ধরি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটির ব্যাস 16 সেমি।
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ = \(\frac{16}{2}\) সেমি = 8 সেমি।
বৃত্তটির কেন্দ্র O থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত একটি বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তের উপর PT একটি স্পর্শক।
\(\therefore\) OP = 17 সেমি। PT-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
এখন, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের T বিন্দুতে PT স্পর্শক এবং OT স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
\(\therefore\) OT \(\perp\) PT, \(\therefore\) \(\angle PTO \) = 1 সমকোণ।
সুতরাং, POT সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
\(\mathrm{OP}^{2}=\mathrm{OT}^{2}+\mathrm{PT}^{2}\) [\(\because\) OP = অতিভুজ]
বা, \(17^{2}=8^{2}+\mathrm{PT}^{2}\) [\(\because\) OP = 17 সেমি, OT = 8 সেমি]
বা, 289 = 64 + \(\mathrm{PT}^{2}\)
বা, \(\mathrm{PT}^{2}\) = 289 – 64
বা, \(\mathrm{PT}^{2}\) = 225
বা, \(\mathrm{PT}=\sqrt{225}=15\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = 15 সেমি।

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে P ও Q দুটি বিন্দু। P ও Q বিন্দুতে অঙ্কিত AP ও AQ দুটি স্পর্শক পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করেছে। P Q এবং O, A যুক্ত করি। \(\angle PAQ\) = 60°
এখন, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AP একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
\(\therefore\) OP \(\perp\) AP \(\therefore\) \(\angle OPA \) = 90°
একইভাবে, \(\angle OQA \) = 90°
\(\therefore\) \(\Delta POA\) ও \(\Delta QOA\) সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে
\(\angle OPA\) = \(\angle OQA\) [\(\because\) প্রত্যেকেই সমকোণ] OP = OQ [\(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং অতিভুজ OA সাধারণ বাহু।
\(\therefore \Delta \mathrm{POA} \cong \Delta \mathrm{QAO}\) [সর্বসমতার R – H - S শর্তানুসারে)।
\(\therefore\) \(\angle OAP \) = \(\angle OAQ \) [\(\because\) সর্বসম \(\Delta\) দ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
এখন, দেওয়া আছে, \(\angle PAQ \) = 60°
বা, \(\angle PAO \) + \(\angle QAO \) = 60°
বা, \(\angle PAO \) + \(\angle PAO \) = 60° [\(\because\) \(\angle OAQ \) = \(\angle PAO\)]
বা, 2 \(\angle PAO \) = 60°
বা, \(\angle PAO\) = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
তাহলে, \(\angle POA\) = 90° - \(\angle OAP \) = 90° - 30° = 60°
\(\therefore\) \(\angle POQ\) = 2 \(\angle POA\) [\(\because\) \(\angle POA\) = \(\angle QOA\)] = 2 \(\times\) 60° = 120°
\(\therefore\) \(\angle OPQ \) + \(\angle OQP\) = 180° - \(\angle POQ \)
বা, \(\angle OPQ \) + \(\angle OPQ \) = 180° - 120° [\(\because\) \(\angle OQP \) = \(\angle OPQ \) এবং \(\angle POQ \) = 120°]
বা, 2 \(\angle OPQ \) = 60°
বা, \(\angle OPQ\) = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
\(\therefore\) \(\angle APQ \) = \(\angle APO \) - \(\angle OPQ \) = 90° - 30° = 60°
\(\therefore\) \(\angle APQ \) = 60°

AP ও AQ, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে দুটি স্পর্শক এবং OP ও OQ স্পর্শবিন্দুগামী দুটি ব্যাসার্ধ। \(\therefore\) OP \(\perp\) AP এবং OQ \(\perp\) AQ \(\therefore\) \(\angle OPA\) = \(\angle OQA \) = 90°
এখন, \(\Delta AOP\) = \(\Delta AOQ\) [কারণ, \(\angle APO \) = \(\angle AQO\), OP = OQ এবং OA অতিভুজ সাধারণ বাহু]
\(\therefore\) \(\angle AOP \) = \(\angle AOQ\)[\(\because\) সর্বসম \(\Delta\) দ্বয়ের অনুরূপ কোণ] \(\ldots\ldots\) (1)
\(\therefore\) \(\angle POQ\) = \(\angle AOP\) + \(\angle AOQ \) = \(\angle AOQ \) + \(\angle AOQ \) [(1) থেকে]
= 2 \(\angle AOQ \) \(\ldots\ldots\)(2)
আবার, PQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle POQ \) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle PRQ\)
\(\therefore\) \(\angle POQ\) = 2 \(\angle PRQ\) [\(\because\) কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, 2 \(\angle AOQ \) = 2 \(\angle PRQ\) [(2) থেকে]।
বা, \(\angle AOQ \) = \(\angle PRQ \) = \(\angle OQR \) [\(\because\) OQ = OR, \(\therefore\) \(\angle ORQ \) = \(\angle OQR\)]
\(\therefore\) \(\angle AOQ \) = \(\angle OQR\)
কিন্তু এরা OA ও RQ সরলরেখাংশকে ছেদক OQ ছেদ করায় উৎপন্ন দুটি একান্তর কোণ যারা পরস্পর সমান।
\(\therefore\) OA || RQ৷ (প্রমাণিত)

ধরি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি পরিলিখিত। AB ও CD এর দুটি বিপরীত বাহু কেন্দ্রে যথাক্রমে \(\angle AOB \) ও \(\angle COD\) উৎপন্ন করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle AOB \) ও \(\angle COD\) পরস্পর সম্পূরক,
অর্থাৎ, \(\angle AOB \) + \(\angle COD \) = 180°
অঙ্কন : ধরি, AB, BC, CD ও DA বাহুগুলি বৃত্তটিকে যথাক্রমে P, Q, R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। O, A; O,P; O,B; O,Q; O,C; O,R; O,D; O,S বিন্দুগুলি যুক্ত করি।
প্রমাণ : AB, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
\(\therefore\) OP \(\perp\) AB. \(\therefore\) \(\angle OPA \) = \(\angle OPB \) = 90°
অনুরূপভাবে, OQ \(\perp\) BC, OR \(\perp\) CD, OS \(\perp\) AD
\(\therefore\) \(\angle OQB\) = \(\angle OQC \) = 90°, \(\angle ORC \) = \(\angle ORD \) = 90°, \(\angle OSD \) = \(\angle OSA \) = 90°
আবার, PA || OS, [\(\because\) \(\angle OPA \) = \(\angle OSA \) = 90°] এবং OA এদের ছেদক
\(\therefore\) \(\angle OAP \) = একান্তর \(\angle AOS \)
অনুরূপভাবে, \(\angle OBP \) = একান্তর \(\angle BOQ\); \(\angle COR \) = একান্তর \(\angle OCQ \)
\(\angle DOR\) = একান্তর \(\angle ODS\); \(\angle DOS \) = একান্তর \(\angle ODR \)
এখন, \(\angle AOB \) + \(\angle COD \) = \(\angle AOP \) + \(\angle BOP\) + \(\angle COR \) + \(\angle DOR \) [চিত্রানুসারে]
= \(\angle AOS \) + \(\angle BOQ \) + \(\angle COQ \) + \(\angle DOS \)
= \(\angle AOS \) + \(\angle DOS \) + \(\angle BOQ \) + \(\angle COQ \)
= \(\angle AOD \) + \(\angle BOS \)
= 360° – (\(\angle AOB\) + \(\angle COD\))
বা, 2 (\(\angle AOB\) + \(\angle COD\)) = 360°
বা, \(\angle AOB \) + \(\angle COD \) = 180°
\(\therefore\) \(\angle AOB \) + \(\angle COD \) = 180° (প্রমাণিত)

ধরি, ABCD সামান্তরিকটি কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরিলিখিত।
প্রমাণ করতে হবে, যে, ABCD একটি রম্বস।
প্রমাণ : মনে করি, বৃত্তটি ABCD সামান্তরিকটিকে P, Q, R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করে।
তাহলে, A বহিস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক হল AP ও AS
\(\therefore\) AP = AS \(\ldots\ldots\) (1)
অনুরূপভাবে, BP = BQ \(\ldots\ldots\) (2), CQ = CR \(\ldots\ldots\) (3) এবং DR = DS \(\ldots\ldots\) (4)
এখন, \(\because\) ABCD একটি সামান্তরিক, \(\therefore\) AB = DC এবং AD = BC
এখন, \(AB + DC = AP + BP + DR + CR\)
\(= AS + BQ + DS + CQ\)
\(= AS + DS + BQ + CQ\)
\(= AD + BC\)
বা, \(AB + AB = BC + BC\) [\(\because\) DC = AB এবং AD = BC]
বা, 2AB = 2BC
বা, AB = BC
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, AD = DC
\(\therefore\) AB = BC = CD = DA
\(\therefore\) ABCD সামান্তরিকের চারটি বাহুই সমান।
\(\therefore\) ABCD একটি রম্বস (প্রমাণিত)।

A কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিস্থ O বিন্দু থেকে OC ও OD বৃত্তের C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক।
\(\therefore\) OC = OD \(\ldots\ldots\) (1) [উপপাদ্য 41 অনুসারে]
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিস্থ O বিন্দু থেকে OC ও OE বৃত্তের C ও E বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক।
\(\therefore\) OC = OE \(\ldots\ldots\) (2) [উপপাদ্য 41 অনুসারে]
তাহলে, (1) ও (2) থেকে পাই, OC = OD = OE
এখন, \(\Delta ACD\)-এ \(\angle ADC \) = \(\angle ACD \) = x° [\(\because\) AC = AD]
\(\therefore\) \(\angle ODC\) = \(\angle OCD \) = 90° – x° [\(\because\) \(\angle ADO \) = \(\angle ACO \) = 90°]
আমরা জানি, \(\angle OCD\) + \(\angle ODC \) + \(\angle COD \) = 180°
বা, 90° - x° + 90° - x° + 56° = 180° [\(\because\) \(\angle COD \) = 56°]
বা, 2x° = 56°
বা, x = 28 \(\ldots\ldots\) (3)
অনুরূপভাবে, \(\angle BEC \) = \(\angle BCE \) = y° [\(\because\) BC = BE]
\(\therefore\) \(\angle OCE \) = \(\angle OEC \) = 90° - y° [\(\because\) \(\angle BCO\) = \(\angle BEO \) = 90°]
আমরা জানি, \(\Delta OCE\)-এ, \(\angle OCE \) + \(\angle OEC \) + \(\angle COE \) = 180°
বা, 90° – y° + 90° – y° + 40° = 180° [\(\because\) \(\angle COE \) = 40°]
বা, 2y° = 40°
বা, y° = \(\frac{40^{\circ}}{2}\) = 20°
\(\therefore\) y = 20 \(\ldots\ldots\) (4)
তাহলে, x – y = 28 – 20 = 8 [(3) ও (4) থেকে]
\(\therefore\) OC = OD = OE এবং x – y = 8. (প্রমাণিত)

ধরি A কেন্দ্রীয় বৃত্তটি B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
আমরা জানি, দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্ত বা বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্র ও স্পর্শবিন্দু একই সরলরেখায় থাকে।
\(\therefore\) A, O, X বিন্দু তিনটি; A, B, C বিন্দু তিনটি এবং B, Y, O বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকবে।
এখন, \(AO + BO = AO + BY + OY\) [চিত্রানুসারে]
\(= AO + OY + BY\)
\(= AO + OX + BY\) [\(\because\) \(OY = OX = O\) কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= AX + BY [চিত্রানুসারে, \(AO + OX = AX\)]
= বৃহত্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ + ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= ধ্রুবক [\(\because\) বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর উভয় বৃত্ত নির্দিষ্ট ]
\(\therefore\) AO + BO = ধ্রুবক (প্রমাণিত)।

A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
\(\therefore\) A, O, B একই সরলরেখায় থাকবে।
এখন, \(\triangle AOP \) ও \(\triangle BOQ\) ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে
\(\angle AOP \) = \(\angle BOQ\) [\(\because\) বিপ্রতীপ কোণ]
আবার, A কেন্দ্রীয় বৃত্তে AO = AP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\angle AOP \) = \(\angle APO \) \(\ldots\ldots\) (1)
B কেন্দ্রীয় বৃত্তে BO = BQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\therefore\) \(\angle BOQ \) = \(\angle BQO\) \(\ldots\ldots\) (2)
\(\because\) \(\angle AOP \) = \(\angle BOQ\),(1) ও (2) থেকে পাই, \(\angle APO \) = \(\angle BQO \)
কিন্তু এরা AP ও BQ দুটি সরলরেখাংশকে PQ ছেদক ছেদ করায় উৎপন্ন দুটি একান্তর কোণ, যারা পরস্পর সমান।
\(\therefore\) AP || BQ (প্রমাণিত)

\(P, Q, R\) কেন্দ্রীয় তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পর \(A, B, C\) বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(PQR\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
অঙ্কন : \(PA, AQ, QB, BR, PC, CR\) রেখাংশগুলি আঁকা হল।
প্রমাণ : P ও Q কেন্দ্রদ্বয় এবং A স্পর্শবিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\(\therefore\) \(P, A, Q \)সমরেখ
অনুরূপে, \(Q, B, R \)সমরেখ এবং \(P, C, R\) সমরেখ।
মনে করি, প্রতিটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=r\) একক।
\(\therefore P A=A Q=Q B=B R=P C=C R=r\) একক
এখন, \(PQ = PA+ AQ = r\) একক + \(r\)একক = \(2r\) একক।
অনুরূপে, \(QR = QB+ BR = 2r\) একক।
\(PR = PC + CR = 2r\) একক।
\(\therefore PQ = QR = RP\)
\(\therefore \triangle P Q R\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
\(\therefore \triangle P Q R\) সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু A থেকে B ও C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC
\(\therefore\) AB = AC \(\ldots\ldots\) (1)
একইভাবে, DB = DX এবং EX = EC \(\ldots\ldots\) (2)
এখন, \(\Delta ADE\)-এর পরিসীমা = AD + DE + EA
\(= AD + (DX + XE) + EA\) [চিত্রানুসারে]
\(= AD + BD + EC + EA\) [(2) থেকে]
\(= AB + AC\) [চিত্রানুসারে]
\(= AB + AB\) [\(\because\) AC = AB]
= 2AB
\(\therefore\) \(\Delta ADE\)-এর পরিসীমা = 2AB (প্রমাণিত)

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
\(\therefore\) OB \(\perp\) AB,
\(\therefore\) \(\angle OBA \) = 90°
\(\therefore\) \(\triangle AOB \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ OA
\(\therefore\) পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে, \(\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}\)
বা, \(5^{2}+A B^{2}=13^{2} [ \because O B=5\), সেমি, \(O A=13\) সেমি]
বা, 25 + \(\mathrm{AB}^{2}\) = 169
বা, \(\mathrm{AB}^{2}\) = 169 – 25
বা, \(\mathrm{AB}^{2}\) = 144
বা, AB = 12
\(\therefore\) AB-এর দৈর্ঘ্য = 12 সেমি।
\(\therefore\) (a) উত্তরটি সঠিক।

(d) \(90^{\circ}\)।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। \(\therefore\) OQ = OR = 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি বিন্দু। \(\therefore\)OP = 13 সেমি।
এখন, P বিন্দু থেকে PQ ও PR দুটি স্পর্শক এবং OP ও OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
\(\therefore\) OQ \(\perp\) PQ এবং OR \(\perp\) PR
\(\therefore\) \(\angle OQP \) = 90° এবং \(\angle ORP \) = 90°
অর্থাৎ, \(\Delta POQ\) ও \(\Delta POR\) দুটিই সমকোণী ত্রিভুজ।
\(\therefore\) \(\Delta POQ\) = \(\frac{1}{2} \times \mathrm{PQ} \times \mathrm{OQ}[\because \mathrm{PQ}=\) ভূমি এবং \(\mathrm{OQ}=\) উচ্চতা \(]\)
\(=\frac{1}{2} \times 12 \times 5\) বর্গসেমি
\(\left[\because \mathrm{PQ}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}\right.\) সেমি
\(=\sqrt{169-25}\) সেমি \(=\sqrt{144}\) সেমি \(=12\) সেমি \(]\)
= 30 বর্গসেমি।
একইভাবে, \(\Delta POR\)=\(\frac{1}{2} \times \mathrm{PR} \times \mathrm{OR}\) [\(\because\) PR = ভূমি এবং উচ্চতা = OR]
\(=\frac{1}{2} \times 12 \times 5\) বর্গসেমি [\(\because\) PR = PQ = 12 সেমি)
= 30 বর্গসেমি
তাহলে, PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \(\Delta POQ\) + \(\Delta POR\)
= 30 বর্গসেমি + 30 বর্গসেমি = 60 বর্গসেমি
\(\therefore\) (a) উত্তরটি সঠিক।

ধরি, O এবং O' কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি, \(\therefore\) OC = 5 সেমি এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি, \(\therefore\) O'C = 3সেমি।
এখন, বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = OO' = OC + CO' = 5 সেমি + 3 সেমি = 8 সেমি।
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।

ধরি, O এবং O' কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে অন্তস্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ 3.5 সেমি ও 2 সেমি।
\(\therefore\) OC = 2 সেমি, O'C = 3.5 সেমি।
এখন, বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = OO' = O'C - OC = 3.5 সেমি – 2 সেমি = 1.5 সেমি
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

সত্য

মিথ্যা

ছেদক

4

তির্যক

O, P এবং A, P যুক্ত করি।
PT বৃত্তের P বিন্দুতে স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। \(\therefore\) OP \(\perp\) PT
\(\therefore\) \(\angle OPT \) = 90°, \(\angle OPB \) = \(\angle OBP \) = 30° [\(\because\) OB = OP]
\(\therefore\) \(\angle BPT \) = \(\angle OPB \) + \(\angle OPT \)
= 30° + 90° [\(\angle OPB\) = 30°, \(\angle OPT \) = 90°]
= \(120^{\circ}\)
এখন, \(\Delta BPT\)-এ \(\angle BTP \) + \(\angle TPB \) + \(\angle PBT \) = 180°
বা, \(\angle BTP\) + \(120^{\circ}\) + 30° = 180°
বা, \(\angle PTA \) + 150° = 180°
বা, \(\angle PTA\) = 180° - 150° = 30°
\(\therefore\) \(\angle PTA\)-এর মান 30°.

OP, OR, OQ যুক্ত করা হল।
AO; B; O এবং CO যুক্ত করা হল।
AP = AR, BP = BQ, CQ = CR
\(\therefore\) AR = 4 সেমি,
\(\therefore\) CQ = 12 - 4 = ৪ সেমি
BQ = 6 সেমি
\(\therefore\) x = BC = BQ + QC = 6 + 8 = 14 সেমি.।

প্রশ্নানুসারে, AB = 5 সেমি
\(\therefore\) AP + BP = 5 [\(\because\) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে।] \(\ldots\ldots\) (1)
একইভাবে, BC = 7 সেমি
\(\therefore\) CR + BR = 7 সেমি \(\ldots\ldots\) (2)
এবং AC = 6 সেমি, \(\therefore\) AQ + CQ = 6 সেমি
বা AQ + CR = 6 সেমি \(\ldots\ldots\) (3) [\(\because\) CQ = CR একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
তাহলে (2) থেকে (3) বিয়ােগ করে পাই, BR - AQ = 1 সেমি
বা, BP – AP = 1 সেমি \(\ldots\ldots\) (4) [\(\because\) BR = BP এবং AQ = AP]
এখন, (1) থেকে (4) বিয়ােগ করে পাই, 2AP = 4 সেমি
বা AP = 2 সেমি।
\(\therefore\) A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = 2 সেমি।

O, P; O, Q; O, R এবং O, B যুক্ত করি।
এখন, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে CP ও CQ বহিস্থ C বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক। \(\therefore\) CP = CQ
\(\therefore\) CQ = 11 সেমি [\(\because\) CP = 11 সেমি (প্রদত্ত)]
আবার, দেওয়া আছে, BC = 7 সেমি।
\(\therefore\) BQ = CQ - BC
= 11 সেমি – 7 সেমি = 4 সেমি।
এখন, \(\Delta BOQ\) ও \(\Delta BOR\)-এর মধ্যে OQ = OR [\(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\angle OQB\) = \(\angle ORB \) [\(\because\) প্রত্যেকেই সমকোণ] এবং অতিভুজ OB সাধারণ বাহু,
\(\therefore\) \(\Delta BOQ\) = \(\Delta BOR\) [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) BQ = BR [\(\because\) সর্বসম \(\Delta\) দ্বয়ের অনরূপ বাহু]
কিন্তু BQ = 4 সেমি,
\(\therefore\) BR = 4 সেমি।

ধরি, A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। অর্থাৎ, AB = 13 সেমি। PQ উভয় বৃত্তের একটি সরল সাধারণ স্পর্শক। PQ-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
A, P ও B, যুক্ত করি এবং B বিন্দু থেকে AP-এর উপর BM লম্ব আঁকি। তাহলে, PQBM একটি আয়তক্ষেত্র, [\(\because\) \(\angle APQ \) = \(\angle BQP\) = 90°]
\(\therefore\) PQ = BM এবং PM = BQ
প্রশ্নানুসারে, AP = 8 সেমি, BQ = 3 সেমি। তাহলে AM = AP -- PM
= 8 সেমি – BQ
= 8 সেমি – 3 সেমি
= 5 সেমি।
এখন, ABM সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পীথাগােরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
\(\mathrm{BM}^{2}+\mathrm{AM}^{2}=\mathrm{AB}^{2}\) [\(\because\) AB = অতিভুজ]
বা, \(\mathrm{BM}^{2}+5^{2}=13^{2}\)
বা, \(B M^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144\)
\(\therefore\) \(\mathrm{BM}=\sqrt{144}=12\)
PQ = 12 সেমি [\(\because\) BM = PQ]
\(\therefore\) সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = 12 সেমি।