\(x+1=0 \)
বা, \(x=-1\)
ধরি, \(f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-1\)
\(\therefore f(-1)=2 \cdot(-1)^{3}+3(-1)^{2}-1=-2+3-1=0\)
\(\therefore(x+1), f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-1\)-এর একটি উৎপাদক।

ধরি, \(\mathrm{P}(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}+4 x+5\)
\(\therefore P(-1)=(-1)^{4}+(-1)^{3}-(-1)^{2}+4(-1)+5\)
\(P(-1)=1-1-1-4+5=0\)
\(\therefore(x+1), x^{4}+x^{3}-x^{2}+4 x+5\)-এর একটি উৎপাদক।

ধরি, \(g(x)=7 x^{3}+x^{2}+7 x+1\)
\(\therefore g(-1)=7(-1)^{3}+(-1)^{2}+7(-1)+1\)
\(g(-1)=-7+1-7+1=-12 \neq 0\)
\(\therefore(x+1), 7 x^{3}+x^{2}+7 x+1\)-এর উৎপাদক নয়।

ধরি, \(h(x)=3+3 x-5 x^{3}-5 x^{4}\)
\(\therefore h(-1)=3+3(-1)-5 \cdot(-1)^{3}-5 \cdot(-1)^{4}\)
\(h(-1)=3-3+5-5=0\)
\(\therefore(x+1), 3+3 x-5 x^{3}-5 x^{4}\)-এর একটি উৎপাদক।

ধরি, \(q(x)=x^{4}+x^{2}+x+1\)
\(\therefore q(-1)=(-1)^{4}+(-1)^{2}+(-1)+1=1+1-1+1 =2 \neq 0\)
\(\therefore(x+1), x^{4}+x^{2}+x+1\)-এর উৎপাদক নয়।

ধরি, \(f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1\)
\(\therefore f(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1\)
\(f(-1)=-1+1-1+1=0\)
\(\therefore(x+1),\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)\)-এর একটি উৎপাদক।

\(g(x)=x+2\) এবং \(f(x)=x^{4}-x^{2}-12\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(x+2=0\)
\(\therefore x=-2\)
\(\therefore f(-2)=(-2)^{4}-(-2)^{2}-12=16-4-12=0\)
\(\therefore \mathrm{g}(x)=(x+2), \mathrm{f}(x)=x^{4}-x^{2}-12\)-এর একটি উৎপাদক।

\(g(x)=x+5\) এবং \(f(x)=2 x^{3}+9 x^{2}-11 x-30\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(x+5=0\)
\(\therefore x=-5\)
\(\therefore f(-5)=2 \cdot(-5)^{3}+9(-5)^{2}-11(-5)-30\)
\(=-250+225+55-30\)
\(=280-280=0\)
\(\therefore \mathrm{g}(x)=(x+5), \mathrm{f}(x)=2 x^{3}+9 x^{2}-11 x-30\)-এর উৎপাদক।

\(g(x) = x - 3\) এবং \(f(x)=2 x^{3}+7 x^{2}-24 x-45\)
ধরি, \( g(x) = 0\)
বা, \(x -3=0\)
\(\therefore\) \(x=3\)
\(\therefore\) \(f(3)=2 \cdot(3)^{3}+7(3)^{2}-24(3)-45\)
\(=54+63-72-45\)
\(=117-117=0\)
\(\therefore g(x)=(x-3), f(x)=2 x^{3}+7 x^{2}-24 x-45\)-এর একটি উৎপাদক।

\(g(x)=3 x-2\) এবং \(f(x)=3 x^{3}+x^{2}-20 x+12\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(3 x-2=0\)
বা, \(x=\frac{2}{3}\)
\(\therefore f\left(\frac{2}{3}\right)=3\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-20\left(\frac{2}{3}\right)+12\)
\(=3 \times \frac{8}{27}+\frac{4}{9}-\frac{40}{3}+12\)
\(=\frac{8+4-120+108}{9}\)
\(=\frac{120-120}{9}=0\)
\(\therefore g(x)=(3 x-2), f(x)=3 x^{3}+x^{2}-20 x+12\)-এর একটি উৎপাদক।

ধরি, \(g(x)=x+2\)
এবং \(f(x)=2 x^{4}+3 x^{3}+2 k x^{2}+3 x+6\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(x+2=0\)
বা, \(x=-2\)
\(\because \mathrm{g}(x), \mathrm{f}(x)\)-র একটি উৎপাদক,
\(\therefore f(-2)=0\)
বা, \( 2(-2)^{4}+3(-2)^{3}+2 k(-2)^{2}+3(-2)+6=0\)
বা, \(32-24+8 k-6+6=0 \)
বা, \(8+8 k=0\)
বা, \(8 k=-8\)
বা, \(k=-1\)
\(\therefore k\)-র নির্ণেয় মান \(- 1\)

\(g(x)=x-1\) এবং \(f(x)=2 x^{3}+9 x^{2}+x+k\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
\(\because g(x), f(x)\)-এর একটি উৎপাদক,
\(\therefore f(1)=0\)
বা, \(2(1)^{3}+9(1)^{2}+1+k=0\)
বা, \(2+9+1+k=0\)
\(\therefore k=-12\)
\(\therefore k\)-র নির্ণেয় মান \(-12\)

\(g(x)=x-1\) এবং \(f(x)=kx^{2}-3 x+k\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(x-1=0 \)
বা, \(x=1\)
\(\because g(x), f(x)\)-র একটি উৎপাদক
\(\therefore f(1)=0\)
বা, \(k \cdot 1^{2}-3.1+k=0\)
বা, \( k-3+k=0 \)
বা, \(2 k-3=0\)
বা, \(2 k=3\)
\(\therefore k=\frac{3}{2}\)
\(\therefore k\)-এর নির্ণেয় মান \(\frac{3}{2}\)

\(g(x)=2 x-3\) এবং \(f(x)=2 x^{4}+x^{3}-k x^{2}-x+6\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(2 x-3=0\)
বা, \(x=\frac{3}{2}\)
\(\because g(x), f(x)\)-র একটি উৎপাদক
\(\therefore f\left(\frac{3}{2}\right)=0\)
বা, \(2.\left(\frac{3}{2}\right)^{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{3}-k\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{3}{2}+6=0 \)
বা, \(2.\frac{81}{16}+\frac{27}{8}-\frac{9 k}{4}-\frac{3}{2}+6=0\)
বা, \(\frac{81+27-18 k-12+48}{8}=0\)
বা, \(144-18 k=0\)
বা, \(18 k=144\)
বা, \(k=\frac{144}{18}=8\)
\(\therefore k\)-এর নির্ণেয় মান \( 8\)

\(g(x)=2 x-1\) এবং \(f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+11 x+k+3\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(2 x-1=0\)
বা, \(x=\frac{1}{2}\)
\(\because \mathrm{g}(x), \mathrm{f}(x)\)-র একটি উৎপাদক,
\(\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=0\)
বা, \(2. \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+k \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+11 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)+k+3=0\)
বা, \(2. \frac{1}{8}+k \cdot \frac{1}{4}+\frac{11}{2}+k+3=0\)
বা, \(\frac{1+k+22+4 k+12}{4}=0\)
বা, \(35+5 k=0 \quad\)
বা, \(5 k=-35 \quad\)
বা, \(k=-7\)
\(\therefore k\)-র নির্ণেয় মান \(-7\)

ধরি, \(f(x)=a x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}+b x-4\)
এবং \(g(x)=x^{2}-4\)
ধরি, \(g(x)=0\)
বা, \(x^{2}-4=0\)
বা, \((x+2)(x-2)=0\)
হয় \(x+2=0\)
\(\therefore x=-2\)
নতুবা \(x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \mathrm{g}(x), \mathrm{f}(x)\)-র উৎপাদক,
\(\therefore f(-2)=0\) এবং \(f(2) = 0\)
যদি, \(f(-2) = 0\) হয় ,
বা, \( a(-2)^{4}+2(-2)^{3}-3(-2)^{2}+b(-2)-4=0\)
বা, \(16 a-16-12-2 b-4=0\)
বা, \(16 a-2 b=32 \)
বা, \(8 a-b=16\)
\(\therefore\) \(b=8 a-16 \ldots (i)\)
আবার, যদি \(f(2) = 0\) হয়,
বা, \( a(2)^{4}+2(2)^{3}-3(2)^{2}+b(2)-4=0\)
বা, \(16 a+16-12+2 b-4=0 \)
বা, \(16 a+2 b=0\)
বা, \(8 a+b=0\)
বা, \(8 a+8 a-16=0\quad\)[\((i)\) থেকে পাই]
বা, \(16 a-16=0 \)
বা, \(16 a=16 \)
বা, \(a=1\)
\((i)\) নং সমীকরণে \(a\)-র মান বসিয়ে পাই,
\( b=8 \times 1-16=-8\)
\(\therefore\) \(a=1\) এবং \(b=-8\)

ধরি, \(f(x)=x^{3}+3 x^{2}+2 a x+b\)
\(g(x)=(x+1)\) এবং \(P(x)=x+2\)
ধরি, \(g(x) = 0\)
বা, \(x + 1 = 0 \)
বা, \(x = -1 \)
\(\because \) \(g(x), f(x)\)-র একটি উৎপাদক
\(\therefore f(-1)=0\)
বা, \((-1)^{3}+3(-1)^{2}+2 a(-1)+b=0 \)
বা, \(-1+3-2 a+b=0\)
বা, \(2-2 a+b=0 \)
বা, \(b=2 a-2 \ldots(i)\)
ধরি, \(P(x)=0 \)
বা, \(x+2=0\)
বা, \(x=-2\)
\(\because \) \(P(x), f(x)\)-র একটি উৎপাদক।
\( \therefore f(-2)=0 \)
বা, \((-2)^{3}+3(-2)^{2}+2 a(-2)+b=0\)
বা, \(-8+12-4 a+b=0\)
বা, \(4-4 a+2 a-2=0\quad[(i)\) থেকে পাই, \(b=2 a-2]\)
বা, \(-2 a+2=0 \quad\)
বা, \(-2 a=-2 \quad\)
বা, \(a=1\)
\((i)\) নং সমীকরণে \(a = 1\) বসিয়ে পাই,
\(b=2 \times 1-2=0\)
\(\therefore\) \(a = 1\) এবং \(b = 0\)

ধরি, \(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+x-6, g(x)=x-2\)
এবং \(P(x)=(x+2)\)
ধরি, \(g(x) = 0\)
বা, \(x - 2 = 0\)
বা, \(x = 2\)
\(\because \) \(g(x) \) দিয়ে \(f(x)\)-কে ভাগ করলে ভাগশেষ \(4\) হয়
সুতরাং, \(f(2) = 4\)
বা, \(a(2)^{3}+b(2)^{2}+2-6=4\)
বা, \(8 a+4 b-4=4\)
বা, \(4 b=4+4-8 a\)
বা, \(4 b=8-8 a \)
\(\therefore\) \(b=2-2 a \ldots (i) \)
আবার ধরি, \(P(x) = 0 \)
বা, \(x + 2 = 0\)
বা, \( x = - 2 \)
\(\because \) \( P(x), f(x)\)-এর একটি উৎপাদক
\(\therefore f(-2) = 0\)
বা, \(a(-2)^{3}+b(-2)^{2}+(-2)-6=0\)
বা, \(-8a + 4b-2-6 = 0\)
বা, \(-8 a+4 b-8=0 \quad\)
বা, \(-2 a+b-2=0\)
বা, \(-2 a+2-2 a-2=0\quad[\because b=2-2 a,(i)\) থেকে পাই\(]\)
বা, \(-4 a=0 \)
\(\therefore a=0\)
\((i)\) নং সমীকরণে \(a = 0\) বসিয়ে পাই,
\(b=2-0\)
বা, \( b=2\)
\(\therefore\) \(a=0, b=2\)

\(x-y=0\)
বা, \(x=y\)
মনে করি, \(f(x, y)=x^{n}-y^{n}\)
\( \therefore f(x, x)=x^{n}-x^{n}=0 \)
\(\therefore(x-y), x^{n}-y^{n} \)-এর উৎপাদক।

\(x+y=0\)
বা, \(x=-y\)
মনেকরি, \(f(x, y)=x^{n}+y^{n}\)
\(\therefore f(-y, y)=(-y)^{n}+y^{n}\)
\(=-y^{n}+y^{n}\quad[\because n\) অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা\(]\)
\(=0\)
\(\therefore(x+y), x^{n}+y^{n}\)-এর একটি উৎপাদক যখন \(n\) অযুগ্ম ধনাত্মক পর্ণসংখ্যা।

\(x-y=0\)
বা, \(x=y\)
মনে করি, \(f(x, y)=x^{n}+y^{n}\)
\(\therefore f(y, y)=y^{n}+y^{n}=2 y^{n} \neq 0\)
\(\therefore(x-y), x^{n}+y^{n}\)-এর কখনই উৎপাদক হতে পারে না, \(n\) যুগ্ম বা অযুগ্ম যাই হোক না কেন।

\(x+2=0\)
বা, \(x=-2\)
\((x + 2)\) দ্বারা \(f(x)=x^{3}+6 x^{2}+4 x+k\) বিভাজ্য হলে,
\(f(-2) = 0\) হবে।
বা, \((-2)^{3}+6(-2)^{2}+4(-2)+k=0 \)
বা, \(-8+24-8+k=0\)
বা, \(k+8=0\)
বা, \(k=-8 \)

\(\because f\left(-\frac{1}{2}\right)=0 \)
\(\therefore x=-\frac{1}{2}\)
বা, \(2 x=-1\)
\(\therefore (2 x+1)=0\)
\(\therefore\) \(f(x)\)-র একটি উৎপাদক \((2 x+1)\)

\(f(x)\)-র একটি উৎপাদক \((x - 1 )\) হলে \(f(1) = 0\) হবে।
কিন্তু \(\because g(x)\)-র একটি উৎপাদক \((x −1)\) নয়,
\(\therefore g(1) \neq 0\)
এখন \(f(1) \times g(1)=0\quad[\because f(1)=0\) কিন্তু \(g(1) \neq 0]\)
\(\therefore\) \( f(x).g(x)\)-এর একটি উৎপাদক \((x - 1 )\)

\(x+1=0\)
বা, \(x=-1\)
ধরি, \(f(x)=x^{n}+1 ;(x+1), f(x)\)-র একটি উৎপাদক হবে যদি \(f(- 1) = 0 \) হয়
বা, \((-1)^{n}+1=0\)
এটি সম্ভব যদি \(n\) অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয়।

\(n^{2}-1=0\)
বা, \((n+1)(n-1)=0\)
হয় \(n + 1 = 0\)
\(\therefore n = - 1\)
অথবা \(n - 1 = 0\)
\(\therefore n=1\)
\(f(n)=a n^{4}+b n^{3}+c n^{2}+d n+e\)-এর উৎপাদক
\(\left(n^{2}-1\right)\) হলে \(f(-1) = 0\) এবং \(f(1) = 0\) হবে।
\(\therefore\) \(f(-1)=a(-1)^{4}+b(-1)^{3}+c(-1)^{2}+d(-1)+e=0\)
\(\therefore\) \(a-b+c-d+e=0 \)
\(\therefore\) \(a+c+e=b+d\)

\(x+a=0\)
বা, \(x=-\mathrm{a}\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}+a x^{2}-2 x+a-12\)
\(f(x)\)-র একটি উৎপাদক \( (x + a)\) হলে, \(f (- a) = 0\) হবে।
\(\therefore f(-a) = 0\)
বা, \((-a)^{3}+a \cdot(-a)^{2}-2(-a)+a-12=0\)
বা, \(-a^{3}+a^{3}+2 a+a-12=0\)
বা, \(3 a=12 \)
বা, \(a=4\)
\(\therefore a\)-র নির্ণেয় মান \(4\)

ধরি, \(P(x)=k^{2} x^{3}-k x^{2}+3 k x-k\)
\(x-3=0 \)
বা, \(x=3\)
\(\because (x-3) ; P(x)\)-র একটি উৎপাদক
\(\therefore P(3)=0\)
বা, \(k^{2}(3)^{3}-k(3)^{2}+3 k(3)-k=0\)
বা, \(27 k^{2}-9 k+9 k-k=0 \)
বা, \(27 k^{2}-k=0 \)
বা, \(k(27 k-1)=0\)
\(\therefore\) হয় \(k=0\) অথবা \(27 k-1=0\)
\(\therefore k=\frac{1}{27}\)
\(\therefore k\)-এর মান \(0, \frac{1}{27}\)

\( \because f(x)=2 x+5 \)
\(\therefore f(-x)=2(-x)+5=-2 x+5\)
\(\therefore f(x)+f(-x)=2 x+5-2 x+5=10\)

\(\because P x^{2}+5 x+r\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \((x-2)\)
\(\therefore P(2)^{2}+5 \times 2+r=0\)
বা, \(4 P+10+r=0\)
\(\therefore r=-4 P-10\ldots(i)\)
আবার, \(\because P x^{2}+5 x+r\)-এর একটি উৎপাদক \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\)
\(\therefore P\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\frac{1}{2}\right)+r=0\)
বা, \(\frac{P}{4}+\frac{5}{2}+r=0\)
বা, \(\frac{P}{4}+\frac{5}{2}+(-4 P-10)=0\)
\(\quad\quad[\because (i)\) থেকে পাই, \(r=-4 P-10]\)
বা, \(\frac{P}{4}+\frac{5}{2}-4 P-10=0\)
বা, \(\frac{P+10-16 P-40}{4}=0\)
বা, \(-15 P-30=0\)
বা, \(-15 P=30\)
বা, \(P=-2\)
\((i) \) নং সমীকরণে \(P = - 2\) বসিয়ে পাই,
\(r=-4(-2)-10\)
বা, \( r=8-10\)
বা, \(r=-2\)
\(\therefore\) \(P=r=-2 \)

ধরি, \(f(x)=2 x+3=0\)
বা, \(2 x=-3 \)
বা, \(x=-\frac{3}{2}=-1 \frac{1}{2}\)
\(\therefore f(x)=2 x+3\) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার বীজ \(-1 \frac{1}{2}\)