(a) \(\because 8^{2}+15^{2}=17^{2}\) বা, \(64+225=289\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বাহু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
(b)\(\because 9^{2}+6^{2} \neq 11^{2}\) বা, \(81+36 \neq 121\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বাহু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমকোণী হবে না।

ধরি, রাস্তার O বিন্দুতে মইটি এমনভাবে রাখা আছে যে, সেটি B বিন্দুতে অবস্থিত পূজাদের জানালাটিকে স্পর্শ করে।
আবার, মইটির গােড়া O বিন্দুতে স্থির রেখে ঘুরিয়ে ধরলে সেটি A বিন্দুতে অবস্থিত লক্ষ্মীদের জানালাটিকে ঠিক স্পর্শ করে।
আমাদেরকে রাস্তার প্রশস্থতা, অর্থাৎ DC নির্ণয় করতে হবে।
এখন, BOD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(O B^{2}=B D^{2}+O D^{2} \ldots \ldots(1)\)
আবার, AOC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, \(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{OC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{OC}^{2} \ldots \ldots\) (2) [\(\because\) OA = OB = মইয়ের দৈর্ঘ্য]
তাহলে, (1) ও (2) থেকে পাই, \(\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{OD}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{OC}^{2}\)
বা, \(9^{2}+O D^{2}=(12)^{2}+O C^{2}\)
বা, \(O D^{2}-O C^{2}=144-81\)
বা, \((O D+O C)(O D-O C)=63\)
বা,\(\mathrm{DC}(\mathrm{OD}-\mathrm{OC})=63\)
বা, \(\mathrm{DC}=\frac{63}{\mathrm{OD}-\mathrm{OC}} \cdots \cdots \cdots \cdots\)(3)
এখন (1) থেকে পাই,\(\mathrm{OB}^{2}=9^{2}+\mathrm{OD}^{2}[\because \mathrm{BD}=9\) মি]
বা, \((15)^{2}=9^{2}+O D^{2}\) [\(\because\) মইয়ের দৈর্ঘ্য OB = 15 মি]
বা, \(\mathrm{OD}^{2}=225-81\)
বা, \(\mathrm{OD}^{2}\) = 144
বা, \(O D=\sqrt{144}=12\)
(2) থেকে পাই, \(O B^{2}=A C^{2}+O C^{2}\)
বা,\((15)^{2}=(12)^{2}+\mathrm{OC}^{2}\)
বা, \(225=144+\mathrm{OC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{OC}^{2}=225-144\)
বা, \(\mathrm{OC}^{2}=81\)
বা, \(O C=\sqrt{81}\)
বা, \(\mathrm{OC}=9\)
\(\therefore\) (3) থেকে পাই,
\(D C=\frac{63}{12-9}=\frac{63}{3}=21[\because O D=12 ; O C=9]\)
\(\therefore\) রাস্তাটির প্রশস্থতা = 21 মিটার।

ধরি, ABCD রম্বসের কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AC কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore \mathrm{AO}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=\frac{1}{2} \times 12\) সেমি \(=6\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, AB = 10 সেমি।
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ AOB থেকে পাই, \(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{BO}^{2}\)
বা,\((10)^{2}=6^{2}+\mathrm{BO}^{2}\)
বা, \(100=36+\mathrm{BO}^{2}\)
বা, \(\mathrm{BO}^{2}=100-36=64\)
বা, \(\mathrm{BO}=\sqrt{64}=8\)
\(\therefore\) \(BD = 2BO = 2 \times 8\) সেমি = 16 সেমি।
\(\therefore\) অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 16 সেমি।

সমাধান : PQR একটি ত্রিভুজ, যার \(\angle\) Q সমকোণ। QR এর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু প্রমান
করো যে, \({\rm{S}}{{\rm{P}}^2} + {\rm{Q}}{{\rm{R}}^2} = {\rm{P}}{{\rm{R}}^2} + {\rm{Q}}{{\rm{S}}^2}\)
প্রমাণ : চিত্রানুসারে, \(\Delta PQS\) ও \(\Delta PQR\) দুটি সমকোণী ত্রিভুজ।
এবং \({\rm{P}}{{\rm{R}}^2} = {\rm{P}}{{\rm{Q}}^2} + {\rm{Q}}{{\rm{R}}^2}\) এবং \(P S^{2}=P Q^{2}+Q S^{2}\) . . . (i)
বা, \({\rm{Q}}{{\rm{R}}^2} = {\rm{P}}{{\rm{R}}^2} - {\rm{P}}{{\rm{Q}}^2}\) . . . (ii)
এখন, \(P{S^2} + Q{R^2} = P{Q^2} + Q{S^2} + P{R^2} - P{Q^2}\)
\(\therefore {\rm{P}}{{\rm{S}}^2} + {\rm{O}}{{\rm{R}}^2} = {\rm{P}}{{\rm{R}}^2} + {\rm{Q}}{{\rm{S}}^2}\) (প্রমাণিত)

সমাধান ও মনে করি, \(ABCD\) একটি রম্বস।
রম্বসের কর্ণ দুটি \(AC\) ও \(BD\) পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+D A^{2}=A C^{2}+B D^{2}\).
প্রমাণ : রম্বসের কর্ণদ্বয় \(O\) বিন্দুতে পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore \angle A O B=\angle B O C=\angle C O D=\angle A O D=90^{\circ}\)
এবং \(O A=\frac{1}{2} A C, O B=\frac{1}{2} B D\)
এখন, \(AOB\) সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle A O B=90^{\circ}\)
এবং \(AB\) অতিভুজ।
\(\therefore A B^{2}=O A^{2}+O B^{2}\) [পিথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
\(=\left(\frac{1}{2} A C\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} B D\right)^{2}=\frac{1}{4} A C^{2}+\frac{1}{4} B D^{2}\)
\(=\frac{1}{4}\left(A C^{2}+B D^{2}\right)\)
\(\therefore 4 A B^{2}=A C^{2}+B D^{2}\ldots(i)\)
অনুরূপভাবে পাওয়া যায়,
\(4 B C^{2}=A C^{2}+B D^{2}\ldots(ii)\)
\(4 C D^{2}=A C^{2}+B D^{2}\ldots(iii)\)
\(4 A D^{2}=A C^{2}+B D^{2}\ldots(iv)\)
(i), (ii), (iii) এবং (iv) যােগ করে পাই,
\(4 A B^{2}+4 B C^{2}+4 C D^{2}+4 A D^{2}=4 A C^{2}+4 B D^{2}\)
বা, \(4\left(A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+A D^{2}\right)=4\left(A C^{2}+B D^{2}\right)\)
\(\therefore A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+A D^{2}=A C^{2}+B D^{2}\). (প্রমাণিত)
[দ্রষ্টব্য : \(ABCD\) একটি রম্বস, প্রমাণ করাে যে, \(A C^{2}+B D^{2}=4 A B^{2}\)। উপরের পদ্ধতি অনুসরণ করে পাওয়া যায়,
\(A B^{2}+B C^{2}+C D^{2}+A D^{2}=A C^{2}+B D^{2}\)
\(\because ABCD\) একটি রম্বস, \(\therefore AB = BC = CD = AD \)
\(\therefore A B^{2}+A B^{2}+A B^{2}+A B^{2}=A C^{2}+B D^{2}\)
\(\therefore 4 A B^{2}=A C^{2}+B D^{2}\)
অতএব, \(A C^{2}+B D^{2}=4 A B^{2}\). (প্রমাণিত)]

\(\triangle ABC \) সমবাহু এবং AD \(\perp\) BC, \(\therefore\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) BD = CD
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2} \ldots \ldots\) (1)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ACD থেকে পাই,
\(\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{CD}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots\) (2)
তাহলে, (1) ও (2) যােগ করে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}\)
বা, \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}\) [\(\because\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু]
বা, \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\frac{1}{2}\left(4 \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\right)\)
বা, \(2 \mathrm{AB}^{2}+2 \mathrm{AC}^{2}=4 \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\)
বা, \(2 \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=4 \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AB}^{2}\left[\because \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}\right]\)
বা, \(2 \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=4 \mathrm{AD}^{2}[\because \mathrm{AC}=\mathrm{BC}]\)
বা, \(A B^{2}+B C^{2}+C A^{2}=4 A D^{2}\)
\(\therefore\) \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CA}^{2}=4 \mathrm{AD}^{2}\) (প্রমাণিত)

\(\Delta ABC\)-এর \(\angle A\) সমকোণ,
\(\therefore\) \(\Delta PAQ\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
\(\therefore\) এর থেকে পাই, \(\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}=\mathrm{PQ}^{2} \ldots \ldots \ldots\) (1)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ APC থেকে পাই,
\(\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{PC}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\) (2)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(A B^{2}+A C^{2}=B C^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\) (3)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABQ থেকে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}=\mathrm{BQ}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots\) (4)
এখন, (2) ও (4) যােগ করে পাই,
\(\mathrm{BQ}^{2}+\mathrm{PC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}+\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{AC}^{2}\)
\(=A B^{2}+A C^{2}+A P^{2}+A Q^{2}=B C^{2}+P Q^{2} [(3)\) ও (1) থেকে]
\(\therefore\mathrm{BQ}^{2}+\mathrm{PC}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}\) (প্রমাণিত)

ধরি, ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে।
\(\therefore\) \(\angle AOB \) = \(\angle BOC\) = \(\angle COD \) = \(\angle DOA \) = 1 সমকোণ।
এখন, AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{BO}^{2} \ldots \ldots \ldots \) (1)
সমকোণী ত্রিভুজ COD থেকে পাই,
\(\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{CO}^{2}+\mathrm{DO}^{2} \ldots \ldots \ldots\) (2)
অনুরূপভাবে, \(\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BO}^{2}+\mathrm{CO}^{2}\) [সমকোণী ত্রিভুজ BOC থেকে] \(\ldots\ldots\) (3)
এবং \(\mathrm{DA}^{2}=\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{DO}^{2}\) [সমকোণী ত্রিভুজ AOD থেকে ] \(\ldots\ldots\) (4)
এখন, (1) ও (2) যােগ করে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{BO}^{2}+\mathrm{CO}^{2}+\mathrm{DO}^{2}\)
\( =\left(\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{DO}^{2}\right)+\left(\mathrm{BO}^{2}+\mathrm{CO}^{2}\right)\)
\(=\mathrm{DA}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\) [(4) ও (3) থেকে]
\(\therefore\) \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{DA}^{2}\) (প্রমাণিত)

সমাধান : প্রমাণ : \(\therefore\) ABC -এর AD উচ্চতা
\(\therefore AD \bot BC\)
সুতরাং, \(\triangle \)ABD ও \(\triangle \)ADC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
\(\therefore A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}\) . . . (i)
এবং \(A{C^2} = A{D^2} + C{D^2}\) . . . (ii)
(i)-(ii) করে পাই, এখন, \(A{B^2} - A{C^2} = A{D^2} + B{D^2} - A{D^2} - C{D^2}\)
\(= B{D^2} - CD^2\)
\(\therefore A{B^2} - A{C^2} = B{D^2} - C{D^2}\) (প্রমাণিত)

সমাধান : মনেকরি, বর্ধিত BP এবং CP যথাক্রমে AC ও AB কে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে
যেহেতু AFPE চতুর্ভূজটির বিপরীত কোণদ্বয় \(\angle AEP = {90^\circ } = \angle AFP\)
সুতরাং চতুর্ভূজটির বৃত্তস্থ আয়তক্ষেত্র যাহার AE = FP এবং PE = AF……(i)
আবার, \(\triangle \)CPE ও \(\triangle \)BFP –এর
(i) \(\angle\) CPE = বিপ্রতীপ \(\angle BPE\)
(ii) \({ \angle CEP = 90^\circ } = \angle BPE\)
সুতরাং \(\triangle\) CPE ও \(\triangle\) BPE ত্রিভুদ্বয় সদৃশকোনী
সুতরাং \(\frac{{BF}}{{CE}} = \frac{{BP}}{{CP}} = \frac{{FP}}{{PE}}\)......(ii)
সুতরাং \(A{C^2} + B{P^2} = A{F^2} + F{C^2} + B{P^2}\)
\( = P{E^2} + {(FP + PC)^2} + B{P^2}\) [(i) নং থেকে]
\( = P{E^2} + B{P^2} + F{P^2} + P{C^2} + 2FP.PC\)
\( = P{E^2} + B{P^2} + F{P^2} + P{C^2} + 2BP \cdot PE\) [(ii) নং থেকে]
\( = {(PE + BP)^2} + F{P^2} + P{C^2}\) [(i) নং থেকে]
\( = B{E^2} + A{E^2} + P{C^2} = A{B^2} + P{C^2}\) (প্রমাণিত)

ধরি, ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের \(\angle C\) = সমকোণ, যার AC= BC, D, AB-এর ওপর একটি বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DB}^{2}=2 \mathrm{CD}^{2}\)
অঙ্কন : CE \(\perp\) AB আঁকি।
প্রমাণ : ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}[\because \mathrm{BC}=\mathrm{AC}]=2 \mathrm{AC}^{2}\)
বা, \((\mathrm{AD}+\mathrm{BD})^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BD}=2 \mathrm{AC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}-2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BD}\)
\(=2 \mathrm{AC}^{2}-2(\mathrm{AE}-\mathrm{DE})(\mathrm{BE}+\mathrm{DE})\)
\(=2 \mathrm{AC}^{2}-2(\mathrm{AE}-\mathrm{DE})(\mathrm{AE}+\mathrm{DE})[\because \mathrm{BE}=\mathrm{AE}\), কারণ, সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব অতিভুজকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
\(=2 \mathrm{AC}^{2}-2\left(\mathrm{AE}^{2}-\mathrm{DE}^{2}\right)=2 \mathrm{AC}^{2}-2 \mathrm{AE}^{2}+2 \mathrm{DE}^{2}\)
\(=2\left(\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{AE}^{2}\right)+2 \mathrm{DE}^{2}=2 \mathrm{CE}^{2}+2 \mathrm{DE}^{2}\left[\because \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CE}^{2}\right]\)
\(=2\left(\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{DE}^{2}\right)=2 \mathrm{CD}^{2}\) [ সমকোণী ত্রিভুজ CED থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
\(\therefore\) \(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=2 \mathrm{CD}^{2}\) (প্রমাণিত)

ধরি, \(\Delta ABC\)-এর \(\angle A\) = 90°, CD একটি মধ্যমা,
\(\therefore\) AD = \(\frac{1}{2}\)AB
বা, AB = 2AD
প্রমাণ করতে হবে যে, \(B C^{2}=C D^{2}+3 A D^{2}\)
প্রমাণ : সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই, \(\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2} \ldots \ldots \ldots\) (1)
\(=\mathrm{AC}^{2}+(2 \mathrm{AD})^{2}[\because \mathrm{AB}=2 \mathrm{AD}]\)
\(=A C^{2}+4 A D^{2}=\left(A C^{2}+A D^{2}\right)+3 A D^{2}\)
\(=C D^{2}+3 A D^{2}\) [\(\because\) সমকোণী ত্রিভুজ’ ACD থেকে পাই, \(\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AD}^{2}=\left.C D^{2}\right]\)
\(\therefore \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{CD}^{2}+3 \mathrm{AD}^{2}\) (প্রমাণিত)

ধরি, \(\Delta ABC\)-এর অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে BC, CA ও AB বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয় হল যথাক্রমে OX, OY ও OZ।
প্রমাণ করতে হবে যে,
\(A Z^{2}+B X^{2}+C Y^{2}=A Y^{2}+C X^{2}+B Z^{2}\)
প্রমাণ : সমকোণী ত্রিভুজ AOZ থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই, \(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{AZ}^{2}+\mathrm{OZ}^{2}\)
বা, \(A Z^{2}=O A^{2}-O Z^{2}\) \(\ldots\ldots\) (1)
অনুরূপভাবে, \(B X^{2}=O B^{2}-O X^{2}\) \(\ldots\ldots\) (2) এবং
\(\mathrm{CY}^{2}=\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OY}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots\) (3)
এখন, (1), (2) ও (3) যােগ করে পাই,
\(A Z^{2}+B X^{2}+C Y^{2}\)
\(=\left(\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}\right)-\left(\mathrm{OZ}^{2}+\mathrm{OX}^{2}+\mathrm{OY}^{2}\right)\)
\(=\left(\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OY}^{2}\right)+\left(\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OX}^{2}\right)+\left(\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OZ}^{2}\right)\)
\(=\mathrm{AY}^{2}+\mathrm{CX}^{2}+\mathrm{BZ}^{2}\)
[সমকোণী \(\Delta AOY\), \(\Delta COX\) ও \(\Delta BOZ\) পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে।)
\(\therefore A Z^{2}+B X^{2}+C Y^{2}=A Y^{2}+C X^{2}+B Z^{2}\) (প্রমাণিত)

ধরি, \(\Delta RST\)-এ \(\angle S\) = সমকোণ। X ও Y যথাক্রমে RS ও ST-এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\mathrm{RY}^{2}+\mathrm{XT}^{2}=5 \mathrm{XY}^{2}\)
অঙ্কন : R, Y; X, T; X, Y যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\because\) \(\angle S\) = সমকোণ, \(\therefore\) সমকোণী \(\Delta SXY\) থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
\(X Y^{2}=S X^{2}+S Y^{2} \ldots \ldots \ldots\) (1)
অনুরূপভাবে সমকোণী \(\Delta RSY\) থেকে পাই,
\(\mathrm{RY}^{2}=\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SY}^{2} \ldots \ldots \ldots\) (2)
আবার \(\triangle X S T\) থেকে পাই,
\(X T^2=S X^2+S T^2 \ldots \ldots \ldots\) (3)
এখন, \(\mathrm{RY}^{2}+\mathrm{XT}^{2}\)
(2) + (3) করে পাই,
\(=\mathrm{RS}^{2}+\mathrm{SY}^{2}+\mathrm{SX}^{2}+\mathrm{ST}^{2}\)
\(\left [\because(2)\right.\) থেকে এবং \(\left.\mathrm{XT}^{2}=\mathrm{SX}^{2}+\mathrm{ST}^{2}\right]\)
\(=(2 \mathrm{SX})^{2}+\mathrm{SY}^{2}+\mathrm{SX}^{2}+(2 \mathrm{SY})^{2}[\because \mathrm{RS}=2 \mathrm{SX}\) এবং \(\mathrm{ST}=2 \mathrm{SY}]\)
\(=4 \mathrm{SX}^{2}+\mathrm{SY}^{2}+\mathrm{SX}^{2}+4 \mathrm{SY}^{2}=5 \mathrm{SX}^{2}+5 \mathrm{SY}^{2}=5\left(\mathrm{SX}^{2}+\mathrm{SY}^{2}\right)\)
\(=5 \mathrm{XY}^{2}[(1)(\) থেকে \()]\)
\(\therefore \mathrm{RY}^{2}+\mathrm{XT}^{2}=5 \mathrm{XY}^{2}\) (প্রমাণিত)

ধরি, যাত্রা শুরুর বিন্দু O থেকে লােকটি প্রথমে 24 মিটার পশ্চিমে গিয়ে A বিন্দুতে পৌঁছায়। সেখান থেকে আরও 10 মি উত্তরে গিয়ে সে শেষ পর্যন্ত B বিন্দুতে পৌঁছায়।
আমাদেরকে OB দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
এখন, যেহেতু পশ্চিম দিকের সঙ্গে উত্তর দিক সর্বদা লম্বভাবে অবস্থান করে, সুতরাং, \(\Delta OAB\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার \(\angle A\) = সমকোণ।
\(\therefore\) পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2}\)
বা, \(O B^{2}=\left(24^{2}+10^{2}\right)\) \(=\) \((576+100)\) \(= 676\) মিটার
\(\therefore\) OB = \(\sqrt{676}\) মিটার = 26 মিটার
\(\therefore\) যাত্রা আরম্ভের বিন্দু থেকে লােকটির দূরত্ব 26 মিটার।

ধরি, \(\triangle ABC \) একটি সমবাহু ত্রিভুজ, অর্থাৎ AB = BC = CA।
AD \(\perp\) BC
\(\therefore\) \(\triangle ABD \) ও \(\triangle ACD \) উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
\(B C=2 D C\)
\(\therefore\) পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots\) (1)
বা, \(\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}\) [\(\because\) \(\triangle ABC \) সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD \(\perp\) BC, \(\therefore\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু।]
বা, \((2 D C)^{2}=A D^{2}+D C^{2}\)
বা, \(4 \mathrm{DC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{AD}^{2}=3 \mathrm{DC}^{2}\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

\(A B^{2}=2 A C^{2}=A C^{2}+A C^{2}\)
\(\therefore A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}[\because A C=B C]\)
\(\therefore \Delta ABC = \angle C\) সমকোণ।
Ans. (b) \(90^{\circ}\)

ধরি, AB ও CD রড দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মি ও7 মি।
প্রশ্নানুসারে, AC = 8 মি, DE \(\perp\) AB
\(\therefore\) AC = DE = 8 মি
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ BDE থেকে পাই,
\(\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BE}^{2}+\mathrm{DE}^{2}\)
\(=(\mathrm{AB}-\mathrm{AE})^{2}+\mathrm{DE}^{2}\)
\(=(13-\mathrm{DC})^{2}+\mathrm{DE}^{2}[\because \mathrm{AE}=\mathrm{DC}]\)
\(=(13-7)^{2}+\mathrm{AC}^{2}[\because \mathrm{DC}=7\) মি এবং \(\mathrm{DE}=\mathrm{AC}]\)
\(=(6)^{2}+(8)^{2}=36+64=100\)
\(\therefore B D=\sqrt{100}=10\)
\(\therefore\) শীর্ষ দুটির নির্ণেয় দুরত্ব = 10 মিটার।
\(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

ABCD রম্বসটির কর্ণ AC ও BD, যেখানে AC = 10 সেমি, BD = 24 সেমি। O কর্ণ দুটির ছেদবিন্দু।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) \(\mathrm{AO}=\mathrm{CO}=\frac{10}{2}\) সেমি \(=5\) সেমি।
\(\mathrm{BO}=\mathrm{DO}=\frac{24}{2}\) সেমি = 12 সেমি।
এবং \(\angle AOB \) = \(\angle BOC\) = \(\angle COD \) = \(\angle DOA\) = 1 সমকোণ।
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ AOB থেকে পাই, \(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{BO}^{2}\)
বা, \(A B^{2}=\left\{(5)^{2}+(12)^{2}\right\}\) বর্গসেমি = 169 বর্গসেমি
বা, \(A B=\sqrt{169}\)
\(\therefore\) AB = 13 সেমি।
\(\therefore\) ABCD রম্বসের পরিসীমা = 4 \(\times\) 13 সেমি = 52 সেমি।
\(\therefore\) নির্ণেয় পরিসীমা = 52 সেমি।
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

বিবৃতিটি সত্য; কারণ, ধরি, বাহু তিনটি \(3x\) সেমি, \(4x\) সেমি, \(5x \)সেমি।
তাহলে, \((5 x)^{2}=(3 x)^{2}+(4 x)^{2}\)
অর্থাৎ, \(25 x^{2}=9 x^{2}+16 x^{2}\)
\(\therefore\) পীথাগােরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী হবে।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করে [চিত্র-6.12]
অর্থাৎ, \(\angle AOB \) = 1 সমকোণ।
প্রশ্নানুসারে, OA = OB = 10 সেমি।
এখন, AOB সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AO}^{2}+\mathrm{BO}^{2}=(10)^{2}+(10)^{2}=100+100=200\)
\(\therefore\) AB = \(\sqrt{200}=10 \sqrt{2}\)
\(\therefore\) জ্যাটির দৈর্ঘ্য = \(10 \sqrt{2}\) সেমি।
\(\therefore\) প্রদত্ত বিবৃতিটি মিথ্যা।

= সমষ্টির।

= 8 সেমি।
কারণ, অতিভুজ \(=\sqrt{(4 \sqrt{2})^{2}+(4 \sqrt{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}\)
\(=8\)

5;

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) AO = CO
\(\therefore\) AC = 2AO = 2 \(\times\) 6.5 সেমি = 13 সেমি। [\(\because\) AO = 6.5 সেমি]
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
\(\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}\)
বা, \((13)^{2}=(12)^{2}+\mathrm{BC}^{2}\) [\(\because\) AB = 12 সেমি]
বা, 169 = 144 + \(\mathrm{BC}^{2}\)
বা, \(\mathrm{BC}^{2}\) = 169 - 144.
বা, \(\mathrm{BC}^{2}\) = 25
বা, \(B C=\sqrt{25}\)
বা, BC = 5
\(\therefore\) BC-এর দৈর্ঘ্য = 5 সেমি।

এখানে, \(\mathrm{BC}^{2}=(2 a+1)^{2}\) বর্গসেমি
= \(\left\{4 a^{2}+2 \times 2 a \times 1+1\right\}\) বর্গসেমি
= \(\left(4 a^{2}+4 a+1\right)\) বর্গসেমি।
\(\mathrm{AB}^{2}=(2 a-1)^{2}\) বর্গসেমি
= \(\left\{(2 a)^{2}-2.2 a .1+1^{2}\right\}\) বর্গসেমি
= \(\left(4 a^{2}-4 a+1\right)\) বর্গসেমি
\(A C^{2}=(2 \sqrt{2 a})^{2}\) বর্গসেমি = 8a বর্গসেমি
এখন, \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\left(4 a^{2}-4 a+1+8 a\right)\) বর্গসেমি
= \(\left(4 a^{2}+4 a+1\right)\) বর্গসেমি = \(\mathrm{BC}^{2}\)
\(\therefore\) \(\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}\)
\(\therefore\) পীথাগােরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে পাই, \(\triangle ABC \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ BC।
[\(\therefore\) \(\angle BAC \) = 90°]

চিত্রে \(\angle POQ = {90^\circ },\)
\( {\rm{OP}} = 6, {\rm{OQ}} = 8, {\rm{PR}} = 24\)
\(\angle QPR = {90^\circ }\)
\(\triangle\) POQ থেকে পাই,
\(P{Q^2} = O{P^2} + O{Q^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\)
\(\therefore PQ = 10\)
\(\therefore P Q=\sqrt{100}\)
\(\mathrm{QR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}=24^{2}+10^{2}=576+100=676\)
\(\therefore Q R=\sqrt{676}=26\)
26 সেমি।

ধরি, O, ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু।
তাহলে, \(\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OC}^{2}=\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OD}^{2}\)
বা,\(5^{2}+O C^{2}=6^{2}+8^{2}\) [\(\because\) OA = 5 সেমি, OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি]
\(25+\mathrm{OC}^{2}=36+64\)
বা, \(\mathrm{OC}^{2}=100-25, \mathrm{OC}^{2}=75\)
বা, \(\mathrm{OC}=\sqrt{75}\)
বা, \(\mathrm{OC}=\sqrt{25 \times 3}\)
বা, \(\mathrm{OC}=5 \sqrt{3}\)
\(\therefore\) OC-এর দৈর্ঘ্য = \(5 \sqrt{3}\) সেমি।

সমকোণী ত্রিভুজ ACD-এ পাই,
\(A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}=\left(4^{2}+2^{2}\right)\) বর্গসেমি [\(\because\) AD = 4 সেমি, DC = 2 সেমি]
= 20 বর্গসেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ ABD-এ পাই,
\(A B^{2}=A D^{2}+B D^{2}=\left(4^{2}+8^{2}\right)\) বর্গসেমি [\(\because\) AD = 4 সেমি, BD = 8 সেমি]
= 80 বর্গসেমি।
আবার, BC = BD + CD = 8 সেমি + 2 সেমি = 10 সেমি।
\(\therefore\) \(\mathrm{BC}^{2}=(10)^{2}\) বর্গসেমি = 100 বর্গসেমি।
\(\therefore\) \(\mathrm{BC}^{2}\) = 100 বর্গসেমি = 20 বর্গসেমি + 😯 বর্গসেমি
= \(\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}\)
\(\therefore \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}\)
\(\therefore\) পীথাগােরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, \(\triangle ABC \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার \(\angle A\) = সমকোণ এবং BC অতিভুজ।
\(\therefore\) \(\angle BAC\)-এর মান = \(90^{\circ}\)।

সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\left(3^{2}+4^{2}\right)\) বর্গসেমি = \((9+16)\) বর্গসেমি = 25 বর্গসেমি
\(\therefore\) AC = \(\sqrt{25}\) সেমি = 5 সেমি
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{AD}^{2} \ldots \ldots \ldots\) (1)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,
\(\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\) (2)
(1) থেকে পাই, \(\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AD}^{2}\)
= (3) \(^{2}-\mathrm{AD}^{2}\) [\(\because\) AB = 3 সেমি) = 9 – \(\mathrm{AD}^{2}\) \(\ldots \ldots\) (3)
(2) থেকে পাই, \(\mathrm{BD}^{2}=(\mathrm{BC})^{2}-(\mathrm{CD})^{2}\)
\(=4^{2}-\mathrm{CD}^{2}\) [\(\because\) BC = 4 সেমি] = 16 – \(\mathrm{CD}^{2}\) \(\ldots \ldots\)(4)
(3) ও (4) তুলনা করে পাই, \(9-A D^{2}=16-C D^{2}\)
বা, \(\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{AD}^{2}=16-9\)
বা, \((CD + AD) (CD - AD)\) \(=7\)
বা, \(AC (AC - AD - AD)\) \(=7\)
বা, \(5 (5 - 2AD) = 7\)
বা, \(25 - 10AD = 7\)
বা, \(10AD = 25 –7\)
বা, \(10AD = 18\)
বা, \(A D=\frac{18}{10}=1 \cdot 8\)
\(\therefore\) (3) থেকে পাই,
\(\mathrm{BD}^{2}=9-(1 \cdot 8)^{2}=9-3 \cdot 24=5 \cdot 76\)
\(\therefore\) \(\mathrm{BD}=\sqrt{5 \cdot 76}=2 \cdot 4\)
\(\therefore\) BD-এর নির্ণেয় দৈর্ঘ্য = 2.4 সেমি।