ধরি, \(f(x)=x^{3}-3 x+2\)
এখন, \(f(1)=1^{3}-3.1+2=1-3+2=0\)
\(\because \) \(x\)-এর মান \((+1)\) ধরলে প্রদত্ত রাশিমালা \([f(x)]\)-এর মান শূন্য হয়।
\(\therefore\) \((x-1 )\) হবে \( f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(x^{3}-3 x+2 \)
\(=x^{3}-x^{2}+x^{2}-x-2 x+2 \)
\(=x^{2}(x-1)+x(x-1)-2(x-1)\)
\(=(x-1)\left(x^{2}+x-2\right) \)
\(=(x-1)\left(x^{2}+2 x-x-2\right)\)
\(=(x-1)\{x(x+2)-1(x+2)\} \)
\(=(x-1)(x+2)(x-1)\)

ধরি, \( f(x)=x^{3}+2 x+3\)
\(f(1)=1^{3}+2 \cdot 1+3=6 \neq 0 \)
\(f(-1)=(-1)^{3}+2 \cdot(-1)+3=-1-2+3=0 \)
\(\because x\)-এর মান \((−1)\) ধরলে প্রদত্ত রাশিমালা \( f(x) = 0 \) হয়,
\(\therefore\) \((x + 1)\) হবে \(f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(x^{3}+2 x+3\)
\(=x^{3}+x^{2}-x^{2}-x+3 x+3 \)
\(=x^{2}(x+1)-x(x+1)+3(x+1)\)
\(=(x+1)\left(x^{2}-x+3\right)\)

ধরি, \(f(a)=a^{3}-12 a-16 \)
\(f(1)=1^{3}-12 \cdot 1-16=-27 \neq 0 \)
\(f(-1)=(-1)^{3}-12 \cdot(-1)-16\)
\(f(-1)=-1+12-16=-5 \neq 0\)
\(f(2)=2^{3}-12 \cdot 2-16=8-24-16=-32 \neq 0 \)
\(f(-2)=(-2)^{3}-12 \cdot(-2)-16\)
\(f(-2)=-8+24-16=0\)
\(\because a\)-এর মান \((-2)\)-এর জন্য \(f(a) = 0\) হয়,
\(\therefore (a + 2)\) হবে \(f(a)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(a^{3}-12 a-16\)
\(=a^{3}+2 a^{2}-2 a^{2}-4 a-8 a-16 \)
\(=a^{2}(a+2)-2 a(a+2)-8(a+2) \)
\(=(a+2)\left(a^{2}-2 a-8\right) \)
\(=(a+2)\{a(a-4)+2(a-4)\} \)
\(=(a+2)(a-4)(a+2)\)
\(=(a+2)(a+2)(a-4)\)

ধরি, \(f(x)=x^{3}-6 x+4\)
\(f(1)=1^{3}-6 \cdot 1+4=1-6+4=-1 \neq 0 \)
\(f(-1)=(-1)^{3}-6 \cdot(-1)+4 =-1+6+4=9 \neq 0\)
\(f(2)=2^{3}-6 \cdot(2)+4=-12+12=0\)
\(\because x\)-এর মান \((+ 2)\) ধরলে প্রদত্ত রাশিমালা \(f(x) = 0\) হয়,
\(\therefore\) \( (x - 2)\) হবে \(f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(x^{3}-6x+4\)
\(=x^{3}-2 x^{2}+2 x^{2}-4 x-2 x+4 \)
\(=x^{2}(x-2)+2 x(x-2)-2(x-2) \)
\(=(x-2)\left(x^{2}+2 x-2\right)\)

ধরি, \(f(x)=x^{3}-19 x-30\)
\(f(-2)=(-2)^{3}-19 \cdot(-2)-30 =-8+38-30=0\)
\(\because x=-2\)-এর জন্য \(f(x) = 0\) হবে,
\(\therefore (x + 2) \) হবে \(f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(x^{3}-19 x-30\)
\( =x^{3}+2 x^{2}-2 x^{2}-4 x-15 x-30 \)
\(=x^{2}(x+2)-2 x(x+2)-15(x+2) \)
\(=(x+2)\left(x^{2}-2 x-15\right) \)
\(=(x+2)\left\{x^{2}-5 x+3 x-15\right\} \)
\( =(x+2)\{x(x-5)+3(x-5)\} \)
\(=(x+2)(x-5)(x+3)\)
\(=(x-5)(x+2)(x+3) \)

ধরি, \(f(a)=4 a^{3}-9 a^{2}+3 a+2\)
\(f(1)=4.1^{3}-9.1^{2}+3.1+2 =4-9+3+2=0\)
\(\because a=1\)-এর জন্য \(f(a) = 0\) হবে,
\(\therefore (a - 1)\) হবে \(f(a)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(4 a^{3}-9 a^{2}+3 a+2\)
\(=4 a^{3}-4 a^{2}-5 a^{2}+5 a-2 a+2\)
\(=4 a^{2}(a-1)-5 a(a-1)-2(a-1) \)
\(=(a-1)\left(4 a^{2}-5 a-2\right) \)

ধরি, \(f(x)=x^{3}-9 x^{2}+23 x-15\)
\(f(1)=1^{3}-9.1^{2}+23.1-15 =1-9+23-15=0\)
\(\therefore x = 1\)-এর জন্য \(f(x) = 0\) হবে,
\(\therefore\) \((x - 1 )\) হবে \( f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(x^{3}-9 x^{2}+23 x-15\)
\(=x^{3}-x^{2}-8 x^{2}+8 x+15 x-15\)
\(=x^{2}(x-1)-8 x(x-1)+15(x-1) \)
\(=(x-1)\left(x^{2}-8 x+15\right) \)
\(=(x-1)\left(x^{2}-3 x-5 x+15\right)\)
\(=(x-1)\{x(x-3)-5(x-3)\} \)
\(=(x-1)(x-3)(x-5)\)

ধরি, \(f(a)=5 a^{3}+11 a^{2}+4 a-2\)
\(f(-1)=5 \cdot(-1)^{3}+11 \cdot(-1)^{2}+4 \cdot(-1)-2\)
\(f(-1)=-5+11-4-2=0\)
\(\because a = -1\)-এর জন্য \(f(a) = 0\) হবে,
\(\therefore (a + 1)\) হবে \(f(a)\)-এর একটি উৎপাদক।
\( 5 a^{3}+11 a^{2}+4 a-2 \)
\(=5 a^{3}+5 a^{2}+6 a^{2}+6 a-2 a-2 \)
\(=5 a^{2}(a+1)+6 a(a+1)-2(a+1) \)
\(=(a+1)\left(5 a^{2}+6 a-2\right) \)

ধরি, \(f(x)=2 x^{3}-x^{2}+9 x+5\)
\(f\left(-\frac{1}{2}\right)=2\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+9\left(-\frac{1}{2}\right)+5\)
\(=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{9}{2}+5\)
\(=-5+5=0\)
\(\because x=-\frac{1}{2}\)-এর জন্য \(f(x) = 0 \) হবে,
\(\therefore \left(x+\frac{1}{2}\right)\)-এর \(f(x)\)-এর একটি উৎপাদক।
\( 2 x^{3}-x^{2}+9 x+5 \)
\(=2 x^{3}+x^{2}-2 x^{2}-x+10 x+5 \)
\(=2 x^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)-2 x\left(x+\frac{1}{2}\right)+10\left(x+\frac{1}{2}\right) \)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(2 x^{2}-2 x+10\right)\)
\(=\left(\frac{2 x+1}{2}\right) \cdot 2\left(x^{2}-x+5\right)\)
\(=(2 x+1)\left(x^{2}-x+5\right)\)

ধরি, \(f(y)=2 y^{3}-5 y^{2}-19 y+42\)
\(f(2)=2.2^{3}-5.2^{2}-19.2+42\)
\( f(2)=16-20-38+42=0 \)
\(\because y=2\)-এর জন্য \(f(y) = 0\) হবে,
\(\therefore (y - 2 )\) হবে \(f(y)\)-এর একটি উৎপাদক।
\(2 y^{3}-5 y^{2}-19 y+42 \)
\(=2 y^{3}-4 y^{2}-y^{2}+2 y-21 y+42 \)
\(=2 y^{2}(y-2)-y(y-2)-21(y-2) \)
\(=(y-2)\left(2 y^{2}-y-21\right) \)
\(=(y-2)\left(2 y^{2}+6 y-7 y-21\right) \)
\(=(y-2)\{2 y(y+3)-7(y+3)\} \)
\(=(y-2)(y+3)(2 y-7)\)