেন্ড।
\(\therefore\) ট্রেনটির গতিবেগ \(=11.83\) মিটার/ সেকেন্ড।

সমাধান : মনে করি, সেতুটির দৈঘ্য AB = \(x\) মি:
\(\Delta\) ABC হইতে \(\tan {45^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(1 = \frac{x}{{{\rm{BC}}}}\) বা, \({\rm{ BC}} = x\ldots {\rm{ (i) }}\)
আবার \(\tan {30^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}} + 400}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
বা, \({\rm{BC}} = {\rm{x}}\sqrt 3 - 400 \ldots {\rm{ (ii) }}\)
(i) ও (ii) হইতে \(x\) = \(x \sqrt{3}-400\)
বা, \(x - x\sqrt 3 = - 400\)
\(\Rightarrow x \sqrt 3 - x = 400\)
\(\Rightarrow x(\sqrt 3 - 1) = 400\)
\(\Rightarrow x = \frac{{400}}{{\sqrt 3 - 1}}\)
\(= \frac{{400(\sqrt 3 + 1)}}{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)}}\)
\(=\frac{400(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\)
\( = \frac{{400(\sqrt 3 + 1)}}{{3 - 1}}\)
\(= \frac{{400(\sqrt 3 + 1)}}{2}\)
\( = 200(1.732 + 1)\)
\( = 200(\sqrt 3 + 1)\) মিটার।
\(\therefore\) সেতুটির দৈর্ঘ্য \( = 200(\sqrt 3 + 1)\) মিটার।

ধরি, AB হল বাড়ি এবং CD হল চিমনি।
\(A B=15 \mathrm{~m}\)
\(\angle E A D=30^{\circ}\) এবং \(\angle C A E=60^{\circ}\)
ধরি, \(A E \| E D\)
\(\angle A D B=\angle E A D=30^{\circ}\) (একান্তর কোণ)
\(\therefore B D=A E\) এবং \(D E=A B=15 \mathrm{~m}\)
\(\therefore C D=D E+E C\)
\(\triangle A B D\) থেকে পাই,
\(\frac{B D}{A B}=\cot 30^{\circ}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{B D}{15}=\sqrt{3}\)
বা, \(B D=15 \sqrt{3}\)
\(\therefore A E=B D=15 \sqrt{3}\)
\(\triangle A C E\) থেকে পাই,
\(\frac{E C}{A E}=\tan 60^{\circ}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{E C}{15 \sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
বা, \(E C=15 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=45\)
\(\therefore C D=D E+E C=(15+45)\) মি. = 60 মি.
\(\therefore\) চিমনির উচ্চতা 60 মি. এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব \(15 \sqrt{3}\) মি.

ধরি , উড়োজাহাজের A বিন্দুর থেকে C বিন্দুর অবনতি কোণ \(60^{\circ}\) এবং D বিন্দুর অবনতি কোণ \(30^{\circ}\)। উড়োজাহাজের A বিন্দু ভূমি থেকে AB উচ্চতায় আছে।
মনেকরি, BC = \(x\) মি. \(\therefore\) BD = (1000 - \(x\)) মি.
\(\triangle A B C\) থেকে,
\(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
\( \Rightarrow \sqrt 3 = \frac{{{\rm{AB}}}}{x}\)
\( \Rightarrow {\rm{AB}} = \sqrt 3 x \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\rm{(i)}}\)
\(\triangle A B D\) থেকে,
\(\tan {30^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{(1000 - x)}}\)
\( \Rightarrow {\rm{AB}} = \frac{{1000 - x}}{{\sqrt 3 }} \ldots \ldots \ldots \ldots {\rm{ (ii) }}\)
(i) ও (ii)-কে তুলনা করে পাই
\(\sqrt 3 x = \frac{{1000 - x}}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow 3 x=1000-x\)
\( \Rightarrow 3x + x = 1000\)
\(\Rightarrow 4 x=1000\)
\(\Rightarrow x = \frac{{1000}}{4}\)
\(\Rightarrow x = 250\)মি.
\(x\)-এর মান (i)-এ বসিয়ে পাই
\(A B=(\sqrt{3} \times 250)\) মি. = \(250 \sqrt{3}\) মি.
\(\therefore\) মাটি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা \(250 \sqrt{3}\) মি.।

ধরি, AB উচ্চতায় থাকা উড়োজাহাজের A বিন্দু থেকে ভূমিস্থ ফলকদ্বয় C ও D বিন্দুতে অবনতি কোণ যথাক্রমে \(60^{\circ}\) এবং \(30^{\circ}\)।
মনে করি, BC = \(x\)মি.
\(\therefore\) BD = (1000 +\(x\)) মি.
\(\triangle A B C\) থেকে,
\(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\)
\( \Rightarrow \sqrt 3 = \frac{{{\rm{AB}}}}{x}\)
\( \Rightarrow {\rm{AB}} = \sqrt 3 x \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\rm{(i)}}\)
\(\triangle A B D\) থেকে,
\(\tan 30^{\circ}=\frac{A B}{B D}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{(1000+x)}\)
\(\Rightarrow A B=\frac{1000+x}{\sqrt{3}} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\rm{(ii)}}\)
(i) ও (ii) -কে তুলনা করে পাই,
\(\sqrt 3 x = \frac{{1000 + x}}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow 3 x=1000+x\)
\(\Rightarrow 3x - x = 1000\)
\(\Rightarrow 2x = 1000\)
\( \Rightarrow x = \frac{{1000}}{2}\)
\(\Rightarrow x = 500\) মি .
\(x\)-এর মান (i)-এ বসিয়ে পাই:
\(A B=(500 \times \sqrt{3})\) মি. \(=500 \sqrt{3}\) মি.।
\(\therefore\) ভূমি থেকে উড়োজাহাটির উচ্চতা \(=500 \sqrt{3}\) মি.।

\(\triangle A B C\) থেকে,
\(\tan {60^\circ } = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\sqrt 3 = \frac{{{\rm{AB}}}}{{10}}\)
বা, AB = \(10 \sqrt{3}\)
Ans. (b) \(10 \sqrt{3}\) মিটার

লম্ব = 5cm
ভূমি \(=5 \sqrt{3} \mathrm{~m}\)
সমাধান : চিত্র হইতে \(\tan \theta\) = লম্ব/ভুমি
বা, \(\tan \theta = \frac{5}{{5\sqrt 3 }}\)
বা, \(\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
বা, \(\tan \theta=\tan 30^{\circ}\)
বা, \(\theta=30^{\circ}\)
Ans. (a) \(30^{\circ}\)

মনেকরি, AB বাড়ির উচ্চতা এবং BC ভুমি
\(\triangle A B C\) থেকে,
\(\tan \theta = \frac{{{\rm{AB}}}}{{BC}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\tan \theta = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AB}}}}{\rm{ }}[\therefore {\rm{AB = BC}}]\)
বা, \(\tan \theta=1\)
বা, \(\tan \theta=\tan 45^{\circ}\)
বা, \(\theta=45^{\circ}\)
Ans. (c) \(45^{\circ}\)

এখানে, ধরা যাক্ \(PQ =\) স্তম্ভের উচ্চতা = \(100 \sqrt{3}\) মিটার।
\(RQ = 100\) মিটার (চিত্র দেখাে)।
\(\therefore \frac{P Q}{R Q}=\tan \theta\)
যেখানে \(\theta\) = \(\angle PRQ \) = উন্নতি কোণ।
বা, \(\frac{100 \sqrt{3}}{100}=\tan \theta\)
বা, \(\tan \theta=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ}\)
বা, \(\theta = 60^{\circ} \therefore\) (c) নং সঠিক।

AB পোস্ট। যাহার উচ্চতা \(x\)
\(\triangle A B C\) থেকে,
\(\tan \theta = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\tan \theta = \frac{x}{{\sqrt {3x} }}\)
বা, \(\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
বা, \(\tan \theta=\tan 30^{\circ}\)
বা, \(\theta=30^{\circ}\)
Ans. (a) \({30^\circ }\)

বিবৃতিটি মিথ্যা

যেহেতু QR ও PS সমান্তরাল
চিত্র হইতে \(\angle SPR \) = \(\angle PRQ \) ইহারা একান্তর কোণ
বিবৃতিটি সত্য।

হ্রাস পায়।

সমান হবে

বেশী

ধরাে, ঘুড়িটির উচ্চতা \(AB = h\) মিটার এবং ধরাে সুতাের দৈর্ঘ্য \(= AC\).
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{AC}=20 \sqrt{3}\) মিটার এবং \(\angle \mathrm{ACB}=\mathrm{A}\) বিন্দুতে ঘুড়িটির উন্নতি কোণ \(= 60^{\circ}\)।
এখন, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\sin \angle A C B=\sin 60^{\circ}=\frac{A B}{A C} \quad[\sin \theta\)-এর সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{20 \sqrt{3}}\)
বা, \(2 h=20 \sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
বা, \(2 h=20 \times 3\)
বা, \(h=\frac{20 \times 3}{2}=30\)
\(\therefore\) ভূমি থেকে ঘুড়িটির নির্ণেয় উচ্চতা \(= 30\) মিটার।

ধরাে, \(\angle \mathrm{C}=\theta\).
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{AB}=50 \sqrt{3}\) মিটার
এবং \(AC = 100\) মিটার
এখন, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\sin \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
\(\Rightarrow \sin \theta=\frac{50 \sqrt{3}}{100}\)
\(\Rightarrow \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \sin \theta=\sin 60^{\circ}\)
\(\Rightarrow \theta=60^{\circ}\)
\(\angle C\) -এর নির্ণেয় মান \(= 60^{\circ}\)।

ধরাে, গাছটি \(AB\) এবং এটি \(c\) বিন্দুতে এমনভাবে ভেঙে গেল যে, \(BD = BC\), যেখানে গাছটির অগ্রভাগ ভূমিকে \(D\) বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
আবার, ধরাে \(\angle BDC\) \(= \theta\).
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ \(BCD\) থেকে পাই,
\(\tan \theta=\frac{B C}{B D}\) [সংজ্ঞানুসারে]
\(\Rightarrow \tan \theta=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BC}} \quad[\because \mathrm{BD}=\mathrm{BC}\) (প্রদত্ত)]
\(\Rightarrow \tan \theta=1\)
\(\Rightarrow \tan \theta=\tan 45^{\circ}\)
\(\Rightarrow \theta=45^{\circ}\)
\(\therefore\) ভূমির সঙ্গে গাছটির অগ্রভাগ \(45^{\circ}\) কোণ উৎপন্ন করেছে।

ধরাে, \(\angle BCD = \theta\)
দেওয়া আছে, \(\mathrm{AB}: \mathrm{BC}: \mathrm{BD}=\sqrt{3}: 1: 1\),
অর্থাৎ, \(\mathrm{BC}: \mathrm{BD}=1: 1\)
\(\Rightarrow \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}=\frac{1}{1}=1 \quad \Rightarrow \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=1\) \(\ldots\) (1)
এখন, \(BCD\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\tan \theta=\frac{B D}{B C}\) [সংজ্ঞানুসারে]
\(\Rightarrow \tan \theta=1\)[(1) থেকে]
\(\Rightarrow \tan \theta=\tan 45^{\circ}\)
\(\Rightarrow \theta=45^{\circ}\)
\(\therefore \angle B C D=45^{\circ}\)
আবার, \(\mathrm{AB}: \mathrm{BC}=\sqrt{3}: 1\)
বা, \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.\)
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ \(ABC\) থেকে পাই,
\(\tan \angle \mathrm{ACB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
\(\Rightarrow \tan \angle \mathrm{ACB}=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ACB}-\angle \mathrm{BCD}\) [চিত্রানুসারে]
\(=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle ACD\)-এর নির্ণেয় মান \(= 15^{\circ}\).

মনে করি, ছায়ার দৈঘ্য \(\sqrt{3} x\) দণ্ডের দৈর্ঘ্য \(x\)
উন্নতি কোণ = \(\theta\)
\(\triangle A B C\) হইতে, \(\tan \theta = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\) [সংজ্ঞানুসারে]
বা, \(\tan \theta = \frac{{1x}}{{\sqrt 3 x}}\)
বা, \(\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
বা, \(\tan \theta = \tan {30^\circ }\)
বা, \(\theta=30^{\circ}\)
\(\therefore\) সূর্যের উন্নতি কোণ \(30^{\circ}\)