(Ten) (X) Math Solution Of Chapter 23 | Koshe Dekhi 23.1 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি ২৩.১ ক্লাস ১০ সমাধান | Koshe Dekhi 23.1 Class 10 | WBBSE Madhyamik Ganit Prakash Class 10(Ten) (X) Math Solution Of Chapter 23 | WB Board Class 10 Math Solution In Bengali|Ganit Prakash Class 10 Chapter 23 Solution.
Share this page using :
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি ২৩.১ | Koshe Dekhi 23.1 Class 10 | Class 10 Chapter 23 Math Solution
কষে দেখি - 23.1
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি ২৩.১ | Koshe Dekhi 23.1 Class 10 | Class 10 Chapter 23 Math Solution
1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB = 10 সেমি., ভূমি BC = 8 সেমি এবং লম্ব AC = 6 সেমি \(\angle\) ABC এর SINE এবং tangent এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান : \(\angle\) ABC-এর লম্ব AC = 6 সেমি
ভূমি BC = 8 সেমি, অতিভুজ AB = 10 সেমি
\(\sin \angle A B C=\frac{\text { লম্ব }}{\text { অতিভুজ }}=\frac{A C}{A B}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
\(\tan \angle A B C=\frac{\text { লম্ব }}{\text { ভূমি }}=\frac{A C}{B C}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\therefore\) \(\angle A B C\)- এর Sine-এর মান \(=\frac{3}{5}\)
\(\angle A B C\)- এর tangent -এর মান \(=\frac{3}{4}\)
2. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার \(\angle\) ABC = \({90^\circ },AB = \) 24 সেমি এবং BC =7 সেমি। হিসাব করে \(\sin A,\cos A,\tan A,\) ও \(\operatorname{cosec} \mathrm{A}\) এর মান লিখি।
সমাধান : এখানে লম্ব = 7 সেমি. ভূমি = 24 সেমি অতিভুজ = 25 সেমি
চিত্র হইতে
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \) \(= {(24)^2} + {(7)^2} = 576 + 49 = 625\)
\(\therefore A C=\sqrt{625}\)
\(\therefore AC = 25\)
\(\sin A = \) লম্ব / অতিভুজ \( = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{7}{{25}},\cos A = \) ভুমি / অতিভুজ\(=\frac{24}{25}\)
\(\tan A = \) লম্ব / ভুমি \( = \frac{7}{{24}}, cosec A = \) অতিভুজ/লম্ব \( = \frac{{25}}{7}\)
3. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle C = {90^\circ }, {\rm{BC}} = 21\) একক এবং \(AB = 29\) একক হয়, তাহলে \(\sin A, \cos A, \sin B, \cos B\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান : চিত্র হইতে \(A{C^2} = A{B^2} - B{C^2}\)
\( = {29^2} - {21^2}\)
\( = 841 - 441 = 400\)
\(\therefore A C=\sqrt{400}\)
\(\therefore AC = 20\) একক
চিত্রে প্রথম ক্ষেত্র, লম্ব BC = 21 একক
ভূমি AC = 20 একক
অতিভুজ AB = 29 একক
\(\sin A = \) লম্ব / অতিভুজ \( = \frac{{21}}{{29}},\cos A = \) ভুমি / অতিভুজ = \(\frac{{20}}{{29}}\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, লম্ব AC = 20
ভুমি BC = 21
অতিভুজ AB = 29
\(\sin B = \) লম্ব / অতিভুজ \( = \frac{{20}}{{29}}\), \(\cos B = \) =ভুমি/ অতিভুজ \( = \frac{{21}}{{29}}\)
\(\therefore \sin A=\frac{21}{29}, \cos A=\frac{20}{29}, \sin B=\frac{20}{29}, \cos B=\frac{21}{29}\)
4. যদি \(\cos\theta = \frac{7}{{25}}\) হয়, তাহলে \(\theta\) কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।
সমাধান : \(\cos \theta = \frac{7}{{25}} = \) ভূমি / অতিভুজ
চিত্র হইতে \(A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}\)
\( = {(25)^2} - {(7)^2}\)
\( = 625 - 49 = 576\)
\(\therefore AB = 24\)
\(\therefore\) লম্ব = 24,
ভূমি \(=7\), অতিভুজ \(=25\)
\(\sin \theta = \) লম্ব / অতিভুজ \( = \frac{{24}}{{25}}\)
\(\tan \theta = \) লম্ব / ভূমি \( = \frac{{24}}{7}\)
\(cosec \theta = \) অতিভুজ / লম্ব \( = \frac{{25}}{{24}}\)
\(\cot \theta = \) লম্ব / ভূমি \( = \frac{7}{{24}}\)
\(\sec \theta = \) অতিভুজ / লম্ব \( = \frac{{25}}{7}\)
5. যদি cot\(\theta\) = 2 হয় তাহলে \(\tan \theta \) ও \(\sec \theta \) এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1 + {\tan ^2}\theta = {\sec ^2}\theta \)
সমাধান : cot\(\theta\) = 2
বা, ভূমি/লম্ব \( = \frac{2}{1}\)
\(\therefore\) ভূমি \(=2\), লম্ব \(=1\)
(অতিভুজ\({)}^2\) \( = {(2)^2} + {(1)^2} = 4 + 1 = 5\)
\(\therefore\) অতিভুজ \( = \sqrt 5 \)
\(\therefore \tan \theta = \)লম্ব/ভুমি \( = \frac{1}{2}\)
\(\sec \theta = \) অতিভুজ/ভুমি \( = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
বামপক্ষ \(1 + {\tan ^2}\theta \)
\({\rm{ = 1 + }}\) (লম্ব/ভুমি\({)}^2\) \( = 1 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
ডানপক্ষ \({\sec ^2}\theta \)
= (অতিভুজ /ভুমি\({)}^2\) \( = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}\)
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
বা, ভূমি/লম্ব \( = \frac{2}{1}\)
\(\therefore\) ভূমি \(=2\), লম্ব \(=1\)
(অতিভুজ\({)}^2\) \( = {(2)^2} + {(1)^2} = 4 + 1 = 5\)
\(\therefore\) অতিভুজ \( = \sqrt 5 \)
\(\therefore \tan \theta = \)লম্ব/ভুমি \( = \frac{1}{2}\)
\(\sec \theta = \) অতিভুজ/ভুমি \( = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
বামপক্ষ \(1 + {\tan ^2}\theta \)
\({\rm{ = 1 + }}\) (লম্ব/ভুমি\({)}^2\) \( = 1 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
ডানপক্ষ \({\sec ^2}\theta \)
= (অতিভুজ /ভুমি\({)}^2\) \( = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}\)
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
6. \(\cos \theta = 0.6\) হলে, দেখাই যে \((5\sin \theta - 3\tan \theta ) = 0\)
এখানে, \(\cos \theta=0 \cdot 6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
\(\therefore \sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta\)\(=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\)
\(=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)
বা, \(\sin \theta=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
বা, \(\sin \theta=\frac{4}{5}\)
\(\therefore \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{5} \times \frac{5}{3}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore 5 \sin \theta-3 \tan \theta\)
\(=5 \times \frac{4}{5}-3 \times \frac{4}{3}\)
\(=4-4=0\) (প্রমাণিত)
\(\therefore \sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta\)\(=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\)
\(=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)
বা, \(\sin \theta=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
বা, \(\sin \theta=\frac{4}{5}\)
\(\therefore \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{5} \times \frac{5}{3}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore 5 \sin \theta-3 \tan \theta\)
\(=5 \times \frac{4}{5}-3 \times \frac{4}{3}\)
\(=4-4=0\) (প্রমাণিত)
7. যদি \(\cot A = \frac{4}{{7.5}}\) হয়, তাহলে \(\cos A\) এবং \(cosec A \)-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, \(1+\cot ^{2} \mathrm{~A}=\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}\)
\(\operatorname{Cot} A=\frac{4}{7.5}=\) \(\frac {\text {ভূমি}}{\text {লম্ব}}\)
ভূমি \(=4\), লম্ব \(=7.5\)
\(\therefore\) অতিভূজ \(=\sqrt{(4)^{2}+(7.5)^{2}}\)
\(=\sqrt{16+56.25}\)
\(=\sqrt{72.25}\)
\(=8.5\)
\(\therefore \cos A=\frac{\text { ভূমি}}{\text { অতি }}=\frac{4}{8.5}=\frac{4 \times 10}{85}=\frac{8}{17}\)
\(\operatorname{cosec} A=\frac{\text { ভূমি }}{\text { লম্ব }}\)\(=\frac{8.5}{7.5}=\frac{85 \times 10}{75 \times 10}\)\(=\frac{17}{15}\)
বামপক্ষ \(=1+\cot ^{2} A\)
\(=1+\left(\frac{4}{7.5}\right)^{2}\)
\(=1+\frac{16}{56.25}\)
\(=\frac{56.25+16}{56.25}\)
\(=\frac{72.25}{56.25}\)
\(=\frac{7225 \times 100}{5625 \times 100}\)
\(=\frac{289}{225}\)
ডানপক্ষ
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
\(=\operatorname{cosec}^{2} A=\left(\frac{17}{15}\right)^{2}=\frac{289}{225}\)
ভূমি \(=4\), লম্ব \(=7.5\)
\(\therefore\) অতিভূজ \(=\sqrt{(4)^{2}+(7.5)^{2}}\)
\(=\sqrt{16+56.25}\)
\(=\sqrt{72.25}\)
\(=8.5\)
\(\therefore \cos A=\frac{\text { ভূমি}}{\text { অতি }}=\frac{4}{8.5}=\frac{4 \times 10}{85}=\frac{8}{17}\)
\(\operatorname{cosec} A=\frac{\text { ভূমি }}{\text { লম্ব }}\)\(=\frac{8.5}{7.5}=\frac{85 \times 10}{75 \times 10}\)\(=\frac{17}{15}\)
বামপক্ষ \(=1+\cot ^{2} A\)
\(=1+\left(\frac{4}{7.5}\right)^{2}\)
\(=1+\frac{16}{56.25}\)
\(=\frac{56.25+16}{56.25}\)
\(=\frac{72.25}{56.25}\)
\(=\frac{7225 \times 100}{5625 \times 100}\)
\(=\frac{289}{225}\)
ডানপক্ষ
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
\(=\operatorname{cosec}^{2} A=\left(\frac{17}{15}\right)^{2}=\frac{289}{225}\)
8. যদি sin \(C = \frac{2}{3}\) হয়, তবে \({\rm{ cos C }} \times cosec {\rm{C}}\) -এর মান হিসাৰ করে লিখি।
সমাধান : \(\sin C = \frac{2}{3} = \) লম্ব/অতিভুজ
(ভূমি)\(^2\) = (অতিভূজ)\(^2\) - (লম্ব)\(^2\)
\( = {(3)^2} - {(2)^2} = 9 - 4 = 5\)
ভূমি \( = \sqrt 5 \)
\(\cos C \times cosec C\)
= ভুমি/অতিভুজ \(\times\) অতিভুজ/লম্ব = ভুমি/লম্ব = \( \frac {\sqrt 5}{2}\)
(ভূমি)\(^2\) = (অতিভূজ)\(^2\) - (লম্ব)\(^2\)
\( = {(3)^2} - {(2)^2} = 9 - 4 = 5\)
ভূমি \( = \sqrt 5 \)
\(\cos C \times cosec C\)
= ভুমি/অতিভুজ \(\times\) অতিভুজ/লম্ব = ভুমি/লম্ব = \( \frac {\sqrt 5}{2}\)
9. নীচের বিবৃতিগুলো সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি :
(i) tan A-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো।
বিবৃতিটি মিথ্যা।
কারণ যদি লম্ব বড়ো এবং ভূমি ছোটো হলে tanA-এর মান অপেক্ষা বড়ো হবে। আবার লম্ব ছোটো ভূমি বড়ো হলে tanA এর মান 1 অপেক্ষা ছোটো হবে।
অতএব বিবৃতি সত্য নয়।
কারণ যদি লম্ব বড়ো এবং ভূমি ছোটো হলে tanA-এর মান অপেক্ষা বড়ো হবে। আবার লম্ব ছোটো ভূমি বড়ো হলে tanA এর মান 1 অপেক্ষা ছোটো হবে।
অতএব বিবৃতি সত্য নয়।
(ii) cot A-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।
বিবৃতিটি মিথ্যা কারণ ভূমি যদি বড়ো হয় এবং লম্ব ছোটো হয় তবে cotA-এর মান 1 অপেক্ষা ছোটো হবে, আবার ভূমি ছোটো আর লম্ব বড় হলে cotA-এর মান 1 অপেক্ষা বড়ো হবে।
অতএব বিবৃতিটি মিথ্যা।
অতএব বিবৃতিটি মিথ্যা।
(iii) একটি কোণ \(\theta\)-এর জন্য \(\sin \theta = \frac{4}{3}\) হতে পারে।
বিবৃতিটি মিথ্যা কারণ \(\sin \theta = \) লম্ব/অতিভুজ = এখানে অতিভুজ সর্বদা বড়ো হবে। তাই \(\frac{4}{3}\) অর্থাৎ অতিভুজ এখানে 3 অর্থাৎ ছোটো
অতএব বিবৃতিটি সত্য নয়।
অতএব বিবৃতিটি সত্য নয়।
(iv) একটি কোণ \(\alpha\) এর জন্য \(\sec \alpha = \frac{{12}}{5}\) হতে পারে।
বিবৃতিটি সত্য কারণ \(\sec \alpha\)= অতিভুজ/ ভূমি =\(\frac{12}{5}\) অতএব এখানে অতিভুজ বড়ো অর্থাৎ 12 এবং ভূমি ছোটো অর্থাৎ 5
অতএব বিবৃতিটি মিথ্যা নয়।
অতএব বিবৃতিটি মিথ্যা নয়।
(v) একটি কোণ \(\beta (Beta)\)-এর জন্য \(cosec \beta = \frac{5}{{13}}\) হতে পারে।
বিবৃতিটি মিথ্যা।
কারণ \(cosec \beta = \frac{5}{{13}} = \) অতিভুজ/লম্ব এখানে অতিভুজ 5 লম্ব 3 হতে পারে না।
অতএব বিবৃতিটি সত্য নয়।
কারণ \(cosec \beta = \frac{5}{{13}} = \) অতিভুজ/লম্ব এখানে অতিভুজ 5 লম্ব 3 হতে পারে না।
অতএব বিবৃতিটি সত্য নয়।
(vi) একটি কোণ \(\theta\)-এর জন্য \(\cos \theta = \frac{3}{5}\) হতে পারে।
বিবৃতিটি সত্য।
কারণ \(\cos \theta = \frac{3}{5} = \) ভুমি/অতিভুজ এখানে ভূমি 3 ও অতিভুজ 5 অর্থাৎ অতিভুজ > ভূমি
বিবৃতি মিথ্যা নয়।
কারণ \(\cos \theta = \frac{3}{5} = \) ভুমি/অতিভুজ এখানে ভূমি 3 ও অতিভুজ 5 অর্থাৎ অতিভুজ > ভূমি
বিবৃতি মিথ্যা নয়।
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি ২৩.১ | Koshe Dekhi 23.1 Class 10 | Class 10 Chapter 23 Math Solution
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
