WBBSE Madhyamik Class 10(Ten) (X)Math Solution Of Chapter 1, Exercise 1.5 Quadratic Equation | দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.5 | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 Class 10 | গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস ১০(টেন) কষে দেখি 1.5 | Ganit Prakash somadhan Class 10

\(2{x^2} + 7x + 3 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\({\rm{ = (}} - {\rm{7}}{{\rm{)}}^2} - 4.2.3\)
\({\rm{ = 49 - 24}}\)
\( = 25 > 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয়ে বাস্তব ও অসমান।

\(3{x^2} - 2\sqrt {6x} + 2 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\( = {( - 2\sqrt 6 )^2}-4.3.2\)
\( = 24 - 24 = 0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয়ে বাস্তব ও সমান।

\(2{x^2} - 7x + 9 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\( = {( - 7)^2} - 4.2.9\)
\({\rm{ = 49 - 72 = - 23 < 0}}\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।

\(\frac{2}{5}{x^2} - \frac{2}{3}x + 1 = 0\) সমীকরণের নিরূপক
\(b^{2}-4ac\)
\( = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.\frac{2}{5}.1\)
\(=\frac{4}{9}-\frac{8}{5}\)
\(=\frac{20-72}{45}\)
\(=\frac{-52}{45}<0\)
\(\therefore\) সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।

\(49{x^2} + kx + 1 = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({(k)^2} - 4.49.1 = 0\)
বা, \(k^2 = {196} \)
বা, \(k = \pm \sqrt {196} = \pm 14\)

\(3{x^2} - 5x + 2k = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
বা,\({( - 5)^2} - 4.3.2k = 0\)
বা, \({\rm{25 - 24 k = 0}}\)
\(\therefore k = \frac{{25}}{{24}}\)
\(\therefore\) k-এর মান \(\frac{{25}}{{24}}\)

\(9{x^2} - 24x + k = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({( - 24)^2} - 4.9 \cdot k = 0\)
বা, \({\rm{36 k = 576}}\)
বা, \({\rm{k}} = 16\)
\(\therefore\) k-এর মান 16

\(2{x^2} + 3x + k = 0\) সমীকরণের বীজদয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({(3)^2} - 4.2k = 0\)
বা, \({\rm{8 k = 9}}\)
বা, \(k = \frac{9}{8}\)
\(\therefore\) k-এর মান \(\frac{9}{8}\) হবে।

\({x^2} - 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({\{ - 2(5 + 2k)\} ^2} - 4.1.3(7 + 10k) = 0\)
বা, \(25 + 20k + 4{k^2} - 21 - 30k = 0\)
বা, \(4{k^2} - 10k + 4 = 0\)
বা, \(2{k^2} - 5k + 2 = 0\)
বা, \({\rm{( 2 k - 1 ) ( k - 2 ) = 0}}\)
\(\therefore\) \({\rm{k}} = 2,\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) k-এর মান 2 ও \(\frac{1}{2}\)

\((3k + 1){x^2} + 2(k + 1)x + k = 0\) সমীকরণের বীজয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ \(b^{2}-4ac=0\)
\({\{ 2(k + 1)\} ^2} - 4.(3k + 1) \cdot k = 0\)
বা, \({k^2} + 2k + 1 - 3{k^2} - k = 0\)
বা, \( - 2k_1^2 + k + 1 = 0\)
বা, \(2{k^2} - k - 1 = 0\)
বা, (2K + 1)(K – 1) = 0
\(\therefore\) k = \( - \frac{1}{2}\), 1
\(\therefore\) k-এর মান \( - \frac{1}{2}\) ও 1

যে সমীকরণের বীজদ্বয় 4 ও 2 সেটি হল
\({x^2} - (4 + 2)x + 4 \times 2 = 0\)
বা, \({x^2} - 6x + 8 = 0\)

যে সমীকরণের বীজদ্বয় – 4 ও – 3 সেটি হল
\({x^2} - ( - 4 - 3)x + ( - 4) \times (-3) = 0\)
বা, \({x^2} + 7x + 12 = 0\)

যে সমীকরণের বীজদ্বয় (– 4) ও 3 সেটি হল
\({x^2} - ( - 4 + 3)x + ( - 4) \times 3 = 0\)
বা, \({x^2} + x - 12 = 0\)

যে সমীকরণের বীজদ্বয় 5 ও (– 3) সেটি হল
\({x^2} - (5 - 3)x + 5( - 3) = 0\)
বা, \({x^2} - 2x - 15 = 0\)

কোনাে সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অনন্যান্যক হলে তাদের গুণফল 1 হবে ।
এখন, \(4 x^{2}+4(3 m-1) x+(m+7)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
\(=\frac{m+7}{4} \therefore
\frac{m+7}{4}=1\)
বা, \(m + 7 = 4\)
বা, \(m = 4 - 7\)
বা, \(m = - 3\)
\(\therefore\) m-এর নির্ণেয় মান = - 3.

\((b-c) x^{2}+(c-a) x+(a-b)=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে তার নিরূপক,
\((c-a)^{2}-4(b-c)(a-b)=0\)
বা, \((c-a)^{2}-4\left(a b-a c-b^{2}+b c\right)=0\)
বা, \(c^{2}-2 c a+a^{2}-4 a b+4 a c+4 b^{2}-4 b c=0\)
বা, \(c^{2}+2 c a+a^{2}=4 b c-4 b^{2}+4 a b\)
বা, \((c+a)^{2}=4 b(c+a)-4 b^{2}\)
বা, \(4 b^{2}-4 b(c+a)+(c+a)^{2}=0\)
বা, \((2 b)^{2}-2.2 b \cdot(c+a)+(c+a)^{2}=0\)
বা, \(\{2 b-(c+a)\}^{2}=0\)
বা, \(2 b-(c+a)=0\)
বা, \(2 b=c+a\)
\(\therefore 2b=c+a\)

প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান।
\(\therefore\) এর নিরূপক,
\(\{-2(a c+b d)\}^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\)
বা, \(4(a c+b d)^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=0\)
বা, \(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a b c d-a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}-b^{2} d^{2}=0\)
বা, \(b^{2} c^{2}-2 a b c d+a^{2} d^{2}=0 \)
বা, \((b c-a d)^{2}=0 \)
বা, \(b c-a d=0\)
বা, \(bc = ad\)
বা, \(\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \quad \therefore \quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি তার নিরূপক < 0 হয়। অর্থাৎ, যদি
\(\{2(a+b))^{2}-4 \times 2\left(a^{2}+b^{2}\right) \times 1< 0\) হয়,
বা, \(4(a+b)^{2}=8\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(4\left(a^{2}+2 a
b+b^{2}\right)-8\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(a^{2}+2 a
b+b^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)< 0\) হয়,
বা, \(-a^{2}+2 a b-b^{2}< 0\) হয়,
বা, \(-(a-b)^{2}< 0\)
হয়, কিন্তু \((a-b)^{2}\) সর্বদা 0 অথবা ধনাত্মক। \(\therefore\)\(-(a-b)^{2}< 0\) সত্য হতে পারে যখন
\(a – b=0\) \(\therefore (a=b)\) হলে প্রদত্ত সমীকরণের বাস্তব বীজ থাকবে। \(\therefore\) প্রদত্ত
সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ থাকবে না, যখন \(a \neq b\) হয়। (প্রমাণিত)

\({\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta \)
\( = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^2} - 2\left( { - \frac{3}{5}} \right) \)
= \(\frac{4}{{25}} + \frac{6}{5} = \frac{{4 + 30}}{{25}} \)
= \(\frac{{34}}{{25}}\)

\({\alpha ^3} + {\beta ^3} = {(\alpha + \beta )^3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )\)
\( = {\left( { - \frac{2}{5}} \right)^3} - 3\left( { - \frac{3}{5}} \right)\left( { - \frac{2}{5}} \right)\)
=\( \frac{{ - 8}}{{125}} - \frac{{18}}{{25}}\)
= \(\frac{{ - 8 - 90}}{{125}}\)
=\( \frac{{ - 98}}{{125}}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{\beta }\)
\( = \frac{{\beta + \alpha }}{{\alpha \beta }}\)
\(= \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{ - \frac{3}{5}}}\)
\(= \frac{2}{3}\)

\({\rm{ }}\frac{{{a^2}}}{\beta } + \frac{{{\beta ^2}}}{a}\)
= \(\frac{{{a^3} + {\beta ^3}}}{{\alpha \beta }}\)
\( = \frac{{{{(\alpha + \beta )}^3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )}}{{\alpha \beta }}\)
\( = \frac{{ - \frac{{98}}{{125}}}}{{ - \frac{3}{5}}} \) [ii নং সমাধান থেকে মান নেওয়া হয়েছে]
=\( \frac{{98}}{{125}} \times \frac{5}{3} \)
= \(\frac{{98}}{{75}}\)

ধরি, একটি বীজ \(\alpha\)\(\therefore\) অপর বীজটি \(2\alpha\)
তাহলে, \(\alpha+2 \alpha=-\frac{b}{a}\)
\(3 \alpha=-\frac{b}{a}\)
\(\alpha=-\frac{b}{3 a} \ldots \ldots . .(1)\)
আবার, \(\alpha \times 2 \alpha=\frac{c}{a} \)
বা, \(2 \alpha^{2}=\frac{c}{a} \)
বা, \(\alpha^{2}=\frac{c}{2 a}\)
বা, \(\left(-\frac{b}{3 a}\right)^{2}=\frac{c}{2 a} \)
বা, \(\frac{b^{2}}{9 a^{2}}=\frac{c}{2 a}\)
বা, \(\frac{b^{2}}{9 a}=\frac{c}{2}[\because a \neq 0] \)
বা, \(2 b^{2}=9 a c\)
\(\therefore 2b^2 = 9ac\) (প্রমাণিত)

ধরি, \(x^{2}+p x+1=0\) সমীকরণের বীজ দুটি \(\alpha ও \beta\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় হবে \(\frac{1}{\alpha} ও \frac{1}{\beta}\)
আবার, \(\alpha+\beta=-\frac{p}{1}=-p\) এবং \(\alpha \beta=\frac{1}{1}=1\)
এখন, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে, \(x^{2}-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) x+\frac{1}{\alpha}
\times \frac{1}{\beta}=0\)
বা, \(x^{2}-\frac{\beta+\alpha}{\alpha \beta} x+\frac{1}{\alpha \beta}=0 \quad\)
বা, \(x^{2}-\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} x+\frac{1}{\alpha \beta}=0\)
বা, \(x^{2}-\frac{-p}{1} x+\frac{1}{1}=0 \quad[\because \alpha+\beta=-p\) এবং \(\alpha \beta=1]\)
বা, \(x^{2}+p x+1=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণটি হলঃ \(x^{2}+p x+1=0\).

মনে করি, \(x^{2}+x+1=0\) এর বীজ দুটি \(\alpha ও \beta\) । \(\therefore \alpha+\beta=-1\) এবং \(\alpha \beta=1\)
এখন, \(\alpha^{2}+\beta^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta\)
\(=(-1)^{2}-2 \times 1\)
\(=1-2=-1\)
এবং \(\alpha^{2} \beta^{2}=(\alpha \beta)^{2}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমীকরণটি হল \(x^{2}-\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) x+\alpha^{2} \beta^{2}=0\)
বা, \(x^{2}-(-1) x+1=0 \)
বা, \(x^{2}+x+1=0\)

\(x^{2}-6 x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি \(=-\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^{2}\text{-এর
সহগ}}=\frac{-6}{1}=6\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

\(x^{2}-3 x+k=10\)
বা, \(x^{2}-3 x+k-10=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
\(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=\frac{k-10}{1}=k-10\)
প্রশ্নানুসারে, \(k- 10 = – 2\)
বা, \(k = - 2 + 10\)
বা, \(x = 8\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

(a) >0

\(a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে নিরূপক, \(b^{2}-4 a c=0\) হবে।
বা, \(b^{2}=4 a c \)
বা, \(c=\frac{b^{2}}{4 a}\)
\(\therefore\) (d) উত্তরটি সঠিক।

\(3 x^{2}+8 x+2=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\) হলে
\(\alpha+\beta=-\frac{8}{3}\) এবং \(\alpha \beta=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\beta+\alpha}{\alpha
\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}=-4\)
\(\therefore\) (c) উত্তরটি সঠিক।

\(b^{2}-4 a c=(1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot=-3 < 0\)
মিথ্যা

সত্য

\(7 x^{2}-12 x+18=0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি \(=\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর
সহগ}}=-\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\)
এবং বীজদ্বয়ের গুণফল \(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=\frac{18}{7}\)
\(\therefore\) সমষ্টি : গুণফল \(=\frac{12}{7}: \frac{18}{7}=12: 18=2: 3\).

\(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a} \quad\) বা, \(\quad 1=\frac{c}{a} \quad \) বা, \(\quad c=a\)

ধরি \(\alpha, a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\) সমীকরণের একটি বীজ।
\(\therefore \frac{1}{\alpha}\) উহার অপর একটি বীজ।
\(\therefore \alpha+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{a}\ldots\ldots(1)\)
এবং \(\alpha \cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{c}{a}\)
বা, \(1=\frac{c}{a}\)
বা, \(c=a\)
\(\therefore c= a\)

মনেকরি দ্বিঘাত সমীকরণ হল \(a{x^2} + bx + c = 0\)
\(\therefore {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
বা, \({x^2} - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0\)
বা, \({x^2} - 14x + 24 = 0\)
\(\therefore\) দ্বিঘাত সমীকরণটি \( = {x^2} - 14x + 24 = 0\)

\(k x^{2}+2 x+3 k=0(k \neq 0)\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \(\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর
সহগ}}\) \(=-\frac{2}{k}\)
এবং গুণফল=\(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}}\) \(=\frac{3 k}{k}=3\)
প্রশ্নানুসারে, \(-\frac{2}{k}=3\)
বা, \(3 k=-2\)
বা, \(k=-\frac{2}{3}, \therefore k=-\frac{2}{3}\)

\(x^{2}-22 x+105=0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\beta\).
\(\therefore \quad \alpha+\beta=-\frac{-22}{1}=22\) এবং \(\alpha \beta=\frac{105}{1}=105\)
এখন, \((\alpha-\beta)^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta\)
\(=(22)^{2}-4 \times 105=484-420=64\)
\(\therefore \quad \alpha-\beta\)
\(=\sqrt{64}=\pm 8 \quad \therefore \alpha-\beta=\pm 8\)

সমাধান \(: x^{2}-x=k(2 x-1)\)
বা, \(x^{2}-x=2 k x-k\)
বা, \(x^{2}-x-2 k x+k=0\)
বা, \(x^{2}-(2 k+1) x+k=0\ldots\ldots(1)\)
এখন, (1)নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 0
\(\frac{x\text{-এর সহগ}}{x^2\text{-এর সহগ}}=0\)
বা, \(-\frac{-(2 k+1)}{1}=0\)
বা, \(2k + 1 = 0\)
বা, \(2k = -1\)
বা, \(k=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)

\(x^{2}+b x+12=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2,
\(\therefore 2^{2}+b .2+12=0\)
বা, \(4 + 2b + 12 = 0\)
বা, \(2b = - 16\)
বা, \(b = - 8\)
আবার, \(x^{2}+b x+q=0\) সমীকরণের একটি বীজ 2.
\(\therefore\) \(2^{2}+b .2+q=0 \)
বা, \(4+2 b+q=0 \)
বা, \(4+2 \times(-8)+q=0\)
বা, \(4-16+q=0 \)
বা, \(q-12=0 \)
বা, \(q=12 . \therefore q=12\)