Koshe Dekhi 16 Class-10 | মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি (ক্লাস১০)(টেন) সমাধান | Ganit Prakash Somadhan Class 10(X)Chapter 16 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি ১৬ | WBBSE Madhyamik Class 10(Ten) Math Solution Of Chapter 16
Share this page using :
Koshe Dekhi 16 Class 10 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 | WBBSE Madhyamik Class 10
কষে দেখি - 16
Koshe Dekhi 16 Class 10 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 | WBBSE Madhyamik Class 10
1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি, এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.।
\(\therefore\) ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi rl\)
\( = \frac{{22}}{7} \times 15 \times 24 = 1131.43\) বর্গ সেমি.
ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r(r+l)\)
\( = \frac{{22}}{7} \times 15(15 + 24)\)
\( = \frac{{22}}{7} \times 15 \times 39\)(প্রায়)
\( = 1838.57\) বর্গ সেমি। (প্রায়)
\(\therefore\) ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(1131.43\) বর্গ সেমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(1838.57\) বর্গ সেমি।
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.।
\(\therefore\) ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi rl\)
\( = \frac{{22}}{7} \times 15 \times 24 = 1131.43\) বর্গ সেমি.
ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r(r+l)\)
\( = \frac{{22}}{7} \times 15(15 + 24)\)
\( = \frac{{22}}{7} \times 15 \times 39\)(প্রায়)
\( = 1838.57\) বর্গ সেমি। (প্রায়)
\(\therefore\) ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(1131.43\) বর্গ সেমি ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(1838.57\) বর্গ সেমি।
2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,
(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
(i) ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(\pi \times {r^2} = 1.54\)
বা, \(\frac{22}{7} \times r^2=\frac{154}{100}\)
বা, \(r^2=\frac{154}{100} \times \frac{7}{22}\)
বা, \(r=\sqrt{\frac{7 \times 7}{100}}\)
বা, \(r=\frac{7}{10}=0.7\))
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{10}\right)^2 \times 2.4\) ঘন মিটার
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{24}{10}\) ঘন মিটার
\(=\frac{1232}{1000}=1.232\) ঘন মিটার
(ii) শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{{21}}{2}\) মিটার = 10.5 সেমি.
তীর্যক উচ্চতা \(=17.5\) মিটার
\(\therefore\) শঙ্কুর উচ্চতা (h) \(=\sqrt{(l)^{2}-(r)^{2}}\)
সুতরাং \({(17.5)^2} + {(10.5)^2}\)
\(=\sqrt{(17.5)^{2}-(10.5)^{2}}\)
\(=\sqrt{306.25-110.25}\)
\(=\sqrt{196}\)
\(=14\) মিটার
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{2}\right)^{2} \times 14\) ঘন মিটার
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \times 14\) ঘন মিটার
\(=1617\) ঘন মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(\pi \times {r^2} = 1.54\)
বা, \(\frac{22}{7} \times r^2=\frac{154}{100}\)
বা, \(r^2=\frac{154}{100} \times \frac{7}{22}\)
বা, \(r=\sqrt{\frac{7 \times 7}{100}}\)
বা, \(r=\frac{7}{10}=0.7\))
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{10}\right)^2 \times 2.4\) ঘন মিটার
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{24}{10}\) ঘন মিটার
\(=\frac{1232}{1000}=1.232\) ঘন মিটার
(ii) শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{{21}}{2}\) মিটার = 10.5 সেমি.
তীর্যক উচ্চতা \(=17.5\) মিটার
\(\therefore\) শঙ্কুর উচ্চতা (h) \(=\sqrt{(l)^{2}-(r)^{2}}\)
সুতরাং \({(17.5)^2} + {(10.5)^2}\)
\(=\sqrt{(17.5)^{2}-(10.5)^{2}}\)
\(=\sqrt{306.25-110.25}\)
\(=\sqrt{196}\)
\(=14\) মিটার
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{2}\right)^{2} \times 14\) ঘন মিটার
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \times 14\) ঘন মিটার
\(=1617\) ঘন মিটার
3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি, ও 20 সেমি.। 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্ৰফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্ৰফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির মধ্যে 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি হয়।
এই লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি, এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ 20 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \( = \sqrt {{{(15)}^2} + {{(20)}^2}} \)
\( = \sqrt {625} = 25\) সেমি
\(\therefore\) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \( = \frac{{22}}{7} \times 20 \times 25 \)
\(= 1571.43\) বর্গ সেমি
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \( = \frac{{22}}{7} \times 20{\rm{ }}(20 + 25)\)
\(= \frac{{22}}{7} \times {\rm{ }}20 \times 45\)
\( = 2828.57\) বর্গ সেমি.
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \( = \frac{1}{3} \times \frac{{22}}{7} \times 20 \times 20 \times 15 = 6285.71\) ঘন সেমি।
এই লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি, এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ 20 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \( = \sqrt {{{(15)}^2} + {{(20)}^2}} \)
\( = \sqrt {625} = 25\) সেমি
\(\therefore\) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \( = \frac{{22}}{7} \times 20 \times 25 \)
\(= 1571.43\) বর্গ সেমি
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \( = \frac{{22}}{7} \times 20{\rm{ }}(20 + 25)\)
\(= \frac{{22}}{7} \times {\rm{ }}20 \times 45\)
\( = 2828.57\) বর্গ সেমি.
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \( = \frac{1}{3} \times \frac{{22}}{7} \times 20 \times 20 \times 15 = 6285.71\) ঘন সেমি।
4. কোন শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি. ও 10 সেমি. হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির উচ্চতা \(6\) সেমি এবং তির্যক উচ্চতা \(10\) সেমি।
ধরা যাক, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি
আমরা জানি, \(h^{2}+r^{2}=l^{2}\)
অতএব \(6^{2}+r^{2}=10^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}=100-36=64\)
\(\Rightarrow r=8\)
অতএব শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(8\) সেমি
অতএব শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi(n(n+l)\)
\(=\pi \times 8(8+10)\) বর্গসেমি
\(=144 \pi\) বর্গসেমি
\(=144 \times \frac{22}{7}\) বর্গসেমি
\(=452 \frac{4}{7}\) বর্গসেমি
আবার শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \pi \times(8)^{2} \times 6\) ঘনসেমি
\(=128 \pi\) ঘনসেমি
\(=128 \times \frac{22}{7}\)
\(=402 \frac{2}{7}\)
অতএব শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(452 \frac{4}{7}\) বর্গসেমি এবং আয়তন \(402 \frac{2}{7}\) ঘনসেমি।
ধরা যাক, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি
আমরা জানি, \(h^{2}+r^{2}=l^{2}\)
অতএব \(6^{2}+r^{2}=10^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}=100-36=64\)
\(\Rightarrow r=8\)
অতএব শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(8\) সেমি
অতএব শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi(n(n+l)\)
\(=\pi \times 8(8+10)\) বর্গসেমি
\(=144 \pi\) বর্গসেমি
\(=144 \times \frac{22}{7}\) বর্গসেমি
\(=452 \frac{4}{7}\) বর্গসেমি
আবার শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \pi \times(8)^{2} \times 6\) ঘনসেমি
\(=128 \pi\) ঘনসেমি
\(=128 \times \frac{22}{7}\)
\(=402 \frac{2}{7}\)
অতএব শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(452 \frac{4}{7}\) বর্গসেমি এবং আয়তন \(402 \frac{2}{7}\) ঘনসেমি।
5. কোন লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (100\(\pi\)) ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{{22}}{7} \times {r^2} \times 12 \)
\(= 100 \times \frac{{22}}{7}\)
বা, \({r^2} = 25\)
\(\therefore\) \(r = \pm 5\)
কিন্তু ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \( = \sqrt { ( \text{উচ্চতা}^{2})+ ( \text{ভূমিরব্যাসার্ধ}^{2}\)
[ \(\because\) উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না ]
\( = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}}\) ]
\(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\) সেমি.
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{{22}}{7} \times {r^2} \times 12 \)
\(= 100 \times \frac{{22}}{7}\)
বা, \({r^2} = 25\)
\(\therefore\) \(r = \pm 5\)
কিন্তু ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \( = \sqrt { ( \text{উচ্চতা}^{2})+ ( \text{ভূমিরব্যাসার্ধ}^{2}\)
[ \(\because\) উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না ]
\( = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}}\) ]
\(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\) সেমি.
6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে,
অতএব, তাঁবু বক্রতলের পরিমাণ = 77 বর্গমিটার।
তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং তির্যক উচ্চতা \(l\) হলে, তাঁবুর বক্রতল = \(\pi r l\),
\(\therefore\) \(\pi r l=77\)
[এখানে, \(l = 7\) মিটার]
\(\therefore\) \(\frac{22}{7} \times r \times 7=77\)
বা, \(22 r=77\)
বা, \(r=\frac{77}{22}\)
\(\therefore\) \(r=\frac{7}{2}\)
\(\therefore\) তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ, r = \(\frac{7}{2}\) সেমি।
\(\therefore\) তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r^{2}\) বর্গমিটার
=\(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\) বর্গমিটার
\(=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) বর্গমিটার
\(=\frac{22 \times 7}{4}\) বর্গমিটার = 38.5 বর্গমিটার।
উত্তর : তাঁবুর নির্ণেয় ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 38.5 বর্গমিটার।
অতএব, তাঁবু বক্রতলের পরিমাণ = 77 বর্গমিটার।
তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং তির্যক উচ্চতা \(l\) হলে, তাঁবুর বক্রতল = \(\pi r l\),
\(\therefore\) \(\pi r l=77\)
[এখানে, \(l = 7\) মিটার]
\(\therefore\) \(\frac{22}{7} \times r \times 7=77\)
বা, \(22 r=77\)
বা, \(r=\frac{77}{22}\)
\(\therefore\) \(r=\frac{7}{2}\)
\(\therefore\) তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ, r = \(\frac{7}{2}\) সেমি।
\(\therefore\) তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r^{2}\) বর্গমিটার
=\(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\) বর্গমিটার
\(=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) বর্গমিটার
\(=\frac{22 \times 7}{4}\) বর্গমিটার = 38.5 বর্গমিটার।
উত্তর : তাঁবুর নির্ণেয় ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 38.5 বর্গমিটার।
7. একটি শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।
শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যাস \(= 21\) মিটার
অতএব ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(=\frac{21}{2}\) মিটার
আবার শঙ্কুটির উচ্চতা \(= 14\) মিটার।
অতএব শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা \(= \sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
\(=\sqrt{14^{2}+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}}\) মিটার
\(=\sqrt{196+\frac{441}{4}}\) মিটার
\(=\sqrt{\frac{784+441}{4}}\) মিটার
\(=\sqrt{\frac{1225}{4}}\) মিটার
\(=\frac{35}{2}\) মিটার
অতএব শঙ্কুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi rl\)
\(=\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{35}{2}\) বর্গমিটার
\(=\frac{1155}{2}\) বর্গমিটার
= \(577.5\) বর্গমিটার
অতএব শঙ্কুটির পার্শ্বতলের রং করতে খরচ হবে \(=(577.50 \times 1.50)\) টাকা।
\(= 866.25\) টাকা
অতএব শঙ্কুটির পার্শ্বতল রং করতে \(866.25\) টাকা লাগবে।
অতএব ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(=\frac{21}{2}\) মিটার
আবার শঙ্কুটির উচ্চতা \(= 14\) মিটার।
অতএব শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা \(= \sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
\(=\sqrt{14^{2}+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}}\) মিটার
\(=\sqrt{196+\frac{441}{4}}\) মিটার
\(=\sqrt{\frac{784+441}{4}}\) মিটার
\(=\sqrt{\frac{1225}{4}}\) মিটার
\(=\frac{35}{2}\) মিটার
অতএব শঙ্কুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi rl\)
\(=\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{35}{2}\) বর্গমিটার
\(=\frac{1155}{2}\) বর্গমিটার
= \(577.5\) বর্গমিটার
অতএব শঙ্কুটির পার্শ্বতলের রং করতে খরচ হবে \(=(577.50 \times 1.50)\) টাকা।
\(= 866.25\) টাকা
অতএব শঙ্কুটির পার্শ্বতল রং করতে \(866.25\) টাকা লাগবে।
8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। খেলনাটির চারপাশ বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে নিৰ্ণয় করি ।
খেলনাটির ভূমিতলের ব্যাস \(= 10\) সেমি।
অতএব খেলনাটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(=\frac{10}{2}\) সেমি \(= 5\) সেমি
ধরা যাক, খেলনাটির তির্যক উচ্চতা \(=l\) সেমি।
অতএব খেলনাটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi rl\)
\(=\frac{22}{7} \times 5 \times l\) বর্গসেমি
\(2.10\) টাকা খরচ হয় \(1\) বর্গসেমি পালিশ করতে
অতএব \(429\) টাকা খরচ হয় \(\frac{429}{2 \cdot 10}\) বর্গসেমি পালিশ করতে
অতএব \(\frac{22}{7} \times 5 \times l=\frac{429}{2 \cdot 10}\)
\(\Rightarrow l=\frac{429 \times 7 \times 100}{210 \times 22 \times 5}=13\)
অতএব খেলনাটির তির্যক উচ্চতা \(13\) সেমি.
ধরা যাক, খেলনাটির উচ্চতা \(h\) সেমি.
আমরা জানি, \(h^{2}+r^{2}=l^{2}\)
অতএব, \(h^{2}+5^{2}=13^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=144\)
\(\Rightarrow h=\sqrt{144}\)
\(\Rightarrow h=12\)
অতএব খেলনাটির উচ্চতা \(12\) সেমি
আবার খেলনাটির আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5^{2} \times 12\) ঘনসেমি
\(=\frac{2200}{7}\) ঘনসেমি \(=314 \frac{2}{7}\) ঘনসেমি
অতএব খেলনাটির উচ্চতা \(12\) সেমি এবং খেলনাটি তৈরি করতে \(314 \frac{2}{7}\) ঘনসেমি কাঠ লেগেছে।
অতএব খেলনাটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(=\frac{10}{2}\) সেমি \(= 5\) সেমি
ধরা যাক, খেলনাটির তির্যক উচ্চতা \(=l\) সেমি।
অতএব খেলনাটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi rl\)
\(=\frac{22}{7} \times 5 \times l\) বর্গসেমি
\(2.10\) টাকা খরচ হয় \(1\) বর্গসেমি পালিশ করতে
অতএব \(429\) টাকা খরচ হয় \(\frac{429}{2 \cdot 10}\) বর্গসেমি পালিশ করতে
অতএব \(\frac{22}{7} \times 5 \times l=\frac{429}{2 \cdot 10}\)
\(\Rightarrow l=\frac{429 \times 7 \times 100}{210 \times 22 \times 5}=13\)
অতএব খেলনাটির তির্যক উচ্চতা \(13\) সেমি.
ধরা যাক, খেলনাটির উচ্চতা \(h\) সেমি.
আমরা জানি, \(h^{2}+r^{2}=l^{2}\)
অতএব, \(h^{2}+5^{2}=13^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=144\)
\(\Rightarrow h=\sqrt{144}\)
\(\Rightarrow h=12\)
অতএব খেলনাটির উচ্চতা \(12\) সেমি
আবার খেলনাটির আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5^{2} \times 12\) ঘনসেমি
\(=\frac{2200}{7}\) ঘনসেমি \(=314 \frac{2}{7}\) ঘনসেমি
অতএব খেলনাটির উচ্চতা \(12\) সেমি এবং খেলনাটি তৈরি করতে \(314 \frac{2}{7}\) ঘনসেমি কাঠ লেগেছে।
Koshe Dekhi 16 Class 10 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 | WBBSE Madhyamik Class 10
9. লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে \(75\frac{3}{7}\) বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না]
ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না]
বয়াটির তির্যক উচ্চতা \(5\) মিটার
ধরা যাক, বয়াটির ব্যাসার্ধ \(r\) মিটার।
অতএব বয়াটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল \(=\pi r(r+l)\)
\(=\frac{22}{7} r(5+r)\) বর্গমিটার
\(\therefore \frac{22}{7} r(5+r)=75 \frac{3}{7}=\frac{528}{7}\)
\(\Rightarrow r(r+5)=24\)
\(\Rightarrow r^{2}+5 r-24=0\)
\(\Rightarrow r^{2}+(8-3) r-24=0\)
বা, \(n^{2}+8 n-3 n-24=0\)
বা, \(n(n+8)-3(n+8)=0\)
\(\Rightarrow(r+8)(r-3)=0\)
অতএব \(r+8=0\)
\(\Rightarrow r \equiv-8\) (অসম্ভব)
\(r-3=0\)
\(\Rightarrow r=3\)(সম্ভব)
এখন বয়াটির উচ্চতা \(h\) মি হলে,
\(h^{2}+r^{2}=l^{2}\)
\(h^{2}+3^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=25-9=16\)
\(\Rightarrow h=\sqrt{16}\)
\(\Rightarrow h=4\)
অতএব বয়াটির উচ্চতা \(4\) মিটার
\(\therefore\) বয়াটির আয়তন \(= \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3^{2} \times 4\) ঘনমিটার
\(=\frac{264}{7}\) ঘনমিটার \(=37 \frac{5}{7}\) ঘনমিটার
অতএব বয়াটির উচ্চতা \(4\) মিটার এবং বয়াটিতে \(37 \frac{5}{7}\) ঘনমিটার বায়ু ধরে।হৃদয়ের চারপাশে
ধরা যাক, বয়াটির ব্যাসার্ধ \(r\) মিটার।
অতএব বয়াটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল \(=\pi r(r+l)\)
\(=\frac{22}{7} r(5+r)\) বর্গমিটার
\(\therefore \frac{22}{7} r(5+r)=75 \frac{3}{7}=\frac{528}{7}\)
\(\Rightarrow r(r+5)=24\)
\(\Rightarrow r^{2}+5 r-24=0\)
\(\Rightarrow r^{2}+(8-3) r-24=0\)
বা, \(n^{2}+8 n-3 n-24=0\)
বা, \(n(n+8)-3(n+8)=0\)
\(\Rightarrow(r+8)(r-3)=0\)
অতএব \(r+8=0\)
\(\Rightarrow r \equiv-8\) (অসম্ভব)
\(r-3=0\)
\(\Rightarrow r=3\)(সম্ভব)
এখন বয়াটির উচ্চতা \(h\) মি হলে,
\(h^{2}+r^{2}=l^{2}\)
\(h^{2}+3^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=25-9=16\)
\(\Rightarrow h=\sqrt{16}\)
\(\Rightarrow h=4\)
অতএব বয়াটির উচ্চতা \(4\) মিটার
\(\therefore\) বয়াটির আয়তন \(= \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3^{2} \times 4\) ঘনমিটার
\(=\frac{264}{7}\) ঘনমিটার \(=37 \frac{5}{7}\) ঘনমিটার
অতএব বয়াটির উচ্চতা \(4\) মিটার এবং বয়াটিতে \(37 \frac{5}{7}\) ঘনমিটার বায়ু ধরে।হৃদয়ের চারপাশে
10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ যেহেতু প্রত্যেক লােকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে,
সুতরাং তাঁবুর ভূমির ক্ষেত্রফল = 11 \( \times \) 4 বর্গমিটার।
আবার যেহেতু প্রত্যেক লােকের জন্য 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়ােজন,
সুতরাং তাঁবুর আয়তন = 11 \( \times \) 20 ঘনমিটার।
মনে করি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার এবং ভূমির ব্যাসার্ধ মিটার r।
\(\therefore\) তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r^{2}\) বর্গমিটার
এবং তাঁবুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(\pi r^{2}=11 \times 4\)
\(\therefore\) \(\pi r^{2}=44 \)..............(i)
আবার, \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=11 \times 20\)
\(\pi r^{2} h=660 \)....................(ii)
(ii) নং কে (i) নং দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{\pi r^{2} h}{\pi r^{2}}=\frac{660}{44}\)
বা, \(h=\frac{30}{2} \quad \therefore h=15\)
\(\therefore\) তাঁবুর উচ্চতা = 15 মিটার।
উত্তরঃ তাঁবুর নির্ণেয় উচ্চতা = 15 মিটার।
সুতরাং তাঁবুর ভূমির ক্ষেত্রফল = 11 \( \times \) 4 বর্গমিটার।
আবার যেহেতু প্রত্যেক লােকের জন্য 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়ােজন,
সুতরাং তাঁবুর আয়তন = 11 \( \times \) 20 ঘনমিটার।
মনে করি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার এবং ভূমির ব্যাসার্ধ মিটার r।
\(\therefore\) তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r^{2}\) বর্গমিটার
এবং তাঁবুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(\pi r^{2}=11 \times 4\)
\(\therefore\) \(\pi r^{2}=44 \)..............(i)
আবার, \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=11 \times 20\)
\(\pi r^{2} h=660 \)....................(ii)
(ii) নং কে (i) নং দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{\pi r^{2} h}{\pi r^{2}}=\frac{660}{44}\)
বা, \(h=\frac{30}{2} \quad \therefore h=15\)
\(\therefore\) তাঁবুর উচ্চতা = 15 মিটার।
উত্তরঃ তাঁবুর নির্ণেয় উচ্চতা = 15 মিটার।
11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাস \(= 21\) সেমি।
অতএব টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসার্ধ \(=\frac{21}{2}\) সেমি
ধরা যাক, টোপরটির তির্যক উচ্চতা \(=l\) সেমি
অতএব পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\)
\(=\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times l\) বর্গসেমি।
\(=33l\) বর্গসেমি
\(10\) পয়সা খরচ হয় \(1\) বর্গসেমি রাংতা দিয়ে মুড়তে
অতএব \(5775\) পয়সা খরচ হয় \(\frac{5775}{10}\) বর্গসেমি রাংতা দিয়ে মুড়তে
প্রশ্নানুসারে, \(33 l=\frac{5775}{10}\)
\(\Rightarrow l=\frac{5775}{10 \times 33}=\frac{35}{2}\)
\(=17.5\)
ধরা যাক, টোপরটির উচ্চতা \(h\) সেমি
\(h^{2}+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}=\left(\frac{35}{2}\right)^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=\left(\frac{35}{2}\right)^{2}-\left(\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{35^{2}-21^{2}}{4}=\frac{56 \times 14}{4} \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{14 \times 14} \Rightarrow h=14\)
অতএব টোপরটির উচ্চতা \(14\) সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 1\(7.5\) সেমি।
অতএব টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসার্ধ \(=\frac{21}{2}\) সেমি
ধরা যাক, টোপরটির তির্যক উচ্চতা \(=l\) সেমি
অতএব পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\)
\(=\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times l\) বর্গসেমি।
\(=33l\) বর্গসেমি
\(10\) পয়সা খরচ হয় \(1\) বর্গসেমি রাংতা দিয়ে মুড়তে
অতএব \(5775\) পয়সা খরচ হয় \(\frac{5775}{10}\) বর্গসেমি রাংতা দিয়ে মুড়তে
প্রশ্নানুসারে, \(33 l=\frac{5775}{10}\)
\(\Rightarrow l=\frac{5775}{10 \times 33}=\frac{35}{2}\)
\(=17.5\)
ধরা যাক, টোপরটির উচ্চতা \(h\) সেমি
\(h^{2}+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}=\left(\frac{35}{2}\right)^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=\left(\frac{35}{2}\right)^{2}-\left(\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{35^{2}-21^{2}}{4}=\frac{56 \times 14}{4} \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{14 \times 14} \Rightarrow h=14\)
অতএব টোপরটির উচ্চতা \(14\) সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 1\(7.5\) সেমি।
12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাসটিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, \(\pi=3.14, \sqrt{130}=11.4\)]
গমের ঝুপটির ভূমির ব্যাসার্ধ \(=\frac{9}{2}\) মিটার
উচ্চতা \(= 3.5\) মিটার
অতএব গমের স্তুপটির আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \pi \times\left(\frac{9}{2}\right)^{2} \times 3 \cdot 5\) ঘনমিটার
\(=\frac{1}{3} \times 3.14 \times \frac{9}{2} \times \frac{9}{2} \times \frac{35}{10}\) ঘনমিটার \(= 74.18\) ঘনমি
গমের স্তুপটির তির্যক উচ্চতা \(l\) মিটার হলে
\(l^{2}=(3 \cdot 5)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49+81}{4}=\frac{130}{4}\)
\(\Rightarrow l=\sqrt{\frac{130}{4}}\)
\(\Rightarrow l=\frac{\sqrt{130}}{2}\)
অতএব গমের স্থূপটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(=\pi \cdot \frac{9}{2}. \frac{\sqrt{130}}{2}\) বর্গমিটার ,
\(=3.14 \times 4.5 \times \frac{11 \cdot 4}{2}=\) বর্গমিটার
\(=3.14 \times 4.5 \times 5.7\) বর্গমিটার
\(= 80.54\) বর্গমিটার
অতএব মােট গমের আয়তন হবে \(74.18\) ঘনমিটার এবং স্তুপটি ঢাকতে \(80.54\) বর্গমিটার প্লাস্টিকের প্রয়ােজন হবে।
উচ্চতা \(= 3.5\) মিটার
অতএব গমের স্তুপটির আয়তন \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \times \pi \times\left(\frac{9}{2}\right)^{2} \times 3 \cdot 5\) ঘনমিটার
\(=\frac{1}{3} \times 3.14 \times \frac{9}{2} \times \frac{9}{2} \times \frac{35}{10}\) ঘনমিটার \(= 74.18\) ঘনমি
গমের স্তুপটির তির্যক উচ্চতা \(l\) মিটার হলে
\(l^{2}=(3 \cdot 5)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49+81}{4}=\frac{130}{4}\)
\(\Rightarrow l=\sqrt{\frac{130}{4}}\)
\(\Rightarrow l=\frac{\sqrt{130}}{2}\)
অতএব গমের স্থূপটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(=\pi \cdot \frac{9}{2}. \frac{\sqrt{130}}{2}\) বর্গমিটার ,
\(=3.14 \times 4.5 \times \frac{11 \cdot 4}{2}=\) বর্গমিটার
\(=3.14 \times 4.5 \times 5.7\) বর্গমিটার
\(= 80.54\) বর্গমিটার
অতএব মােট গমের আয়তন হবে \(74.18\) ঘনমিটার এবং স্তুপটি ঢাকতে \(80.54\) বর্গমিটার প্লাস্টিকের প্রয়ােজন হবে।
13. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
(a) 60\(\pi\) বর্গ সেমি. (b) 68\(\pi\) বর্গ সেমি. (c) 120\(\pi\) বর্গ সেমি. (d) 130\(\pi\) বর্গ সেমি.
(a) 60\(\pi\) বর্গ সেমি. (b) 68\(\pi\) বর্গ সেমি. (c) 120\(\pi\) বর্গ সেমি. (d) 130\(\pi\) বর্গ সেমি.
শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল =\(=\pi rl=\pi \times \frac{16}{2}\times 15=120 \pi\) বর্গ সেমি
(c) 120\(\pi\) বর্গ সেমি.
(c) 120\(\pi\) বর্গ সেমি.
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1 : 4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4 : 5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত
(a) 1 : 5 (b) 5 : 4 (c) 25 : 16 (d) 25 : 64
(a) 1 : 5 (b) 5 : 4 (c) 25 : 16 (d) 25 : 64
যেহেতু শঙ্কু দুটির ভূমির ব্যাসের অনুপাত 4 : 5, সুতরাং তাদের ভূমির ব্যাসার্ধের
অনুপাত 4 : 5।
অতএব, ধরা যাক তাদের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4\(x\) একক ও 5\(x\) একক।
মনে করি, শঙ্কু দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h একক ও H একক।
\(\therefore\) শঙ্কু দুটির আয়তনের অনুপাত = \(\frac{\frac{1}{3} \pi \times(4 x)^{2} \times h}{\frac{1}{3} \pi \times(5 x)^{2} \times H}=\frac{\frac{1}{3} \pi \times 16 x^{2} \times h}{\frac{1}{3} \pi \times 25 x^{2} \times H}\)
\(=\frac{16 h}{25 H}\)
\(\because\) শঙ্কু দুটির আয়তনের অনুপাত = 1 : 4,
\(\therefore \quad \frac{16 h}{25 H}=\frac{1}{4} \)
বা, \(\frac{h}{H}=\frac{1}{4} \times \frac{25}{16}=\frac{25}{64}\)
\(\therefore h: H=25: 64\)
\(\therefore\) শঙ্কু দুটির উচ্চতার অনুপাত = 25 : 64,
উত্তরঃ 25 : 64
অতএব, ধরা যাক তাদের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4\(x\) একক ও 5\(x\) একক।
মনে করি, শঙ্কু দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h একক ও H একক।
\(\therefore\) শঙ্কু দুটির আয়তনের অনুপাত = \(\frac{\frac{1}{3} \pi \times(4 x)^{2} \times h}{\frac{1}{3} \pi \times(5 x)^{2} \times H}=\frac{\frac{1}{3} \pi \times 16 x^{2} \times h}{\frac{1}{3} \pi \times 25 x^{2} \times H}\)
\(=\frac{16 h}{25 H}\)
\(\because\) শঙ্কু দুটির আয়তনের অনুপাত = 1 : 4,
\(\therefore \quad \frac{16 h}{25 H}=\frac{1}{4} \)
বা, \(\frac{h}{H}=\frac{1}{4} \times \frac{25}{16}=\frac{25}{64}\)
\(\therefore h: H=25: 64\)
\(\therefore\) শঙ্কু দুটির উচ্চতার অনুপাত = 25 : 64,
উত্তরঃ 25 : 64
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়
(a) 100% (b) 200% (c) 300% (d) 400%
(a) 100% (b) 200% (c) 300% (d) 400%
মনে করি, মূল লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
প্রশ্নানুসারে, পরিবর্তিত লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা 2h একক।
\(\therefore\) মূল
লম্ব
বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনএকক।
পরিবর্তিত লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2}(2 h)\) ঘনএকক \(=\frac{2}{3} \pi r^{2} h\)
ঘনএকক।
\(\therefore\) আয়তন বৃদ্ধির পরিমাণ \(=\left(\frac{2}{3} \pi r^{2} h-\frac{1}{3} \pi r^{2} h\right)\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনএকক।
\(\therefore\) উচ্চতা দ্বিগুণ করায় শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধির শতকরা হার
\(=\frac{\text{ আয়তন বৃদ্ধির পরিমাণ}}{\text{মূল লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন}}\) \( \times \) 100%
\(=\frac{\frac{1}{3} \pi r^{2} h}{\frac{1}{3} \pi r^{2} h} \times 100 \%=1 \times 100 \%=100 \%\) ।
উত্তরঃ (a) 100%
প্রশ্নানুসারে, পরিবর্তিত লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা 2h একক।
\(\therefore\) মূল
লম্ব
বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনএকক।
পরিবর্তিত লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^{2}(2 h)\) ঘনএকক \(=\frac{2}{3} \pi r^{2} h\)
ঘনএকক।
\(\therefore\) আয়তন বৃদ্ধির পরিমাণ \(=\left(\frac{2}{3} \pi r^{2} h-\frac{1}{3} \pi r^{2} h\right)\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনএকক।
\(\therefore\) উচ্চতা দ্বিগুণ করায় শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধির শতকরা হার
\(=\frac{\text{ আয়তন বৃদ্ধির পরিমাণ}}{\text{মূল লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন}}\) \( \times \) 100%
\(=\frac{\frac{1}{3} \pi r^{2} h}{\frac{1}{3} \pi r^{2} h} \times 100 \%=1 \times 100 \%=100 \%\) ।
উত্তরঃ (a) 100%
(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) 8 গুণ
(a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) 8 গুণ
শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক, উচ্চতা \(h\) একক এবং আয়তন \(V\) ঘন একক হলে \(\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
এখন ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে শঙ্কুটির আয়তন যদি \(\mathrm{V}_{1}\) ঘনএকক হয়, তবে
\(\mathrm{V}_{1}=\frac{1}{3} \pi(2 r)^{2} \cdot(2 h)\)
\(=\frac{1}{3} \pi 4 r^{2} \cdot 2 h\)
\(=8 \cdot \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=8 \mathrm{~V}\)\(\left[\because \frac{1}{3} \pi r^{2} h=v\right]\)
অতএব ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে আয়তন \(8\) গুণ হবে।
\(\therefore\) (d) \(8\) গুণ
এখন ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে শঙ্কুটির আয়তন যদি \(\mathrm{V}_{1}\) ঘনএকক হয়, তবে
\(\mathrm{V}_{1}=\frac{1}{3} \pi(2 r)^{2} \cdot(2 h)\)
\(=\frac{1}{3} \pi 4 r^{2} \cdot 2 h\)
\(=8 \cdot \frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=8 \mathrm{~V}\)\(\left[\because \frac{1}{3} \pi r^{2} h=v\right]\)
অতএব ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে আয়তন \(8\) গুণ হবে।
\(\therefore\) (d) \(8\) গুণ
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{r}{2}\) একক এবং তীর্যক উচ্চতা \(2\ell\) একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) \(2\pi r(\ell + r)\) বর্গ একক (b) \(\pi r\left( {\ell + \frac{r}{4}} \right)\) বর্গ একক
(c) \(\pi r(\ell + r)\) বর্গ একক (d) \(2\pi r\ell\) বর্গ একক
(a) \(2\pi r(\ell + r)\) বর্গ একক (b) \(\pi r\left( {\ell + \frac{r}{4}} \right)\) বর্গ একক
(c) \(\pi r(\ell + r)\) বর্গ একক (d) \(2\pi r\ell\) বর্গ একক
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(\frac{r}{2}\) একক তীর্যক উচ্চতা \(2 l\) একক
অতএব শঙ্কুটির সমগ্ৰ তলের ক্ষেত্রফল \(=\pi \frac{r}{2}\left(\frac{r}{2}+2 l\right)\) বর্গ একক
\(=\pi \frac{r}{2} \cdot 2\left(\frac{r}{4}+l\right)\) বর্গ একক।
\(=\pi r\left(l+\frac{r}{4}\right)\) বর্গ একক
\(\therefore\) (b) \(=\pi r\left(l+\frac{r}{4}\right)\) বর্গ একক।
অতএব শঙ্কুটির সমগ্ৰ তলের ক্ষেত্রফল \(=\pi \frac{r}{2}\left(\frac{r}{2}+2 l\right)\) বর্গ একক
\(=\pi \frac{r}{2} \cdot 2\left(\frac{r}{4}+l\right)\) বর্গ একক।
\(=\pi r\left(l+\frac{r}{4}\right)\) বর্গ একক
\(\therefore\) (b) \(=\pi r\left(l+\frac{r}{4}\right)\) বর্গ একক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
মিথ্যা
\(r\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(h\) একক উচ্চতা বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \(\mathrm{V}\) ঘনএকক হলে \(\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
এখন ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন হবে \(=\frac{1}{3} \pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2} \cdot 2 h\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{r^{2}}{4} \cdot 2 h\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{2} \mathrm{~V}\)\(\left[\because \frac{1}{3} \pi r^{2} h=v\right]\)
অতএব ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন অর্ধেক হয়ে যায়।
\(r\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(h\) একক উচ্চতা বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \(\mathrm{V}\) ঘনএকক হলে \(\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
এখন ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন হবে \(=\frac{1}{3} \pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2} \cdot 2 h\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{r^{2}}{4} \cdot 2 h\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \pi r^{2} h\) ঘনএকক
\(=\frac{1}{2} \mathrm{~V}\)\(\left[\because \frac{1}{3} \pi r^{2} h=v\right]\)
অতএব ব্যাসার্ধ অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন অর্ধেক হয়ে যায়।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
বিবৃতিটি সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ ________।
\(\therefore\) \(BC\)
যেহেতু \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজটির অতিভূজ \(AC\) এবং \(AB\) বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটি উৎপন্ন হয়েছে শঙ্কুটির উচ্চতা \(AB\) এবং স্পষ্টতই ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(BC\)।
যেহেতু \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজটির অতিভূজ \(AC\) এবং \(AB\) বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটি উৎপন্ন হয়েছে শঙ্কুটির উচ্চতা \(AB\) এবং স্পষ্টতই ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(BC\)।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা ________ ।
\(\therefore\) \(\frac{3 \mathrm{~V}}{\mathrm{~A}}\) একক
যেহেতু আয়তন \(=\frac{1}{3} \times\) ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
\(\Rightarrow V=\frac{1}{3} \times A \times\)উচ্চতা
অতএব উচ্চতা \(=\frac{3 \mathrm{~V}}{\mathrm{~A}}\)
যেহেতু আয়তন \(=\frac{1}{3} \times\) ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
\(\Rightarrow V=\frac{1}{3} \times A \times\)উচ্চতা
অতএব উচ্চতা \(=\frac{3 \mathrm{~V}}{\mathrm{~A}}\)
Koshe Dekhi 16 Class 10 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 | WBBSE Madhyamik Class 10
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান।তাদের আয়তনের অনুপাত ________।
\(\pi r^2 h:\frac{1}{3} \pi r^2 h=3:1\)
3 : 1
3 : 1
14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্ৰশ্ন (S.A.) :
(i) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি. এবং আয়তন 100\(\pi\) ঘন সেমি। শঙ্কুটির বাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
ধরা যাক, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির উচ্চতা \(12\) সেমি
অতএব লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \pi r^{2} \times 12\) ঘনসেমি
\(=4 \pi r^{2}\) ঘনসেমি
প্রশ্নানুসারে, \(4 \pi r^{2}=100 \pi\)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{100}{4}=25\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow r=5\)
অতএব শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(5\) সেমি।
অতএব লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(=\frac{1}{3} \pi r^{2} \times 12\) ঘনসেমি
\(=4 \pi r^{2}\) ঘনসেমি
প্রশ্নানুসারে, \(4 \pi r^{2}=100 \pi\)
\(\Rightarrow r^{2}=\frac{100}{4}=25\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow r=5\)
অতএব শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(5\) সেমি।
(ii) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের \(\sqrt{5}\) গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
ধরা যাক, লম্ববৃত্তাকার শকটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক, উচ্চতা \(h\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(l\) একক।
অতএব শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(=\pi r l\) বর্গ একক
\(=\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}\) বর্গ একক \(\left[l=\sqrt{h^{2}+n^{2}}\right]\)
আবার শঙ্কুটির ভুমিতলের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^{2}\) বর্গ একক
প্রশ্নানুসারে, \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{5} \pi r^{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{5} r\)
\(\Rightarrow h^{2}+r^{2}=5 r^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=5 x \partial^{2}-r \partial^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=4 r^{2}\)
\(\Rightarrow h=2 r\)
\(\Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{2}{1}\)
অতএব শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের অনুপাত \(2 : 1\)
অতএব শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(=\pi r l\) বর্গ একক
\(=\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}\) বর্গ একক \(\left[l=\sqrt{h^{2}+n^{2}}\right]\)
আবার শঙ্কুটির ভুমিতলের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^{2}\) বর্গ একক
প্রশ্নানুসারে, \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{5} \pi r^{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{5} r\)
\(\Rightarrow h^{2}+r^{2}=5 r^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=5 x \partial^{2}-r \partial^{2}\)
\(\Rightarrow h^{2}=4 r^{2}\)
\(\Rightarrow h=2 r\)
\(\Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{2}{1}\)
অতএব শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের অনুপাত \(2 : 1\)
(iii) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক
হলে, \(\frac{{{\rm{AH}}}}{{\rm{V}}}\) এর মান কত তা লিখি।
ধরা যাক, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক। অতএব শঙ্কুটির আয়তন \(\mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi r^{2} \mathrm{H}\) ঘনএকক
আবার শঙ্কুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল \(\mathrm{A}=\pi r^{2}\) বর্গ একক।
\(\therefore \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{V}}=\frac{\pi r^{2} \mathrm{H}}{\frac{1}{3} \pi r^{2} \mathrm{H}}\)
\(\Rightarrow \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{V}}=3\)
অতএব \(\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{V}}\)-এর মান \(3.\)
আবার শঙ্কুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল \(\mathrm{A}=\pi r^{2}\) বর্গ একক।
\(\therefore \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{V}}=\frac{\pi r^{2} \mathrm{H}}{\frac{1}{3} \pi r^{2} \mathrm{H}}\)
\(\Rightarrow \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{V}}=3\)
অতএব \(\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{V}}\)-এর মান \(3.\)
(iv) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবংব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, \(\frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{r^2}}}\) -এর মান কত তা লিখি ।
ধরা যাক, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা \(l\) একক। এখন শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক হলে
প্রশানুসারে, \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\pi r l\)
\(\Rightarrow r h=3 l\)
\(\Rightarrow r^{2} h^{2}=9 l^{2}\)[উভয়দিকে বর্গ করে]
\(\Rightarrow r^{2} h^{2}=9\left(r^{2}+h^{2}\right)\) \(\left[l^{2}=r^{2}+h^{2}\right]\)
\(\Rightarrow \frac{r^{2}+h^{2}}{r^{2} h^{2}}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{r^{2}}{r^{2} h^{2}}+\frac{h^{2}}{r^{2} h^{2}}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}=\frac{1}{9}\)
অতএব \(\frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\)-এর মান \(\frac{1}{9}\)।
প্রশানুসারে, \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\pi r l\)
\(\Rightarrow r h=3 l\)
\(\Rightarrow r^{2} h^{2}=9 l^{2}\)[উভয়দিকে বর্গ করে]
\(\Rightarrow r^{2} h^{2}=9\left(r^{2}+h^{2}\right)\) \(\left[l^{2}=r^{2}+h^{2}\right]\)
\(\Rightarrow \frac{r^{2}+h^{2}}{r^{2} h^{2}}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{r^{2}}{r^{2} h^{2}}+\frac{h^{2}}{r^{2} h^{2}}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}=\frac{1}{9}\)
অতএব \(\frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\)-এর মান \(\frac{1}{9}\)।
(v) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2 : 3; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
ধরা যাক, লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(3 r\) একক এবং \(4 r\) একক
আরও ধরা যাক, চোঙ এবং শঙ্কুটির উচ্চতা যথাক্রমে, \(2 h\) একক এবং \(3 h\) একক।
অতএব লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত হবে
\(=\pi(3 r)^{2} \cdot 2 h: \frac{1}{3} \pi(4 r)^{2} \cdot 3 h\)
\(=\pi \cdot 9 r^{2} \cdot 2 h: \frac{1}{3} \pi \cdot 16 r^{2} \cdot 3 h\)
\(=18: 16\)
\(=9: 8\)
অতএব লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তনের অনুপাত হবে \(9 : 8\)।
আরও ধরা যাক, চোঙ এবং শঙ্কুটির উচ্চতা যথাক্রমে, \(2 h\) একক এবং \(3 h\) একক।
অতএব লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত হবে
\(=\pi(3 r)^{2} \cdot 2 h: \frac{1}{3} \pi(4 r)^{2} \cdot 3 h\)
\(=\pi \cdot 9 r^{2} \cdot 2 h: \frac{1}{3} \pi \cdot 16 r^{2} \cdot 3 h\)
\(=18: 16\)
\(=9: 8\)
অতএব লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তনের অনুপাত হবে \(9 : 8\)।
Koshe Dekhi 16 Class 10 | লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 | WBBSE Madhyamik Class 10
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra