মোট ডেটল জলের পরিমাণ \(= 36\) লিটার
মিশ্রণে, জল ও ডেটলের অনুপাত \(= 5 : 1\)
\(\therefore\) জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6} \)
ডেটলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6} \)
\(\therefore\) মিশ্রণে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{6} \times 36\right) \) লিটার \(= 30\) লিটার
\(\therefore\) মিশ্রণে ডেটলের পরিমাণ \( =\left(\frac{1}{6} \times 36 \right) \) লিটার = 6 লিটার
ধরি, মিশ্রণে আরও \(x \) লিটার ডেটল মেশালে জল ও
ডেটলের অনুপাত হবে \( 3:1\)
তখন ডেটলের পরিমাণ হবে \(= (6 + x)\) লিটার
প্রশ্নানুসারে, \( \frac{30}{6+x}=\frac{3}{1} \)
বা, \( 18+3 x=30 \)
বা, \( 3 x=30-18=12 \)
বা, \( x=\frac{12}{3}=4 \)
\(\therefore\) \(4\) লিটার ডেটল মেশাতে হবে।

তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত \(= 5 : 2\)
\(\therefore\) তামার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+2}=\frac{5}{7} \)
দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{5+2}=\frac{2}{7} \)
মোট পিতল-এর পরিমাণ \(= 28\) কিগ্রা
\(\therefore\) পিতলে তামার পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{7} \times 28 \right) \) কিগ্ৰা = 20 কিগ্রা
পিতলে দস্তার পরিমাণ \( =\left(\frac{2}{7} \times 28 \right) \) কিগ্রা \(= 8\) কিগ্রা
এখন \(20\) কিগ্রা তামার সঙ্গে আরও \(4\) কিগ্রা তামা মেশালে তামার পরিমাণ হয় \(= (20 + 4)\) কিগ্রা \(= 24\) কিগ্রা তামা
\(\therefore\) এখন তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত হবে, \( =24: 8=\frac{24}{8} =3: 1 \)

মোট ফিনাইল গোলা জলের পরিমাণ \(= 60\) লিটার
ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত \(= 2:23 \)
\(\therefore\) ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{2+23}=\frac{2}{25} \)
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{23}{2+23}=\frac{23}{25} \)
60 লিটার মিশ্রণে, ফিনাইলের পরিমাণ\( =\left(\frac{2}{25} \times 60 \right) \) লিটার \( =\frac{24}{5} \) লিটার
\(\therefore\) জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{23}{25} \times 60 \right) \) লিটার \( =\frac{276}{5} \) লিটার
আবার, নতুন মিশ্রণে ফিনাইল : জল \(= 9:46\)
ধরি, আর \(x \) লিটার ফিনাইল মেশানো হল।
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে ফিনাইলের পরিমাণ \( =\left(\frac{24}{5}+x\right) \) লিটার
প্রশ্নানুসারে,
\( \left(\frac{24}{5}+x\right): \frac{276}{5}=9: 46 \)
বা, \( \frac{\frac{24}{5}+x}{\frac{276}{5}}=\frac{9}{46} \)
বা, \( \frac{\frac{24+5 x}{5}}{\frac{276}{5}}=\frac{9}{46} \)
বা, \( \frac{24+5 x}{276}=\frac{9}{46}\)
বা, \(24+5 x=\frac{9}{46} \times 276 \)
বা, \(24+5 x=9 \times 6\)
বা, \(24+5 x=54\)
বা, \( 5 x=54-24\)
বা, \(x=\frac{30 }{5}=6 \)
বা, \(5 x=30 \)
\(\therefore\) আরও \(6\) লিটার ফিনাইল মেশানো হল।

গাঁথুনির মশলাতে বালি : সিমেন্ট \(= 7 : 1\)
\(\therefore\) বালির পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{7}{7+1}=\frac{7}{8} \)
এবং সিমেন্টের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{1}{7+1}=\frac{1}{8} \)
\(\therefore\) \(72\) কিগ্রা মশলাতে বালির পরিমাণ \( =\left(\frac{7}{8} \times 72 \right) \) \(= 63\) কিগ্রা
এবং সিমেন্টের পরিমাণ \( =\left(\frac{1}{8} \times 72 \right) \) কিগ্রা \(= 9\) কিগ্রা
নতুন মশলায় বালি : সিমেন্ট \(= 6 : 1\)
ধরি, \(x\) কেজি সিমেন্ট মেশানো হয়েছিল।
বর্তমানে সিমেন্টের পরিমাণ \( (9 + x)\) কেজি।
প্রশ্নানুসারে,
\( \frac{9+x}{63}=\frac{1}{6} \)
বা, \( 9+x=\frac{63}{6} \)
বা, \( 2(9+x)=21\)
বা, \( 18+2 x=21\)
বা, \(2 x=21-18\)
বা, \(2 x=3 \)
বা, \(x=\frac{3}{2}=1.5 \)
\(\therefore\) আমিনাবিবি \(1.5\) কিগ্রা সিমেন্ট মিশিয়েছেন।

জার্মান সিলভারে তামা : দস্তা : নিকেল \(= 4 : 3 : 2\)
\(\therefore\) জামার্ন সিলভারে তামার পরিমাণের আনুপাতিক
ভাগহার \( =\frac{4}{4+3+2}=\frac{4}{9} \)
জার্মান সিলভারে দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{3}{4+3+2}=\frac{3}{9} \)
জার্মার্ন সিলভারে নিকেলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{2}{4+3+2}=\frac{2}{9} \)
\(\therefore\) \(54\) কিগ্রা জার্মান সিলভারে,
তামার পরিমাণ \( =\left(\frac{4}{9} \times 54\right) \) কিগ্ৰা \(= 24\) কিগ্রা
দস্তার পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{9} \times 54 \right) \) কিগ্রা \(= 18\) কিগ্রা
নিকেলের পরিমাণ \( =\left(\frac{2}{9} \times 54{}\right) \) কিগ্ৰা \(= 12\) কিগ্রা
ধরি, \(54\) কিগ্রা জার্মান সিলভারে \(x\) কিগ্রা দস্তা মেশানো হয়েছে
\(\therefore\) এখন দস্তার পরিমাণ = \((18 + x)\) কিগ্রা
বর্তমানে নতুন তামা : দস্তা : নিকেল \(= 6 : 5 : 3\)
প্রশ্নানুসারে,
\( 24:(18+x)=6: 5 \)
বা, \( \frac{24}{18+x}=\frac{6}{5} \)
বা, \( 6(18+x)=24 \times 5 \)
বা, \( 18+x=\frac{24 \times 5}{6} \)
বা, \( 18+x=20 \)
বা, \( x=20-18=2 \)
\(\therefore\) আরও \(2\) কিগ্রা দস্তা মেশাতে হবে।
[একইভাবে, দস্তা ও নিকেলের অনুপাত থেকেও সমস্যাটির সমাধান করা যাবে]

প্রথম প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা : সাবান গুঁড়ো \(= 2 : 3\)
\(\therefore\) গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5} \)
গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5} \)
\(10\) কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে, সোডার পরিমাণ
\( =\left(\frac{2}{5} \times 10\right) \) কিগ্রা = 4 কিগ্রা
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{5} \times 10 \right) \) কিগ্রা = \(6\) কিগ্রা
দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা : সাবান গুঁড়ো \(= 4 : 5\)
গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9} \)
গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{4+5}=\frac{5}{9} \)
18 কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণ \( =\left(\frac{4}{9} \times 18\right) \) কিগ্রা \(=8\) কিগ্রা
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{9} \times 18^{}\right) \) কিগ্রা \(= 10\) কিগ্রা
(\(10 \) কিগ্রা \(+ 18\) কিগ্ৰা)\( = 28\) কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে মোট সাবান
গুঁড়োর পরিমাণ \(= (6+10)\) কিগ্ৰা \(= 16\) কিগ্রা
\(\therefore\) নতুন গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণ
\( =\frac{16}{28} \) অংশ
\( =\frac{4}{7} \) অংশ

দুটি সমান আয়তনের পাত্রে যথাক্রমে \( \frac{1}{3} \) ও \( \frac{1}{4} \) অংশ ফলের রস আছে।
ধরি, পাত্রগুলির আয়তন 1
প্রথম পাত্রে অবশিষ্ট অংশ \( =\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} \) অংশ
এবং দ্বিতীয় পাত্রে অবশিষ্ট অংশ \( =\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4} \) অংশ
\(\therefore\) নতুন পাত্রে মোট ফলের রস \( =\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \) অংশ
\( =\frac{4+3}{12} \) অংশ \( =\frac{7}{12} \) অংশ
এবং জলের মোট অংশ \( =\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right) \) অংশ
\( =\frac{8+9}{12} \) অংশ \( =\frac{17}{12} \) অংশ
\(\therefore\) নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের নতুন অনুপাত হল
\( =\frac{7}{12}: \frac{17}{12}=7: 17 \)

তিনটি সমান মাপের পাত্র রেশমি খাতুন পূর্ণ করেছে।
প্রথম পাত্রের শরবতের জল ও সিরাপের অনুপাত \( =3: 1 \)
\(\therefore\) জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \)
সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4} \)
দ্বিতীয় পাত্রের শরবতের জল ও সিরাপের অনুপাত \(= 5 : 3\)
\(\therefore\) জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8} \)
সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{5+3}=\frac{3}{8} \)
আবার, তৃতীয় পাত্রের শরবতের জল ও সিরাপের অনুপাত \(= 9 : 7\)
\(\therefore\) জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{9}{9+7}=\frac{9}{16} \)
সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{7}{9+7}=\frac{7}{16} \)
\(\therefore\) নতুন বড়ো পাত্রে, মোট জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{9}{16}\right)\)
\(=\left(\frac{12+10+9}{16}\right)=\frac{31}{16} \)
\(\therefore\) মোট সিরাপের পরিমাণ \( =\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{7}{16}\right)=\left(\frac{4+6+7}{16}\right)=\frac{17}{16} \)
\(\therefore\) বড়ো পাত্রে জল ও সিরাপের অনুপাত হল \( =\frac{31}{16}: \frac{17}{16}\)
\(=31 : 17 \)

দুই প্রকার পিতল \(5 : 2\) অনুপাতে মেশানো আছে।
ধরি, নতুন পিতলে প্রথম প্রকার পিতল আছে \(= 5x\) একক
নতুন পিতলে দ্বিতীয় প্রকার পিতল আছে \(= 2x\) একক
যেখানে \(x\) হল অশূন্য আনুপাতিক ধ্রুবক।
প্রথম প্রকার পিতলে, তামা : দস্তা \(= 8 : 3\)
তামার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{8}{8+3}=\frac{8}{11} \)
দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{8+3}=\frac{3}{11} \)
\(\therefore\) প্রথম প্রকার পিতলে,
তামার পরিমাণ\( =\left(\frac{8}{11} \times 5 x\right) \) একক \( =\frac{40 x}{11} \) একক
দস্তার পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{11} \times 5 x\right) \) একক \( =\frac{15 x}{11} \) একক
আবার, দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা : দস্তা \(= 15 : 7\)
তামার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{15}{15+7}=\frac{15}{22} \)
দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{7}{15+7}=\frac{7}{22} \)
\(\therefore\) দ্বিতীয় প্রকার পিতলে,
তামার পরিমাণ \( =\left(\frac{15}{22} \times 2 x\right) \) একক \( =\frac{15 x}{11} \) একক
দস্তার পরিমাণ \( =\left(\frac{7}{22} \times 2 x\right) \) একক \( =\frac{7 x}{11} \) একক
\(\therefore\) নতুন পিতলে মোট তামার পরিমাণ \( =\left(\frac{40 x}{11}+\frac{15 x}{11}\right) \) একক
\( =\left(\frac{40 x+15 x}{11}\right) \) একক
\( =\left(\frac{55 x}{11}\right) \) একক
\( = 5x\) একক
নতুন পিতলে মোট দস্তার পরিমাণ \( =\left(\frac{15 x}{11}+\frac{7 x}{11}\right) \) একক
\( =\left(\frac{15 x+7 x}{11}\right) \) একক
\( =\left(\frac{22 x}{11}\right) \) একক
=\(2x\) একক
\(\therefore\) নতুন প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত
\( =5 x: 2 x=5: 2 \)

ধরি, প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিল \( x\) একক ও দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিল \(y\) একক মেশাতে হবে।
প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিলের মধ্যে ক্রোমিয়াম : স্টিল \( = 2:11\)
প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিলে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{2+11}=\frac{2}{13} \)
স্টিলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{11}{2+11}=\frac{11}{13} \)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণের \( =\left(\frac{2}{13} \times x\right) \)একক\( =\frac{2 x}{13} \) একক
স্টিলের পরিমাণ \( =\left(\frac{11}{13} \times x\right) \) একক\( =\frac{11x}{13} \) একক
দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিলের মধ্যে ক্রোমিয়াম : স্টিল \(= 5:21\)
দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিলে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+21}=\frac{5}{26} \)
স্টিলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{21}{5+21}=\frac{21}{26} \)
দ্বিতীয় প্রকারে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{26} \times y\right) \) একক \( =\frac{5 y}{26} \) একক
স্টিলের পরিমাণ \( =\left(\frac{21}{26} \times y\right) \) একক \( =\frac{21 y}{26} \) একক
নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টিলে, মোট ক্রোমিয়াম
\( =\left(\frac{2 x}{13}+\frac{5 y}{26}\right) \) একক \( =\frac{4 x+5 y}{26} \) একক
নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টিলে, মোট স্টিল
\( =\left(\frac{11 x}{13}+\frac{21 y}{26}\right) \) একক \( =\frac{22 x+21 y}{26} \)একক
নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টিলে, ক্রোমিয়াম : স্টিল
\( =\left(\frac{4 x+5 y}{26}\right):\left(\frac{22 x+21 y}{26}\right) \)
শর্তানুসারে,
\( \frac{\frac{4 x+5 y}{26}}{\frac{22 x+21 y}{26}}=\frac{7}{32} \)
বা, \( \frac{4 x+5 y}{22 x+21 y}=\frac{7}{32}\)
বা, \(32(4 x+5 y)=7(22 x+21 y)\)
বা, \(128 x+160 y=154 x+147 y\)
বা, \(128 x-154 x=147 y-160 y\)
বা, \(-26 x=-13 y\)
বা, \(\frac{x}{y}=\frac{-13}{-26}=\frac{1}{2} \)
বা, \(x:y=1:2\)
\(\therefore\) দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিল \(1 : 2\) অনুপাতে মেশাতে হবে।

একপাত্র শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত \(= 5 : 2\)
\(\therefore\) সম্পূর্ণ শরবতে, সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{5}{5+2} \) অংশ \( =\frac{5}{7} \) অংশ
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{5+2} \) অংশ \( =\frac{2}{7} \) অংশ
তথ্য সাপেক্ষে শরবতের কিছু অংশ তুলে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান হবে,
অর্থাৎ তাদের পরিমাণের অনুপাত হবে \(1 : 1\)।
\(\therefore\) নতুন শরবতে সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক
ভাগহার = জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \(=\frac{1}{2}\) অংশ
প্রথমে সিরাপ ছিল \( =\frac{5}{7} \) অংশ, পরে সিরাপের পরিমাণ \( =\frac{1}{2} \) অংশ
অর্থাৎ এমন পরিমাণ মিশ্রণ তুলতে হবে যাতে \( \left(\frac{5}{7}-\frac{1}{2}\right) \) অংশ
\( =\left(\frac{10-7}{14}\right) \) অংশ \( =\frac{3}{14} \) অংশ সিরাপ উঠে আসে।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,
\(\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার (অংশ) } & \text{শরবতের পরিমাণ (অংশ)} \\
\hline \frac{5}{7} & 1 \\
\hline \frac{3}{14} & x \text { (ধরি) }\\
\hline \end{array} \)
সিরাপের আনুপাতিক ভাগহারের পরিমাণ কমলে শরবতের পরিমাণ কমবে।
এক্ষেত্রে, সম্পর্কটি সরল সম্পর্কযুক্ত।
\(\therefore\) সমানুপাতটি হল, \( \frac{5}{7}: \frac{3}{14}:: 1: x \)
\( \therefore \frac{5}{7} \times x=1 \times \frac{3}{14} \)
বা, \( x=\frac{3}{{14}} \times \frac{7}{5}\)
\(\therefore x=\frac{3}{10} \)
\(\therefore\) \( \frac{3}{10} \) অংশ শরবত তুলে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান সমান হবে।
বিকল্প পদ্ধতি :
শরবতে সিরাপ : জল \(= 5 : 2\)
\(\therefore\) সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+2}=\frac{5}{7} \)
এবং জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{7} \)
মনে করি, y একক শরবত থেকে \(x\) একক শরবত তুলে নিয়ে সমপরিমাণ অর্থাৎ, \(x\) একক জল ঢালা হল।
অর্থাৎ, সমগ্র শরবতের \( \frac{x}{y} \) অংশ শরবত তুলে নিলে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান হয়।

গল্প 1 :
আজ দোল। একে অপরকে রং মাখানোর জন্য সমীর ও মিহির দুই ভাই দুটি বালতিতে জলে লাল রং দিয়ে রং তৈরি করেছিল। সমীর জল ও লাল রং \(5 : 4\) অনুপাতে এবং মিহির \(3 :2\) অনুপাতে মিশিয়েছিল। দুজনের মিশ্রণ থেকে সমান পরিমাণ নিয়ে মিশিয়ে তাদের এক বন্ধু রামিত রং তৈরি করল। রামিতের তৈরি করা মিশ্রণে জল ও লাল রঙের পরিমাণের অনুপাত কত হয়েছিল ?
সমীর ও মিহিরের রং-এ জল : লাল রং যথাক্রমে \(5 : 4\) ও \(3 : 2\)
দুটি মিশ্রণ থেকেই সমান পরিমাণ নিয়েছে রামিত
\(\therefore\) মোট জল নিয়েছে \( =\left(\frac{5}{9}+\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{25+27}{45}\right)=\frac{52}{45} \)
এবং লাল রং নিয়েছে \( =\left(\frac{4}{9}+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{20+18}{45}\right)=\frac{38}{45} \)
রামিতের মিশ্রণে জল : লাল রং \( =\frac{52}{45}: \frac{38}{45}=52: 38=26: 19 \)
গল্প 2 :
একটি পাত্রে দুধ ও জল \(4 : 5\) অনুপাতে এবং অপর একটি পাত্রে \(5 : 1\) অনুপাতে মেশানো আছে।
ওই দুটি পাত্র থেকে কী অনুপাতে মিশ্রণ নিয়ে অন্য একটি পাত্রে মেশানো হলে মিশ্রিত দুধ ও জলের অনুপাত \(5 : 4\) হবে ?
ধরি, প্রথম পাত্র থেকে \(x\) একক এবং দ্বিতীয় পাত্র থেকে \(y\)
একক মিশ্রণ নেওয়া হল।
নতুন পাত্রে দুধ : জল \(= 5 : 4\)
প্রথম পাত্রে দুধ ও জলের অনুপাত \(4 : 5\)
\(\therefore\) প্রথম পাত্রে দুধের পরিমাণের অনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9} \)
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{4+5}=\frac{5}{9} \)
\(\therefore\) \(x\) এককে দুধ-এর অংশ \( =\frac{4 x}{9} \) একক
এবং জল-এর অংশ \( =\frac{5 x}{9} \) একক
দ্বিতীয় পাত্রে, দুধ ও জলের অনুপাত \(5 : 1\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় পাত্রে,
দুধের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6} \)
এবং জলের আনুপাতিক ভাগহার\( =\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6} \)
\(\therefore\) \(y\) এককে দুধ-এর অংশ \( =\frac{5 y}{6} \) একক
এবং জলের অংশ \( =\frac{ y}{6} \) একক
শর্তানুসারে, \( \frac{\frac{4 x}{9}+\frac{5 y}{6}}{\frac{5 x}{9}+\frac{y}{6}}=\frac{5}{4} \)
বা, \( \frac{8 x+15 y}{18} \times \frac{18}{10 x+3 y}=\frac{5}{4} \)
বা, \( 4(8 x+15 y)=5(10 x+3 y) \)
বা, \( 32 x+60 y=50 x+15 y \)
বা, \( 32 x-50 x=15 y-60 y \)
বা, \(\not-18 x=\not-45 y \)
বা, \(x:y=5:2\)
গল্প 3 :
একটি শরবতের দোকানে দুটি বোতলে দুই ধরনের মিশ্রিত সিরাপ আছে। একটিতে জল ও সিরাপের অনুপাত \(3 : 4\) এবং অপরটিতে জল ও সিরাপের অনুপাত \(9 : 5\)। আলি দোকানদারকে ওই দুটি বোতল থেকে \(1 : 2\) অনুপাতে মিশিয়ে এক গ্লাস শরবত তাকে দিতে বলল। শরবতে জল ও সিরাপের অনুপাত কত হবে ?
আলির শরবতের গ্লাসে প্রথম বোতল ও দ্বিতীয় বোতলের মিশ্রণের অনুপাত \(= 1:2\)
ধরি, দোকানদার প্রথম বোতল থেকে \(x\) একক ও দ্বিতীয় বোতল থেকে \(2x\) একক মিশ্রণ দিয়েছেন যেখানে, \(x\) আনুপাতিক ধ্রুবক \( (x>0) \)
প্রথম বোতলে জল : সিরাপ \(= 3 : 4\)
জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7} \)
সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7} \)
জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{7} \times x\right) \) একক \( =\frac{3 x}{7} \) একক
সিরাপের পরিমাণ \( =\left(\frac{4}{7} \times x\right) \) একক \( =\frac{4 x}{7} \) একক
দ্বিতীয় বোতলে জল : সিরাপ \(= 9 : 5\)
জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{9}{9+5}=\frac{9}{14} \)
সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{9+5}=\frac{5}{14} \)
\(\therefore\) জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{9}{14} \times 2 x\right)\) একক \(=\frac{9 x}{7} \) একক
সিরাপের পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{14} \times 2 x\right) \) একক \(=\frac{5 x}{7} \) একক
আলিকে দেওয়া গ্লাসে, মোট জলের পরিমাণ
\( =\left(\frac{3 x}{7}+\frac{9 x}{7}\right) \) একক \( =\frac{12 x}{7} \) একক
মোট সিরাপের পরিমাণ \( =\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 x}{7}\right) \) একক \( =\frac{9 x}{7} \) একক
আলিকে দেওয়া গ্লাসে জল : সিরাপ \( =\frac{12 x}{7}: \frac{9 x}{7}=12: 9=4: 3 \)
গল্প 4 :
দুটি পাত্রে জল ও গ্লিসারিন 2 : 3 এবং 5 : 4 অনুপাতে আছে। পাত্র দুটি থেকে কী অনুপাতে জল ও গ্লিসারিন মিশ্রণ নিয়ে বড়ো একটি পাত্রে মেশালে বড়ো পাত্রে জল ও গ্লিসারিনের অনুপাত সমান হবে?
ধরি, প্রথম পাত্র থেকে \(x\) একক ও দ্বিতীয় পাত্র থেকে \(y\) একক মিশ্রণ নেওয়া হল।
প্রথম পাত্রের ক্ষেত্রে, জল : গ্লিসারিন \(= 2 : 3\)
জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5} \)
গ্লিসারিনের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5} \)
\(\therefore\) \(x\) এককে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{2}{5} \times x\right) \) একক \( =\frac{2 x}{5} \) একক
গ্লিসারিনের পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{5} \times x\right) \) একক \( =\frac{3 x}{5} \) একক
দ্বিতীয় পাত্রের ক্ষেত্রে, জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+4}=\frac{5}{9} \)
গ্লিসারিনের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9} \)
\(\therefore\) \(y\) এককে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{9} \times y\right) \) একক \( =\frac{5 y}{9} \) একক
গ্লিসারিনের পরিমাণ \( =\left(\frac{4}{9} \times y\right) \) একক \( =\frac{4 y}{9} \) একক
বড়ো পাত্রে, মোট জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}\right) \) একক
মোট গ্লিসারিনের পরিমাণ \( =\left(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}\right) \) একক
শর্তানুসারে \( \left(\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}\right):\left(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}\right)=1: 1 \)
বা, \( \frac{\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}}{\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}}=\frac{1}{1} \)
বা, \( \frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}=\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9} \)
বা, \( \frac{2 x}{5}-\frac{3 x}{5}=\frac{4 y}{9}-\frac{5 y}{9} \)
বা, \( \frac{-x}{5}=\frac{-y}{9} \)
বা, \( \frac{x}{y}=\frac{5}{9} \)
বা, \(x:y=5:9\)
\(\therefore\) দুটি পাত্র থেকে \( 5 : 9 \) অনুপাতে মিশ্রণ নেওয়া হয়েছে।
গল্প 5 :
ডালিয়া একটি জগে জল ও চিনি \(4:3\) অনুপাতে মিশিয়ে চিনির শরবত তৈরি করেছে। অহনা অপর একটি জগে \(5 : 2\) অনুপাতে জল ও চিনি মিশিয়ে আর-একটি চিনির শরবত তৈরি করল। শ্রীজিতা একা ওই দুই প্রকার মিশ্রণ নিয়ে পুনরায় একটি শরবত তৈরি করল যাতে জল ও চিনির অনুপাত \(9:5\) ।
শ্রীজিতা কী অনুপাতে ডালিয়া ও অহনার শরবত মিশিয়েছিল ?
ধরি, শ্রীজিতা প্রথম পাত্র থেকে \(x\) একক ও দ্বিতীয় পাত্র থেকে \(y\) একক পরিমাণ শরবত নিয়েছে।
ডালিয়ার তৈরি শরবতের ক্ষেত্রে,
জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7} \)
চিনির আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{4+3}=\frac{3}{7} \)
\(x\) একক জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{4}{7} \times x\right) \) একক \( =\frac{4 x}{7} \) একক
চিনির পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{7} \times x\right) \) একক \( =\frac{3 x}{7} \) একক
অহনার তৈরি শরবতের ক্ষেত্রে,
জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{5}{5+2}=\frac{5}{7} \)
চিনির পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{5+2}=\frac{2}{7} \)
\(y\) এককে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{5}{7} \times y\right) \) একক \( =\frac{5 y}{7} \) একক
চিনির পরিমাণ \( =\left(\frac{2}{7} \times y\right) \) একক \( =\frac{2 y}{7} \) একক
\(\therefore\) মোট জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}\right) \) একক
মোট চিনির পরিমাণ \( =\left(\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}\right) \) একক
শর্তানুসারে,
\( \left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}\right):\left(\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}\right)=9: 5 \)
বা, \( \frac{\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}}{\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}}=\frac{9}{5} \)
বা, \( \frac{4 x+5 y}{3 x+2 y}=\frac{9}{5} \)
বা, \( 9(3 x+2 y)=5(4 x+5 y)\)
বা, \(27 x+18 y=20 x+25 y\)
বা, \(27 x-20 x=25 y-18 y \)
বা, \( 7 x=7 y \)
বা, \( \frac{x}{y}=\frac{1}{1} \)
বা, \( x: y=1: 1 \)
\(\therefore\) মিশ্রণ দুটি সমপরিমাণ নেওয়া হয়েছিল।

ক্রমিক নং	দুটি মিশ্রণের প্রত্যেকটিতে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত	নতুন মিশ্রণে মিশ্রণ দুটির পরিমাণের অনুপাত	নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত
1	5 : 4 এবং 3 : 2	মিশ্রণ দুটি সমান পরিমাণ নিয়ে	26 : 19
2	4 : 5 এবং 5 : 1	5 : 2	5 : 4
3	3 : 4 এবং 9 : 5	1 : 2 অনুপাতে	4 : 3
4	2 : 3 এবং 5 : 4	5 : 9	1 : 1
5	4 : 3 এবং 5 : 2	1 : 1 বা, সমান পরিমাণ মিশ্রণ দুটি নিয়ে	9 ; 5

মোট মিশ্রণের পরিমাণ 700 লিটার, এর মধ্যে তিন প্রকার তরল আছে।
প্রথম প্রকার তরল : দ্বিতীয় প্রকার তরল = 2 : 3
দ্বিতীয় প্রকার তরল : তৃতীয় প্রকার তরল = 4 : 5
প্রথম প্রকার তরল : দ্বিতীয় প্রকার তরল : তৃতীয় প্রকার তরল
\( =2 \times 4: 3 \times 4: 3 \times 5=8: 12: 15 \)
প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{8}{8+12+15}=\frac{8}{35} \)
দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{12}{8+12+15}=\frac{12}{35} \)
তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
\( =\frac{15}{8+12+15}=\frac{15}{35} \)
700 লিটার মিশ্রণে, প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণ
\( =\left(\frac{8}{35} \times 700 \right) \) লিটার = 160 লিটার
দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ
\( =\left(\frac{12}{35} \times 700 \right) \) লিটার = 240 লিটার
তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ
\( =\left(\frac{15}{35} \times 700 \right) \) লিটার = 300 লিটার
ধরি, \(x \) লিটার প্রথম প্রকারের তরল এবং y লিটার দ্বিতীয় প্রকারের তরল মেশালে তিন প্রকার তরলের অনুপাত 6 : 5 : 3 হয়।
এক্ষেত্রে, তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণে কোনো পরিবর্তন হয়নি।
এখন, প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণ \(= (160+x)\) লিটার
দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ \(= (240 + y)\) লিটার
শর্তানুসারে,
\(\frac{\text{প্রথম প্রকার তরল}}{\text{তৃতীয় প্রকার তরল}}=\frac{6}{3}\)
বা, \( \frac{160+x}{300}=\frac{6}{3} \)
বা, \( 160+x=\frac{6}{3} \times 300 =600\)
বা, \(x=600-160=440 \)
আবার, \(\frac{\text{ দ্বিতীয় প্রকার তরল }}{\text{তৃতীয় প্রকার তরল }} = \frac{5}{3}\)
বা, \(= \frac{240+y}{300}=\frac{5}{3}\)
বা, \(240+y=\frac{5}{3} \times 300 =500\)
বা, \(y=500-240=260 \)
\(\therefore\) প্রথম প্রকার তরল 440 লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার তরল 260 লিটার মেশাতে হবে।

প্রদত্ত, সিরাপে জল : অবশিষ্টাংশ \(= 89:11\)
মোট সিরাপের পরিমাণ \(= 22\) লিটার
সিরাপে জলের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{89}{89+11}=\frac{89}{100} \)
সিরাপে অবশিষ্টাংশের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{11}{89+11}\)
\(=\frac{11}{100} \)
22 লিটার সিরাপে, জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{89}{100} \times 22\right) \)লিটার
\( =\frac{1958}{100} \) লিটার
অবশিষ্টাংশের পরিমাণ \( =\left(\frac{11}{100} \times 22\right) \) লিটার
\( =\frac{242}{100} \) লিটার
ধরি, এই মিশ্রণে আরও \(x \) লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের অনুপাত হবে \(=90:10\)
শর্তানুসারে,
\( \left(\frac{1958}{100}+x\right): \frac{242}{100}=90: 10 \)
বা, \( \frac{\frac{1958}{100}+x}{\frac{242}{100}}=\frac{90}{10}\)
বা, \(\frac{1958+100 x}{242}=\frac{90}{10}\)
বা, \(1958+100 x=242 \times 9=2178\)
বা, \(100 x=2178-1958=220\)
বা, \(x=\frac{220}{100}=2.2 \)
\(\therefore\) আরও \(2.2\) লিটার জল মেশাতে হবে।

তিনটি বোতলের আয়তনের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 3 : 2 \)
প্রথম বোতলের \( \frac{1}{3} \) অংশ, দ্বিতীয় বোতলের \( \frac{1}{2} \) অংশ
এবং তৃতীয় বোতলের \( \frac{2}{3} \) অংশ একসঙ্গে মেশানো হয়েছে।
তিনটি বোতলের আয়তন হিসেবে অনুপাত
\( =\left(5 \times \frac{1}{3}\right):\left(3 \times \frac{1}{2}\right):\left(2 \times \frac{2}{3}\right)\)
\(=\frac{5}{3}: \frac{3}{2}: \frac{4}{3} \)
\(=\frac{5}{3} \times 6: \frac{3}{2} \times 6: \frac{4}{3} \times 6 \quad \) [\(\because \) \(2\) ও \(3\)-এর লসাগু \(= 6\)]
\(= 10 : 9 : 8\)
\(\therefore\) ধরি, তিন প্রকার বোতলের আয়তন যথাক্রমে
\(10x\) একক, \(9x\) একক, \(8x\) একক, যেখানে \(x\) = অশূন্য আনুপাতিক ধ্রুবক
প্রথম বোতলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত \(= 2 : 3\)
\(\therefore\) প্রথম বোতলে ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5} \)
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5} \)
প্রথম বোতলে ফিনাইলের পরিমাণ \( =\left(\frac{2}{5} \times 10x \right) \) একক \(=4x\) একক
এবং প্রথম বোতলে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{5} \times 10x \right) \) একক \(=6x\) একক
\(\therefore\) দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত \(= 1 : 2\)
দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3} \)
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3} \)
দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণ \( =\left(\frac{1}{3} \times 9 x\right) \) একক \(= 3x\) একক
এবং দ্বিতীয় বোতলে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{2}{3} \times 9 x\right) \) \(= 6x \)একক
তৃতীয় বোতলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত \( = 1 : 3\)
\(\therefore\) তৃতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( =\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4} \)
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার \( \frac{3}{1+3}=\frac{3}{4} \)
তৃতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণ \( =\left(\frac{1}{4} \times 8 x\right) \) একক \(= 2x\) একক
এবং তৃতীয় বোতলে জলের পরিমাণ \( =\left(\frac{3}{4} \times{} 8 x\right) \) একক \( =6 x \) একক
নতুন মিশ্রণে, মোট ফিনাইলের পরিমাণ \( = (4x + 3x + 2x)\) একক \( = 9x\) একক
মোট জলের পরিমাণ \(= (6x + 6x + 6x)\) একক \(= 18x\) একক
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে ফিনাইল : জল \(= 9x : 18x = 9 : 18 = 1 : 2 \)