প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\angle B\) ও \(\angle C\)-র অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পরকে I বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\angle B I C=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle B A C\)
প্রমাণ : \(\because B I, \angle A B C\)-র অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক
\(\therefore \angle \mathrm{ABI}=\angle \mathrm{CBI}=\alpha\) (মনে করি)
\(\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABI}+\angle \mathrm{CBI}=\alpha+\alpha=2 \alpha\)
আবার, \(\because \mathrm{CI}, \angle \mathrm{ACB}\)-র অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক,
\(\therefore \angle \mathrm{ACI}=\angle \mathrm{BCI}=\beta\) (মনে করি)
\(\angle A C B=\angle A C I+\angle B C I=\beta+\beta=2 \beta\)
এখন, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}\)
[\(\because \) ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি \(180^{\circ}\)]
বা, \(2 \alpha+2 \beta+\angle B A C=180^{\circ}\)
বা, \(2(\alpha+\beta)+\angle B A C=180^{\circ}\)
বা, \(2(\alpha+\beta)=180^{\circ}-\angle B A C \)
বা, \(\alpha+\beta=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}\)
বা, \(\angle \mathrm{CBI}+\angle \mathrm{BCI}=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC} \)
বা, \(\angle \mathrm{CBI}+\angle \mathrm{BCI}+\angle \mathrm{BIC}-\angle \mathrm{BIC}=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC} \)
বা, \(180^{\circ}-\angle \mathrm{BIC}=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}\)
[\(\because \triangle \mathrm{BIC}\)-র তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]
বা, \(180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BIC}\)
\(\therefore \angle \mathrm{BIC}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}\) ( প্রমাণিত)

ধরা যাক, \(\triangle A B C\)-র তিনটি মধ্যমা AD, BE ও CF পরস্পর সমান
অর্থাৎ AD = BE = CF।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle A B C\) সমবাহু।
প্রমাণ : \(\because \) ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু
\(\therefore\) AD, BE ও CF পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে অর্থাৎ G ভরকেন্দ্র।
\(\because \) ভরকেন্দ্রে ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে
2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়
\(\therefore \mathrm{AG}=\frac{2}{3} \mathrm{AD}, \mathrm{GD}=\frac{1}{3} \mathrm{AD} ; \mathrm{CG}=\frac{2}{3} \mathrm{CF}, \mathrm{FG}=\frac{1}{3} \mathrm{CF}\)
এবং \(B G=\frac{2}{3} B E, G E=\frac{1}{3} B E\)
\(\because A D=B E=C F\)
\(\therefore A G=\frac{2}{3} A D, B G=\frac{2}{3} A D, C G=\frac{2}{3} A D\)
অর্থাৎ \(A G=B G=C G\)
এবং \(G D=\frac{1}{3} A D, G E=\frac{1}{3} A D, G F=\frac{1}{3} A D\)
অর্থাৎ \(G D=G E=F G\)
এখন, \(\triangle \mathrm{BGF}\) ও \(\triangle \mathrm{CGE}\) এর
\(BG=CG\)
\(\angle \mathrm{BGF}=\angle \mathrm{CGE}\) [বিপ্রতীপ কোন]
\(GE=GF\)
\(\therefore \triangle \mathrm{BGF} \cong \triangle \mathrm{CGE}\) [ S-A-S শর্তে ]
\(\therefore\) \(BF=CE\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
বা, \(2BF=2CE\)
\(\therefore AB=AC\)......(i) [\(\because \) E ও F যথাক্রমে AC ও AB-এর মধ্যবিন্দু ]
আবার \(\triangle \mathrm{BGD}\) ও \(\triangle \mathrm{AGE}\)-র
BG=AG
\(\angle B G D=\angle A G E\) [ বিপ্রতীপ কোণ ]
GD=GE
\(\triangle \mathrm{BGD} \cong \triangle \mathrm{AGE}\) [S-A-S শর্তে ]
\(\therefore BD=AE\) [ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ]
বা, \(2 B D=2 A E\)
\(\therefore B C=A C\ldots(ii)\)
[\(\because \) D ও E যথাক্রমে BC ও CA-এর মধ্যবিন্দু ]
(i) ও (ii) থেকে পাই, \(AB=BC=AC\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\) সমবাহু। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\) সমবাহু যার AB = BC = CA
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র,
ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমাপতিত হয় অর্থাৎ এই চারটি বিন্দুই একই বিন্দু।
অঙ্কন : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র তিনটি শীর্ষবিন্দু A, B, C থেকে যথাক্রমে BC, CA ও AB বাহুর উপর AD, BE ও CF লম্ব অঙ্কন করা হল
এবং যেহেতু কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় সমবিন্দু ।
তাই AD, BE ও CF পরস্পরকে একই বিন্দু O-তে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABD}\) ও \(\triangle \mathrm{ADC}\)-এর
\(\angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}[\because A D \perp B C]\)
AB=AC [ \(\because \triangle \mathrm{ABC}\) সমবাহু ]
AD সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{ADC}\) [ R-H-S শর্তানুসারে ]
\(\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{DC}, \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CAD}\) [\(\because \) সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুদ্বয় ও অনুরূপ কোণদ্বয় সমান হয়]
\(\therefore\) AD, BC বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, BC বাহুর উপর মধ্যমা এবং \(\angle B A C\)-এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক।
অনুরূপে, প্রমাণ করা যায়, BE সরলরেখাটি ও CF সরলরেখাটি যথাক্রমে AC বাহু ও AB বাহুর বিপরীত শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত, মধ্যমা, লম্বসমদ্বিখণ্ডক এবং যথাক্রমে \(\angle \mathrm{ABC}\) ও \(\angle \mathrm{ACB}\)-র অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক।
সুতরাং, ABC সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি,
বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডক তিনটি, মধ্যমা তিনটি ও কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক তিনটি একই সরলরেখা।
সুতরাং, এই সিদ্ধান্তে আসা গেল যে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, তিনটি বাহুর বিপরীত শীর্ষবিন্দু হতে অঙ্কিত লম্বত্রয়ের ছেদবিন্দু,
বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু, মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দু ও কোণগুলির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু একই বিন্দু।
সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও
লম্ববিন্দু সমাপতিত হয়। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F অর্থাৎ AD, BE ও CF হল \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র তিনটি মধ্যমা যারা পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে
অর্থাৎ \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ভরকেন্দ্র G। D, E; E, F ও F, D যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{ABC}\) ও \(\triangle \mathrm{DEF }\)-এর ভরকেন্দ্র একই অর্থাৎ G
অঙ্কন : AD ও EF পরস্পরকে R বিন্দুতে, BE ও FD পরস্পরকে P বিন্দুতে,
CF ও DE পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : \(\because\) \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AB-র মধ্যবিন্দু F এবং AC-র মধ্যবিন্দু E।
\(\therefore EF \| BC\) এবং \(\mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=\mathrm{BD}\) [ \(\because \) D, BC-র মধ্যবিন্দু;
ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক ]
\(\therefore\) BDEF চতুর্ভুজের, EF = BD এবং\( EF \| BD\)
\(\therefore\) BDEF একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় BE ও DF
\(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
\(\therefore\)DF-র মধ্যবিন্দু P
\(\therefore \triangle \mathrm{DEF}\)-এর একটি মধ্যমা EP
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, DCEF এবং AFDE প্রত্যেকেই সামান্তরিক। তাই, DE ও EF-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R
অর্থাৎ \(\triangle \mathrm{DEF}\)-র অপর মধ্যমা দুটি FQ ও DR
\(\therefore\) \(\triangle DEF\)-এর মধ্যমা তিনটি EP, FQ ও DR, প্রত্যেকেই G বিন্দুগামী
সুতরাং, \(\triangle \mathrm{DEF}\)-এর ভরকেন্দ্র G
অর্থাৎ \(\triangle \mathrm{ABC}\) ও \(\triangle \mathrm{DEF}\)-এর ভরকেন্দ্র একই বিন্দু। (প্রমাণিত)

ধরা যাক, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র তিনটি মধ্যমা AD, BE ও CF পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
গ্রামাণ্য বিষয় : ত্রিভুজের যে-কোনো দুটি মধ্যমার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় মধ্যমার দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর অর্থাৎ
(i) \(B E+C F > A D\) বা
(ii) \(\mathrm{BE}+\mathrm{AD} > \mathrm{CF}\) অথবা
(iii) \(\mathrm{AD}+\mathrm{CF} > \mathrm{BE}\)
অঙ্কন : AD-কে H পর্যন্ত এরূপে বর্ধিত করা হল যেন GD = DH হয়। C, H ও B, H যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : BGCH চতুর্ভুজের
\(BD = DC\)
[ \(\because A D, \triangle A B C\)-র মধ্যমা অর্থাৎ D, BC-র মধ্যবিন্দু] GD = DH [ অঙ্কনানুসারে ]
\(\therefore\) BGCH চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক,
কারণ এর কর্ণদ্বয় পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।
\(\because \) BGCH একটি সামান্তরিক
\(\therefore\) BG = CH এবং BH = CG [\(\because \) সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগলি সমান ]
এখন, \(\triangle \mathrm{BGH}\).-র \(BG + BH > GH\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ]
বা, \(\mathrm{BG}+\mathrm{CG} > 2 \mathrm{GD}[\because \mathrm{BH}=\mathrm{CG}\) এবং \(\mathrm{GD}=\mathrm{DH}]\)
বা, \(\frac{2}{3} \mathrm{BE}+\frac{2}{3} \mathrm{CF} > 2 \cdot \frac{1}{3} \mathrm{AD}\) [\(\because \) মধ্যমা ভরকেন্দ্রে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়]
\(\therefore\) BE + CF > AD [(i) নং (প্রমাণিত)]।
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,
(ii) \(BE + AD > CF\); (iii) \(AD + CF > BE\)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র তিনটি মধ্যমা AD, BE ও CF পরস্পরকে বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \(4(A D+B E+C F) > 3(A B+B C+C A)\)
(ii) \(3(A B+B C+C A) > 2(A D+B E+C F)\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABG}\)-র, \(A G+B G > A B\ldots(1)\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর]
\(\triangle \mathrm{BGC}\) -র, \(BG + CG > BC\ldots(2)\)
এবং \(\triangle \mathrm{ACG}\)-র, \( CG+ AG > CA\ldots(3)\)
(1) + (2) + (3) করে পাই—
AG+ BG + BG + CG + CG + AG > AB+ BC + CA
বা, \(2 (AG+ BG + CG) > AB+ BC + CA\)
বা, \(2\left(\frac{2}{3} A D+\frac{2}{3} B E+\frac{2}{3} C F\right) > A B+B C+C A\)
[\(\because \) ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমা ভরকেন্দ্রে শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় ]
বা, \(\frac{4}{3}(A D+B E+C F) > A B+B C+C A \)
বা, \(4(A D+B E+C F) > 3(A B+B C+C A)\) [(i) নং প্রমাণিত]
\(\triangle \mathrm{ABD}\)-র, \(AB+ BD > AD \ldots(1)\)[\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ]
\( \therefore \triangle B C E-র, B C+C E>B E \)...(2)
এবং \( \triangle \mathrm{ACF}-র \mathrm{CA}+\mathrm{AF}>\mathrm{CF} \)... (3)
(1) + (2) + (3) করে পাই—
\(AB + BD + BC + CE + CA + AF > AD+BE+ CF \)
\(A B+\frac{1}{2} B C+B C+\frac{1}{2} C A+C A+\frac{1}{2} A B > A D+B E+C F\) [ \(\because \) D, E, F যথাক্রমে BC, CA ও AB-এর মধ্যবিন্দু]
বা, \(\frac{3}{2}(A B+B C+C A) > A D+B E+C F\)
\(\therefore\) \(3(A B+B C+C A) > 2(A D+B E+C F)\)
[(ii) নং প্রমাণিত]

\(\triangle A B C\)-র AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে অর্থাৎ G হল \(\triangle A B C\)-এর ভরকেন্দ্র।
\(\therefore \triangle \mathrm{AGB}=\triangle \mathrm{BGC}=\triangle \mathrm{AGC}\)
\(\therefore (i)\triangle \mathrm{AGB}=\frac{1}{3}(\triangle \mathrm{AGB}+\triangle \mathrm{BGC}+\triangle \mathrm{AGC}) \)
\(=\frac{1}{3} \times \triangle \mathrm{ABC}=\left(\frac{1}{3} \times 36\right)\) বর্গসেমি = 12 বর্গসেমি
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{AGB}\)-র ক্ষেত্রফল 12 বর্গসেমি।
(ii) আবার,
\(\triangle \mathrm{GAF}=\triangle \mathrm{GBF}=\triangle \mathrm{GBD}=\triangle \mathrm{GCD} =\triangle \mathrm{GEC}=\triangle \mathrm{GAE}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{GCE}=\frac{1}{6}(\triangle \mathrm{GAF}+\triangle \mathrm{GBF}+\triangle \mathrm{GBD}+\triangle \mathrm{GCD} +\triangle \mathrm{GEC}+\triangle \mathrm{GAE})\)
\(=\frac{1}{6} \times \triangle \mathrm{ABC}=\left(\frac{1}{6} \times 36\right)\) বর্গসেমি = 6 বর্গসেমি
\(\therefore \triangle \mathrm{CGE}\)-র ক্ষেত্রফল 6 বর্গসেমি।
(iii) চতুর্ভুজ \(\mathrm{BDGF}=\triangle \mathrm{GBD}+\triangle \mathrm{GBF}\)
\(=\frac{1}{6} \times \triangle A B C+\frac{1}{6} \times \triangle A B C\)
\(=\left|\frac{1}{6} \times 36+\frac{1}{6} \times 36\right|\) বর্গসেমি
= 12 বর্গসেমি
\(\therefore\) চতুর্ভুজ BDGF-এর ক্ষেত্রফল 12 বর্গসেমি।

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং \(\frac{2}{3} A D=B C\)
প্রামাণ্য বিষয় : BE ও CF মধ্যমা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণের মান \(90^{\circ}\)
অর্থাৎ \(\angle B G C=90^{\circ}\)
অঙ্কন : AD কে H পর্যন্ত এরূপে বর্ধিত করা হল যাতে GD = DH হয়।
B, H ও C, H যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : BGCH চতুর্ভুজের BD = CD [\(\because \) AD মধ্যমা,
তাই D, BC-এর মধ্যবিন্দু ]
GD = DH [ অঙ্কনানুসারে ]
\(\because \) BGCH চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় BC ও GH পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে
\(\because \) BGCH একটি সামান্তরিক।
আবার, \(A G=\frac{2}{3} A D\) [\(\because \) ভরকেন্দ্রে মধ্যমা শীর্ষবিন্দুর দিক থেকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়]
বা, AG = BC [\(\because \frac{2}{3} A D=B C\) (প্রদত্ত)]
আবার, \(G D=\frac{1}{2} A G\) \(\quad\) [\(\because \) AG : GD = 2 : 1]
\( \therefore G D=\frac{1}{2} B C\quad[\because A G=B C] \)
বা, \(2 G D=B C \therefore G H=B C\quad [\because G D=D H]\)
\(\therefore\) BGCH চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় GH ও BC পরস্পর সমান।
যে সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান, তা একটি আয়তক্ষেত্র।
সুতরাং BGCH একটি আয়তক্ষেত্র।
তাহলে \(\angle B G C=90^{\circ}\)
[\(\because \) আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণের মান \(90^{\circ}\)] (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q , B, D যুক্ত করা হল;
AP ও AQ কর্ণ BD-কে যথাক্রমে K ও L বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : BK = KL= LD
অঙ্কন : AC কর্ণ অঙ্কন করা হল যা BD কর্ণকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
\(\therefore\) BO = DO এবং AO = CO
এখন \(\triangle A B C\)-র AC-র মধ্যবিন্দু O
এবং BC-র মধ্যবিন্দু P হওয়ায়
\(\triangle A B C\)-র BO ও AP দুটি মধ্যমা;
তাহলে K, \(\triangle A B C\)-র ভরকেন্দ্র
\(\therefore B K=\frac{2}{3} O B \ldots\).. (i)
এবং \(K O=\frac{1}{3} O B\) \(\quad\) \([\because B K: K O=2: 1]\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ADC}\)-র AC-র মধ্যবিন্দু O
এবং CD-র মধ্যবিন্দু Q হওয়ায় \(\triangle \mathrm{ADC}\)-র DO ও AQ দুটি মধ্যমা;
তাহলে \(L\) ,\(\triangle \mathrm{ADC}\)-র ভরকেন্দ্র।
\(\therefore D L=\frac{2}{3} O D\) এবং \(O L=\frac{1}{3} O D=\frac{1}{3} O B\quad [\because O D=O B]\)
বা, \( \mathrm{DL}=\frac{2}{3} \mathrm{OB}\quad[\because \mathrm{OD}=\mathrm{OB}]\ldots(ii) \)
এখন \(\mathrm{KL}=\mathrm{KO}+\mathrm{OL}=\frac{1}{3} \mathrm{OB}+\frac{1}{3} \mathrm{OB}=\frac{2}{3} \mathrm{OB}\ldots(iii)\)
(i), (ii) ও (iii) থেকে পাই,
\(BK = DL = KL\) অর্থাৎ, \(BK = KL = LD\) (প্রমাণিত)

\(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র পরিকেন্দ্র \(O\)
\(\therefore\) \(\angle B O C\) কেন্দ্রস্থ কোণ এবং \(\angle B A C\) বৃত্তস্থ কোণ
\(\because \) কেন্দ্ৰস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ
\(\therefore \angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C\)
\(=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}\)

\(\because \triangle A B C\)-এর লম্ববিন্দু \(O\)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{AFO}=\angle \mathrm{AEO}=90^{\circ}\)
এবং প্রদত্ত \(\angle \mathrm{BAC}=40^{\circ}=\angle \mathrm{FAE}\)
এখন চতুর্ভুজ, FAEO-র
\(\angle \mathrm{AFO}+\angle \mathrm{FAE}+\angle \mathrm{AEO} +\angle \mathrm{EOF}=360^{\circ}\)
বা, \(90^{\circ}+40^{\circ}+90^{\circ}+\angle \mathrm{EOF}=360^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{EOF}=360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ} \)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{BOC}=140^{\circ}\) \([\because \angle \mathrm{EOF}=\) বিপ্রতীপ \(\angle \mathrm{BOC}]\)

\(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-অন্তঃকেন্দ্র \( O\)
\(\therefore \angle A B O=\angle O B C\) এবং \(\angle A C O=\angle O C B\)
\( \triangle \mathrm{ABC}\) র \( \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}=180^{\circ}\)
বা, \(40^{\circ}+2 \angle \mathrm{OBC}+2 \angle \mathrm{OCB}=180^{\circ}\)
বা, \(2(\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB})=140^{\circ} \)
বা, \(\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB}=70^{\circ} \)
বা, \(\angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB}=70^{\circ}+\angle \mathrm{BOC} \)
বা, \(180^{\circ}-70^{\circ}=\angle \mathrm{BOC} \)
\(\therefore\) \( \angle \mathrm{BOC}=110^{\circ} \)

\(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র ভরকেন্দ্র G
\(\therefore \triangle \mathrm{GBC}=\frac{1}{3} \triangle \mathrm{ABC}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}=3 \times \Delta \mathrm{GBC}\)
\(=(3 \times 12)\) বর্গ সেমি
\(=36\) বর্গ সেমি

\(\because \) সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত।
\(\therefore\) অতিভুজের দৈর্ঘ্য \(= 2 \times \) পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
\(= (2 \times 5) \) সেমি \(= 10\) সেমি

যেহেতুে \(6^{2}+8^{2}=10^{2}\)
\(\therefore\) 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট
ত্রিভুজটি সমকোণী যার অতিভুজ 10 সেমি।
যেহেতু, সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু,
সুতরাং ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র 10 সেমি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট বাহুর মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত।

\(\because \) ত্রিভুজটি সমবাহু,
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজটির মধ্যমার দৈর্ঘ্য = সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা
\(\therefore\) AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)\( \times \) ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 \sqrt{3}\right)\) সেমি \(=\frac{9}{2}\)সেমি
যেহেতু, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এ AD মধ্যমা ও G ভরকেন্দ্র
\(\therefore\) AG : GD = 2 : 1
\(\therefore A G=\frac{2}{3} A D\)
\(=\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{2}\right)\)
সেমি = 3 সেমি
\(\therefore\) AG-এর দৈর্ঘ্য 3 সেমি।

একটি ত্রিভুজের একটি বিন্দু (অন্তঃকেন্দ্র) বাহুগুলি থেকে সমদূরবর্তী।

\(A F=\frac{1}{2} A B\)\(\quad\)[\(\because \) F, AB-র মধ্যবিন্দু ]
\(\mathrm{FD}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}\)\(\quad\) [\(\because \) F ও D যথাক্রমে AB ও BC-র মধ্যবিন্দু ]
বা, \(F D=\frac{1}{2} A B\)\(\quad\) [ \(\because \triangle \mathrm{ABC}\) সমবাহু ]
বা, FD=AF
\(\therefore \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{FDA}\)
\(\because \) সমবাহু \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র মধ্যমা AD,
\(\therefore\) \(AD\), \(\angle \mathrm{BAC}\)-এর সমদ্বিখণ্ডক
অর্থাৎ, \(\angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C\)
\(=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{FAD}=30^{\circ} \)
\(\therefore \angle \mathrm{FDA}=30^{\circ}\quad [\because \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{FDA}]\)

\(\because \angle A B C=\angle A C B\)
\(A C=A B=\sqrt{2}\) সেমি (প্রদত্ত)
\(\because \) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অসমান বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমাটি অসমান বাহুর উপর লম্ব হয়।
\(\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}\)
আবার, \(\because A D=\frac{1}{2} B C\)
\(\therefore\) AD = CD = BD [\(\because \) D, BC-র মধ্যবিন্দু ]
এখন CDA সমকোণী ত্রিভুজের
\( C D^{2}+D A^{2}=C A^{2} \)
বা, \(\ C D^{2}+C D^{2}=(\sqrt{2})^{2}\)
বা, \(2 C D^{2}=2 \)
বা, \(C D^{2}=1 \)
\(\therefore C D=1\)
\(\because \) \(C D=B D \)
\(\therefore B D=1 \)
\(\therefore\) \(BC = CD + BD = (1 + 1)\) সেমি = 2 সেমি
এখন দেখা যাচ্ছে, \(\triangle A B C \)-র \(A B^{2}+A C^{2}\)
\(=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=4=2^{2}=B C^{2}\)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{ABC}\) সমকোণী যার অতিভুজ BC = 2 সেমি।
যেহেতু, সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অতিভুজের অর্ধেক
সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 1 সেমি।