\(8 x+5 y=11\)..........(i)
\(3 x-4 y=10\)...........(ii)
(i) নং সমীকরণকে 4 ও (ii) নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে পাই।
\(32 x+20 y=44 \ldots \ldots \ldots . .(iii)\)
\({15 x-20 y=50 \ldots \ldots . .(iv)}\)
\(\underline{+\quad\quad+\quad\quad+\quad\quad\quad\quad\quad}\)
\(47 x=94\)
\(x=2\)
(i) নং সমীকরণে \(x\) = 2 বসিয়ে পাই
\(8 \times 2+5 y=11\)
\(5 y=11-16=-5\)
\(y=-1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(\left(x, y\right)=(2,-1)\)
দ্বিতীয় অংশ :
(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
\(8 x+5 y-11=0\)
বা, \(5 y=11-8 x\)
\(\therefore y=\frac{11-8 x}{5}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline x & 2 & -3 & 7 \\
\hline y & -1 & 7 & -9\\
\hline
\end{array}\)
(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
\(3 x-4 y-10=0\)
বা, \(3 x-10=4 y\)
\(\therefore y=\frac{3 x-10}{4}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline x & 2 & -2 & -6 \\
\hline y & -1 & -4 & -7\\
\hline
\end{array}\)

(i) নং ও (ii) নং সরলরেখা যথাক্রমে \(\overleftrightarrow{A B}\) ও \(\overleftrightarrow{C D}\) দ্বারা চিহ্নিত যারা পরস্পরকে P (2,-1) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=2, y=-1\)
\(\therefore\) অপনয়ন পদ্ধতি ও লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একই সমাধান পাওয়া গেল।

\(2 x+3 y=7\)............(i)
\(3 x+2 y=8\)............(ii)
(i) নং সমীকরণকে 2 দিয়েও (ii) নং সমীকরণ 3 দ্বারা গুণ করে পাই।
\(4 x+6 y=14\)............(iii)
\(9 x+6y=24\)..............(iv)
\(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}\)
\(-5 x=-10\)
\(x=2\)
(i) নং সমীকরণের \(x\) = 2 বসিয়ে পাই
\(2 \times 2+3 y=7\)
\(3 y=3\)
\(y=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \((x, y)=(2,1)\)
দ্বিতীয় অংশ :
\(2 x+3 y-7=0\ldots(i)\)
বা, \(3 y=7-2 x \quad \therefore y=\frac{7-2 x}{3}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline x & 2 & -1 & -4 \\
\hline y & 1 & 3 & 5\\
\hline
\end{array}\)
\(3 x+2 y-8=0\ldots(ii)\)
বা, \(2 y=8-3 x \quad \therefore y=\frac{8-3 x}{2}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline x & 2 & -2 & 4 \\
\hline y & 1 & 7 & -2\\
\hline
\end{array}\)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ দ্বারা উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় যথাক্রমে \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ও \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) দ্বারা চিহ্নিত যারা পরস্পরকে P (2, 1) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 2, y = 1\)

সমাধান : \(7 x-5 y=-2\).............(i)
\(2 x+15 y=-3\)...........(ii)
(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (ii) নং সমীকরণের সঙ্গে যোগ করলে y হয়।

\(4 x-3 y=16\) সমীকরণকে সব থেকে ছোটো স্বাভাবিক সংখ্যা ( + 3) এবং \(6 x+5 y=62\) সমীকরণকে সব থেকে ছোটো স্বাভাবিক সংখ্যা (+ 2) দিয়ে গুণ করলে দুটি সমীকরণের \(x\)-এর সহগ সমান হবে।

\(3 x+2 y=6 \ldots \ldots \ldots (i) \times 3\)
\(2 x-3 y=17 \ldots \ldots(ii) \times 2\)
\(9 x+6 y=18 \ldots \ldots(iii) \)
\(\underline{4 x-6 y=34 \ldots \ldots(iv)\quad}\)
\(13 x=52 \Rightarrow x=4\)
(i) নং সমীকরণে \(x\) = 4 বসিয়ে পাই
\(3 \times 4+2 y=6\)
\(\therefore 2 y=-6 \Rightarrow y=-3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=4, y=-3\)

\(2 x+3 y=32\)..........(i) \(\times\) 9
\(-9 x+11 y=3 \ldots \ldots \ldots \ldots\) (ii) \(\times 2\)
\(18 x+27 y=288 \ldots \ldots \ldots\) (iii)
\(\underline {-18 x+22 y=6 \ldots \ldots \ldots(iv)}\)
\(49y=294\)
\(\therefore y=6\)
(i) নং সমীকরণে \(y\) = 6 বসিয়ে পাই
\(\therefore 2 x+3 \times 6=32\)
বা, \(2 x=14\)
\(\therefore \quad x=7\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=7\), y = 6

সমাধান : \(x+y=48 \dots \dots . .(i) \times 2\)
\(2 x-5 y=12 \ldots \ldots(\text { ii }) \times 1\)
\(2 x+2 y=96 \ldots \ldots(\text { iii })\)
\(\underline{2 x-5 y=12 \ldots \ldots \ldots(\text { iv })}\)
বা,\(7 y=-84\)
\(\therefore y=-12\)
(ii) নং সমীকরণে \(y\) = -12 বসিয়ে পাই
\(\therefore 2x-5y=12\)
বা, \(2 x-5\times 12=12\)
\(\therefore x=\frac{12+60}{2}=36\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=36, \quad y=12\)

সমাধান : \(3 x+2 y=48 \ldots \ldots \ldots . .(i) \times(6)\)
\(5 x-12 y=-12 \ldots \ldots \ldots . .\) (ii) \(\times 1\)
\(18 x+12 y=288 \ldots \ldots \ldots\) (iii)
\(\underline{5 x-12 y=-12 \ldots \ldots}\) (iv)
\((i i)+(i v) \Rightarrow 23 x=276\)
\(\therefore x=12\)
(i) নং সমীকরণে \( x\) = 12 বসিয়ে পাই
\(3 \times 12+2 y=48\)
\(2 y=48-36=12\)
\(y=6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=12, y=6\)

সমাধান : \(3 x-\frac{2}{y}=5\).........(i) \(\times\) 2
\(x+\frac{4}{y}=4\).......(ii) \(\times\) 1
\(6 x-\frac{4}{y}=10\).......(iii)
\(\underline{x+\frac{4}{y}=4.……..(iv)}\)
\(7 x=14 \Rightarrow x=2\)
(i) নং সমীকরণে \(x\) = 2 বসিয়ে পাই।
\(3 \times 2-\frac{2}{y}=5\)
\(\frac{2}{y}=6-5=1\)
\(y=2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=2, \quad y=2\)

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 \Rightarrow 3 x+2 y=6\)……….(i) \(\times 2\)
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1 \Rightarrow 2 x+3 y=6\)……….(ii) \(\times 3\)
\(6 x+4 y=12\)
\(6 x+9 y=18\)
\(\underline{-\quad-\quad\quad-}\)
\(-5 y=-6\)
\(y=\frac{6}{5}\)
(ii) নং সমীকরণে \(y=\frac{6}{5}\) বসিয়ে পাই
\(3 \times \frac{6}{5}+2 x=6\)
বা, \(2 x=6-\frac{18}{5}=\frac{12}{5}\)
\(\therefore x=\frac{6}{5}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=\frac{6}{5}, \quad y=\frac{6}{5}\)

সমাধান : \(\frac{x+y}{2}+\frac{3 x-5 y}{4}=2 ; \frac{x}{14}+\frac{y}{18}=1\)
\(2 x+2 y+3 x-5 y=8\)
\(5 x-3 y=8 .......(i) \times 7\)
\(9 x+7 y=126….....(ii) \times 3\)
\(27 x+21 y=378........(iii)\)
\(\underline{35 x-21 y=56........(iv)}\)
\(62 x=434\)
\(\therefore x=\frac{434}{62}=7\)
(i) নং সমীকরণে \(x\) = 7 বসিয়ে পাই।
\(5 \times 7-3 y=8\)
বা, \(3 y=35-8=27\)
\(\therefore y=9\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=7, y=9\)

সমাধান : \(\frac{x y}{x+y}=\frac{1}{5} ; \quad \frac{x y}{x-y}=\frac{1}{9}\)
\(\frac{x+y}{x y}=5\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\)……(i)
\(\frac{x-y}{x y}=9\)
\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=9\)…….(ii)
\(\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=9+5\)
\(\frac{2}{y}=14\)
\(\frac{1}{y}=7 \Rightarrow y=\frac{1}{7}\)
(i) নং সমীকরণ \(y=\frac{1}{7}\) বসিয়ে পাই,
\(7-\frac{1}{x}=9 \Rightarrow \frac{1}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=-\frac{1}{2} ; \quad y=\frac{1}{7}\)

সমাধান : মনে করি, \(\frac{1}{x-1}=a, \quad \frac{1}{y-2}=b\)
\(a+b=3\)......(i)
\(2 a+2 b=6\)
\(2 a+3 b=5\)
\(\underline{-\quad-\quad\quad}\)
\(\quad-b=1\)
\(\therefore b=-1\)
\(2 a+3 b=5\)
বা, \(a+b=3\)
বা, \(a-1=3\)
\(\therefore a=4\)
\(\frac{1}{y-2}=-1\)
বা, \(y-2=-1\)
\(\therefore y=1\)
\(\frac{1}{x-1}=4\)
বা, \(4 x-4=1\)
বা, \(4 x=5\)
\(\therefore x=\frac{5}{4}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=\frac{5}{4}, \quad y=1\)

সমাধান : মনে করি, \(\frac{1}{x+y}=a, \frac{1}{x-y}=b\)
\(14 a+3 b=5........(i)\)
\(21 a-b=2 \ldots . .(\mathrm{ii}) \times 3\)
\(14 a+3 b=5.........(iii)\)
\(\underline{63 a-3 b=6........(iv)}\)
\(77 a=11\) \(a=\frac{1}{7} \)
\( \Rightarrow x+y=7........(v)\)
আবার, \(14 \times \frac{1}{7}+3 b=5\)
বা, \(3 b=5-2=3\)
\(\therefore b=1\)
\(\frac{1}{x-y}=1 \quad \therefore x-y=1........(vi)\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=4, y=3\)

সমাধান : \(\frac{x+y}{5}-\frac{x-y}{4}=\frac{7}{20}\)
বা, \(4 x+4 y-5 x+5 y=7\)
\(-x+9 y=7\)..........(i)
\(\frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{2}+\frac{5}{6}=0\)
বা, \(2 x+2 y-3 x+3 y+5=0\)
\(-x+5 y=-5\)..........(ii)
(i)-(ii) করে পাই, \(4 y=12 \Rightarrow y=3\)
(ii) নং সমীকরণে y = 3 বসিয়ে পাই।
\(-x+5 \times 3=-5\)
বা, \(-x=-20\)
\(\therefore x=20\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=20, y=3\)

সমাধান : \(x+y=a+b\)........(i) ; \(a x-b y=a^{2}-b^{2}............(ii)\)
(i) নং সমীকরণ b দিয়ে গুণ করে পাই ও (ii) নং সমীকরণ 1 দিয়ে গুণ করে পাই,
\(b x+b y=a b+b^{2} \ldots \ldots .\) (iiii)
\(\underline{a x-b y=a^{2}-b^{2} \ldots \ldots \ldots(iv)}\)
বা, \((a+b) x=a b+a^{2}=a(a+b)\)
\(\Rightarrow x=a\)
(i) নং সমীকরণে \(x = a\) বসিয়ে পাই
\(\therefore a+y=a+b \Rightarrow y=b\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=a, y=b\)

সমাধান : \(\frac{x+a}{a}=\frac{y+b}{b}\)
\(\frac{x}{a}+1=\frac{y}{b}+1\)
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)
\(b x=a y, \ldots \ldots \ldots \ldots .(i) \times a\)
\(a x-b y=a^{2}-b^{2} \ldots \ldots \ldots . .(i i) \times b\)
\(a b x-b^{2} y=a^{2} b-b^{3}\)
\(a b x-a^{2} y=0\)
\(\underline{-\quad+\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}\)
\(\left(a^{2}-b^{2}\right) y=b\left(a^{2}-b^{2}\right) \)
\(\Rightarrow y=b\)
(i) নং সমীকরণে \(y=b \) বসিয়ে পাই,
\(bx=ay\)
\(\therefore x=a \)
\(\therefore\)নির্ণেয় সমাধান \(x=a, \quad y=b\)

সমাধান : \(a x+b y=c\)…….(i) \(\times\) a
\(a^{2} x+b^{2} y=c^{2}\)…….(ii) \(\times\) 1
\(a^{2} x+a b y=c a\)
\(\underline{a^{2} x+b^{2} y=c^{2}\quad \quad }\)
\(b(a-b) y=c(a-c)\)
\(\Rightarrow y=\frac{c(a-c)}{b(a-b)}\)
(i) নং সমীকরণে \(y=\frac{c(a-c)}{b(a-b)} \) বসিয়ে পাই,
\(a x+b \times \frac{c(a-c)}{b(a-b)}=c\)
\(a x=c-\frac{ c(a-c)}{(a-b)}\)
\(x=\frac{c(b-c)}{a(b-a)}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=\frac{c(b-c)}{a(b-a)}, y=\frac{c(a-c)}{b(a-b)}\)

সমাধান : \(a x+b y=1……..(i)\)
\(b x+a y=\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}-1=\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} \ldots \ldots \ldots . . .(ii)\)
\((i) +(i i) \)
\(\Rightarrow(a+b)(x+y)=\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)
\(\Rightarrow x+y=\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}} \ldots \ldots \ldots . . .\)(iii)
\((i)-(i i) \)
\(\Rightarrow(a-b)(x-y)=\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)
\(\Rightarrow x-y=\frac{a-b}{a^{2}+b^{2}} \ldots \ldots \ldots . . .\)(iv)
আবার, \((\text { iii })+(\text { iv })\)
\( \Rightarrow 2 x=\frac{2 a}{a^{2}+b^{2}} \)
\(\Rightarrow x=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\)
(iii) -(i v)
\( \Rightarrow 2 y=\frac{2 b}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=\frac{2 a}{a^{2}+b^{2}} , y=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\)

সমাধান : \(7 x-y-6=0-(1) \times 2\)
\(14 x+2 y-16=0\)……….(ii)
\(\underline{14 x-2 y-12=0\quad}\)……….(iii)
\(28 x=28 \) \(\Rightarrow x=1\)
আবার,
\(7 x-y-6=0 \Rightarrow 7 \times 1-y-6=0\)
\(\Rightarrow y=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x=1, y=1\)