সদৃশতা কষে দেখি ১৮.৩ | Koshe Dekhi 18.3 Class 10 | মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি (ক্লাস ১০)(টেন) কষে দেখি 18.3 সমাধান| WBBSE Madhyamik Class 10(Ten)(X) Math Solution Of Chapter 18 Similarity | WB Board Math Book Solution In Madhyamik Math Solution Of Chapter 18 Koshe Dekhi 18.3.
Share this page using :
Madhyamik Math Solution Of Chapter 18 Koshe Dekhi 18.3 | সদৃশতা কষে দেখি ১৮.৩|Koshe Dekhi 18.3 Class 10
কষে দেখি - 18.3
Madhyamik Math Solution Of Chapter 18 Koshe Dekhi 18.3 | সদৃশতা কষে দেখি ১৮.৩|Koshe Dekhi 18.3 Class 10
1. নীচের কোন ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ হিসাব করে লিখি।
সমাধান : প্রথম জোড়া অর্থাৎ, \(\Delta\)ABC
এবং \(\Delta\)PQR সদৃশ কোণী।
কারণ, \(\frac{A B}{Q R}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{B C}{P Q}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}, \frac{A C}{P R}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{QR}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{PQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{PR}}}} = \frac{1}{2}\)
এবং \(\Delta\)PQR সদৃশ কোণী।
কারণ, \(\frac{A B}{Q R}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{B C}{P Q}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}, \frac{A C}{P R}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{QR}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{PQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{PR}}}} = \frac{1}{2}\)
2. নীচের ত্রিভুজ জোড়া দেখি ও \(\angle A\) -এর মান হিসাব করে লিখি।
\(\angle {\rm{A}} = {180^\circ } - \left( {{{75}^\circ } + {{65}^\circ }} \right) = {180^\circ } - {140^\circ } = {40^\circ }\)
\(\therefore\) \(\angle A\) -এর মান \(= {40^\circ }\)
\(\therefore\) \(\angle A\) -এর মান \(= {40^\circ }\)
3. আমাদের মাঠে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি কাঠির 4 সেমি, দৈর্ঘ্যের ছায়া মাটিতে পড়েছে। ওই একই সময়ে যদি একটি উচু টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 28 মিটার হয়, তবে টাওয়ারের উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
ধরি, 6 সেমি দীর্ঘ CD লাঠির ছায়ার দৈর্ঘ্য CP। \(\therefore\) CP = 4 সেমি। একই সময়ে, AB টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য AP = 28 সেমি।
আমাদেরকে AB-এর উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
এখন, \(\triangle APB \) ও \(\triangle \mathrm{CPD}\)-এর মধ্যে \(\angle PAB \) = \(\angle PCD \) [\(\therefore\) উভয়েই ভূমির সঙ্গে লম্ব,\(\therefore\) সমকোণ]
\(\angle \mathrm{P}\) উভয় ত্রিভুজেই সাধারণ। \(\therefore\) \(\triangle APB \) ~ \(\triangle \mathrm{CPD}\)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{A B}{C D}=\frac{A P}{C P}\)
বা, \(\frac{\mathrm{AB}}{6 \text { সেমি }}=\frac{28 \text { মিটার }}{4 \text {সেমি }}\)
বা, AB = \(\frac{2800 \text {সেমি } \times 6 \text { সেমি }}{4 \text { সেমি }}\)\(=4200\) সেমি= 42 মিটার
\(\therefore\) টাওয়ারটির উচ্চতা 42 মিটার।
4. প্রমাণ করো যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অধের্ক।
ধরি, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB ও AC বাহু দুটির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P ও Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ|| BC এবং \(\mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\)
প্রমাণ : P ও Q যথাক্রমে AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) AP = BP এবং AQ = CQ
\(\therefore \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BP}}\) = 1;
আবার; \(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{CQ}}=\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CQ}}=1\)
তাহলে, \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{CQ}}\)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে, PQ|| BC (প্রমাণিত)
আবার, \(\triangle APQ \) ও \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর মধ্যে
\(\angle APQ \) = \(\angle ABC \) [\(\therefore\) অনুরূপ কোণ]
\(\angle AQP \) = \(\angle ACB \) [\(\therefore\) অনুরূপ কোণ]
এবং \(\angle \mathrm{A}\) সাধারণ কোণ।
\(\therefore\) \(\triangle APQ \) ~ \(\triangle ABC \)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AC}}\)
\(\therefore \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AP}}{2 \mathrm{AP}}\)\([\because\) P, A B-এর মধ্যবিন্দু, \(\therefore \mathrm{AB}=2 \mathrm{AP}]\)
বা, \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AP}}{2 \mathrm{AP}}=\frac{1}{2}\)
বা, \(\mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\)
\(\therefore \mathrm{PQ} \| \mathrm{BC}\) এবং \(\mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\). (প্রমাণিত)
5. তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে \(A, B, C\) ও \(X, Y, Z\) বিন্দুতে ছেদ করেছে, প্রমাণ করি যে, \(AB : BC = XY : YZ\)
ধরি, CD ও EF সমান্তরাল সরলরেখা দুটি O বিন্দুতে সমবিন্দু তিনটি সরলরেখা \(\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\)\(\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\)-কে যথাক্রমে A, B, C এবং X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB : BC = XY : \(\mathrm{YZ}\)
প্রমাণ : \(\triangle AOB \) ও \(\triangle \mathrm{XOY}\)-এর মধ্যে \(\angle OAB \) = \(\angle OXY \) [\(\because\) একান্তর কোণ, CD || EF এবং \(\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\) এদের ভেদক]
\(\angle \mathrm{OBA}\)= \(\angle OYX \) [একই কারণে]
\(\therefore\) \(\triangle AOB \) ~ \(\triangle \mathrm{XOY}\)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OY}} \ldots \ldots \ldots\) (1)
আবার \(\triangle BOC\) ও \(\triangle \mathrm{YOZ}\)-এর মধ্যে।
\(\angle OBC \) = \(\angle OYX \) [\(\therefore\) একান্তর কোণ, CD || EF এবং \(\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\) এদের ছেদক।]
আবার \(\angle B O C=\angle Y O Z\) [\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ]
\(\therefore \triangle B O C \sim \triangle Y O Z\)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{YZ}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OY}}\)\(\ldots \ldots \ldots\)(2)
\(\therefore\) (1) ও (2) থেকে পাই \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{YZ}}\)
বা, \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{YZ}}\)
\(\therefore\) AB : BC = XY : YZ. (প্রমাণিত)
Madhyamik Math Solution Of Chapter 18 Koshe Dekhi 18.3 | সদৃশতা কষে দেখি ১৮.৩|Koshe Dekhi 18.3 Class 10
6. \(PQRS\) একটি ট্রাপিজিয়াম, অঙ্কন করেছি যার \(PQ \| SR; PR\) ও \(QS\) কর্ণ দটি O বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, \(OP : OR = OQ : OS;\) যদি \(SR = 2PQ\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, O বিন্দু কর্ণ দুটি প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।
PQRS সামান্তরিকের PQ|| SR। কর্ণ PR ও QS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
(a) OP: OR = OQ : OS
(b) যদি SR = 2PQ হয়, তবে O বিন্দুটি উভয় কর্ণের একটি সমত্রিখণ্ডন বিন্দু। অর্থাৎ, OP : OR = 1 : 2 এবং OQ : OS = 1 : 2
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{POQ}\) ও \(\triangle S O R\)-এর মধ্যে \(\angle OPQ \) = \(\angle ORS \) [\(\therefore\) একান্তর কোণ ]
\(\angle \mathrm{OQP}=\angle \mathrm{OSR}\) [\(\because\) একান্তর কোণ]
\(\therefore \triangle \mathrm{POQ} \sim \triangle S O R\)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OR}}=\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{SR}}\)\(\ldots\ldots\ldots\)(1)
(1) থেকে পাই, \(\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OR}}=\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OS}}\) বা, OP: OR = \(\mathrm{OQ}:\) OS (প্রমাণিত)
আবার,(1) থেকে পাই, \(\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{SR}}\)
বা, \(\frac{O P}{O R}=\frac{P Q}{2 P Q}[\because S R=2 P Q]\)
বা, \(\frac{O P}{O R}=\frac{1}{2}\)
বা, OP : OR \(=1: 2\)
অনুরূপভাবে \(\frac{O Q}{O S}=\frac{P Q}{S R}\)
বা, \(\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{2 \mathrm{PQ}}\)
বা,\(\frac{O Q}{O S}=\frac{1}{2}\)
বা, OQ: OS = 1 : 2
\(\therefore\) Oবিন্দুটি PR ও Qs উভয় কর্ণের একটি সমত্রিখণ্ডন বিন্দু। (প্রমাণিত)।
7. \(PQRS\) একটি সামান্তরিক। S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা \(PQ\) এবং বর্ধিত \(RQ\)-কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, \(PS : PX = QY : QX = RY : RS\)
সমাধান : প্রমাণ : PQ \(\|\) SR এবং SX ছেদক;
\(\angle\)XSR = \(\angle\)PXS (একান্তর কোণ)
আবার, SP \(\|\) YR এবং SY ছেদক ।
\(\therefore {\rm{ }}\angle {\rm{PSX}} = \angle {\rm{XYQ}}\)
\(\because\) PS \(\|\) YR এবং PQ ছেদক;
\(\therefore\) \(\angle\)SPX = \(\angle\)YQX (একান্তর কোণ)
আবার, \(\angle\)PXS = \(\angle\)QXY (বিপ্রতীপ কোণ)
এখন, \(\Delta\)PXS ও \(\Delta\)QXY-এর, \(\angle\)PSX = \(\angle\)XYQ, \(\angle\)SPQ, \(\angle\)YQX
এবং \(\angle\)PXS = \(\angle\)YXQ
\(\therefore\) \(\Delta\)PXS ও \(\Delta\)QXY সদৃশকোণী।
\(\therefore \frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{XQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{SX}}}}{{{\rm{XY}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{QY}}}}{\rm{ }}\)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{XQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{OY}}}}\)
বা, \(\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{PX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{QY}}}}{{{\rm{QX}}}}\)....……(1)
আবার, PQ \(\|\) SR এবং SY ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle\)YSR = \(\angle\)YXQ (অনুরূপ কোণ)
এখন, PQ \(\|\) SR এবং YR ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle\)YRS = \(\angle\)YQX (অনুরূপ কোণ)
এখন, \(\Delta\)SYR ও \(\Delta\)XYQ -এর, \(\angle\)YSR = \(\angle\)YXQ
\(\angle\)YRS = \(\angle\)YQX
এবং \(\angle\)SYR = \(\angle\)XYQ
\(\therefore\) \(\Delta\)SYR ও \(\Delta\)XYQ সদৃশকোণী ।
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{SY}}}}{{{\rm{XY}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{YR}}}}{{{\rm{YQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{SR}}}}{{{\rm{QX}}}}{\rm{ }}\)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{YR}}}}{{{\rm{YQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{SR}}}}{{{\rm{QX}}}}\)
বা, \(\frac{{{\rm{QY}}}}{{{\rm{QX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{RY}}}}{{{\rm{RS}}}} \ldots \ldots \ldots \ldots (2)\)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই, \(\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{PX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{QY}}}}{{{\rm{QX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{RY}}}}{{{\rm{RS}}}}\)
\(\therefore {\rm{ PS }}:{\rm{PX = QY : QX = RY : RS}}\) (প্রমাণিত)
\(\angle\)XSR = \(\angle\)PXS (একান্তর কোণ)
আবার, SP \(\|\) YR এবং SY ছেদক ।
\(\therefore {\rm{ }}\angle {\rm{PSX}} = \angle {\rm{XYQ}}\)
\(\because\) PS \(\|\) YR এবং PQ ছেদক;
\(\therefore\) \(\angle\)SPX = \(\angle\)YQX (একান্তর কোণ)
আবার, \(\angle\)PXS = \(\angle\)QXY (বিপ্রতীপ কোণ)
এখন, \(\Delta\)PXS ও \(\Delta\)QXY-এর, \(\angle\)PSX = \(\angle\)XYQ, \(\angle\)SPQ, \(\angle\)YQX
এবং \(\angle\)PXS = \(\angle\)YXQ
\(\therefore\) \(\Delta\)PXS ও \(\Delta\)QXY সদৃশকোণী।
\(\therefore \frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{XQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{SX}}}}{{{\rm{XY}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{QY}}}}{\rm{ }}\)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{XQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{OY}}}}\)
বা, \(\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{PX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{QY}}}}{{{\rm{QX}}}}\)....……(1)
আবার, PQ \(\|\) SR এবং SY ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle\)YSR = \(\angle\)YXQ (অনুরূপ কোণ)
এখন, PQ \(\|\) SR এবং YR ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle\)YRS = \(\angle\)YQX (অনুরূপ কোণ)
এখন, \(\Delta\)SYR ও \(\Delta\)XYQ -এর, \(\angle\)YSR = \(\angle\)YXQ
\(\angle\)YRS = \(\angle\)YQX
এবং \(\angle\)SYR = \(\angle\)XYQ
\(\therefore\) \(\Delta\)SYR ও \(\Delta\)XYQ সদৃশকোণী ।
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{SY}}}}{{{\rm{XY}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{YR}}}}{{{\rm{YQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{SR}}}}{{{\rm{QX}}}}{\rm{ }}\)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{YR}}}}{{{\rm{YQ}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{SR}}}}{{{\rm{QX}}}}\)
বা, \(\frac{{{\rm{QY}}}}{{{\rm{QX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{RY}}}}{{{\rm{RS}}}} \ldots \ldots \ldots \ldots (2)\)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই, \(\frac{{{\rm{PS}}}}{{{\rm{PX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{QY}}}}{{{\rm{QX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{RY}}}}{{{\rm{RS}}}}\)
\(\therefore {\rm{ PS }}:{\rm{PX = QY : QX = RY : RS}}\) (প্রমাণিত)
8. দুটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABC \) ও \(\triangle PQR\) সদৃশকোণী। তাদের পরিকেন্দ্র যথাক্রমে \(X\) ও \(Y ; BC\) ও \(QR\) অনুরূপ বাহু হলে, প্রমাণ করি যে, \(BX : QY = BC : QR.\)
\(\triangle ABC \) ও \(\triangle \mathrm{PQR}\) দুটি সদৃশ সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর পরিকেন্দ্র X এবং \(\triangle \mathrm{PQR}\)-এর পরিকেন্দ্র Y প্রমাণ করতে হবে যে, \(BX : QY = BC : QR\)
প্রমাণ :
\(\triangle ABC \)\(-\triangle \mathrm{PQR}, \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{P}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}, \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{R}\)
এখন, X ও Y যথাক্রমে \(\triangle ABC \) ও \(\triangle \mathrm{PQR}\)-এর পরিকেন্দ্র। \(\therefore\) \(\angle BXC \) =\(2 \angle \mathrm{A}\) এবং \(\angle QYR \) =\(2 \angle \mathrm{P}\) [ \(\because\) কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ ]
কিন্তু\(\angle A=\angle P, \therefore\) \(\angle BXC \) = \(\angle QYR \)
আবার, \(B X=C X\), [\(\therefore\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] \(\therefore\) \(\angle XBC \) = \(\angle \mathrm{XCB}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{BXC}\)-এ \(\angle \mathrm{XBC}+\angle \mathrm{BXC}+\angle \mathrm{XCB}=180^{\circ}\) [\(\because\) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° ]
বা, \(\angle \mathrm{XBC}+\angle \mathrm{XBC}+\angle \mathrm{BXC}=180^{\circ} [\because \angle \mathrm{XCB}\)
\(=\angle \mathrm{XBC}]\)
বা,\(2 \angle \mathrm{XBC}+\angle \mathrm{BXC}=180^{\circ}\) বা, \(2 \angle \mathrm{XBC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{BXC}\)
বা, \(\angle \mathrm{XBC}=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle \mathrm{BXC}\right)\) \(\ldots\ldots\ldots\) (1)
=\(\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle Q Y R\right)[\because \angle B X C=\angle Q Y R]\)
=\(\frac{1}{2}(\angle \mathrm{QYR}+\angle \mathrm{YQR}+\angle \mathrm{YRQ}-\angle \mathrm{QYR})\)
\(=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{YQR}+\angle \mathrm{YRQ})\)
\(=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{YQR}+\angle \mathrm{YQR})[\because \mathrm{YQ}=\mathrm{YR}, \therefore \angle \mathrm{YRQ}=\angle \mathrm{YQR}]\)
=\(=\frac{1}{2} \times 2 \angle \mathrm{YQR}=\angle \mathrm{YQR}\)
\(\therefore \angle \mathrm{XBC}=\angle \mathrm{YQR}\)
অনুরূপভাবে, \(\angle \mathrm{XCB}\) = \(\angle YRQ \)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{XBC}\)ও \(\angle \mathrm{YRQ}\)-এর মধ্যে \(\angle BXC \) = \(\angle \mathrm{QYR}\),
\(\angle \mathrm{XBC}=\angle \mathrm{YQR}\) এবং \(\angle XCB \) = \(\angle YRQ \)
\(\therefore\)\(\triangle \mathrm{XBC}-\triangle \mathrm{YQR}\)
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{\mathrm{XB}}{\mathrm{YO}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OR}}\)
বা,\(\mathrm{BX} : \mathrm{QY}=\mathrm{BC}: \mathrm{QR}\)
\(\therefore\) Bx : QY = BC: QR. (প্রমাণিত) .
Madhyamik Math Solution Of Chapter 18 Koshe Dekhi 18.3 | সদৃশতা কষে দেখি ১৮.৩|Koshe Dekhi 18.3 Class 10
9. কোনো বৃত্তের \(PQ\) ও \(RS\) দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে \(X\) বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। \(P, S\) ও, \(R, Q\) যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, \(\triangle PXS\) ও \(\triangle RSQ \) সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমান করি যে, \(PX.XQ = RX.XS\)
সমাধান : অঙ্কন : S, P ও Q, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : এখন, SQ বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)SPQ ও \(\angle\)SRQ এবই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)SPQ = \(\angle\)SRQ
অর্থাৎ \(\angle\)SPX = \(\angle\)XRQ
আবার, PR বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)PSR ও \(\angle\)PQR একই বৃতাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)PSR = \(\angle\)PQR
অর্থাৎ, \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
এখন, \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)ROX-এর \(\angle\)SPX = \(\angle\)XPQ
এবং \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
\(\therefore\) \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)RQX সদৃশকোণী। (প্রমাণিত)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{RX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{XS}}}}{{{\rm{XQ}}}}\)
বা, PX.XQ = RX.XS (প্রমাণিত)
প্রমাণ : এখন, SQ বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)SPQ ও \(\angle\)SRQ এবই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)SPQ = \(\angle\)SRQ
অর্থাৎ \(\angle\)SPX = \(\angle\)XRQ
আবার, PR বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)PSR ও \(\angle\)PQR একই বৃতাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)PSR = \(\angle\)PQR
অর্থাৎ, \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
এখন, \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)ROX-এর \(\angle\)SPX = \(\angle\)XPQ
এবং \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
\(\therefore\) \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)RQX সদৃশকোণী। (প্রমাণিত)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{RX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{XS}}}}{{{\rm{XQ}}}}\)
বা, PX.XQ = RX.XS (প্রমাণিত)
10. একটি বৃত্তে দুটি জ্যা পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয়ের ক্ষেত্রফল অপরটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্রের সমান হবে
সমাধান : অঙ্কন : S, P ও Q, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : এখন, SQ বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)SPQ ও \(\angle\)SRQ এবই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)SPQ = \(\angle\)SRQ
অর্থাৎ \(\angle\)SPX = \(\angle\)XRQ
আবার, PR বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)PSR ও \(\angle\)PQR একই বৃতাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)PSR = \(\angle\)PQR
অর্থাৎ, \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
এখন, \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)ROX-এর \(\angle\)SPX = \(\angle\)XPQ
এবং \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
\(\therefore\) \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)RQX সদৃশকোণী। (প্রমাণিত)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{RX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{XS}}}}{{{\rm{XQ}}}}\)
বা, PX.XQ = RX.XS (প্রমাণিত)
প্রমাণ : এখন, SQ বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)SPQ ও \(\angle\)SRQ এবই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)SPQ = \(\angle\)SRQ
অর্থাৎ \(\angle\)SPX = \(\angle\)XRQ
আবার, PR বৃত্তচাপের ওপর \(\angle\)PSR ও \(\angle\)PQR একই বৃতাংশস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle\)PSR = \(\angle\)PQR
অর্থাৎ, \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
এখন, \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)ROX-এর \(\angle\)SPX = \(\angle\)XPQ
এবং \(\angle\)PSX = \(\angle\)XQR
\(\therefore\) \(\Delta\)PSX ও \(\Delta\)RQX সদৃশকোণী। (প্রমাণিত)
\(\therefore {\rm{ }}\frac{{{\rm{PX}}}}{{{\rm{RX}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{XS}}}}{{{\rm{XQ}}}}\)
বা, PX.XQ = RX.XS (প্রমাণিত)
10. একটি সরলরেখার উপর P এবং Q বিন্দু। P এবং Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব। PS এবং QR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে OT, PQ-এর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে, \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{OT}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{PR}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{QS}}}}\)
ধরি, P ও Q বিন্দু দুটি EF সরলরেখার উপর অবস্থিত। PR ও QS, EF সরলরেখার উপর P ও Q বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি লম্ব। PS ও QR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। \(O T \perp P Q\). প্রমাণ করতে হবে যে, \(\frac{1}{O T}=\frac{1}{P R}+\frac{1}{Q S}\)
প্রমাণ : \(\because\) PR, QS এবং OT প্রত্যেকেই EF সরলরেখার উপর যথাক্রমে P, Q ও T বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব।
\(\therefore\) PR || TO || QS
এখন, APQR-এ TO || PR
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\frac{\mathrm{OT}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{PT}}{\mathrm{PQ}}\) \(\ldots\ldots\ldots\) (1)
একইভাবে,\(\triangle \mathrm{PQS}\)-এ TO || QS,
\(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(\frac{O T}{Q S}=\frac{P T}{P Q}\) \(\ldots\ldots\ldots\) (2)
তাহলে, (1) ও (2)-কে যােগ করে পাই, \(\frac{O T}{P R}+\frac{O T}{Q S}=\frac{T Q}{P Q}+\frac{P T}{P Q}\)
বা, OT \(\left(\frac{1}{\mathrm{PR}}+\frac{1}{\mathrm{QS}}\right)=\frac{\mathrm{TQ}+\mathrm{PT}}{\mathrm{PQ}}\)
বা, \(O T\left(\frac{1}{P R}+\frac{1}{Q S}\right)=\frac{P Q}{P Q}\)
বা, \(O T\left(\frac{1}{P R}+\frac{1}{O S}\right)=1\)
বা, \(\frac{1}{\mathrm{PR}}+\frac{1}{\mathrm{QS}}=\frac{1}{\mathrm{OT}}\)
\(\therefore \frac{1}{O T}=\frac{1}{P R}+\frac{1}{Q S}\) (প্রমাণিত)
11. একটি বৃত্তে অন্তলিখিত \(\triangle ABC\) ; বৃত্তের ব্যাস AD এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(\triangle AEB\) এবং \(\triangle ACD\) সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, \(AB.AC = AE.AD\)
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে \(\triangle ABC \) অন্তর্লিখিত, AD ওই বৃত্তের একটি ব্যাস। \(\mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}\)
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\triangle AEB \) ~ \(\triangle ACD \)
এবং \(\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}=\mathrm{AE} \times \mathrm{AD}\)
অঙ্কন : C, D যুক্ত করি।
প্রমাণ : \(\because \mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}, \therefore \angle \mathrm{AEB}=90^{\circ}\) \(\ldots\ldots\ldots\) (1)
আবার, AD বৃত্তের ব্যাস এবং \(\angle ACD \) একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
\(\therefore\) \(\angle ACD \) = 1 সমকোণ বা 90°\(\ldots\ldots\ldots\)(2)
AC জ্যা দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ \(\angle ABC \) ও \(\angle \mathrm{ADC}\)
\(\therefore\) \(\angle ABC \) = \(\angle ADC \)
বা, \(\angle ABE \) = \(\angle ADC \) \(\ldots\ldots\ldots\) (3)
তাহলে, \(\triangle AEB \) ও\(\triangle \mathrm{ACD}\)-এর মধ্যে \(\angle AEB \) = \(\angle ACD \) [(1) ও (2) থেকে) ]
এবং \(\angle ABE \) = \(\angle ADC \) [(3) থেকে]।
\(\therefore\) \(\triangle AEB \) ~ \(\triangle ACD \) (প্রমাণিত)
\(\because\) \(\triangle AEB \) ~ \(\triangle ACD \) \(\therefore\) থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}\)
বা,\(\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}=\mathrm{AE} \times \mathrm{AD}\)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{AEB} \sim \triangle \mathrm{ACD}\)
এবং \(\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{AD}\) (প্রমাণিত)
Madhyamik Math Solution Of Chapter 18 Koshe Dekhi 18.3 | সদৃশতা কষে দেখি ১৮.৩|Koshe Dekhi 18.3 Class 10
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
