সমাধান : \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2}{x}=1-\frac{3}{y}=\frac{y-3}{y}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{y-3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2 y}{y-3}\)

সমাধান : \(2 x+3 y=9\)
বা, \(2 x+3\left(\frac{7-4 x}{-5}\right)=9\)
বা, \(-10 x+21-12 x=-45\)
বা, \(-22 x=-45-21=-66\)
\(\therefore x=3\)

সমাধান : (a) \(3 x-y=7\)
বা, \(y=3 x-7\).......(i)
বা, \(2 x+4 y=0\).......(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে \(3 x-7\) বসিয়ে পাই।
বা, \(2 x+4(3 x-7)=0\)
বা, \(2 x+12 x-28=0\)
\(14 x=28 \Rightarrow x=2\)
(i) নং সমীকরণে \(x=2\) বসিয়ে পাই, \(y=3 \times 2-7=-1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=2, y=-1\)

(b) \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2\)
বা, \(\frac{y}{3}=2-\frac{x}{2}\)
বা, \(y=\frac{3}{2} (4-x)\) ………(i)
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=2\)
বা, \(x+2 y=8\) ………(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে \(\frac{3}{2}(4-x)\) বসিয়ে পাই,
বা, \(x+2 \times \frac{3}{2}(4-x)=8\)
বা, \(x+12-3 x=8\)
বা, \(-2 x=-4 \)
\(\therefore x=2\)
(i) নং সমীকরণে \(x=2\) বসিয়ে পাই
\(y=\frac{3}{2}(4-2)=\frac{3}{2} \times 2=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=2, y=3\)

সমাধান : \(2 x+\frac{3}{y}=1\)
\(\frac{1}{y}=\frac{1-2 x}{3}\)…….(i)
\(5 x-\frac{2}{y}=\frac{11}{12}\)……..(ii)
(ii) নং সমীকরণে \(\frac{1}{y}\)এর পরিবর্তে \(\frac{1-2 x}{3}\) বসিয়ে পাই,
\(5 x-\frac{2}{3}(1-2 x)=\frac{11}{12}\)
বা, \(15 x-2+4 x=\frac{11}{4}\)
বা, \(4 (19 x-2)=11\)
বা, \(76 x-8=11 \)
বা, \(x=\frac{19}{76}\)
\(\therefore x=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{y}=\frac{1-2 x}{3}=\frac{1-2 \times \frac{1}{4}}{3}=\frac{1-\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান , \(x=\frac{1}{4}, \quad y=6\)
যাচাই : \(2 x+\frac{3}{y} = 2 \times \frac{1}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(5 x-\frac{2}{y}=5 \times \frac{1}{4}-\frac{2}{6}=\frac{5}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}\)
\(x=\frac{1}{4}, y=6\) মান (i) ও (ii) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

সমাধান : \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=2\)
বা, \(\frac{3}{y}=2-\frac{2}{x}\)
\(\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)\)…….(i)
\(\frac{5}{x}+\frac{10}{y}=\frac{35}{6}\)………(ii)
(ii) নং সমীকরণে \(\frac{1}{y}\)-এর পরিবর্তে \(\frac{1}{3}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{5}{x}+\frac{10}{3}\left(\frac{2 x-2}{x}\right)=\frac{35}{6}\)
বা, \(15+10(2 x-2)=\frac{35}{6} \times 3 x\)
বা, \(30+40 x-40=35 x\)
বা, \(5 x=10 \quad \therefore x=2\)
(i) নং সমীকরণে \(x=2\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{2 \times 2-2}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{3} \times \frac{2}{2}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=2, y=3\)
যাচাই : \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=1+1=2\)
\(\frac{5}{x}+\frac{10}{y}=\frac{5}{2}+\frac{10}{3}=\frac{35}{6}\)
\(\therefore x=2 , y=3\) মান (i) ও (ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে

সমাধান \(\frac{x+y}{x y}=3\)
বা, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\)
\(\frac{1}{y}=3-\frac{1}{x}\)………(i)
\(\frac{x-y}{x y}=1\)
\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=1\)….....(ii)
(ii) নং সমীকরণে \(\frac{1}{y}\)-এর পরিবর্তে \(3-\frac{1}{x}\) বসিয়ে পাই
\(3-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=1,\)
বা, \(3-\frac{1+1}{x}=1\)
\( \Rightarrow x=1\)
(i) নং সমীকরণে \(x=1\) বসিয়ে পাই, \(\frac{1}{y}=3-\frac{1}{1}=2\)
\(y=\frac{1}{2}\)
নির্ণেয় সমাধান \(x=1, \quad y=\frac{1}{2}\)
যাচাই : বামপক্ষ \(=\frac{1+\frac{1}{2}}{1 \frac{1}{2}}=\frac{3}{2} \times \frac{2}{1}=3=\)ডানপক্ষ
বামপক্ষ\(=\frac{1-\frac{1}{2}}{1 \cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{1}=1\)ডানপক্ষ
\(x=1, y=\frac{1}{2}\) মান (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে

সমাধান : \(3(x+y)=7(x-y) x+y=\frac{7}{10}\)……(ii)
বা, \(3 x+3 y=7 x-7 y\)
বা, \(4 x=10 y\)
\(x=\frac{5}{2} y\)…….(i)
(i) নং সমীকরণে \(x\) এর পরিবর্তে \(\frac{5}{2} y\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{5}{2} y+y=\frac{7}{10}\)
বা, \(\frac{7 y}{2}=\frac{7}{10} \Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(x=\frac{5}{2}, y=\frac{5}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=\frac{1}{2} ; y=\frac{1}{5}\)
যাচাই : \(2 x-5 y=2 \times \frac{1}{2}-5 \times \frac{1}{5}=0\)
\(x+y=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}\)
\(x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{5}\) মান (i) নং ও (ii) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

সমাধান : \(2(x-y)=3\)
বা, \(2 x=2 y+3\)
\(x=\frac{2 y+3}{2}\)..........(i)
\(5 x+8 y=14\)………(ii)
(ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \(\frac{2 y+3}{2}\) বসিয়ে পাই,
\(5\left(\frac{2 y+3}{2}\right)+8 y=14\)
বা, \(10 y+15+16 y=28\)
বা, \(26 y=13 \quad \therefore y=\frac{1}{2}\)
(i) নং \(y=\frac{1}{2}\) বসিয়ে পাই
\(x=\frac{2 \times \frac{1}{2}+3}{2}=\frac{1+3}{2}=2\)
নির্ণেয় সমাধান \(x=2, \quad y=\frac{1}{2}\)

\(2 x+\frac{3}{y}=5 \ldots (i)\), \(5 x-\frac{2}{y}=3 \ldots (ii)\)
(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
\(2 x+\frac{3}{y}=5\)
বা, \(\frac{3}{y}=5-2 x \quad \therefore \frac{1}{y}=\frac{5-2 x}{3}\ldots(iii)\)
(ii) নং সমীকরণে \(\frac{1}{y}\) এর পরিবর্তে \(\frac{5-2 x}{3}\) বসিয়ে পাই, \(5 x-2 \times \frac{5-2 x}{3}=3\)
বা, \(5 x-\frac{10-4 x}{3}=3\)
বা, \(\frac{15 x-10+4 x}{3}=3\)
বা, \(19 x-10=9\)
বা, \(19 x=19\)
বা, \(x=1\)
(i) নং সমীকরণে \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই,
\(2 \times 1+\frac{3}{y}=5\)
বা, \(\frac{3}{y}=5-2\)
বা, \(\frac{3}{y}=3\)
বা, \(y=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=1, y=1\)

সমাধান : \(\frac{y}{3}=1-\frac{x}{2}\)
\(y=3\left(1-\frac{x}{2}\right)\)…....(i)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\)…….(ii)
(i) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে \(3\left(1-\frac{x}{2}\right)\) বসিয়ে পাই
\(\frac{x}{3}+\frac{1}{2} \times 3\left(1-\frac{x}{2}\right)=1\)
বা, \(\frac{x}{3}+\frac{3}{2}-\frac{3 x}{4}=1\)
বা, \(\frac{x}{3}-\frac{3 x}{4}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\)
বা, \(-\frac{5 x}{12}=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{6}{5}\)
(i) নং সমীকরণে \(x=\frac{6}{5}\) বসিয়ে পাই,
\(y=3\left(1-\frac{1}{2} \times \frac{6}{5}\right)=3\left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{6}{5}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=y=\frac{6}{5}\)

সমাধান : \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4} \ldots \ldots\)(i)
\( 7 x-5 y=2 \ldots\ldots\) (ii)
\(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k\) (ধরি),
\(x=3 k, y=4 k\)
(ii) নং সমীকরণে \(x=3 k, y=4 k\) বসিয়ে পাই,
\(7 x-5 y=2\)
বা, \(7 \times 3 k-5 \times 4 k=2\)
বা, \(21 k-20 k=2\)
\(\therefore k=2\)
\(x=3 \times 2, \quad y=4 \times 2\)
\(x=6, \quad y=8\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=6, y=8\)

সমাধান : \(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=1\)
\(\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)\)……..(i)
\(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{19}{20}\)……….(ii)
(ii) নং সমীকরণে \(\frac{1}{y}\)-এর পরিবর্তে \(\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{3}{x}+\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{19}{20}\)……..(ii)
বা, \(\frac{3}{x}+\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{19}{20}\)
বা, \(\frac{3}{x}+\frac{2}{5}-\frac{4}{5 x}=\frac{19}{20}\)
বা, \(\frac{3}{x}+\frac{4}{5 x}=\frac{19}{20}-\frac{2}{5}\)
বা, \(\frac{15-4}{5 x}=\frac{19-8}{20}\)
বা, \(\frac{11}{5 x}=\frac{11}{20}\)
বা, \(5 x=20\)
\(\therefore x=4\)
\(\therefore \frac{1}{y}=\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{5}\left(1-\frac{2}{4}\right) \quad[\because x=4]\)
\(=\frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{10}\) \(\therefore y=10\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=4, y=10\)

সমাধান : \(\frac{1}{3}(x-y)=\frac{1}{4}(y-1)\)
\(4 x-5 y=7(x-7)\)
বা, \(4 x-4 y=3 y-3\)
বা, \(4 x=7 y-3\)
\(x=\frac{7 y-3}{4}\)…….(i)
(i) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে \(\frac{7 y-3}{4}\) বসিয়ে পাই
\(7 y-3-5 y=7\left(\frac{7 y-3}{4}-7\right)\)
বা, \(4(2 y-3)=7(7 y-31)\)
বা, \(8 y-12=49 y-217\)
বা, \(-41 y=-217+12=-205 \quad \therefore y=5\)
\(\therefore x=\frac{7 y-3}{4}=\frac{7 \times 5-3}{4}=\frac{35-3}{4}=\frac{32}{4}=8\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=8, y=5\)

সমাধান : \(\frac{x}{14}+\frac{y}{18}=1\)
বা, \(9 x+7 y=126\)
\(y=\frac{126-9 x}{7}\)…....(i)
\(2(x+y)+3 x-5 y=8\)
\(5 x-3 y=8\)……..(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই
\(5 x-3 \frac{(126-9 x)}{7}=8\)
বা, \(35 x-378+27 x=56\)
বা, \(62 x=56+378=434\)
\(\therefore x=\frac{424}{62}=7\)
\(\therefore y=\frac{126-9 x}{7}=\frac{126-9 x}{7}=\frac{63}{7}=9\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=7, y=9\)

সমাধান : \(p(x+y)=2 p q\)
বা, \(x+y=2 q\)
\(y=2 q-x\)......(i)
\(q(x-y)=2 p q\)
\(x-y=2 p q\).......(ii)
(ii) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে \(2 q-x\) বসিয়ে পাই।
\(x-(2 q-x)=2 p\)
বা, \(2 x=2 p+2 q=2(p+q)\)
\(\therefore x=p+q\)
(i) নং সমীকরণে \(x=p+q\) বসিয়ে পাই,
\(y=2 q-(p+q)=q-p\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=p+q, \quad y=q-p\)