প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC-র মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA ও BA-এর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA ও CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। E, F যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(E F=\frac{1}{2} B C\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং DE || CA
\(\therefore\) E, AB-এর মধ্যবিন্দু। [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে মধ্যবিন্দুতে ছেদ করে]
আবার একইভাবে,
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং DF || AB
\(\therefore\) F, AC-এর মধ্যবিন্দু। [একই কারণে]
এখন \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB-এর মধ্যবিন্দু E এবং AC-এর মধ্যবিন্দু F।
\(\therefore E F=\frac{1}{2} B C\) (প্রমাণিত) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।]

প্রদত্ত : \(\triangle A B C\)-র AB ও AC-র উপর যথাক্রমে D ও E এমনভাবে অবস্থিত যাতে \(A D=\frac{1}{4} A B\) এবং \(A E=\frac{1}{4} A C\) হয়।
প্রামাণ্য বিষয় : প্রমাণ করতে হবে যে, (i) \(DE \| BC\) এবং (ii) \(D E=\frac{1}{4} B C\)
অঙ্কন : AB-এর মধ্যবিন্দু F এবং AC-র মধ্যবিন্দু G নিয়ে F, G যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র AB-র মধ্যবিন্দু F এবং AC-র মধ্যবিন্দু G
\(\therefore FG \| BC\) এবং \(F G=\frac{1}{2} B C\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক]
আবার, \(\because \) F, AB-র মধ্যবিন্দু এবং \(A D=\frac{1}{4} A B\)
\(\therefore\) D, AF-র মধ্যবিন্দু।
আবার, \(\because \) G, AC-র মধ্যবিন্দু এবং \(A E=\frac{1}{4} A C\)
\(\therefore\) E, AG-এর মধ্যবিন্দু।
এখন \(\triangle \mathrm{AFG}\)-এর AF-এর মধ্যবিন্দু D এবং AG-এর মধ্যবিন্দু E
\(\therefore DE \| FG\) এবং \(D E=\frac{1}{2} F G\)
\(\therefore FG \| BC\) এবং \(DE \| FG\)
\(\therefore DE \| BC\quad\) [(i) নং প্রমাণিত]
আবার, \(\because F G=\frac{1}{2} B C\) এবং \(D E=\frac{1}{2} F G\)
\(\therefore D E=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} B C\)
\( \therefore D E=\frac{1}{4} B C\quad \) [(ii) নং প্রমাণিত]

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{PQR}\)-র QR-র মধ্যবিন্দু \(X\) এবং PQ-এর মধ্যবিন্দু Z. QP কে S পর্যন্ত এরূপে বর্ধিত করা হল যেন SP = PZ হয়। \(S, X\) যুক্ত করা হল যা, PR -কে Y বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(P Y=\frac{1}{4} P R\)
অঙ্কন : \(X, Z\) যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\because \) QP ও QR-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Z ও \(X\)
\(\therefore Z X \| P R\) এবং \(Z X=\frac{1}{2} P R\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক]
আবার, SZ-র মধ্যবিন্দু P এবং \(PY \| Z X\) [\(\because \) PY ও PR একই সরলরেখায় আছে]
\(\therefore SX\)-র মধ্যবিন্দু \(Y\)
\(\therefore P Y=\frac{1}{2} Z X=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} P R\quad\left[\because Z X=\frac{1}{2} P R\right]\)
\(\therefore P Y=\frac{1}{4} P R\) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, ABCD একটি সামান্তরিকের চারটি বাহু AB, BC, CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S।
P, Q; Q, R; R, S ও S, P যুক্ত করা হল এবং PQRS একটি চতুর্ভুজ গঠিত হল।
প্রামাণ্য বিষয় : PQRS একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : BD কর্ণ অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABD}\)-র AB ও AD-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও S
\(\therefore\) \(P S \| B D\) এবং \(P S=\frac{1}{2} B D\)
আবার, \(\triangle \mathrm{BCD}\)-র BC ও CD-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R
\(\therefore\) \(\mathrm{QR} \| \mathrm{BD}\) এবং \(Q R=\frac{1}{2} B D\)
\(\because P S \| B D\) এবং \(\mathrm{QR} \| \mathrm{BD}\)
\(\because PS\| QR\)
আবার, \(\because P S=\frac{1}{2} B D\) এবং \(\mathrm{QR}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}\)
\(\therefore\) PS = QR
\(\therefore\) PQRS চতুর্ভুজের \(PS \| QR\) এবং PS = QR
অতএব, PQRS চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
[\(\because \) কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।]

ধরা যাক, ABCD একটি আয়তাকার চিত্র (AD > AB) যার AB, BC, CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S।
P, Q; Q, R; R, S; S, P বিন্দুগুলি ক্রমান্বয়ে যুক্ত করলে PQRS চতুর্ভুজটি উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্য বিষয় : PQRS একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয়।
অঙ্কন : P, R ও Q, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{APS}\) ও \(\triangle \mathrm{BPQ}\)-র
(i) AP = BP\(\quad\) [P, AB-র মধ্যবিন্দু]
(ii) \(\angle \mathrm{PAS}=\angle \mathrm{PBQ}\left(=90^{\circ}\right)\quad\) [\(\because ABCD\) একটি আয়তক্ষেত্র]
(ii) \(AS = BQ \quad[ \because A D=B C \therefore \frac{1}{2} A D=\frac{1}{2} B C]\)
\(\therefore \triangle \mathrm{APS} \cong \triangle \mathrm{BPQ}\quad\) [S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore PS = PQ\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
অনুরূপে, \(\triangle PBQ \) ও \(\triangle RCQ \) থেকে পাই, PQ = QR
\(\triangle RCQ \) ও \(\triangle RDS \) থেকে পাই, QR = RS
এবং \(\triangle RDS \) ও \(\triangle APS \) থেকে পাই, RS = PS
\(\therefore\) PQRS চতুর্ভুজের PS = PQ = QR = RS
\(\therefore\) PQRS চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।
APRD চতুর্ভুজের AP = DR [\(\because \) AB = DC এবং P ও R যথাক্রমে AB ও DC-র মধ্যবিন্দু]
\(AP \| DR \) এবং \(\angle \mathrm{PAD}=90^{\circ}\quad\)[\(\because \) ABCD আয়তক্ষেত্র]
\(\therefore\) APRD একটি আয়তাকার চিত্র
\(\therefore\) AD = PR
অনুরূপে, ABQS থেকে পাওয়া যায় AB = QS
\(\because AD > AB\)
\(\therefore PR > QS\)
\(\because \) PQRS রম্বসের কর্ণদ্বয় (PR ও QS) অসমান,
\(\therefore\) ইহা বর্গাকার চিত্র নয়। (প্রমাণিত)

ধরা যাক, ABCD বর্গক্ষেত্রের AB, BC, CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S; P, Q; Q, R; R, S; S, P কে ক্রমান্বয়ে যুক্ত করলে PQRS চতুর্ভুজটি গঠিত হয়।
প্রামাণ্য বিষয় : PQRS একটি বর্গাকার চিত্র।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{APS}\) ও \(\triangle \mathrm{BPQ}\)-র
(i) \(AP= PB\quad [\because P, AB \)-এর মধ্যবিন্দু\(]\)
(ii) \(\angle \mathrm{PAS}=\angle \mathrm{PBQ}\left(=90^{\circ}\right)\)
(iii) \(AS =BQ\quad [\therefore ABCD \) একটি বর্গক্ষেত্র\(]\)
\(\therefore \triangle \mathrm{APS} \cong \triangle \mathrm{BPQ}\quad [\because S-A-S\) শর্তানুসারে\(]\)
\(\therefore PS = PQ\quad[\because \) সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু\(]\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle \mathrm{BPQ}\) ও \(\triangle \mathrm{CRQ }\) থেকে পাই, \(PQ = QR\)
\(\triangle \mathrm{CRQ}\) ও \(\Delta \mathrm{DRS}\) থেকে পাই, \(QR=RS\)
এবং \(\triangle \mathrm{DRS}\) ও \(\Delta \mathrm{APS}\) থেকে পাই, \(RS=PS\)
\(\because PQRS\) চতুর্ভুজের PS = PQ = QR = RS
\(\because \) PQRS একটি রম্বস।
\(\therefore ABCD\) বর্গক্ষেত্র,
\(\therefore A B=A D\)
বা, \(\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \mathrm{AD} \)
\(\therefore A P=A S \)
\(\therefore \angle A S P=\angle A P S\)
\(\because \angle P A S=90^{\circ} \)
\(\therefore \angle A S P=45^{\circ}\)
অনুরুপভাবে, \(\angle D S R=45^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PSR}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{ASP}+\angle \mathrm{DSR})\)
\(=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+45^{\circ}\right)=90^{\circ}\)
\(\therefore\) PQRS রম্বসের একটি কোণ \(\angle \mathrm{PSR}=90^{\circ}\)
\(\therefore\) PQRS একটি বর্গাকার চিত্র। (প্রমাণিত)

ধরা যাক, ABCD একটি রম্বস যার AB, BC, CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দুগুলি যথাক্রমে P, Q, R ও S।
P, Q, R, S পরপর যুক্ত করার ফলে PQRS একটি চতুর্ভুজ উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্য বিষয় : PQRS একটি আয়তাকার চিত্র।
অঙ্কন : BD যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABD}\)-র AB ও AD-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও S
\(\therefore \mathrm{PS} \| \mathrm{BD}\) এবং \(PS =\frac{1}{2} \mathrm{BD}\ldots(i)\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক]
আবার \(\triangle \mathrm{BCD}\)-এর BC ও CD-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R
\(\therefore \mathrm{QR} \| \mathrm{BD}\) এবং \(\mathrm{QR}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) থেকে পাই, \(PS \| QR \) এবং \(PS=QR\)
\(\therefore\) PQRS একটি সামান্তরিক। [\(\because \) কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে সেটি সামান্তরিক হয়।]
এখন, \(\because \) ABCD একটি রম্বস,
\(\therefore\) AB = AD
বা, \(\frac{1}{2} \mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}\)
বা, \(\mathrm{AP}=\mathrm{AS}\)
\(\therefore \angle \mathrm{ASP}=\angle \mathrm{APS}=\theta\) (ধরি)
\(\triangle \mathrm{APS}\)-র \(\angle \mathrm{PAS}=180^{\circ}-2 \theta\)
ঠিক একইভাবে \(\triangle \mathrm{SDR}\)-র
\(\angle D S R=\angle D R S=\phi\) (ধরি)
\(\therefore \angle \mathrm{SDR}=180^{\circ}-2 \phi\)
\(\because \) ABCD রম্বস,
\(\therefore 180^{\circ}-2 \theta+180^{\circ}-2 \phi=180^{\circ}\) [রম্বসের সমান্তরাল সরলরেখার একই পার্শ্বস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^{\circ}\)]
বা, \(2 \theta+2 \phi=180^{\circ} \)
\(\therefore \theta+\phi=90^{\circ}\)
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{PSA}+\angle \mathrm{DSR}=90^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PSR}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{PSA}+\angle \mathrm{DSR})=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\)
\(\because \) PQRS সামান্তরিকের একটি কোণ \(\angle \mathrm{PSR}=90^{\circ}\)
\(\therefore\) PQRS একটি আয়তাকার চিত্র। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E; P ও Q যথাক্রমে CD ও BD-র মধ্যবিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয় : BE ও PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : Q, E; E, P ও B, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\because \triangle \mathrm{ADC}\)-র CD ও AC-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও E.
\(\therefore P E \| A D\) এবং \(P E=\frac{1}{2} A D\)
বা, \(P E \| A B\)
বা, \(P E=\frac{1}{2} B D\quad\) [\(\because \) D, AB-র মধ্যবিন্দু]
\(\therefore\) \(P E \| B Q \)
বা, \(P E=B Q\quad\) [\(\because \) Q, BD-র মধ্যবিন্দু]
[\(\because \) AD, AB ও BQ একই সরলরেখাংশ]
এখন \(\because \) BQEP চতুর্ভুজের \(PE \| BQ\) এবং PE = BQ
\(\therefore\) BQEP একটি সামান্তরিক যার BE ও QP দুটি কর্ণ।
\(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) BE ও PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\angle \mathrm{ABC}\)-র সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC-র সমান্তরাল সরলরেখাংশ টানা হল, যা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় AE = EC অর্থাৎ E, AC-র মধ্যবিন্দু।
অঙ্কন : AD কে বর্ধিত করা হল, যা BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABD}\) ও \(\triangle \mathrm{BDF}\)-র
(i) \(\angle A B D=\angle D B F\) [\(\because B D, \angle A B C\)-র সমদ্বিখণ্ডক]
(ii) BD সাধারণ বাহু
(iii) \(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDF}=\left(90^{\circ}\right)\)
\(\therefore\)\(\triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{BDF}\)
[A-S-A শর্তানুসারে]
\(\therefore\) AD = DF, অর্থাৎ, D, AF-র মধ্যবিন্দু।
\(\because \)\( DE \| BC\) (প্রদত্ত)
\(\therefore\) E, AC-র মধ্যবিন্দু [\(\because \) কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলে তা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
অর্থাৎ, AE = EC (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle A B C\)-র AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD-র সমান্তরাল সরলরেখাংশ যথাক্রমে BR ও CT টানা হল যারা বর্ধিত BA ও CA বাহুর সঙ্গে যথাক্রমে T ও R বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\frac{1}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\mathrm{RB}}+\frac{1}{\mathrm{TC}}\)
প্রমাণ : \(\because \triangle B R C\)-র, BC-র মধ্যবিন্দু D এবং \( AD \| BR\) হওয়ায়
\(A D=\frac{1}{2} B R \ldots(i)\) [\(\because \) কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলে তা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
আবার, \(\triangle \mathrm{BTC}\)-র, BC-র মধ্যবিন্দু D এবং \(AD \| CT \) হওয়ায়
\(A D=\frac{1}{2} C T\ldots(ii)\) [\(\because \) কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলে তা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
(i) ও (ii) থেকে পাই, \(\frac{1}{2} \mathrm{BR}=\frac{1}{2} \mathrm{CT}\)
\(\therefore \mathrm{BR}=\mathrm{CT}\)
(i) থেকে পাই, \(\frac{1}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\frac{1}{2} \mathrm{BR}}\)
বা, \(\frac{1}{\mathrm{AD}}=\frac{2}{\mathrm{BA}} \quad\)
বা, \(\frac{1}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\mathrm{BR}}+\frac{1}{\mathrm{BR}}\)
\(\therefore \frac{1}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{\mathrm{BR}}+\frac{1}{\mathrm{TC}}\quad[\because \mathrm{BR}=\mathrm{TC}]\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD ট্রাপিজিয়ামের \( AB \| DC\) এবং AB > DC; E এবং F যথাক্রমে AC ও BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয় : \(E F=\frac{1}{2}(A B-D C)\)
অঙ্কন : C, F যুক্ত করে বর্ধিত করা হল, যা AB-কে G বিন্দুতে ছেদ করল।
প্ৰমাণ : \(\because A B \| D C\) এবং BD ভেদক
\(\therefore \angle C D B=\angle A B D\quad\)[এরা একান্তর কোণ]
অর্থাৎ \(\angle \mathrm{CDF}=\angle \mathrm{FBG}\)
এখন \(\triangle \mathrm{CDF}\) ও \(\triangle \mathrm{FBG}\)-র
(i) \(\angle \mathrm{CDF}=\angle \mathrm{FBG}\)
(ii) \(\mathrm{DF}=\mathrm{FB}\quad\)[\(\because F, BD\)-র মধ্যবিন্দু]
(iii) \(\angle D F C=\angle B F G\quad\)[এরা বিপ্রতীপ কোণ]
\(\therefore \triangle \mathrm{CDF} \cong \triangle \mathrm{FBG}\quad\) [A-S-A শর্তানুসারে]
\(\therefore\) CF = FG অর্থাৎ, F, CG-র মধ্যবিন্দু
এবং CD = GB
এখন \(\triangle C A G\)-র,
CG-র মধ্যবিন্দু F এবং AC-র মধ্যবিন্দু E
\(\therefore E F=\frac{1}{2} A G\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক]
\( =\frac{1}{2}(A B-G B)\)
\(=\frac{1}{2}(A B-C D) \quad[\because \mathrm{GB}=\mathrm{CD}]\)
\(=\frac{1}{2}(A B-D C) \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যে-কোনো একটি সরলরেখা।
A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR, BS ও CT।
প্রামাণ্য বিষয় : AR + BS = 2CT
অঙ্কন : A, S যুক্ত করা হল যা CT কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : A, B ও C থেকে PQ-এর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR, BS ও CT।
\(\therefore \mathrm{AR} \perp \mathrm{PQ}, \mathrm{BS} \perp \mathrm{PQ}\) এবং \(\mathrm{CT} \perp \mathrm{PQ}\)
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{ARQ}=\angle \mathrm{BSQ}=\angle \mathrm{CTQ}=90^{\circ}\)
\(\because \) AR, BS ও CT একই সরলরেখা PQ-এর উপর লম্ব।
\(\therefore AR \| BS \| CT \)
এখন \(\triangle \mathrm{ABS}\)-এর AB-এর মধ্যবিন্দু C এবং \(CO \| BS\quad [\because CT \| BS]\)
\(\therefore O, AS\)-র মধ্যবিন্দু এবং \(\mathrm{CO}=\frac{1}{2} \mathrm{BS}\ldots(i)\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ASR}\)-এর AS-এর মধ্যবিন্দু O এবং \( OT \| AR\quad[\because CT \| AR]\)
\(\therefore O T=\frac{1}{2} A R\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই, \(\mathrm{CO}+\mathrm{OT}=\frac{1}{2} \mathrm{BS}+\frac{1}{2} \mathrm{AR}\)
\(\therefore C T=\frac{1}{2}(B S+A R)\)
বা, \(A R+B S=2 C T\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC-র মধ্যবিন্দু D; PQ, A বিন্দুগামী সরলরেখা।
B, C ও D বিন্দু থেকে PQ-র উপর যথাক্রমে BL, CM ও DN লম্ব।
D, L ও D, M যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : DL = DM
প্রমাণ : \(\because \) একই সরলরেখার PQ-র উপর BL, CM ও DN লম্ব
\(\therefore BL \| CM \| DN \) এবং যেহেতু BC ও LM দুটি ভেদক, যেখানে BC-র মধ্যবিন্দু D
\(\therefore\) LM এর মধ্যবিন্দু N হবে অর্থাৎ, LN = NM [কারণ যদি তিন বা ততোধিক সরলরেখাংশ একটি ভেদক থেকে সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে তবে, তারা অপর একটি ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করে।]
এখন, \(\triangle \mathrm{DNL}\) ও \(\triangle \mathrm{DNM}\)-র
(i) \(\mathrm{LN}=\mathrm{NM}\quad\) [N, LM এর মধ্যবিন্দু]
(ii) \(\angle D N L=\angle D N M\left(=90^{\circ}\right)\)
(iii) DN সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle \mathrm{DNL} \cong \triangle \mathrm{DNM}\quad\) [S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore\) DL = DM (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD একটি বর্গাকার চিত্র।
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\angle B A C\)-র সমদ্বিখণ্ডক BO কে P এবং BC কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\mathrm{OP}=\frac{1}{2} \mathrm{CQ}\)
অঙ্কন : C বিন্দু দিয়ে DB-র সমান্তরাল সরলরেখাংশ অঙ্কন করা হল, যা বর্ধিত AQ কে R বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ARC}\)-র, AC-র মধ্যবিন্দু O \(\quad[\because \) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে\(] \)
এবং \(OP \| CR\quad\) [\(\because \) OP ও DB একই সরলরেখার অংশ]
\(\therefore O P=\frac{1}{2} \mathrm{CR}\ldots(i)\) [\(\because \) ত্রিভুজের যে-কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলে সমান্তরাল সরলরেখার খণ্ডিতাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক হবে।]
এখন \(\because \angle \mathrm{BAC}\)-র সমদ্বিখণ্ডক AQ
\(\therefore \angle B A Q=\angle C A Q=\theta\) (ধরি)
\(\therefore \triangle \mathrm{ARC}\)-এর \(\angle \mathrm{ARC}\)
\(=180^{\circ}-\angle \mathrm{CAR}-\angle \mathrm{ACR}\)
\(=180^{\circ}-\angle CAR -90^{\circ}\)
\([\because \) \(OP\|CR\) এবং AC ভেদক \(\therefore \angle \mathrm{ACR}=\angle \mathrm{AOP}=90^{\circ}\) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে ছেদ করে।\(]\)
\(=90^{\circ}-\theta\ldots(ii)\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ABQ}\)-র \(\angle \mathrm{AQB}\)
\(=180^{\circ}-\angle \mathrm{BAQ}-\angle \mathrm{ABQ}\)
\(=180^{\circ}-\theta-90^{\circ}\)
\(=90^{\circ}-\theta\ldots(iii)\)
\(\therefore\) (ii) ও (iii) থেকে পাই,
\(\angle A R C=\angle A Q B\)
\(\therefore \angle Q R C=\angle C Q R\quad [\because \angle A Q B=\) বিপ্রতীপ \(\angle C Q R]\)
\(\therefore CQ=CR\)
(i) থেকে পাই, \(O P=\frac{1}{2} C R\)
\(\therefore \mathrm{OP}=\frac{1}{2} \mathrm{CQ}\quad[\because \mathrm{CR}=\mathrm{CQ}]\) (প্রমাণিত)

\( \triangle P Q R \)-এর \(\triangle P Q R=90^{\circ}\) এবং অতিভুজ PR = 10 সেমি. এবং PR-এর মধ্যবিন্দু S।
\(\therefore Q S=\frac{1}{2} P R\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 10 \right)\) সেমি.
= 5 সেমি.

ABCD ট্রাপিজিয়ামের \(AB \| DC\) এবং AD ও BC-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F।
\(\therefore E F=\frac{1}{2}(A B+D C)\)
\(=\frac{1}{2}(7+5)\) সেমি
\(=\left(\frac{1}{2} \times 12 \right)\) সেমি
= 6 সেমি

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E; বর্ধিত BE, AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
D বিন্দু দিয়ে \( BF \| DG\) অঙ্কন করা হল, যা AC কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন \(\triangle \mathrm{BFC}\)-র BC-র মধ্যবিন্দু D এবং \(BF \| DG,\)
\(\therefore CF\)-র মধ্যবিন্দু G অর্থাৎ, FG = GC
আবার, \(\triangle \mathrm{ADG}\)-এর AD-এর মধ্যবিন্দু E এবং \(EF \| GD\)
\(\therefore\) F, AG-র মধ্যবিন্দু অর্থাৎ, FG = AF
\(\therefore A F=F G=G C\)
\(=\frac{1}{3}(A F+F G+G C)\)
\(=\frac{1}{3} \times A C\)
\(=\left(\frac{1}{3} \times 10.5\right)\) সেমি
= 3.5 সেমি

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AB ও AC-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও E
\(\therefore FE \| BC\) এবং \(F E=\frac{1}{2} B C=B D\ldots(i)\)
\(\therefore \mathrm{FE} \| \mathrm{BD}\)
BDEF চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় BE ও FD পরস্পরকে \(X\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) ED-র মধ্যবিন্দু Y \(\quad[\because \Delta E F D\) -এর \(X, FD\)-র মধ্যবিন্দু এবং \( XY \| EF]\)
এখন, \(\triangle E F D\)-র FD-র মধ্যবিন্দু \(X\) এবং ED-র মধ্যবিন্দু Y
\(\therefore X Y=\frac{1}{2} \mathrm{FE}\)
\(=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{BC}\quad\) [(i) থেকে পাই]
\(=\frac{1}{4} \mathrm{BC}\)

\(\triangle D C E\) ও \(\triangle \mathrm{BEF}\)-র
(i) \(C E=B E\quad\) [\(\because \) E, BC-র মধ্যবিন্দু]
(ii) \(\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{BEF}\quad\)[বিপ্রতীপ কোণ]
(iii) \(\angle D C E=\) একান্তর \(\angle E B F\quad\) [\(\because DC \| BF , BC\) ভেদক]
\( \triangle D C E \cong \triangle B E F\quad\) [A-S-A শর্তানুসারে]
\(DC = BF\quad\) (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)
\(\therefore A F=A B+B F\)
\(=A B+D C\quad[\because D C=B F]\)
\(=A B+A B\quad[\because A B=D C]\)
\(=2 A B\)

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, BC-এর মধ্যবিন্দু D এবং AC-এর মধ্যবিন্দু E।
\( C E=\frac{1}{2} A C=\left(\frac{1}{2} \times 8\right)\) সেমি = 4 সেমি
এখন, \(\triangle B C E\)-এর, BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং
\(DF \| BE\) (প্রদত্ত)
\(\therefore\) CE বাহুর মধ্যবিন্দু F
\(\therefore C F=\frac{1}{2} C E=\left(\frac{1}{2} \times 4\right)\) সেমি = 2 সেমি।

\(\because \) AB-এর মধ্যবিন্দু R
\(A R=\frac{1}{2} A B=\left(\frac{1}{2} \times 30 \right)\) সেমি = 15 সেমি
আবার, AC বাহুর মধ্যবিন্দু Q
\(A Q=\frac{1}{2} A C=\left(\frac{1}{2} \times 21\right)\) সেমি
= 10.5 সেমি
এখন, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।
\(\therefore P Q=\frac{1}{2} A B=\left(\frac{1}{2} \times 30 \right)\) সেমি = 15 সেমি
আবার, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও P
\(\therefore R P=\frac{1}{2} A C=\left(\frac{1}{2} \times 21\right)\) সেমি
= 10.5 সেমি
\(\therefore\) ARPQ চতুর্ভুজের পরিসীমা = (AR + RP + PQ + QA)
= (15 + 10.5 + 15 + 10.5) সেমি
= 51 সেমি

B ও D যোগ করা হল।
এখন, \(\triangle A B D\)-এর AB ও AD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(P\) ও \(X\) ।
\(\therefore P X=\frac{1}{2} B D\ldots(i)\)
আবার, \(\triangle \mathrm{BCD}\)-এর BC ও DC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও Y
\(\therefore Q Y=\frac{1}{2} B D\)
সুতরাং, (i) ও (ii) থেকে পাই, \(PX = QY\)
\(\therefore\) QY = 5 সেমি \(\quad[\because PX = 5\) সেমি\(]\)

\( \triangle \mathrm{BGC} \)-এর BG ও GC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।
\(\therefore P Q=\frac{1}{2} B C\)
বা, BC = 2PQ
\(\therefore B C=(2 \times 3)\) সেমি = 6 সেমি।

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর মধ্যে AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও E।
\(\therefore\) \( FE \| BC\) এবং \(\mathrm{FE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ABD}\)-এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু F
এবং \( FO \| BD\quad [\because FE \| BC]\)
\(\therefore\) O, AD এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore \mathrm{AO}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}=\left(\frac{1}{2} \times 6\right)\) সেমি = 3 সেমি