প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের AB ও DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।
AQ ও CP অঙ্কন করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times \mathrm{ABCD}\) সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
অঙ্কন : A, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, ABCD সামান্তরিক।
\(\therefore\) AB = CD এবং \({A B} \| C D\)
\(\therefore \frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} C D \)
\(\therefore A P=C Q\)
\(\therefore\) APCQ-র AP = CQ এবং \(\mathrm{AP} \| \mathrm{CQ}\)
\(\therefore\) APCQ একটি সামান্তরিক।
APCQ সামান্তরিকের কর্ণ AC হওয়ায়
\(\triangle \mathrm{APC}=\triangle \mathrm{AQC}=x\) (মনে করি)
\(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র CP মধ্যমা, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-কে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে,
\(\therefore \triangle \mathrm{BPC}=\triangle \mathrm{APC}=x\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ADC}\)-র AQ মধ্যমা হওয়ায়
\(\triangle \mathrm{ADQ}=\triangle \mathrm{AQC}=x\)
\(\therefore\) ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
\(=(\triangle \mathrm{ADQ}+\triangle \mathrm{AQC}+\triangle \mathrm{APC}+\triangle \mathrm{BPC})\)-র ক্ষেত্রফল
\(=(x+x+x+x)=4 x\)
\(\therefore\) APCQ-র ক্ষেত্রফল \(=(\triangle \mathrm{APC}+\triangle \mathrm{AQC})\)-র ক্ষেত্রফল
\(=(x+x)=2 x=\frac{1}{2} \times 4 x\)
\(=\frac{1}{2} \times A B C D\) সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD রম্বসের AB ও DC-র মধ্যে লম্বদূরত্ব PQ এবং AD ও BC-র মধ্যে লম্বদূরত্ব RS।
প্রামাণ্য বিষয় : PQ = RS
প্রমাণ : যেহেতু, AB-কে ভূমি ও PQ-কে উচ্চতা ধরলে ABCD রম্বসের
ক্ষেত্রফল = ভূমি \( \times \) উচ্চতা \(=A B \times P Q\ldots(i)\)
আবার, AD-কে ভূমি ও RS-কে উচ্চতা ধরলে,
ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=A D \times R S\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) হতে পাই,
\(A B \times P Q=A D \times R S\)
বা, \(A B \times P Q=A B \times R S\)
\(\quad\quad\) [\(\because\) ABCD একটি রম্বস যার সকল বাহুর দৈর্ঘ্য সমান]
বা, PQ = RS (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের AB ও CD-র মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।
P, D ও B, Q এবং P, C যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) PBQD একটি সামান্তরিক।
(ii) \(\triangle \mathrm{PBC}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক PBQD।
প্রমাণ : যেহেতু, ABCD একটি সামান্তরিক,
\(\therefore\) AB = DC এবং \(A B \| D C\)
\(\therefore \frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} D C\quad\) [উভয়পক্ষে \(\frac{1}{2}\) গুণ করে পাই]
\(\therefore\) PB = DQ
\(\therefore\) PBQD চতুর্ভুজের PB = DQ এবং \(P B \| D Q\)
\(\therefore\) PBQD একটি সামান্তরিক। [(i) প্রমাণিত ]
\(\because \triangle \mathrm{PBC}\) ও সামান্তরিক PBQD একই ভূমি PB ও একই সমান্তরালযুগল PB ও CD-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{PBC}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক PBQD [(ii) প্রমাণিত]

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AB = AC এবং বর্ধিত BC-র উপর P একটি বিন্দু।
P হতে AB ও AC (বর্ধিত)-র উপর PQ ও PR লম্ব।
B হতে AC-র উপর BS লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয় : \(PQ - PR = BS\)
অঙ্কন : A, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABP}=\triangle \mathrm{ABC}+\triangle \mathrm{ACP}\)
বা, \(\frac{1}{2} \times A B \times P Q=\frac{1}{2} \times A C \times B S+\frac{1}{2} \times A C \times P R \)
বা, \(A B \times P Q=A B \times B S+A B \times P R\quad[\because A B=A C]\)
বা, \(P Q=B S+P R\)
বা, \(P Q-P R=B S\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার AB = BC = CA।
ABC কৌণিক অঞ্চলে O যে-কোনো একটি বিন্দু।
O হতে AB, বর্ধিত BC ও CA-র উপর যথাক্রমে OP, OQ ও OR লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle A B C\)-র উচ্চতা \(= OP + OQ - OR\)
অঙ্কন : শীর্ষবিন্দু A হতে BC-র উপর AM লম্ব অঙ্কন করা হল।
A, O; B, O ও C, O যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{ABO}+\triangle \mathrm{BCO}-\triangle \mathrm{ACO}\)
বা, \(\frac{1}{2} \times B C \times A M =\frac{1}{2} \times A B \times O P+\frac{1}{2} \times B C \times O Q-\frac{1}{2} \times A C \times O R \)
বা, \(B C \times A M=A B \times O P+B C \times O Q-A C \times O R \)
বা, \(B C \times A M=B C \times O P+B C \times O Q-B C \times O R\quad[\because A B=B C=C A]\)
বা, \(A M=O P+O Q-O R\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-র উচ্চতা \(=O P+O Q-O R\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, AC এবং BC কে যথাক্রমে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{AEG}=\triangle \mathrm{AFD}\)
অঙ্কন : F বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা AB ও CD কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : প্রদত্ত চিত্রে, \(E G\|A B\| D C\) এবং \(P Q\|B C\| A D\)
\(\therefore\) APFE এবং FGCQ দুটি সামান্তরিক যাদের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে AF ও FC
\(\therefore \triangle \mathrm{APF}=\triangle \mathrm{AEF}\ldots(i)\)
এবং \(\Delta \mathrm{FGC}=\Delta \mathrm{FCQ}\ldots(ii)\)
[\(\because\) সামান্তরিকের কর্ণ উহাকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে]
আবার, \(\because\) ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ,
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{ADC}\)
বা, \(\triangle \mathrm{APF}+\) সামান্তরিক \(\mathrm{PBGF}+\Delta \mathrm{FGC} =\triangle \mathrm{AEF}+\) সামান্তরিক \(EFQD + \triangle \mathrm{FQC}\)
বা, \(\triangle A P F+\) সামান্তরিক \(\mathrm{PBGF}+\Delta \mathrm{FGC}=\Delta \mathrm{APF}+\) সামান্তরিক
\(\mathrm{EFQD}+\Delta \mathrm{FGC}\quad\) [(i) ও (ii) হতে পাই]
বা, সামান্তরিক PBGF = সামান্তরিক EFQD
বা, সামান্তরিক PBGF + সামান্তরিক APFE = সামান্তরিক EFQD + সামান্তরিক APFE [উভয়পক্ষে সামান্তরিক APFE যুক্ত করে পাই]
বা, সামান্তরিক ABGE = সামান্তরিক APQD \(\ldots(iii)\)
এখন, যেহেতু, সামান্তরিক ABGE-র AG কর্ণ
\(\therefore \triangle A E G=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক ABGE \(ABGE \ldots(iv)\)
[\(\because\) সামান্তরিকের কর্ণ উহাকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে]
আবার, \(\because \triangle A F D\) ও সামান্তরিক APQD একই ভূমি AD ও একই সমান্তরালযুগল AD ও PQ-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{AFD}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক\( APQD\)
\(=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক \(ABGE\quad\) [(iii) হতে পাই]
\(=\triangle \mathrm{AEG}\quad\) [(iv) হতে পাই]
\(\therefore \triangle \mathrm{AEG}=\triangle \mathrm{AFD}\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। বর্ধিত AE, বর্ধিত BC-কে F বিন্দুতে ছেদ করে। D, F যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \(\triangle \mathrm{ADF}=\triangle \mathrm{ABE}\) ও (ii) \(\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{BEC}\)
প্রমাণ : যেহেতু, \(\triangle \mathrm{ADF}\) ও সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AD ও একই সমান্তরালযুগল AD ও BF-র মধ্যে অবস্থিত,
\(\therefore \triangle \mathrm{ADF}=\frac{1}{2} \times\) সমান্তরিক \(ABCD \ldots (1)\)
আবার, \(\because \triangle \mathrm{ABE}\) ও সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AB ও একই সমান্তরাল যুগল AB ও DC-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{ABE}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক \(ABCD \ldots(2)\)
\(\therefore\) (1) ও (2) হতে পাই, \(\triangle \mathrm{ADF}=\triangle \mathrm{ABE}\quad\) [প্রমাণিত (i) নং]
যেহেতু, \(\triangle \mathrm{ABE}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক ABCD
\(\therefore 2 \triangle \mathrm{ABE}=\) সামান্তরিক \(ABCD\)
বা, \(2 \triangle \mathrm{ABE}=\triangle \mathrm{ABE}+\triangle \mathrm{ADE}+\triangle \mathrm{BEC} \)
বা, \(\triangle \mathrm{ABE}=\triangle \mathrm{ADE}+\triangle \mathrm{BEC}\)
\(\therefore \frac{1}{2} \times \) সামান্তরিক \(\mathrm{ABCD}=\triangle \mathrm{ADE}+\triangle \mathrm{BEC}\)
বা, \(\triangle \mathrm{ADF}=\triangle \mathrm{ADE}+\triangle \mathrm{BEC}\quad\) [(1) থেকে পাই]
বা, \(\triangle \mathrm{ADE}+\triangle \mathrm{DEF}=\Delta \mathrm{ADE}+\triangle \mathrm{BEC}\)
\(\therefore \triangle D E F=\triangle B E C\quad\) [প্রমানিত (ii) নং]

প্রদত্ত : সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট \(\triangle \mathrm{ABC}\) ও \(\triangle \mathrm{ABD}\) একই ভূমি AB-র পরস্পর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। C, D যুক্ত করা হল। AB ও CD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় : AB, CD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ CO = DO।
অঙ্কন : C ও D বিন্দু হতে AB-র উপর যথাক্রমে CP ও DQ লম্ব অঙ্কন করা হল।P, D ও C, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, \(\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{ABD}\) [প্রদত্ত]
\(\therefore \frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{CP}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{DQ} \)
\( \therefore \mathrm{CP}=\mathrm{DQ}\)
আবার, একই বাহু AB-র উপর CP ও DQ লম্ব হওয়ায় \(\mathrm{CP} \| \mathrm{DQ}\)
এখন, CPDQ চতুর্ভুজের CP = DQ এবং \(\mathrm{CP} \| \mathrm{DQ}\)
\(\therefore\) CPDQ একটি সামান্তরিক। আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) PQ এবং CD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) O বিন্দু CD-র মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) AB, CD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ CO = DO (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC বাহুর মধ্যবিন্দু D। CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু ও A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{ABC}\) = সামান্তরিক CDEF
অঙ্কন : A, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : সামান্তরিক CDEF ও \(\triangle \mathrm{ADC}\) একই ভূমি CD এবং একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{ACD}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক CDEF
অর্থাৎ, \(2 \times \triangle \mathrm{ACD}=\) সামান্তরিক \(CDEF \ldots(i)\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AD মধ্যমা হওয়ায়
\(\triangle \mathrm{ABC}=2 \times \triangle \mathrm{ACD}\ldots(ii)\)
[\(\because\) ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে]
(i) ও (ii) হতে পাই, \(\triangle \mathrm{ABC}\) = সামান্তরিক CDEF (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের উপর P একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{APD}=\triangle \mathrm{CPD}\)
অঙ্কন : A ও C বিন্দু দিয়ে BD-র উপর যথাক্রমে AM ও CN লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণ,
\(\therefore \triangle \mathrm{ABD}=\triangle \mathrm{DBC}\)
বা, \(\frac{1}{2} \times B D \times A M=\frac{1}{2} \times B D \times C N\)
\(\therefore \mathrm{AM}=\mathrm{CN}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{APD}=\frac{1}{2} \times \mathrm{PD} \times \mathrm{AM}\)
\(=\frac{1}{2} \times \mathrm{PD} \times \mathrm{CN}\quad[\because \mathrm{AM}=\mathrm{CN}]\)
\(=\triangle C P D\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AD ও BE মধ্যমা।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{ACD}=\triangle \mathrm{BCE}\)
প্রমাণ : যেহেতু, কোনো ত্রিভুজের একটি মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\(\therefore \triangle \mathrm{ACD}=\Delta \mathrm{ABD}=\frac{1}{2} \Delta \mathrm{ABC}\ldots(i)\)
আবার, \(\triangle \mathrm{BCE}=\Delta \mathrm{BEA}=\frac{1}{2} \Delta \mathrm{ABC}\ldots (ii)\)
\(\therefore\) (i) ও (ii) হতে পাই, \(\triangle \mathrm{ACD}=\Delta \mathrm{BCE}\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। CP ও BQ পরস্পরকে \(X\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \(\triangle \mathrm{BPQ}=\triangle \mathrm{CPQ}\)
(ii) \(\triangle \mathrm{BCP}=\triangle \mathrm{BCQ}\)
(iii) \(\triangle \mathrm{ACP}=\triangle \mathrm{ABQ}\)
(iv) \(\triangle \mathrm{BXP}=\triangle \mathrm{CXQ}\)
প্রমাণ : যেহেতু, \(B C \| P Q\) এবং \(\triangle \mathrm{BPQ}\) ও \(\triangle \mathrm{CPQ}\) একই ভূমি PQ ও একই সমান্তরালযুগল PQ ও BC-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{BPQ}=\triangle \mathrm{CPQ}\) [\(\because\) একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান।] [(i) প্রমাণিত]
আবার, \(\triangle \mathrm{BCP}\) ও \(\triangle \mathrm{BCQ}\) একই ভূমি BC ও একই সমান্তরাল যুগল BC ও PQ-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle B C P=\triangle B C Q\) [\(\because\) একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান] [(ii) প্রমাণিত]
\(\because \triangle \mathrm{BPQ}=\triangle \mathrm{CPQ}\quad\) [(i) নং হতে পাই]
বা, \(\Delta \mathrm{BPQ}+\Delta \mathrm{APQ}=\Delta \mathrm{CPQ}+\Delta \mathrm{APQ}\quad\) [উভয়পক্ষে \(\triangle \mathrm{APQ}\) যোগ করে পাই]
বা, \(\triangle \mathrm{ABQ}=\triangle \mathrm{ACP}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ACP}=\triangle \mathrm{ABQ}\quad\) [(iii) প্রমাণিত]
আবার, \( \triangle \mathrm{BPQ}=\Delta \mathrm{CPQ}\quad \) [(i) হতে পাই]
\(\therefore \triangle \mathrm{BXP}+\Delta \mathrm{PQX}=\Delta \mathrm{CXQ}+\Delta \mathrm{PQX}\)
\(\therefore \triangle B X P=\triangle C X Q\quad\) [(iv) প্রমাণিত]

প্রদত্ত : \(\triangle A B C\)-র BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং BC বাহুর উপর P একটি বিন্দু। P, A যুক্ত করা হল। D বিন্দু দিয়ে PA-র সমান্তরাল সরলরেখা AB কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ্য বিষয় : (i) \(\triangle \mathrm{ADQ}=\triangle \mathrm{PDQ}\) এবং
(ii) \(\triangle \mathrm{BPQ}=\frac{1}{2} \Delta \mathrm{ABC}\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ADQ}\) ও \(\triangle \mathrm{PDQ}\) একই ভূমি DQ ও একই সমান্তরাল যুগল \(\mathrm{DQ} \| \mathrm{AP}\)-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{ADQ}=\triangle \mathrm{PDQ}\) [\(\because\) একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান] [(i) নং প্রমাণিত]
আবার, \(\because \triangle \mathrm{ADQ}=\triangle \mathrm{PDQ}\)
বা, \(\Delta \mathrm{BDQ}+\Delta \mathrm{ADQ}=\Delta \mathrm{BDQ}+\Delta \mathrm{PDQ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABD}=\triangle \mathrm{BPQ}\)
বা, \(\frac{1}{2} \triangle \mathrm{ABC}=\Delta \mathrm{BPQ}\)
\(\left[\right.\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র AD মধ্যমা এবং মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে অর্থাৎ
\(\left.\triangle \mathrm{ABD}=\triangle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2} \triangle \mathrm{ABC}\right]\)
\(\therefore \triangle \mathrm{BPQ}=\frac{1}{2} \Delta \mathrm{ABC}\quad\) [(ii) নং প্রমাণিত]

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AB = AC। B ও C বিন্দু থেকে AC ও AB-র উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় যথাক্রমে BE ও CF।
প্রামাণ্য বিষয় : \(F E \| B C\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{CF}\ldots(i)\)
আবার, \(\triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BE}\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) হতে পাই, \(\frac{1}{2} \times A B \times C F=\frac{1}{2} \times A C \times B E\)
বা, \(\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{CF}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BE}\quad[\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}]\)
\(\therefore C F=B E\)
\(\triangle B E C\) ও \(\triangle \mathrm{BFC}\)-র
(i) BE = CF (পূর্বে প্রমাণিত)
(ii) \(\angle \mathrm{BEC}=\angle \mathrm{BFC}\) [স্বীকার] এবং
(iii) BC সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle B E C \cong \triangle B F C\quad \) [R-H-S শর্তে]
\(\therefore \triangle B E C=\triangle B F C\)
এখন, \(\triangle B E C\) ও \(\triangle \mathrm{BFC}\) একই ভূমি BC-র উপর অবস্থিত এবং এদের ক্ষেত্রফল সমান হওয়ায় ত্রিভুজদ্বয় একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত হবে।
\(\therefore B C \| E F\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB} ; \angle \mathrm{ABC}\) ও \(\angle \mathrm{ACB}\)-র সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\mathrm{FE} \| \mathrm{BC}\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{BFC}\) ও \(\triangle \mathrm{BEC}\)-র
(i) \(\angle \mathrm{FBC}=\angle \mathrm{ECB}\quad[\because \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB}]\)
(ii) \(\angle \mathrm{FCB}=\angle \mathrm{EBC}\quad\left[\because \frac{1}{2} \angle \mathrm{ABC}(=\angle \mathrm{EBC})=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ACB}(=\mathrm{ECB})\right] \)
(iii) BC সাধারণ বাহু
আবার, \(\triangle \mathrm{BFC} \cong \triangle \mathrm{BEC}\quad\) [A-S-A শর্তে]
\(\therefore \triangle B F C=\triangle B E C\)
\(\triangle \mathrm{BFC}\) ও \(\triangle \mathrm{BEC}\) একই ভূমি BC-র একই পার্শ্বে অবস্থিত এবং এদের ক্ষেত্রফল সমান।
তাই \(\triangle \mathrm{BFC}\) ও \(\triangle \mathrm{BEC}\) একই সমান্তরালযুগল BC ও FE এর মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \mathrm{FE} \| \mathrm{BC}\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ABCD ও AEFG দুটি সামান্তরিক, যাদের \(\angle \mathrm{A}\) সাধারণ এবং E বিন্দু AB বাহুর উপর অবস্থিত। D, E ও F, C যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\mathrm{DE} \| \mathrm{FC}\)
অঙ্কন : D, F ও E, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, ABCD সামান্তরিক ও \(\triangle CDE\) একই ভূমি CD ও একই সমান্তরালযুগল CD ও AB-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{CDE}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক ABCD [\(\because\) একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক]
আবার, \(\because\) AEFG সামান্তরিক ও \(\triangle \mathrm{DEF}\) একই ভূমি EF ও একই সমান্তরালযুগল EF ও AG-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle D E F=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(AEFG \quad[\because \angle A B C=\angle A C B]\)
\(=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক ABCD [\(\because\) স্বীকার অনুসারে, ABCD ও AEFG সামান্তরিকদ্বয়ের ক্ষেত্রফল সমান] \(\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) হতে পাই, \(\triangle \mathrm{CDE}=\Delta \mathrm{DEF}\)
এখন, \(\because \triangle \mathrm{CDE}\) ও \(\triangle \mathrm{DEF}\) একই ভূমি DE-র একই পার্শ্বে অবস্থিত এবং এদের ক্ষেত্রফল সমান, সুতরাং \(\triangle \mathrm{CDE}\) ও \(\triangle \mathrm{DEF}\) একই সমান্তরালযুগল DE ও CF-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore D E \| F C\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD একটি সামান্তরিক ও ABCE একটি চতুর্ভুজ। AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজ আকারের ক্ষেত্রটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে অর্থাৎ,
\(\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{ACE}\)
প্রামাণ্য বিষয় : \(A C \| D E\)
প্রমাণ : যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণ উহাকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে,
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{ADC}\ldots(i)\)
আবার, \(\because\) AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে,
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{ACE}\ldots(ii)\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ADC}=\triangle \mathrm{ACE}\ldots\) (i) ও (ii) থেকে পাই,
আবার, \(\triangle \mathrm{ADC}\) ও \(\triangle \mathrm{ACE}\) একই ভূমি AC-র একই পার্শ্বে অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান, সুতরাং \(\triangle \mathrm{ADC}\) ও \(\triangle \mathrm{ACE}\) একই সমান্তরালযুগল AC ও DE-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore A C \| D E\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC বাহুর মধ্যবিন্দু D। P ও Q যথাক্রমে BC ও BA-র উপর দুটি বিন্দু এবং \(\triangle B P Q=\frac{1}{2} \triangle A B C\)
প্রামাণ্য বিষয় : \(D Q \| P A\)
প্রমাণ : যেহেতু, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AD মধ্যমা,
\(\because \triangle \mathrm{ABD}=\triangle \mathrm{ACD}=\frac{1}{2} \triangle \mathrm{ABC}\) [\(\because\) ত্রিভুজের মধ্যমা উহাকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে] \(\ldots(i)\)
আবার, যেহেতু, \(\triangle \mathrm{BPQ}=\frac{1}{2} \triangle \mathrm{ABC}\ldots (ii)\)
(i) ও (ii) হতে পাই,
\(\triangle \mathrm{ABD}=\Delta \mathrm{BPQ} \)
বা, \(\triangle \mathrm{BDQ}+\triangle \mathrm{AQD}=\Delta \mathrm{BDQ}+\triangle \mathrm{PQD} \)
বা, \(\triangle \mathrm{AQD}=\Delta \mathrm{PQD}\)
আবার, \(\triangle \mathrm{AQD}\) ও \(\triangle \mathrm{PQD}\) একই ভূমি QD-র একই পার্শ্বে অবস্থিত এবং ক্ষেত্রফল সমান।
\(\therefore \triangle \mathrm{AQD}\) ও \(\triangle \mathrm{PQD}\) একই সমান্তরালযুগল QD ও AP-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore D Q \| P A\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের AB, BC, CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G ও H।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) EFGH একটি সামান্তরিক।
(ii) সামান্তরিক \(\mathrm{EFGH}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক ABCD।
অঙ্কন : A, C এবং E, G যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ADC}\) এর AD-র মধ্যবিন্দু H এবং CD-র মধ্যবিন্দু G।
\(\therefore \mathrm{HG} \| \mathrm{AC}\) এবং \(H G=\frac{1}{2} A C\ldots(i)\) [\(\because\) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক]
আবার, \(\triangle A B C\)-র AB-র মধ্যবিন্দু E এবং BC-র মধ্যবিন্দু F।
\(\therefore \mathrm{EF} \| \mathrm{AC}\) এবং \(E F=\frac{1}{2} A C\ldots(2)\) [\(\because\) ত্রিভুজের যে-কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক]
(1) ও (2) থেকে পাই, \(H G \| E F\) এবং HG = EF
\(\therefore\) EFGH একটি সামান্তরিক [(i) নং প্রমাণিত]
[\(\because\) কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হয়]
আবার, \(\because\) ABCD একটি সামান্তরিক
\(\therefore\) AB = DC
বা, \(\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} D C\)
এবং, \(A B \| D C\)
\(\therefore \mathrm{AE} \| \mathrm{DG}\)
\(\therefore A E=D G\)
\(\therefore\) AEGD একটি সামান্তরিক [\(\because\) কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হয়]
এখন, AEGD সামান্তরিক ও \(\triangle \mathrm{GHE}\) একই ভূমি EG ও একই সমান্তরালযুগল EG ও AD-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{GHE}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(AEGD\ldots (3)\)
আবার, BCGE একটি সামান্তরিক ও \(\triangle E F G\) একই ভূমি GE ও একই সমান্তরালযুগল \(B C \| G E\)-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle E F G=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(BCGE \ldots(4) \)
\(\therefore\) (3) ও (4) যোগ করে পাই,
\(\Delta \mathrm{GHE}+\Delta \mathrm{EFG}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(AEGD +\frac{1}{2}\) সামান্তরিক BCGE
বা, সামান্তরিক EFGH
\(=\frac{1}{2}\) (সামান্তরিক AEGD + সামান্তরিক BCGE)
\(\therefore\) সামান্তরিক \(\mathrm{EFGH}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক ABCD [(ii) প্রমাণিত]

প্রদত্ত : ABCD ট্রাপিজিয়ামের \(A B \| D C\) এবং BC বাহুর মধ্যবিন্দু E;
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{ADE}=\frac{1}{2} \times\) ট্রাপিজিয়াম ABCD
অঙ্কন : E বিন্দু দিয়ে AD-র সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করল, যা AB-কে P বিন্দুতে এবং বর্ধিত DC -কে Q বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{CEQ}\) এবং \(\triangle \mathrm{PEB}\)-র
(i) \(\angle \mathrm{QEC}=\angle \mathrm{PEB}\quad\) [বিপ্রতীপ কোণ]
(ii) \(CE = BE\quad [\because E, BC\)-র মধ্যবিন্দু]
(iii) \(\angle \mathrm{QCE}=\angle \mathrm{EBP}\)
\(\quad\quad[\because \mathrm{DQ} \| \mathrm{AB}\) এবং \(BC\) ভেদক \(\therefore \angle Q C B=\) একান্তর \(\angle C B P]\)
\(\therefore \triangle C E Q \cong \triangle \mathrm{PEB}\quad\) [A-S-A শর্তে]
\(\therefore \triangle \mathrm{CEQ}=\triangle \mathrm{PEB}\)
এখন, ট্রাপিজিয়াম ABCD = পঞ্চভুজ \(APECD + \triangle PEB\)
= পঞ্চভুজ \(A P E C D+\triangle C E Q\)
= সামান্তরিক \(APQD\ldots(i)\)
আবার, \(\because \triangle \mathrm{AED}\) ও সামান্তরিক APQD একই ভূমি AD ও একই সমান্তরালযুগল AD ও PQ-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{AED}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক APQD [\(\because\) একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক]
\(=\frac{1}{2} \times\) ট্রাপিজিয়াম ABCD [(i) হতে পাই] (প্রমাণিত)

যেহেতু, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু D, E, F
\(\therefore\) F, D; D, E ও E, F যুক্ত করার ফলে যে চারটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তাদের প্রতিটির ক্ষেত্রফল সমান।
\(\therefore \triangle \mathrm{AFE}=\triangle \mathrm{FDE}=\triangle \mathrm{FBD}=\Delta \mathrm{DEC}=\frac{1}{4} \times \triangle \mathrm{ABC}\)
\(=\left(\frac{1}{4} \times 16\right)\) বর্গসেমি = 4 বর্গসেমি
এখন, ট্রাপিজিয়াম FBCE আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\Delta \mathrm{FBD}+\Delta \mathrm{FDE}+\Delta \mathrm{DEC}\)
= (4 + 4 + 4) বর্গসেমি = 12 বর্গসেমি

অঙ্কন : A, C যুক্ত করা হল।
APSC চতুর্ভুজের PA = SC \(\quad\left[\because \mathrm{PQ}=\mathrm{SR} \therefore \frac{1}{2} \mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{SR}\right]\)
এবং \(PA \| SC \quad[\because PQRS\) সামান্তরিক\(]\)
\(\therefore\) APSC একটি সামান্তরিক।
এখন \(\triangle \mathrm{ADC}\) এবং সামান্তরিক APSC একই ভূমি AC ও একই সমান্তরালযুগল AC ও PS-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(APSC\ldots(i)\)
অনূরপে, \(\triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(AQRC \ldots(ii)\)
\(\therefore\) (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
\(\triangle \mathrm{ADC}+\triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(APSC+\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(AQRC\)
বা, সামান্তরিক \(A B C D=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক PQRS
\(=\left(\frac{1}{2} \times 36\right)\) বর্গসেমি = 18 বর্গসেমি

অঙ্কন : O বিন্দু দিয়ে \(P Q \| D C(\| A B)\) অঙ্কন করা হল।
যেহেতু, APQB চতুর্ভুজের \(A P \| Q B\) এবং \(\mathrm{AB} \| \mathrm{QP}\)
\(\therefore\triangle APQB \) একটি সামান্তরিক।
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB}\) ও সামান্তরিক APQB একই ভূমি AB ও একই সমান্তরালযুগল AB ও QP-র মধ্যে অবস্থিত।
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(APQB\ldots(i)\)
অনুরূপে, \(\triangle \mathrm{DOC}=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(PQCD \ldots(ii)\)
\(\therefore\) (i) ও (ii) যোগ করে পাই, \(\triangle A O B+\triangle D O C\)
\(=\frac{1}{2}\) সামান্তরিক \(\mathrm{APQB}+\frac{1}{2}\) সামান্তরিক PQCD
\(\therefore \frac{1}{2}\) (সামান্তরিক APQB + সামান্তরিক PQCD)
\(=\triangle \mathrm{AOB}+\Delta \mathrm{COD}\)
বা, \(\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক ABCD = 16 বর্গসেমি [প্রদত্ত]
\(\therefore\) সামান্তরিক ABCD = 32 বর্গসেমি

অঙ্কন : A, D যুক্ত করা হল।
যেহেতু মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\(\therefore\) AD মধ্যমা \(\triangle A B C\)-কে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করবে।
\(\therefore \triangle \mathrm{ADB}=\frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{ABC}\ldots(i)\)
আবার, \(\because \triangle \mathrm{ADB}\)-র \(AE\) মধ্যমা,
\(\therefore \triangle \mathrm{ABE}=\frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{ADB}\)
\(=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{ABC}\quad\) [(i) হতে পাই]
\(=\frac{1}{4} \triangle \mathrm{ABC}\ldots (ii)\)
আবার, \(\because \triangle \mathrm{ABE}\)-র \(BO\) মধ্যমা,
\(\therefore \triangle \mathrm{BOE}=\frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{ABE}\)
\(=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \triangle \mathrm{ABC}\quad\) [(ii) হতে পাই]
\(=\frac{1}{8} \times \triangle \mathrm{ABC}\)

যেহেতু, একই ভূমি ও একই সমান্তরালযুগলের মধ্যে অবস্থিত একটি সামান্তরিক ও একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিক ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
\(\therefore\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল P, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল R এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল T হলে,
\(T=\frac{P}{2}=\frac{R}{2}\)
বা, \(2 \mathrm{~T}=\mathrm{P}=\mathrm{R}\)
\(\therefore P=R=2 T\)

ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(\mathrm{AB} \times \mathrm{DE}\), যখন AB ভূমি ও DE উচ্চতা।
আবার, যদি AD ভূমি ও BF উচ্চতা ধরা হয় তবে ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(A D \times B F\)
\(\therefore A B \times D E=A D \times B F\)
বা, \(10 \times 6=8 \times B F\)
বা, \(\mathrm{BF}=\frac{10 \times 6}{p8}=7.5\)
\(\therefore\) BF-র দৈর্ঘ্য 7.5 সেমি।

\(\triangle \mathrm{ABP}=\frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{ABC}\) [\(\because\) ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে]
\(=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক ABCD
[\(\because\) সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।]
\(=\left(\frac{1}{4} \times 100\right)\) বর্গএকক [\(\therefore\) ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 100 বর্গএকক]
= 25 বর্গ একক
\(\therefore \triangle \mathrm{ABP}\) ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 25 বর্গএকক।

\(\because \triangle \mathrm{ADP}\)-র ক্ষেত্রফল \(: \triangle \mathrm{ABD}\)-র ক্ষেত্রফল \(= 2 : 3\)
মনে করি, \(\triangle \mathrm{ADP}\)-র ক্ষেত্রফল \(2x\) বর্গএকক এবং \(\triangle \mathrm{ABD}\)-র ক্ষেত্রফল \(3x\) বর্গএকক [\(x\) যেখানে আনুপাতিক ধ্রুবক]
যেহেতু, ত্রিভুজের মধ্যমা উহাকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে,
\(\therefore \triangle \mathrm{ADC}=\triangle \mathrm{ABD}\)
\(= 3x\) বর্গএকক
\(\because \Delta \mathrm{ADC}=3 x\) বর্গএকক
বা, \(\Delta \mathrm{ADP}+\Delta \mathrm{DPC}=3 x\) বর্গএকক
বা, \(2x\) বর্গএকক \(+\Delta \mathrm{DPC}=3 x\) বর্গএকক
বা, \(\triangle \mathrm{DPC}=(3 x-2 x)\) বর্গএকক \(= x\) বর্গএকক
এখন, \(\triangle \mathrm{PDC}\)-এর ক্ষেত্রফল \(: ABC\) এর ক্ষেত্রফল
\(=x:(3 x+3 x)=x: 6 x=1: 6\)
\(\therefore \triangle \mathrm{PDC}\) ও \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(1 : 6\)

যেহেতু, ABDE সামান্তরিকের কর্ণ AD, উহাকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\(\therefore \triangle \mathrm{ADE}=\triangle \mathrm{ABD}=20\) বর্গসেমি
আবার, \(\because \triangle \mathrm{ADE}\)-র AF মধ্যমা,
\(\therefore \triangle \mathrm{AEF}=\frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{ADE}\) [\(\because\) ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে]
\(=\frac{1}{2} \times 20\) বর্গসেমি = 10 বর্গসেমি
\(\therefore \triangle \mathrm{AEF}\) ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 10 বর্গসেমি।

যেহেতু, \(X\) ও \(Y\) যথাক্রমে PQ ও SR-র মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) সামান্তরিক \(X Q R Y=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক \(PQRS\ldots(i)\)
আবার, \(\because\) SQ, সামান্তরিক PQRS-র কর্ণ,
\(\therefore \triangle \mathrm{QRS}=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক \(PQRS\ldots(ii) \)
\(\therefore\) সামান্তরিক \(XQRY : \triangle Q R S\)
\(=\frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক \(PQRS : \frac{1}{2} \times\) সামান্তরিক PQRS
\(= 1 : 1\quad\) [(i) ও (ii) হতে পাই]