(i) \(\frac{17}{80} \)
\(80=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\)
\(\because \frac{17}{80}\)-এর হর \(80\) এবং \(80\) উৎপাদকগুলি হল \(2\) ও \(5\)
\(\because \frac{17}{80}\)-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(ii) \(\frac{13}{24}\)
\(24=2 \times 2 \times 2 \times 3\)
\(\therefore\) \(\frac{13}{24}\)-এর হর \(24\) এবং \(24\)-এর উৎপাদকগুলি হল \(2\) ও \(3\)
\(\therefore\) \(\frac{13}{24}\)-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iii) \(\frac{17}{12} \)
\( 12=2 \times 2 \times 3\)
\(\because \frac{17}{12}\)-এর হর \(12\) এবং \(12\)-এর উৎপাদকগুলি হল \(2\) ও \(3\)
\( \therefore \frac{17}{12} \)-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iv) \(\frac{16}{125}\)
\(125=5 \times 5 \times 5\)
\(\because \) \(\frac{16}{125}\)-এর হর \(125\) এবং \(125\)-এর উৎপাদকটি হল \(5\)
\(\because \frac{16}{125}\)-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(v) \(\frac{4}{35}\)
\(35=5 \times 7\)
\(\because \frac{4}{35}\)-এর হর \(35\) এবং \(35\)-এর উৎপাদকগুলি হল \(5\) ও \(7\)
\(\because \frac{4}{35}\)-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
[যে-কোনো মূলদ সংখ্যাকে দশমিকে বিস্তার করলে সেই মূলদ সংখ্যার হরের মৌলিক উৎপাদকে যদি কেবলমাত্র \(2\) এবং \(5\) থাকে তবে সেই সংখ্যাটি সসীম দশমিক সংখ্যা হবে।]

(i)\(\frac{1}{11}\)

\(\therefore \frac{1}{11}=0.0909 \ldots=0 . \dot{0} \dot{9}\)
\(\therefore\) \(\frac{1}{11}\)-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(ii) \(\frac{5}{8}\)

\(\therefore \frac{5}{8}=0.625\)
\(\therefore\)\(\frac{5}{8}\)-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iii) \(\frac{3}{13}\)

\(\therefore \frac{3}{13}=0.2307692 \ldots=0.\dot{2}3076 \dot{9}\)
\(\therefore\) \(\frac{3}{13}\)-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(iv) \(3 \frac{1}{8} \)
\(=3+\frac{1}{8}\)
\(=3+\frac{1 \times 125}{8 \times 125}\)
\(=3+\frac{125}{1000}\)
\(=3+0.125\)
\(=3.125\)
\(\therefore\) \(3 \frac{1}{8} \)-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(v) \(\frac{2}{11}\)

\(\therefore \frac{2}{11}=0.1818 \ldots=0.\dot{1}\dot{8}\)
\(\therefore\) \(\frac{2}{11}\)-এর অসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।
(vi) \(\frac{7}{25}=\frac{7 \times 4}{25 \times 4}=\frac{28}{100}=0.28\)
\(\therefore \frac{7}{25}\)-এর সসীম দশমিক বিস্তার পাওয়া যাবে।

\(0 . \dot{3}=0.3333 \ldots\)
ধরি, \(x=0.3333\ldots(i)\)
\(10 x=3.3333 \ldots\quad\)(উভয়পক্ষকে \(10\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii)\)
\((ii)\) থেকে \((i)\) বিয়োগ করে পাই
\( 10 x-x=3.3333 \ldots-0.3333 \ldots \)
বা, \(9 x=3 \)
বা, \( x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore\) \(0 . \dot{3}=\frac{1}{3} \)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

\(1 . \dot{3}=1.3333 \ldots\)
ধরি, \(x=1.3333 \ldots(i)\)
\(10 x=13.333 \ldots\quad\)(উভয়পক্ষকে \(10\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii)\)
\((ii)\) থেকে \((i)\)-কে বিয়োগ করে পাই
\(10 x-x=13.333 \ldots-1.333 \ldots\)
বা, \(9 x=12\)
বা, \(x=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore 1 . \dot{3}=\frac{4}{3}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(1 . \dot{3}\)
\(=1+0 . \dot{3}\)
\( =1+\frac{3}{9} \)
\(=1+\frac{1}{3}\)
\(=\frac{4}{3} \)

\(0.5\dot{4}=0.54444 \ldots\)
ধরি, \(x=0.54444 \ldots(i)\)
\(10 x=5.4444\quad\) (উভয়পক্ষকে \(10\) দিয়ে গুণ করে পাই) \( \ldots(ii)\)
\(100x = 54.4444 \quad\)(উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(iii) \)
\((iii)\) থেকে \((ii)\) বিয়োগ করে পাই,
\(100 x-10 x=54.4444 \ldots-5.4444 \ldots\)
বা, \(90 x=49\)
বা, \(x=\frac{49}{90}\)
\(\therefore 0.5\dot{4}=\frac{49}{90}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0.5\dot{4}=\frac{54-5}{90}=\frac{49}{90}\)

\(0.3 \dot{4}=0.343434 \ldots\)
ধরি, \(x=0.343434 \ldots (i)\)
\(100 x=34.3434 \ldots\quad\) (উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই)\(\ldots(ii)\)
\((ii)\) থেকে \((i)\) বিয়োগ করে পাই,
\(100 x-x=34.343434 \ldots-0.343434 \ldots\).
বা, \(99 x=34\)
বা, \(x=\frac{34}{99}\)
\(\therefore 0 . \dot{3} \dot{4}=\frac{34}{99}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0 . \dot{3} \dot{4}=\frac{34}{99}\)

\(3.\dot{1} \dot{4}=3.141414 \ldots\)
ধরি, \(x=3.141414 \ldots (i)\)
\(100x =314.1414\ldots\)
\(\quad\quad\) (উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই)\(\ldots(ii) \)
\((ii)\) থেকে \((i)\)-কে বিয়োগ করে পাই,
\(100 x-x=314.1414 \ldots-3.1414 \ldots\)
বা, \(99 x=314-3\)
বা, \(99 x=311\)
বা, \(x=\frac{311}{99}\)
\(\therefore 3.\dot{1} \dot{4}=\frac{311}{99}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\( 3.\dot{1}\dot{4}\)
\(=3+0.\dot{1} \dot{4}\)
\(=3+\frac{14}{99}\)
\(=\frac{297+14}{99}\)
\(=\frac{311}{99}\)

\(0.1 \dot{7}=0.1777 \ldots\)
ধরি, \(x=0.1777 \ldots (i)\)
\(10 x=1.7777 \ldots\quad\) (উভয়পক্ষকে \(10\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii) \)
\(100 x=17.7777 \ldots\)
\(\quad\quad\) (উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(iii) \)
\((iii)\) থেকে \((ii)\)-কে বিয়োগ করে পাই,
\(100 x-10 x=17.7777 \ldots-1.7777 \ldots\)
বা, \(99 x=17-1\)
বা, \(x=\frac{16}{90}\)
বা, \(x=\frac{8}{45}\)
\(\therefore 0.1 \dot{7}=\frac{8}{45}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0.1 \dot 7\)
\(=\frac{17-1}{90}\)
\(=\frac{16}{90}\)
\(=\frac{8}{45}\)

\(0.4 \dot{7}=0.4777 \ldots\)
ধরি, \(x = 0.4777\ldots(i)\)
\(10x=4.777\ldots\quad\) (উভয়পক্ষকে \(10\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii)\)
\(100x = 47.7777 \ldots\)
\(\quad \quad\) (উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(iii)\)
\((iii)\) থেকে \((ii)\) বিয়োগ করে পাই,
\(100 x-10 x=47.777 \ldots-4.777 \ldots\)
বা, \(90 x=47-4\)
বা, \(x=\frac{43}{90}\)
\(\therefore 0.4 \dot{7}=\frac{43}{90}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0.4\dot{7}=\frac{47-4}{90}=\frac{43}{90}\)

\(0 . \dot{5} \dot{4}=0.5454 \ldots\)
ধরি, \(x = 0.5454\ldots(i) \)
\(100x = 54.5454\ldots\)
\(\quad\quad\) (উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii) \)
\((ii)\) থেকে \((i)\) বিয়োগ করে পাই,
\(100 x-x=54.5454 \ldots-0.5454 \ldots\)
বা, \(99 x=54\)
বা, \(x=\frac{54}{99} =\frac{6}{11}\)
\(\therefore 0. \dot{5} \dot{4}=\frac{6}{11}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0 . \dot{5} \dot{4}=\frac{54}{99}=\frac{6}{11}\)

\(0.\dot{0}0\dot{1}=0.001001 \ldots\)
ধরি, \( x = 0.001001\ldots(i)\)
\(1000x= 1.001\ldots\)
\(\quad\quad\) (উভয়পক্ষকে \(1000\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii)\)
\((ii)\) থেকে \((i)\)-কে বিয়োগ করে পাই,
\(1000 x-x=1.001 \ldots-0.001 \ldots\)
বা, \(999x=1\)
বা, \(x=\frac{1}{999}\)
\(\therefore 0.\dot{0}0\dot{1}=\frac{1}{999}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(0.\dot{0}0\dot{1}=\frac{1}{999}\)

\(0.\dot{1}6 \dot{3}=0.163163 \ldots\)
ধরি, \(x=0.163163\ldots(i)\)
\(1000 x=163.163 \ldots\)
\(\quad\quad\)(উভয়পক্ষকে \(1000\) দিয়ে গুণ করে পাই)\(\ldots(ii) \)
\((ii)\) থেকে \((i)\) বিয়োগ করে পাই,
\(1000 x-x=163.163 \ldots .-0.163163 \ldots\)
বা, \(999 x=163\)
বা, \(x=\frac{163}{999}\)
\(\therefore 0.\dot{1}6 \dot{3}=\frac{163}{999}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\( 0.\dot{1}6 \dot{3}=\frac{163}{999}\)

\(\because\) অমূলদ সংখ্যাগুলির দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত হয়।
\(\therefore \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{11}\)–এই চারটি সংখ্যার দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত হবে।

\(\frac{5}{7}=0 . \dot{7} 1428\dot{5}, \frac{9}{7}=1.\dot{2}8571 \dot{4}\)
\(\therefore \frac{5}{7}\) ও \(\frac{9}{7}\)-এর মধ্যে \(3\) টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল
(i) \(0.71428507142850071428500071 \ldots\)
(ii) \(0.8080080008 \ldots\)
(iii) \(0.9191191119 \ldots\)

\(\frac{3}{7}=0.\dot{4}2857\dot{1}, \frac{1}{11}=0.\dot{0} \dot{9}\)
\(\frac{1}{11} \) ও \( \frac{3}{7}\)-এর \(2\) টি ভিন্ন অমূলদ সংখ্যা হল
(i) \(0.42857042857004285700042 \ldots \)
(ii) \(0.3737737773 \ldots\)

(i) \(\sqrt{47}\) একটি অমূলদ সংখ্যা
(ii) \(\because \sqrt{625}=25, \)
\(\therefore \sqrt{625}\) একটি মূলদ সংখ্যা
(iii) \(6.5757 \ldots=6. \dot 5 \dot 7=6+0.\dot 5 \dot 7\)
\(=6+\frac{57}{99}=\frac{594+57}{99}=\frac{651}{99}\)
\(\therefore 6.5757\ldots\) একটি মূলদ সংখ্যা।
(iv) \(1.1010010001\ldots\) একটি অনাবৃত্ত দশমিক,
\(\therefore\) এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

\(2.\dot2 \dot{6}=2.2626 \ldots\)

\(5.5\dot4=5.5444 \ldots\)

0.232332333233332... এবং 0.212112111211112... সংখ্যা দুটির মধ্যে দুটিমূলদ সংখ্যা হল 0.22, 0.23

0.2101 এবং 0.2222... বা \(0.\dot{2}\) সংখ্যাদুটির মধ্যে দুটি মূলদ সংখ্যা হল 0.21, 0.211

সত্য বক্তব্য :
(i) 1 হল ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা।
(ii) শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
(iii) 0 এবং স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিকে মিলে একত্রে অখন্ড সংখ্যার সৃষ্টি হয়।
(iv) বাস্তব সংখ্যা অসীম।
(v) \(\frac{4}{5}\) একটি মূলদ সংখ্যা।
(vi) \(\sqrt{5}\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
(vii) 625 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
(viii) সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।
(ix) \(3 < x < 5 \) হলে, \(x\)-এর অসংখ্য মান হবে যারা মূলদ সংখ্যা।
(x) \(\pi\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
মিথ্যা বক্তব্য :
(i) \(0.\dot3\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
(ii) শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা।
(iii) \(\frac{1}{3}\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
(iv) 125 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
(v) \(\frac{25}{100}\) একটি অমূলদ সংখ্যা।
(vi) \(x^{2}+1=0\) হলে, \(x\)-এর মান বাস্তব।
(vii) 1.02002000200002 ........ একটি মূলদ সংখ্যা।
(viii) দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।
(ix) একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল মূলদ সংখ্যা।
(x) দুটি অমূলদ সংখ্যার ভাগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

(i) \(3 x^{2}+2 x+1\), যখন \(x = 5\)
\(3 \times 5^{2}+2 \times 5+1\)
\(=3 \times 5 \times 5+2 \times 5+1\)
এখানে দেখা যাচ্ছে \(3\) টি গুণ ও \(2\) টি যোগ করা হয়েছে।
\(\therefore( 3 \times 2 + 2 \times 1) \) টাকা \(= 8\) টাকা লাগবে।
[\(\because \) একটা গুণ করতে \(2\) টাকা ও একটা যোগ করতে \(1\) টাকা লাগে।]
আবার যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা যায় তবে
\(3 x^{2}+2 x+1=x(3 x+2)+1\)
তবে এক্ষেত্রে \(2\) টি গুণ ও \(2\) টি যোগ করতে মোট লাগে
\((2 \times 2 + 2\times 1 )\) টাকা \(= 6\) টাকা
\(\therefore\) দ্বিতীয় পদ্ধতি অর্থাৎ বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা হলে সবচেয়ে কম টাকা লাগবে।
(ii) \(2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3\) যখন \(x = 7\)
\( 2 \times 7^{3}+3 \times 7^{2}+2 \times 7+3\)
\( =2 \times 7 \times 7 \times 7+3 \times 7 \times 7+2 \times 7+3 \)
এখানে দেখা যাচ্ছে \(6\) টি গুণ ও \(3\) টি যোগ করা হয়েছে।
\(\therefore ( 6 \times 2 + 3 \times 1 )\) টাকা \(= 15\) টাকা লাগবে আবার, যদি বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা যায় তবে
\(2 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3\)
\(=2 x\left(x^{2}+1\right)+3\left(x^{2}+1\right)\)
\(=(2 x+3)\left(x^{2}+1\right)\)
এক্ষেত্রে \(4\) টি গুণ ও \(3\) টি যোগ করতে মোট লাগে
\( (4\times 2+3 \times 1)\) টাকা \(= 11\) টাকা
\(\therefore\) দ্বিতীয় পদ্ধতি অর্থাৎ বিচ্ছেদ নিয়ম প্রয়োগ করা হলে সবচেয়ে কম টাকা লাগবে।

\(\sqrt{5}\)-এর দশমিক বিস্তার একটি অসীম এবং অনাবৃত্ত দশমিক।

দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।

\(\pi\) এবং \(\frac{22}{7}\)
\(\pi\) একটি অমূলদ সংখ্যা কিন্তু \(\frac{22}{7}\) মূলদ সংখ্যা।

দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে।

দুটি অমূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা আছে।

0 একটি অখন্ড সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা কিন্তু অমূলদ সংখ্যা নয়।

\((5+\sqrt{7})\) ও \((5-\sqrt{7})\) এমন দুটি অমূলদ সংখ্যা যাদের যোগফল
\(5+\sqrt{7}+5-\sqrt{7}=10\), একটি মূলদ সংখ্যা।
কারণ \(10=\frac{10}{1}\)

\((\sqrt{11}+7) \) ও \((\sqrt{11}-7)\) এমন দুটি অমূলদ সংখ্যা যাদের বিয়োগফল \((\sqrt{11}+7)-(\sqrt{11}-7)=14\), একটি মূলদ সংখ্যা কারণ \(14=\frac{14}{1}\)

\(\frac{1}{7}=\frac{1 \times 2}{7 \times 2}=\frac{2}{14}, \frac{2}{7}=\frac{2 \times 2}{7 \times 2}=\frac{4}{14}\)
\( \therefore \frac{1}{7}\left(=\frac{2}{14}\right) \) এবং \(\frac{2}{7}\left(=\frac{4}{14}\right)\)-এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা হল \(\frac{3}{14}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\(\frac{1}{7} ও \frac{2}{7}\)-এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা যেখানে,
\(\left(x=\frac{1}{7}, y=\frac{2}{7}\right)\) হল \(\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1+2}{7}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}=\frac{3}{14}\)

\(\frac{1}{7}=0.\dot14285\dot7\) এবং \(\frac{2}{7}=0.\dot{2}8571 \dot{4}\)
\(\frac{1}{7}=(0 . \dot{1} 4285 \dot{7})\) এবং \(\frac{2}{7}=(0.\dot28571\dot4)\)-এর মধ্যবর্তী একটি অমূলদ সংখ্যা হল \(0.1501500150001500001.....\)

\(0.0123 \dot{3}=\frac{123-12}{9000}=\frac{111}{9000}=\frac{37}{3000}\)
বিকল্প পদ্ধতি :
\( 0.012\dot{3}=0.012333 \ldots \)
ধরি, \(x = 0.012333\ldots(i)\)
\(100x=1.2333\ldots\quad\) (উভয়পক্ষকে \(100\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(ii) \)
\(1000x =12.3333\ldots\)
\(\quad\quad\) (উভয়পক্ষকে \(1000\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(iii)\)
\(10000 x=123.333 \ldots\)
\(\quad\quad\) (উভয়পক্ষকে \(10000\) দিয়ে গুণ করে পাই) \(\ldots(iv)\)
\((iv)\) থেকে \((iii)\) বিয়োগ করে পাই,
\(10000 x-1000 x=123.333 \ldots-12.333 \ldots\)
বা, \(9000 x=123-12\)
বা, \(x=\frac{111}{9000}=\frac{37}{3000}\)
\(\therefore 0.012\dot3=\frac{37}{3000}\)