\(x - 2 = 0 \)
বা, \(x = 2 \)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)
\( \therefore f(2)=2^{3}-3 \cdot 2^{2}+2 \cdot 2+5=8-12+4+5=5 \)
\(\therefore x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)-কে \((x - 2)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(5\) হবে।

\(x+2=0\)
বা, \(x=-2\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)
\( \therefore f(-2)=(-2)^{3}-3(-2)^{2}+2(-2)+5 \)
বা, \(f(-2)=-8-12-4+5=-19\)
\(\therefore x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)-কে \((x + 2)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(- 19\) হবে।

\(2 x-1=0\)
বা, \(x=\frac{1}{2}\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)
\(\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2 \cdot \frac{1}{2}+5\)
বা, \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}-\frac{3}{4}+1+5\)
বা, \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1-6+8+40}{8}=\frac{43}{8}=5 \frac{3}{8}\)
\(\therefore x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)-কে \(( 2x - 1 )\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(5 \frac{3}{8}\) হবে।

\(2 x+1=0\)
বা, \(x=-\frac{1}{2}\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)
\(\therefore f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}-3 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+2\left(-\frac{1}{2}\right)+5\)
বা, \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}-\frac{3}{4}-1+5\)
বা, \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-1-6-8+40}{8}=\frac{25}{8}=3 \frac{1}{8}\)
\(\therefore x^{3}-3 x^{2}+2 x+5\)-কে \((2x + 1)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(3 \frac{1}{8}\) হবে।

\(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-6 x^{2}+13 x+60\)
\(\therefore f(1)=1^{3}-6 \cdot 1^{2}+13 \cdot 1+60=1-6+13+60=68\)
\(\therefore x^{3}-6 x^{2}+13 x+60\)-কে \((x - 1 )\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(68\) হবে।

\(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x+50\)
\(\therefore f(1)=1^{3}-3 \cdot 1^{2}+4 \cdot 1+50=1-3+4+50=52\)
\( \therefore x^{3}-3 x^{2}+4 x+50 \)-কে \((x - 1) \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \( 52\) হবে।

\(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
ধরি, \(f(x)=4 x^{3}+4 x^{2}-x-1\)
\(\therefore f(1)=4 \cdot 1^{3}+4 \cdot 1^{2}-1-1=4+4-1-1=6\)
\(\therefore 4 x^{3}+4 x^{2}-x-1\)-কে \((x -1 )\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(6\) হবে।

\(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
ধরি, \(f(x)=11 x^{3}-12 x^{2}-x+7\)
\(\therefore f(1)=11 \cdot 1^{3}-12 \cdot 1^{2}-1+7=11-12-1+7=5\)
\(\therefore 11 x^{3}-12 x^{2}-x+7\)-কে \((x-1)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(5\) হবে।

\(x-3=0\)
বা, \(x=3\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-8\)
\(f(3)=3^{3}-6 \cdot 3^{2}+9 \cdot 3-8=27-54+27-8=-8\)
\(\therefore x^{3}-6 x^{2}+9 x-8\)-কে \( (x - 3)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(-8\) হবে।

\(x-\mathrm{a}=0\)
বা, \(x=\mathrm{a}\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}-a x^{2}+2 x-a\)
\(\therefore f(a)=a^{3}-a \cdot a^{2}+2 \cdot a-a=a^{3}-a^{3}+2 a-a=a\)
\( \therefore x^{3}-a x^{2}+2 x-a \) কে \((x - a)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(a\) হবে।

\(2 x+1=0\)
বা, \(x=-\frac{1}{2}\)
\(\because p(x)=4 x^{3}+4 x^{2}-x-1\)
\(\therefore p\left(-\frac{1}{2}\right)=4 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}+4\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)-1\)
বা, \(p\left(-\frac{1}{2}\right)=4 \cdot\left(-\frac{1}{8}\right)+4 \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1 \)
বা, \(p\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-1=0\)
\(\because \mathrm{P}\left(-\frac{1}{2}\right)=0,\)
\( \therefore(2 x+1)\) দিয়ে \(P(x) \) কে ভাগ করলে ভাগশেষ \(0\) হবে।
অর্থাৎ, \(( 2x + 1) \) দ্বারা \(P(x)\) সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য।
\(\therefore\) \((2x + 1)\) হল \(P(x)\)-এর একটি গুণনীয়ক
অর্থাৎ, \(P(x)=4 x^{3}+4 x^{2}-x-1\) বহুপদী সংখ্যামালা \((2x+1)\)-এর গুণিতক।

\(x-4=0\)
বা, \(x=4\)
ধরি, \(f(x)=a x^{3}+3 x^{2}-3\)
\(\therefore f(4)=a \cdot 4^{3}+3 \cdot 4^{2}-3=64 a+48-3=64 a+45\)
\(\therefore a x^{3}+3 x^{2}-3\)–কে \( (x - 4 )\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \((64 a+45)\) থাকবে।
আবার, ধরি, \(g(x)=2 x^{3}-5 x+a\)
\(\therefore g(4)=2 \cdot 4^{3}-5 \cdot 4+a=128-20+a=108+a\)
\( \therefore 2 x^{3}-5 x+a \)-কে \((x - 4) \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \((108 + a)\) থাকবে।
প্রশ্নানুসারে, \(64a + 45 = 108+ a\)
বা, \(64 a-a=108-45 \)
বা, \(63 a=63 \)
বা, \(a=1\)
\(\therefore a\)-এর নির্ণেয় মান \(1\)।

\(x+1=0\)
বা, \(x=-1\)
ধরি, \(f(x)=x^{3}+2 x^{2}-P x-7\)
\(\therefore f(-1)=(-1)^{3}+2 \cdot(-1)^{2}-P(-1)-7\)
বা, \(f(-1)=-1+2+P-7=P-6\)
\(\therefore x^{3}+2 x^{2}-P-7\)-কে \( (x + 1)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \((P - 6)\) হবে।
\(\therefore\) প্রথম শর্তানুসারে, \(R_{1}=P-6\)
\(\therefore 2 R_{1}=2 P-12 \ldots(i)\)
\(x - 2 = 0\)
বা, \(x = 2\)
আবার ধরি, \(g(x)=x^{3}+P x^{2}-12 x+6\)
\(\therefore g(2)=2^{3}+P \cdot 2^{2}-12 \cdot 2+6\)
বা, \(g(2)=8+4 P-24+6=4 P-10\)
\(\therefore x^{3}+P x^{2}-12 x+6\)-কে \( (x - 2)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \((4p -10)\) হবে।
\(\therefore\) দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \(R_{2}=4 P-10 \ldots (ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) যোগ করে পাই,
\(2 R_{1}+R_{2}=2 P-12+4 P-10\)
বা, \(6=6 p-22\quad\left[\because 2 R_{1}+R_{2}=6, \text{প্রদত্ত}\right]\)
বা, \(28=6 P\)
বা, \(P=\frac{28 }{6 }=\frac{14}{3}=4 \frac{2}{3}\)
\(\therefore P\)-র নির্ণেয় মান \(4 \frac{2}{3}\)

\(x-1=0\)
বা, \(x=1\)
ধরি, \(P(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-a x+b\)
\(\therefore P(1)=1^{4}-2 \cdot 1^{3}+3 \cdot 1^{2}-a \cdot 1+b\)
বা, \(P(1)=1-2+3-a+b=2-a+b\)
\(\therefore x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-a x+b\)-কে \((x - 1)\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \((2- a + b)\) হবে।
প্রথম শর্তানুসারে, \(2-a+b=5 \)
\(\therefore b=3+a \ldots(i)\)
\(x+1=0\)
বা, \(x=-1\)
\(\therefore P(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{3}+3(-1)^{2}-a(-1)+b\)
বা, \(P(-1)=1+2+3+a+b=6+a+b\)
\(\therefore x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-a x+b\) কে \((x + 1) \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \((6 + a + b)\) হবে।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, \( 6 +a+b = 19\)
বা, \(6+a+3+a=19\quad\) [\((i)\) থেকে পাই ]
বা, \(2 a=19-9 \)
বা, \(2 a=10\)
বা, \(a=5\)
\((i)\) নং সমীকরণে \(a = 5\) বসিয়ে পাই,
\(b = 3 + 5\)
\(\therefore b = 8\)
\(\therefore P(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-5 x+8\)
\(x+2=0\)
বা, \(x=-2\)
\(\therefore P(-2)=(-2)^{4}-2(-2)^{3}+3(-2)^{2}-5(-2)+8\)
বা, \(P(-2)=16+16+12+10+8=62\)
\(\therefore\) \((x+2)\) দিয়ে \(x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-5 x+8\)-কে ভাগ করলে, ভাগশেষ \(62\) হবে।

\( f(x)=\frac{a(x-b)}{a-b}+\frac{b(x-a)}{b-a} \)
\(\therefore\) \(f(a)=\frac{a(a-b)}{(a-b)}+\frac{b(a-a)}{b-a}=a\ldots(i) \)
এবং, \(f(b)=\frac{a(b-b)}{a-b}+\frac{b(b-a)}{b-a}=b\ldots(ii)\)
\(f(a+b)=\frac{a(a+b-b)}{a-b}+\frac{b(a+b-a)}{b-a}\)
\( =\frac{a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{b-a}\)
\(=\frac{a^{2}}{a-b}-\frac{b^{2}}{a-b}\)
\(=\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b} \)
\(=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)}\)
\(=a+b \ldots (iii) \)
\((i)\) ও \((ii)\) যোগ করে পাই,
\(f(a)+f(b)=a+b\)
\(\therefore f(a)+f(b)=f(a+b)\quad\) [\((iii)\) থেকে পাই] (প্রমাণিত)

\(f(x)=a x+b\)
\(\therefore\) \(f(0)=a \cdot 0+b=b \)
\(\because \) \(f(0)=3 \) (প্রদত্ত)
\(\therefore\) \(b=3 \)
\(f(2)=a \cdot 2+b=2 a+3 \quad[\because b=3]\)
\(\because \) \(f(2)=5\) (প্রদত্ত)
বা, \(2 a+3=5\)
বা, \(2 a=2\)
বা, \(a=1\)
\(\therefore\) \(a=1\) এবং \(b=3\)

\(f(x)=a x^{2}+b x+c\)
\(\therefore\) \(f(0)=a \cdot 0^{2}+b \cdot 0+c=c\)
\(\because f(0)=2\) (প্রদত্ত)
\(\therefore c=2\)
আবার, \(f(1)=a \cdot 1^{2}+b \cdot 1+c=a+b+c\)
\(f(1)=a+b+2\quad[\because c=2]\)
\(\because f(1)=1\) (প্রদত্ত)
\( \therefore a+b+2=1 \)
বা, \( a=1-b-2 \)
\(\therefore a=-1-b \ldots(i)\)
আবার, \( f(4)=a \cdot 4^{2}+b \cdot 4+c=16 a+4 b+2\quad[\because c=2] \)
\(\because f(4)=6\) (প্রদত্ত)
\(\therefore 16 a+4 b+2=6\)
বা, \(16(-1-b)+4 b+2=6 \)
বা, \(-16-16 b+4 b=6-2\)
বা, \(b=-\frac{20}{12}\)
\(\therefore\) \(b=-\frac{5}{3}\)
\(\therefore b=-1 \frac{2}{3}\)
\((i)\) নং সমীকরণে \(b=-\frac{5}{3}\) বসিয়ে পাই,
\(a=-1-\left(-\frac{5}{3}\right)=-1+\frac{5}{3}=\frac{-3+5}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\therefore a=\frac{2}{3}, b=-1 \frac{2}{3}\) এবং \(c=2\)

\(\sqrt{2} x^{2}-\sqrt{3} x+6\) একটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা।

\((x- 1)\) একটি বহুপদী সংখ্যামালা

\((x + 1)\) একটি রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা

\(x^{2}+5 x+6\) একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা

\(\sqrt{3}=\sqrt{3} x^{0}\) হওয়ায়, \(\sqrt{3}\) বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা \(0\)

\(p(x)=2 x-3\)
\(2 x-3=0\)
বা, \(x=\frac{3}{2}\)
\(\therefore p(x)=2 x-3\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(\frac{3}{2}\)

\(p(x)=x+4\)
\(\therefore\) \(p(-x)=-x+4\)
\(\therefore\) \(p(x)+p(-x)=x+4-x+4=8\)

\(p(x)=x^{3}+4 x^{2}+4 x-3\)-কে \(x\) দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখন \(x\) এই বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(0\)
\(\therefore p(0)=0^{3}+4.0^{2}+4.0-3=-3\)
\(\therefore x^{3}+4 x^{2}+4 x-3\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \( x\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(-3\) হবে।

\((3 x-1)^{7}=a_{7} x^{7}+a_{6} x^{6}+a_{5} x^{5}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\)
উভয়পক্ষে \(x = 1 \) বসিয়ে পাই,
\((3.1-1)^{7}=a_{7} \cdot 1^{7}+a_{6} \cdot 1^{6}+a_{5} \cdot 1^{5}+\ldots+a_{1} \cdot 1+a_{0}\)
বা, \(2^{7}=a_{7}+a_{6}+a_{5}+\ldots \ldots+a_{1}+a_{0}\)
\(\therefore a_{7}+a_{6}+a_{5}+\ldots+a_{1}+a_{0}=128\)