চোঙাকৃতি অংশের ভূমির ব্যাসার্ধ = 10 সেমি, উচ্চতা = 2.8 মিটার
\(=\frac{28}{10} \times 100\) সেমি
= 280 সেমি
\(\therefore\) চোঙাকৃতি অংশের লােহার আয়তন = \(\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times 10^{2}
\times 280\) ঘন সেমি।
শঙ্কু আকৃতি অংশের ভূমির ব্যাসার্ধ = 10 সেমি, উচ্চতা = 42 সেমি।
শঙ্কু আকৃতি অংশের লােহার আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times
\frac{22}{7} \times 10^{2} \times 42\) ঘন সেমি।
\(\therefore\) স্তম্ভটিতে মােট লােহার পরিমাণ
\(=\left[\frac{22}{7} \times 10^{2} \times 280+\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times
10^{2} \times 42\right]\) ঘন সেমি।
\(=\frac{22}{7} \times 10^{2}(280+14)\) ঘন সেমি = \(\frac{22}{7} \times 10^{2} \times
294\) ঘন সেমি।
এখন 1 ঘন সেমি লােহার ওজন = \(7.5\) গ্রাম \(\frac{75}{10}\) গ্রাম
\(\therefore\)স্তম্ভটিতে লােহার ওজন = \(\frac{22}{7} \times 10^{2} \times 294 \times
\frac{75}{10}\) গ্রাম
\(=\frac{22}{7} \times 100 \times 294 \times \frac{75}{10} \times \frac{1}{1000}\) কিগ্রা
\(=22 \times 42 \times \frac{75}{10} \times \frac{1}{10}\) কিগ্রা
\(=22 \times 42 \times \frac{75}{10} \times \frac{1}{10}\) কিগ্রা
\(=11 \times 21 \times \frac{75}{5} \times \frac{1}{5}\) কিগ্রা
\(=11 \times 21 \times 3\) কিগ্রা
= \(231 \times 3=693\) কিগ্রা
\(\therefore\) লোহার স্তম্ভের ওজন হবে 693 কিগ্রা।

মনে করি, চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(=r\) সেমি।
শঙ্কুর উচ্চতা \((h) = 20\) সেমি, তির্যক উচ্চতা \((l) = 25\) সেমি ব্যাসার্ধ \(x\) সেমি
হলে, \(x^{2}=l^{2}-h^{2}=25^{2}-20^{2}\)
বা, \(x^{2}=625-400=225 \therefore x= \sqrt{225}=15\)
শঙ্কুটির আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} n\)
= \(\frac{1}{3} \pi \cdot 15^{2} \cdot 20\) ঘন সেমি।
চোঙের আয়তন \(=\pi r^{2} h\)
= \(\pi \cdot r^{2} \cdot 15\) ঘন সেমি।
শর্তানুসারে, \(\pi \cdot r^{2} \cdot 15=\frac{1}{3} \pi .15^{2} \cdot 20\)
বা \(r^{2}=\frac{\pi .15^{2} \cdot 20}{3 \pi \cdot 15}=\frac{15 \times 20}{3}=100 \therefore
r=10\)
\(\therefore\) চোঙের ভূমির ব্যাস \(= 2r\) সেমি \(=2 \times 10=20\) সেমি।

প্রত্যেকটি শঙ্কু আকৃতির লােহার টুকরাের ব্যাসার্ধ
\(= \frac{6}{2}=3\) সেমি
সেমি এবং উচ্চতা = 4 সেমি।
\(\therefore\) প্রত্যেকটি লােহার টুকরাের আয়তন \(= \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \pi \cdot 3^{2} \cdot 4\)
ঘন সেমি।
\(\therefore\) 60টি লােহার টুকরাের আয়তন = \(60 \times \frac{1}{3} \pi \cdot 3^{2} \cdot
4\) ঘন সেমি।
মনে করি লােহার টুকরােগুলি নিমজ্জিত করায় ড্রামে জলতলের উচ্চতা \(h\) সেমি বৃদ্ধি পাবে।
\(\therefore\) ড্রামে বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন = \(\pi
\cdot\left(\frac{24}{2}\right)^{2} \cdot h\) ঘন সেমি
(\(\because\) ড্রামের ভূমিতলের ব্যাস = 24 সেমি)
\(=\pi .12^{2} \cdot h\) ঘন সেমি।
\(\therefore\) 60টি লােহার টুকরাের আয়তন =ড্রামে বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন
বা, \(60 \times \frac{1}{3} \pi \cdot 3^{2} \cdot 4=\pi \cdot 12^{2} . h\)
বা, \(144 h=20 \times 36\)
বা, \(h=\frac{20 \times 36}{144}\)
বা, \(h=\frac{20}{4}=5\).
\(\therefore\) ড্রামে জলতলের উচ্চতা 5 সেমি বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক
এখন শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \((l) = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \)একক
শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi r l\) = \(\pi r\sqrt {{h^2} + {r^2}} \)বর্গ একক
এবং চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \(2 \pi r h\) বর্গ একক
শর্তানুসারে, \(\frac{{\pi r\sqrt {{h^2} + {r^2}} }}{{2\pi rh}} = \frac{5}{8}\)
বা, \(\frac{{\sqrt {{h^2} + {r^2}} }}{{2h}}\) \(= \frac{5}{8}\)
বা, \(\frac{{{h^2} + {r^2}}}{{4{h^2}}}\) \(= \frac{{25}}{{64}}\)[উভয়দিকে বর্গ করে]
বা, \(1 + \frac{{{r^2}}}{{{h^2}}}\) \( =\frac{{25}}{{16}}\)
বা, \(\frac{{{r^2}}}{{{h^2}}}\) \(= \frac{{25}}{{16}} - 1 = \frac{9}{{16}}\)
\(\therefore \frac{r}{h} = \frac{3}{4}\)
উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত \(3 : 4\)।

8 সেমি, দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের লোহার গোলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^3\)
\( = \frac{4}{3} \times \pi \times 8 \times 8 \times 8\) ঘন সেমি.
গোলককে গলিয়ে যে নিরেট গুলি তৈরি হবে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2}\) সেমি.
গুলির আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^3\)
\( = \frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) ঘনসেমি
ধরি n টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।
সুতরাং, \(n \times \frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{3} \times \pi \times 8 \times 8 \times 8\)
বা, n = 8 \( \times \) 8 \( \times \) 8 \( \times \) 8 = 4096
\(\therefore\) লোহার গোলককে গলিয়ে 4096 টা নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।

মনে করি, দণ্ডটি গলিয়ে \(x\) টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।
এখন, 1 এটি নিরেট শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \pi .8^{2} .28\) ঘন সেমি।
\(\therefore x\) টি শঙ্কুর আয়তন = \(x \times \frac{1}{3} \pi .8^{2} .28\) ঘন সেমি।
আবার, দণ্ডটির আয়তন \(=\pi r^{2} h\)
= \(\pi \cdot 32^{2} \cdot 35\) ঘন সেমি।
\(\therefore\) শর্তানুসারে, \(x \times \frac{1}{3} \pi .8^{2} \cdot 28=\pi .32^{2}
.35\)
বা, \(\frac{x}{3} \times 64 \times 28=32 \times 32 \times 35\)
বা, \(x=\frac{3 \times 32 \times 32 \times 35}{64 \times 28}=\frac{3 \times 32 \times
5}{2 \times 4}=3 \times 4 \times 5=60\)
\(\therefore\) 60 টি শঙ্কু তৈরি করা যাবে।

স্পষ্টত ঘনকের বর্গাকার ভূমিতলের অন্তবৃত্ত হল শঙ্কুর ভূমিতল
এবং ঘনকের উচ্চতা হল শঙ্কুর উচ্চতা।
এখন ঘনকের বর্গাকার ভূমিতলের অন্তবৃত্ত ব্যাস = ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য =4.2 ডেসিমি= 42 সেমি।
\(\therefore\) শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 42 সেমি এবং শঙ্কুর উচ্চতা = ঘনকের ধারের
দৈর্ঘ্য = 42 সেমি।
শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi \cdot r^{2} \cdot h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{42}{2}\right)^{2} \times 42\) ঘন সেমি
সেমি
\(=\frac{22}{21} \times 21 \times 21 \times 42\) ঘন সেমি
\(=22 \times 21 \times 42\) ঘন সেমি
\(=462 \times 42\) ঘন সেমি
\(=462(40+2)\) ঘন সেমি
\(=18480+924=19404\) ঘন সেমি
\(\therefore\) নির্ণেয় আয়তন = 19404 ঘন সেমি।

মনে করি গোলক ও চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং চোঙের উচ্চতা h একক
সুতরাং; গোলকের ঘনফল = \(\frac{4}{3}\pi {r^3}\)ঘনএকক
এবং চোঙের ঘনফল = \(\pi {r^2}h\) ঘন একক
প্রমানুসারে, \(\frac{4}{3}\pi {r^3} = \pi {r^2}h\)
বা, \(4r = 3h\)
বা, \(\frac{r}{h} = \frac{3}{4}\)
বা, \(r: h=3: 4\)
\(\therefore\) চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 ।

আয়তঘনাকার তামার টুকরাের আয়তন = দৈর্ঘ্য \(\times\) প্রস্থ \(\times\) উচ্চতা
\(=6.6 \times 4 . 2 \times 1 . 4\)
ঘনডেসিমি
\(\therefore\) আয়তঘনাকার তামার টুকরােয় তামার পরিমাণ \(=6.6 \times 4.2 \times 1 . 4\) ঘনডেসিমি
গােলকের ব্যাস = 2.1 ডেসিমি।
\(\therefore\) গােলকের ব্যাসার্ধ \(=\frac{2 \cdot 1}{2}\) ডেসিমি = 1.05 ডেসিমি।
প্রতিটি গােলকের আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi {r^3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi(1.05)^{3}\) ঘনডেসিমি
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.05 \times 1.05 \times 1.05\) ঘনডেসিমি
\(\therefore\) গােলকের সংখ্যা \(=\frac{6.6 \times 4 . 2 \times 1.4}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}
\times 1 \cdot 05 \times 1 \cdot 05 \times 1 \cdot 05}\)
\(=\frac{6.6 \times 4 \cdot 2 \times 1.4 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 1 \cdot 05 \times 1 \cdot
05 \times 1 \cdot 05}=8\) টি
\(\therefore\) প্রতিটি গােলকে যে ধাতু আছে তার পরিমাণ
\(=\frac{4}{3} \pi(1 \cdot 05)^{3}\) ঘনডেসিমি
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\)
ঘনডেসিমি \(\left[\because 1.05=\frac{21}{20}\right]\)
\(=88 \times \frac{1}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\) ঘনডেসিমি।
\(=11 \times \frac{1}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\) ঘনডেসিমি।
\(= 4.851\) ঘনডেসিমি।
উত্তর : 8 টি গােলক ঢালাই যাবে। প্রতিটি গােলকে যে তামা থাকবে তার পরিমাণ 4.851 ঘনডেসিমি।

গােলকের ব্যাসার্ধ \(=4 \cdot 2\) সেমি =
\(\frac{42}{10}=\frac{21}{5}\) সেমি।
\(\therefore\) গােলকটিতে সােনার পরিমাণ =\(\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{4}{3} \times
\frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{5}\right)^{3}\) ঘন সেমি
মনে করি, লম্ব-বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য = \(x\) সেমি।
\(\therefore\) দণ্ডটিতে সােনার পরিমাণ = \(\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times\left(\frac{2
\cdot 8}{2}\right)^{2} \times x\) ঘন সেমি।
শর্তানুসারে, \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{2 \cdot 8}{2}\right)^{2} \times
x=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{5}\right)^{3}\)
বা, \(\left(\frac{14}{10}\right)^{2} \times x=\frac{4}{3} \times \frac{21 \times 21 \times
21}{5 \times 5 \times 5}\)
বা, \(x=\frac{4 \times 7 \times 21 \times 21}{5 \times 5 \times 5} \times \frac{100}{14
\times 14}\)
বা, \(x=\frac{4 \times 7 \times 21 \times 21}{5 \times 5 \times 5} \times \frac{100}{14
\times 14}\)
\(=\frac{7 \times 21 \times 21}{5} \times \frac{4}{7 \times 7}=\frac{7 \times 3 \times
3}{5} \times 4\)
\(=\frac{63 \times 4}{5}=\frac{63 \times 8}{10}=\frac{504}{10}=50.4\)
\(\therefore\) দণ্ডের দৈর্ঘ্য \(= 50.4\) সেমি।

গােলকের ব্যাসার্ধ = \(\frac{6}{2}=3\) ডেসিমি।
\(\therefore\) গােলকটিতে রৌপ্যের পরিমাণ = \(\frac{4}{3} \pi .3^{3}\) ঘন ডেসিমি।
মনে করি, নিরেট দণ্ডের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(= r\) ডেসিমি।
দণ্ডটির দৈর্ঘ্য \(= 1\) ডেসিমি।
\(\therefore\) দণ্ডটিতে রৌপ্যের পরিমাণ = \(\pi \cdot r^{2} \cdot 1\) ঘন ডেসিমি।
\(\therefore\) শর্তানুসারে, \(\pi r^{2} \cdot 1=\frac{4}{3} \pi \cdot 3^{3}\)
বা,\(r^{2}=\frac{4}{3} \times 3 \times 9=36=6^{2} \therefore r=6\)
\(\therefore\) ব্যাসের নির্ণেয় দৈর্ঘ্য = \(2 r\) ডেসিমি = \(2 \times 6=12\) ডেসিমি।

প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি হলে, 21 টি গোলকের আয়তন \(= 21 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\( = 21 \times \frac{4}{3} \times \pi \times {(8)^3}\) ঘন সেমি,
লম্ববৃত্তাকার দডের প্রথছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি
ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘা h সেমি.।
\(\therefore\) দণ্ডটির আয়তন \(= \pi r^{2} h\)
= \(\pi {(32)^2} \times h\) ঘন সেমি,
প্রশ্নানুসারে, \(\pi \times {(32)^2} \times h = 21\frac{4}{3}\pi \times {(8)^3}\)
বা, \(h = \frac{{21 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8}}{{32 \times 32 \times 3}} = 14\)
\(\therefore\) দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 14 সেমি. ছিল।

মনে করি, 100টি লােহার গােলক সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করায় চৌবাচ্চার
জলতলের উচ্চতা \(h\) ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।
এখন, \(h\) ডেসিমি উচ্চতা বৃদ্ধির জন্য জলের আয়তন বৃদ্ধি \(21 \times 11 \times h\) ঘন
ডেসিমি।
এখন 1টি গােলকের আয়তন \(=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
\(=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{21}{2 \times 10}\right)^{3}\) ঘন ডেসিমি।
\(=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 21}{8 \times 1000}\)
ঘন ডেসিমি
\(\therefore\) 100 টি গােলকের আয়তন = \(100 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7}
\times \frac{21 \times 21 \times 21}{8 \times 1000}\) ঘন ডেসিমি।
\(\because\) বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন = 100 টি গােলকের আয়তন
\(\therefore 21 \times 11 \times h\) ঘন ডেসিমি = \(100 \times \frac{4}{3} \times
\frac{22}{7} \times \frac{21 \times 21 \times 21}{8 \times 1000}\) ঘন ডেসিমি
বা, \(21 \times 11 \times h=100 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21
\times 21 \times 21}{8 \times 1000}\)
বা, \(h=\frac{4 \times 22 \times 21 \times 21}{8 \times 10 \times 21 \times 11}=\frac{4
\times 2 \times 21}{8 \times 10}=\frac{21}{10}=2 \cdot 1\)
\(\therefore\) চৌবাচ্চায় জলতলের উচ্চতা \(h\) ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে অর্থাৎ চৌবাচ্চার জলতল
2.1 ডেসিমি উঠে আসবে।

শঙ্কু, অর্ধগোলকের ও চোঙের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান।
সুতারাং; তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।
মনে করি, শঙ্কু, অর্ধগোলক ও চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
অর্ধগোলকের উচ্চতা = অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
শর্তানুসারে, শঙ্কুর উচ্চতা = চোঙের উচ্চতা = r একক
এখন, শঙ্কুর আয়তন : অর্ধগোলকের আয়তন : চোঙের আয়তন
\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}r:\frac{2}{3}\pi {r^3}:\pi {r^2}r \)
\(= \frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1\)
\({\rm{ = 1 : 2 : 3}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অনুপাত = \({\rm{ = 1 : 2 : 3}}\)

1 সেমি পুরু সীসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি ।
সুতরাং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (6 - 1) = 5 সেমি
\(\therefore\) গোলকটিতে সীসার পাত হচ্ছে = \(\frac{4}{3}\pi \left( {{6^3} - {5^3}} \right)\) ঘন সেমি
= \(\frac{4}{3}\pi \times 91\) ঘনসেমি
গোলকটিকে গলিয়ে লম্ববৃত্তাকার দণ্ডে তৈরি করা হবে।
ধরি, দন্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি
শর্তানুসারে, \(\pi {(2)^2}h = \frac{4}{3}\pi \times 91\)
\(\Rightarrow \pi \times 4 \times h=\frac{4}{3} \pi \times 91\)
\(\therefore h = \frac{{91}}{3} = 30\frac{1}{3}\) সেমি
\(\therefore\) দণ্ডটির দৈর্ঘ্য \(30\frac{1}{3}\) সেমি হবে।

আয়তঘনাকার কাঠের লগের বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 ডেসিমি. = 1.4 মিটার

\(\therefore\) আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
\(=1.4 \times 1.4 \times 2\)
= 3.92 ঘনমিটার
বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদ বিশিষ্ট কাঠের লগকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদ বিশিষ্ট কাঠের গুঁড়িতে পরিণত করতে হবে। বর্গাকার চিত্রের অন্তর্লিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহু দৈর্ঘ্যের সমান
\(\therefore\) লম্ববৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{1.4}{2}= 7\) মিটার
\(\therefore\) কাঠের গুড়ির আয়তন = ভূমিতলের ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা = \(\frac{{22}}{7} \times .7 \times .7 \times 2 = 3.08\) ঘনমিটার
\(\therefore\) লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে কাঠ থাকবে 3.08 ঘন মিটার, এবং কাঠ নষ্ট হবে (3.92 - 3.08) ঘন মিটার = 0.84 ঘন মিটার।

শর্তানুসারে, \(\frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{1}{3}\pi {R^2} \times r\)
বা, \(4{r^2} = {R^2}\)
বা, R = 2r
(a) 2r একক

\(\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \pi {r^2}5\)
বা, \(\frac{1 h}{3}=5\)
বা, h = 15
(b) 15 সেমি

(b) 2r একক

\(\frac{1}{3}\pi {r^2} \times r = \frac{1}{3}\pi {r^3}\) ঘন একক \(=\frac{\pi r^3}{3}\) ঘন একক
(d) \(\frac{{\pi {r^3}}}{3}\) ঘন একক।

(a) \(x\) একক

বিবৃতিটি মিথ্যা।

বিবৃতিটি মিথ্যা।

চোঙের

চোঙের

সমান। কারণ নিরেট লােহার গােলকটিকে গলিয়ে যে পরিমাণ লােহা
পাওয়া যাবে,
সেই পরিমাণ লােহা দিয়েই লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটি তৈরি করা হবে।

ধরি, শঙ্কু ও চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি, এবং চোঙের উচ্চতা h সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2} \times 15\)
বা, h = 5
\(\therefore\) নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি.।

মনে করি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক, ব্যাস 2r একক
সুতরাং, \(\frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
বা, \({\rm{4 r = h}}\)
বা, \(\frac{{2r}}{h} = \frac{1}{2}\)
বা, \(2 r: h=1: 2\)
\(\therefore\) গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত 1 : 2

চোঙ, শঙ্কু এবং গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান।
সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।
মনে করি, চোঙ, শঙ্কু ও গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক।
গোলকের উচ্চতা = গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
প্রদত্ত শর্তানুসারে, চোঙ ও শঙ্কুর উচ্চতা = 2r একক
\(\therefore\) চোঙ, শঙ্কু ও গোলকের আয়তনের অনুপাত \( = \pi {r^2} \times 2r:\frac{1}{3}\pi {r^2} \times 2r:\frac{4}{3}\pi {r^3}\)
\( = 2\pi {r^3}:\frac{2}{3}\pi {r^3}:\frac{8}{3}\pi {r^3}\)
\( = 2:\frac{2}{3}:\frac{8}{3}\) \( = 3:1:4\)

ধরি, অর্ধগোলক ও শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং শঙ্কু উচ্চতা h একক
অর্ধগোলকের তলের ক্ষেত্রফল = \(3\pi {r^2}\) বর্গ একক
শঙ্কুর তলের ক্ষেত্রফল \( = \pi r(r + l)\) বর্গ একক
=\(\pi r\left( {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} } \right)\) বর্গ একক
শর্তানুসারে \(\pi r(r + l) = 3\pi {r^2}\)
বা, \(\pi {r^2} + \pi r\sqrt {{h^2} + {r^2}} = 3\pi {r^2}\)
বা, \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}=3 \pi r^{2}-\pi r^{2}\)
বা, \(\pi r\sqrt {{h^2} + {r^2}} = 2\pi {r^2}\)
বা, \(\sqrt {{h^2} + {r^2}} = 2r\)
বা, \({h^2} + {r^2} = 4{r^2}\) [উভয়দিকে বর্গ করে]
বা, \({h^2} = 3{r^2}\)
বা, \(h=\sqrt{3} r\)
\(\therefore \frac{r}{h} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত \(1:\sqrt 3 \)

ধরি, শঙ্কু ও গোলক উভয়েরই ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা h একক
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{3}{4}\pi {r^3} = 2 \times \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
বা, 2r = h
বা, \(\frac{h}{r} = \frac{2}{1}\)
\(\therefore\) শঙ্কুর উচ্চতা ও ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1