প্রথম চিত্রে, কাঠির সংখ্যা \(6\)
\(6 = 5 \times 1 + 1\)
দ্বিতীয় চিত্রে, কাঠির সংখ্যা \(11\)
\(11 = 5 \times2 + 1\)
তৃতীয় চিত্রে, কাঠির সংখ্যা \(16\)
\(\therefore\) \(16 = 5 \times3 + 1\)
... ... ... ... ...
\(\therefore\) \(n\)-তম সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা \(= (5n + 1)\) টি

প্রথম চিত্রে, কাঠির সংখ্যা 7
\(7 = 5 \times 1 + 2\)
দ্বিতীয় চিত্রে, কাঠির সংখ্যা 12
\(12 = 5 \times2 + 2\)
তৃতীয় চিত্রে, কাঠির সংখ্যা 17
\(\therefore\) \(17 = 5 \times 3 + 2\)
... ... ... ... ... ...
\(\therefore\) \(n\)-তম সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা \(= (5n + 2)\) টি।

প্রথম চিত্রে, কাঠির সংখ্যা \(5\)
\(5 = 4 \times 1 + 1\)
দ্বিতীয় চিত্রে, কাঠির সংখ্যা 9
\(9 = 4 \times 2 + 1\)
তৃতীয় চিত্রে, কাঠির সংখ্যা \(13\)
\(\therefore\) \(13 = 4 \times 3 + 1\)
\(\therefore\) \(n\)-তম সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা \(= (4n + 1)\) টি

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(= (4y + 2)\) সেমি
\(\therefore\) ত্রিভুজটির পরিসীমা \(= (3 \times\) বাহুর দৈর্ঘ্য)
\(= 3 \times (4y+2)\) সেমি \(= (12y+6)\) সেমি

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \((8x + 3y)\) সেমি ও
প্রস্থ \((8x-3y)\) সেমি
ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য \(\times\) প্রস্থ)
\(= {(8x + 3y) \times (8x-3y)}\) বর্গসেমি
\(= \{(8x) 2 – (3y)^2\}\) বর্গসেমি
\(=(64x^2 – 9y^2)\) বর্গসেমি
\(\therefore\) ওই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((64x^2 - 9y^2)\) বর্গসেমি।

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য \((3m - 4)\) মিটার
\(\therefore\) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \(\text{(বাহু)}^2 = (3m - 4)^2\) বর্গমিটার
\(=\left\{(3 m)^{2}-2.3 m \cdot 4+4^{2}\right\}\) বর্গমিটার
\(= (9m^2 – 24m +16)\) বর্গমিটার
পরিসীমা \(= [4 \times\) বাহুর দৈর্ঘ্য] \(= 4 \times (3m - 4)\) মিটার
কিন্তু প্রদত্ত, পরিসীমা \(8\) মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(4 \times\) \((3m - 4) = 8\)
বা, \((3 m-4)=\frac{8^{2}}{4}\)
বা, \(3 m-4=2\)
বা, \(3 m=2+4\)
বা, \(3 m=6\)
বা, \(m=\frac{6}{3}=2\)

\((a-b)+(b-c)+(c-a)\)
\(=a-b+b-c+c-a\)
\(=a-a-b+b-c+c=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলফল \(= 0\)

\((a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a) (c-a)\)
\(=a^{2}-b^{2}+b^{2}-c^{2}+c^{2}-a^{2}\)
[\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\) সুত্র প্রয়োগ করে]
\(=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলফল \(= 0\)

\(x^{2} \times\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right) \times\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) \times y^{2}\)
\(=x^{2} \times\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{x y}\right) \times\left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x y}\right) \times y^{2}\)
\(=\frac{x^{2} \cdot y^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2} y^{2}}\) [স্থান পরিবর্তন করে]
\(=\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\left[(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\right.\) সুত্র ব্যবহার করে ]
\(=x^{4}-y^{4}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলফল \(=x^{4}-y^{4}\)

\(a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)\)
\(=ab-ac+bc-a b+ac-bc\) [গুণ করে পাই]
\(=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলফল \(=0\)

\(x^{2}\left(y^{2}-z^{2}\right)+y^{2}\left(z^{2}-x^{2}\right)+z^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\)

\(=x^{2} y^{2}-x^{2} z^{2}+y^{2} z^{2}-x^{2} y^{2}+x^{2} z^{2}-y^{2} z^{2}\) [ গুণ করে পাই ]
\(=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলফল \(=0\)

\(\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(x^{3}-y^{3}\right)+\left(y^{3}+z^{3}\right)\left(y^{3}-z^{3}\right)+\left(z^{3}+x^{3}\right)\left(z^{3}-x^{3}\right)\)
\(=\left(x^{3}\right)^{2}-\left(y^{3}\right)^{2}+\left(y^{3}\right)^{2}-\left(z^{3}\right)^{2}+\left(z^{3}\right)^{2}-\left(x^{3}\right)^{2}\)
\([\left(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} \text{সুত্র প্রয়োগ করে} \right]\)
\(=x^{6}-y^{6}+y^{6}-z^{6}+z^{6}-x^{6}=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলফল \(= 0\)

\(5 x-2 y\) কে বর্গ করলে পাই
\((5 x-2 y)^{2}\)
\( =(5 x)^{2}-2.5 x \cdot 2 y+(2 y)^{2} \)
\(\left[(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\right.\) ব্যবহার করে ]
\(=25 x^{2}-20 x y+4 y^{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মান \(=25 x^{2}-20 x y+4 y^{2}\)

\(7+2 m\) কে বর্গ করলে পাই
\((7+2 m)^{2}\) \(=(7)^{2}+2.7.2 m+(2 m)^{2}\)
\(\left[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\right.\) ব্যবহার করে]
\(=49+28 m+4 m^{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মান \(=49+28 m+4 m^{2}\)

\(x+y+z\)-কে বর্গ করলে পাই
\((x+y+z)^{2}\) \(=\{(x+y)+z\}^{2}\)
\(\left[x+y=a\right.\) এবং \(z=b\) ধরে \((a+b)^{2}\) সূত্র প্রয়োগ করে পাই]
\(=(x+y)^{2}+2.(x+y). z+(z)^{2}\)
\(=x^{2}+2 x y+y^{2}+2 xy +2 y z+2zx\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মান \(=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y+2 y z+2 z x\)

\(a+b-c-d\) -কে বর্গ করলে পাই
\((a+b-c-d)^{2}\)\(=\{(a+b)-(c+d)\}^{2}\)
\(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\) \([\because-c-d=-(c+d)]\)
\(=(a+b)^{2}-2(a+b)(c+d)+(c+d)^{2}\)
\(=(a^{2}+2 a b+b^{2})-2(a c+b c+a d+b d)+(c^{2} +2 c d+d^{2})\)
\(=a^{2}+2 a b+b^{2}-2 a c-2 b c-2 a d-2 b d+c^{2}+2 c d+d^{2}\)
\(=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2 a b+2 c d-2 a c-2bc-2 ad-2 b d\)
\(\therefore\) নির্ণেয় মান
\(=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2 a b+2 c d-2 a c-2 bc-2 ad-2 b d\)

\(9 x^{2}+\frac{9}{25 y^{2}}-\frac{18 x}{5 y}\)
প্রদত্ত রাশিমালাকে \(a^2 – 2ab + b^2\) আকারে সাজিয়ে পাই -
\(=(3 x)^{2}+\left(\frac{3}{5 y}\right)^{2}-2 \cdot 3 x \cdot\left(\frac{3}{5 y}\right)=\left(3 x-\frac{3}{5 y}\right)^{2}\)
\(\left[\because a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\right.\), এখানে, \(\left.a=3 x, b=\frac{3}{5 y}\right]\)
\(\therefore\) পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশিত নির্ণেয় রাশিটি হল \(\left(3 x-\frac{3}{5 y}\right)^{2}\)

\(25 m^{2}-70 m n+49 n^{2}\)
\( =(5 m)^{2}-2 \cdot 5 m .7 n+(7 n)^{2}=(5 m-7 n)^{2} \)
\(\left[\because a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\right.\), এখানে, \(\left.a=5 m, b=7 n\right]\)
\(\therefore\) পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশিত নির্ণেয় রাশিটি হল \((5 m-7 n)^{2}\)

\((2 a-b)^{2}+(4 a-2 b)(a+b)+(a+b)^{2}\)
\(=(2 a-b)^{2}+2(2 a-b)(a+b)+(a+b)^{2}\)
\(=\{(2 a-b)+(a+b)\}^{2}\)
[\(2a – b\) = প্রথম পদ, \(a + b =\) শেষ পদ ধরে \((x + y)^2 \) সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই]
\(=\{2 a-b+a+b\}^{2}=(3 a)^{2}=9 a^{2}\)
\(\therefore\) পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশিত নির্ণেয় রাশিটি হল \(9a^2\)

\(\frac{p^{2}}{q^{2}}+\frac{q^{2}}{p^{2}}-2=\left(\frac{p}{q}\right)^{2}+\left(\frac{q}{p}\right)^{2}-2 \cdot\left(\frac{p}{q}\right) \cdot\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^{2}\)
\(\left[\frac{p}{q}=a\right.\)এবং \(\frac{q}{p}=b\) ধরে অর্থাৎ, \(a^{2}+b^{2}-2 a b=(a-b)^{2}\) সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই ]
\(\therefore\) পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশিত নির্ণেয় রাশিটি হল \(\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^{2}\)

\(391 \times 409\)
\(=(400-9)(400+9)\)
\(=(400)^{2}-(9)^{2}\)
\(\left[(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\right]\)
\(\therefore\) সংখ্যামালাটিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হয়
\((400)^{2}-(9)^{2}\)

\((4 x+3 y)(2 x-3 y)\)
\(=8 x^{2}+6 x y-12 x y-9 y^{2}\)
\(=8 x^{2}-6 x y-9 y^{2}\)
\(=9 x^{2}-x^{2}-6 x y-9 y^{2}\)
\(\quad \quad \quad \left[\because 8 x^{2}=9 x^{2}-x^{2}\right]\)
\(=9 x^{2}-\left\{x^{2}+2 \cdot x \cdot 3 y+(3 y)^{2}\right\}\)
\(=(3 x)^{2}-(x+3 y)^{2}\)
\(\therefore\) সংখ্যামালাটিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হয়,
\(=(3 x)^{2}-(x+3 y)^{2}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\((4 x+3 y)(2 x-3 y)\)
\(=\left[\frac{4 x+3 y+2 x-3 y}{2}\right]^{2}-\left[\frac{4 x+3 y-2 x+3 y}{2}\right]^{2}\)
\(\quad \quad \quad \quad \left[\because a b=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\right]\)
\(=\left[\frac{6 x}{2}\right]^{2}-\left[\frac{2 x+6 y}{2}\right]^{2}\)
\(=[3 x]^{2}-\left[\frac{2(x+3 y)}{2}\right]^{2}=(3 x)^{2}-(x+3 y)^{2}\)
\(\therefore\) সংখ্যামালাটিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হয়
\((3 x)^{2}-(x+3 y)^{2}\)

\(x=x .1=\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}\)
\(\quad \quad \quad \quad \left[\because\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}=a b\right]\)
\(\therefore\) সংখ্যামালাটিকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে হয়,
\(\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(x=2 x-x=(\sqrt{2} x)^{2}-(\sqrt{x})^{2}\)
\(\left[\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}\right.\) আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে \(\left.\mathrm{a}=\sqrt{2} x, \mathrm{~b}=\sqrt{x}\right]\)

\(225 m^{2}-100 n^{2}\)
\(=25\left(9 m^{2}-4 n^{2}\right)\)
\(=25\left\{(3 m)^{2}-(2 n)^{2}\right\}\)
\(=25(3 m+2 n)(3 m-2 n)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(225 m^{2}-100 n^{2}=25(3 m+2 n)(3 m-2 n)\)

\(25 x^{2}-\frac{1}{9} y^{2} z^{2}\)
\(=(5 x)^{2}-\left(\frac{1}{3} y z\right)^{2}\)
\(=\left(5 x+\frac{1}{3} y z\right)\left(5 x-\frac{1}{3} y z\right)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(25 x^{2}-\frac{1}{9} y^{2} z^{2}=\left(5 x+\frac{1}{3} y z\right)\left(5 x-\frac{1}{3} y z\right)\)

\(7 a x^{2}+14 a x+7 a\)
\(=7 a\left(x^{2}+2 x+1\right)\)
\(=7 a(x+1)^{2}\)
\( \quad \quad \quad \quad \left[\because p^{2}+2 p q+q^{2}=(p+q)^{2}\right] \)
\(= 7a(x+1)(x+1)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(7 a x^{2}+14 a x+7 a=7 a(x+1)(x+1)\)

\(3 x^{4}-6 x^{2} a^{2}+3 a^{4}\)
\(=3\left(x^{4}-2 x^{2} a^{2}+a^{4}\right)\)
\(=3\left\{\left(x^{2}\right)^{2}-2 \cdot x^{2} \cdot a^{2}+\left(a^{2}\right)^{2}\right\}\)
\(=3\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}\)
\(\quad \quad \quad \left[\because p^{2}-2 p q+q^{2}=(p-q)^{2}\right]\)
\(=3\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(x^{2}-a^{2}\right)\)
\(=3(x+a)(x-a)(x+a)(x-a)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(3 x^{4}-6 x^{2} a^{2}+3 a^{4}=3(x+a)(x-a)(x+a)(x-a)\)

\(4 b^{2} c^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}\)
\(=(2 b c)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}\)
\(=\left(2 b c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\left(2 b c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)\)
\(=\left\{(b+c)^{2}-a^{2}\right\}\left\{a^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-2 b c\right)\right\}\)
\(=(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\)
\(\quad \quad \quad \quad \left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(4 b^{2} c^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}=\)\((b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\)

\(64 a x^{2}-49 a(x-2 y)^{2}\)
\(=\mathrm{a}\left\{64 x^{2}-49(x-2 y)^{2}\right\}\)
\(=\mathrm{a}\left[(8 x)^{2}-\{7(x-2 y)\}^{2}\right]\)
\(=\mathrm{a}\left[(8 x)^{2}-(7 x-14 y)^{2}\right]\)
\(=\mathrm{a}(8 x+7 x-14 y)(8 x-7 x+14 y)\)
\(=\mathrm{a}(15 x-14 y)(x+14 y)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(64 a x^{2}-49 a(x-2 y)^{2}=a(15 x-14 y)(x+14 y)\)

\(x^{2}-9-4 x y+4 y^{2}\)
\(=\left(x^{2}-4 x y+4 y^{2}\right)-9\)
\(=\left\{(x)^{2}-2 \cdot x \cdot(2 y)+(2 y)^{2}\right\}-3^{2}\)
\(=(x-2 y)^{2}-(3)^{2}\)
\(\quad \quad \quad \left[\because a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\right]\)
\(=(x-2 y+3)(x-2 y-3)\)
\(\quad \quad \quad \quad \left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(x^{2}-9-4 x y+4 y^{2}=(x-2 y+3)(x-2 y-3)\)

\(x^{2}-2 x-y^{2}+2 y\)
\(=x^{2}-y^{2}-2 x+2 y\)
\(=(x+y)(x-y)-2(x-y)\)
\(=(x-y)(x+y-2)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(x^{2}-2 x-y^{2}+2 y=(x-y)(x+y-2)\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(x^{2}-2 x-y^{2}+2 y\)
\(=x^{2}-2 x+1-y^{2}+2 y-1\)
\(=\left(x^{2}-2 x+1\right)-\left(y^{2}-2 y+1\right)\)
\(=(x-1)^{2}-(y-1)^{2}\)
\(=(x-1+y-1)(x-1-y+1)\)
\(=(x+y-2)(x-y)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(x^{2}-2 x-y^{2}+2 y=(x+y-2)(x-y)\)

\(3+2 a-a^{2}\)
\(=4-1+2 a-a^{2}\)
\(=(2)^{2}-\left(1-2 a+a^{2}\right)\)
\(=(2)^{2}-\left\{(1)^{2}-2 \cdot 1 \cdot a+(a)^{2}\right\}\)
\(=(2)^{2}-(1-a)^{2}\) \(\quad \left[\because a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\right]\)
\(=(2+1-a)(2-1+a)\) \(\quad \left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]\)
\(=(3-a)(1+a)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, \(3+2 a-a^{2}=(3-a)(1+a)\)

\(x^{4}-1\)
\(=\left(x^{2}\right)^{2}-(1)^{2}\)
\(=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)\)
\(=\left(x^{2}+1\right)\left\{(x)^{2}-(1)^{2}\right\}\)
\(=\left(x^{2}+1\right)(x+1)(x-1)\) \(\quad \quad \quad \quad \left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(x^{4}-1=\left(x^{2}\right)^{2}-(1)^{2}=\left(x^{2}+1\right)(x+1)(x-1)\)

\(a^{2}-b^{2}-c^{2}+2 b c\)
\(=a^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-2 b c\right)\)
\(=(a)^{2}-(b-c)^{2}\) \(\quad \left[\because a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\right]\)
\(=(a+b-c)(a-b+c)\) \(\quad \left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(a^{2}-b^{2}-c^{2}+2 b c=(a+b-c)(a-b+c)\)

\(a c+b c+a+b\)
\(=c(a+b)+1(a+b)\)
\(=(a+b)(c+1)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(a c+b c+a+b=(a+b)(c+1)\)

\(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}\)
\(=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \cdot x^{2} \cdot y^{2}+\left(y^{2}\right)^{2}-x^{2} y^{2}\)
\(=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-(x y)^{2}\) \(\quad \left[\because a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}\right]\)
\(=\left(x^{2}+y^{2}+x y\right)\left(x^{2}+y^{2}-x y\right)\)
\(\therefore\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
\(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}=\left(x^{2}+y^{2}+x y\right)\left(x^{2}+y^{2}-x y\right)\)

\((x y+p q)(x y-p q)\)
\(=(x y)^{2}-(p q)^{2}\)
\(=x^{2} y^{2}-p^{2} q^{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় গুনফল \(=x^{2} y^{2}-p^{2} q^{2}\)

\(49 \times 51\)
\(=(50-1) \times(50+1)\)
\(=(50)^{2}-(1)^{2}\)
\(=2500-1\)
\(=2499\)
\(\therefore\) নির্ণেয় গুনফল \(= 2499\)

\((2 x-y+3 z)(2 x+y+3 z)\)
\(=(2 x+3 z-y)(2 x+3 z+y)\)
\(=(2 x+3 z)^{2}-(y)^{2}\)
\(\quad \left[\because(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\right.\), এখানে \(\left.a=2 x+3 z, b=y\right]\)
\(=4 x^{2}+12 x z+9 z^{2}-y^{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় গুনফল \(=4 x^{2}+12 x z+9 z^{2}-y^{2}\)

\(1511 \times 1489\)
\(=(1500+11) \times(1500-11)\)
\(=(1500)^{2}-(11)^{2}\) \(\left[\because(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\right]\)
\(=2250000-121=2249879\)
\(\therefore\) নির্ণেয় গুনফল \(= 2249879\)

\((a-2)(a+2)\left(a^{2}+4\right)\)
\(=\left\{a^{2}-(2)^{2}\right\}\left(a^{2}+4\right)\)
\({\left[\because(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\right]}\)
\(=\left(a^{2}-4\right)\left(a^{2}+4\right)\)
\(=\left(a^{2}\right)^{2}-(4)^{2}=a^{4}-16\)
\(\therefore\) নির্ণেয় গুনফল \(=a^{4}-16\)

\((a+b-c)(b+c-a)\)
\(=\{b+(a-c)\}\{b-(a-c)\}\)
\(=(b)^{2}-(a-c)^{2}\)
\(\left[\because(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\right]\)
\(=b^{2}-\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)\)
\(=b^{2}-a^{2}+2 a c-c^{2}\)
\(=b^{2}-a^{2}-c^{2}+2 a c\)
\(\therefore\) নির্ণেয় গুনফল \(=b^{2}-a^{2}-c^{2}+2 a c\)

প্রথম অংশ :
বামপক্ষ \(=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\)
\(\left[\right.\) সূত্র: \(\left.a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b\right]\)
\(=(4)^{2}-2\left[\because x+\frac{1}{x}=4\right]\)
\(= 16 - 2 = 14\) ডানপক্ষ (প্রমানিত)
দ্বিতীয় অংশ :
বামপক্ষ \(=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=\left(x^{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}\)
\(=\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}-2 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}\)
\(\left[\right.\) সূত্র: \(\left.a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b\right]\)
\(=\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2\cdot x \cdot \frac{1}{x}\right\}^{2}-2\)
\(=\left\{(4)^{2}-2\right\}^{2}-2\left[\because x+\frac{1}{x}=4\right]\)
\(=\{16-2\}^{2}-2=(14)^{2}-2=196-2\)
\(= 194 \)
\(=\) ডানপক্ষ (প্রমানিত)

বামপক্ষ \(=m^{2}+\frac{1}{m^{2}}\)
\(=\left(m+\frac{1}{m}\right)^{2}-2 \cdot m \cdot \frac{1}{m}\)
\(=(-5)^{2}-2 \quad\left[\because m+\frac{1}{m}=-5\right]\)
\(=25-2\)
\(=23\)
\(=\) ডানপক্ষ (প্রমানিত)

(i) বামপক্ষ \(=p^{2}+\frac{1}{p^{2}}=\left(p-\frac{1}{p}\right)^{2}+2 \cdot p \cdot \frac{1}{p}\)
\(\begin{array}{l}{\left[\text {সূত্র : } a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2 a b\right]} || =m^{2}+2\left[\because p-\frac{1}{p}=m\right]\end{array}\)
= ডানপক্ষ (প্রমানিত)
(ii) বামপক্ষ \(=\left(p+\frac{1}{p}\right)^{2}=\left(p-\frac{1}{p}\right)^{2}+4 \cdot p \cdot \frac{1}{p}\)
\(\left[\because(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4 a b\right]\)
\(=m^{2}+4\)
\(=\) ডানপক্ষ (প্রমানিত)

বামপক্ষ, \(8 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)\)
\(=2\left(a^{2}+b^{2}\right) \cdot 4 a b\)
\(=\left[(a+b)^{2}+(a-b)^{2}\right] \times\left[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\right]\)
\(=\left[(5)^{2}+(1)^{2}\right] \times\left[(5)^{2}-(1)^{2}\right]\)
\(\quad \quad \quad \quad [ \because a+b=5, a-b=1]\)
\(=(25+1)(25-1)\)
\(=25^{2}-1^{2}\)
\(=625-1\)
\(=624\)
\(=\) ডানপক্ষ (প্রমানিত)

\(x-y=3, x y=28\) হলে
\(x^{2}+y^{2}\)
\(=(x-y)^{2}+2 x y\)
\(=(3)^{2}+2 \times 28\)
\(=9+56\)
\(=65\)

\(2\left(a^{2}+b^{2}\right)\)
\(=2 a^{2}+2 b^{2}+2 a b-2 a b\)
\(=a^{2}+a^{2}+b^{2}+b^{2}+2 a b-2 a b\)
\(=\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)\)
\(=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}\)
\(\therefore\) দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করে পাই,
\(2\left(a^{2}+b^{2}\right)=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}\)

\(50 x^{2}+18 y^{2}\)
\(=2\left(25 x^{2}+9 y^{2}\right)\)
\(=2\left\{(5 x)^{2}+(3 y)^{2}\right\}\)
\(=(5 x+3 y)^{2}+(5 x-3 y)^{2}\) \(\left[\because 2\left(a^{2}+b^{2}\right)=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}\right]\)
\(\therefore\) দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করে পাই,
\(50 x^{2}+18 y^{2}=(5 x+3 y)^{2}+(5 x-3 y)^{2}\)

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(a c-b d)\)
\(=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2 a c-2 b d\)
\(=a^{2}+2 a c+c^{2}+b^{2}-2 b d+d^{2}\)
\(=(a+c)^{2}+(b-d)^{2}\)
\(\therefore\) দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করে পাই,
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(a c-b d)=(a+c)^{2}+(b-d)^{2}\)

\(x^{2}-t x+\frac{1}{4}\)
\(=(x)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-t x\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-2\cdot x \cdot \frac{1}{2}-t x\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-x-t x\) ....(1)
\(\therefore\) \(- x-t x=0\) হলে, রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
\(\therefore \mathrm{t} x=-x \quad\) বা, \(\mathrm{t}=-1 \quad ( \because x \neq 0)\)
অথবা, \(x^{2}-t x+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}-t x\) ....(2)
\(\therefore\) \(x-t x=0\) হলে, রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
\(\therefore t x=x \quad \text { বা, } t=1\quad (\because x \neq 0)\)
\(\therefore t \text {-এর মান }+1 \text { অথবা - } 1\)

\(a^{2}+4\)
\(=(a)^{2}+(2)^{2}=(a+2)^{2}-2 \cdot a \cdot 2=(a+2)^{2}-4 a\)
অর্থাৎ, রাশিমালাটি পূর্ণবর্গ রাশি অপেক্ষা \(4a\) কম।
আবার, \(a^{2}+4=(a-2)^{2}+2 \cdot a \cdot 2=(a-2)^{2}+4 a\)
অর্থাৎ রাশিমালাটি পূর্ণবর্গ রাশি অপেক্ষা 4a বেশি।
\(\therefore\) রাশিটির সঙ্গে \(\pm 4 a\) যোগ করতে হবে।

\(a^{2}-b^{2}=9 \times 11\)
বা,\((a+b)(a-b)=11 \times 9\)
বা,\((a+b)(a-b)=(10+1)(10-1)\)
উভয়পক্ষের উৎপাদক দুটিকে তুলনা করে পাই,
\(a=10\) এবং \(b=1\)

\((x+y)^{2}-(x-y)^{2}=4x y\)
রাশিমালাটি \(x\) এবং \(y\)-এর যে-কোনো মানেই সিদ্ধ হয়।
\(\therefore\) এটি একটি অভেদ।
প্রদত্ত রাশিমালাটি থেকে \(x\) ও \(y\) এর কোনো মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
\(\therefore\) এটি একটি সমীকরণ নয়।

শূন্য ছাড়া \(x\) ও \(y\)-এর যে-কোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মানের জন্য
\(x^{2}+y^{2}\)-এর মান সর্বদাই ধনাত্মক হবে।
[\(\because\) ঋণাত্মক বা ধনাত্মক যে-কেনো রাশির বর্গ সর্বদা ধনাত্মক হয়]

\(6 x=72\)
বা, \(x=\frac{72}{6}=12\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=12\)

\(9 x+2=20\)
বা, \(9x=20-2\)
বা, \(9 x=18\)
বা, \(x=\frac{18}{9}=2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=2\)

\(4 x-2 x+3=9-4 x\)
বা, \(2 x+3=9-4 x\)
বা, \(2 x+4 x=9-3\)
বা, \(6 x=6\)
বা, \(x=\frac{6}{6}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=1\)

\(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}=3 \frac{1}{2}-\frac{x}{3}\)
বা, \(\frac{x-2 x}{4}=\frac{7}{2}-\frac{x}{3}\)
বা, \(\frac{-x}{4}=\frac{7}{2}-\frac{x}{3}\)
বা, \(\frac{-x}{4}+\frac{x}{3}=\frac{7}{2}\)
বা, \(\frac{-3 x+4 x}{12}=\frac{7}{2}\)
বা, \(\frac{x}{12}=\frac{7}{2}\)
বা, \(x=\frac{7}{2} \times 12=42\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 42\)

\(2 x-5\{7-(x-6)+3 x\}-28=39\)
বা, \(2 x-5\{7-x+6+3 x\}-28=39\)
বা, \(2 x-5\{7+6-x+3 x\}-28=39\)
বা, \(2 x-5\{13+2 x\}-28=39\)
বা, \(2 x-65-10 x-28=39\)
বা, \(2 x-10 x=39+65+28\)
বা, \(-8 x=132\)
বা, \(x=\frac{132}{-8} \quad\)
বা, \(x=-\frac{33}{2} \quad\)
বা, \(x=-16 \frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=-16 \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3}(x-2)+\frac{1}{4}(x+3)=\frac{1}{5}(x+4)+15\)
বা, \(\frac{1}{3}(x-2)+\frac{1}{4}(x+3)-\frac{1}{5}(x+4)=15\)
বা, \(\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} x+\frac{3}{4}-\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=15\)
বা, \(\frac{1}{3} x+\frac{1}{4} x-\frac{1}{5} x=15+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\)
বা, \(x\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=15+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\)
বা, \(x\left(\frac{20+15-12}{60}\right)=\frac{900+40-45+48}{60}\)
বা, \(\frac{23 x}{60}=\frac{943}{60}\)
বা, \(x=\frac{943}{60} \times \frac{60}{23}=41\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 41\)