SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি সমাধান || SN Dey Math Solution Class 11 || সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান ক্লাস ১১ || Religion of the triangle || Religion of the triangle formula || Class11 Chaya Math Book Solution || 11 তম শ্রেণি ত্রিভুজের ধর্মাবলি (Trigonometry Solutions Religion of the triangle)
Share this page using :
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি - এর সমাধান
প্রশ্নমালা 9
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী
1. \(A=60^{\circ}\),
\(B=45^{\circ}\) এবং \(a=2 \sqrt{3}\) একক হলে, \(b=\)
a. \(2 \sqrt{2}\) একক b. \(3 \sqrt{2}\) একক c. 1 একক d. এদের কোনোটিই নয়
a. \(2 \sqrt{2}\) একক b. \(3 \sqrt{2}\) একক c. 1 একক d. এদের কোনোটিই নয়
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\)
\(\frac{2 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{6}{\sin 45^{\circ}}\)
\(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}/2 }=\frac{b}{1/\sqrt{2}}\)
\(b=4 \times \frac{1}{\sqrt 2}=2 \sqrt{2}\)
\(\therefore\) a.সঠিক
\(\frac{2 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{6}{\sin 45^{\circ}}\)
\(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}/2 }=\frac{b}{1/\sqrt{2}}\)
\(b=4 \times \frac{1}{\sqrt 2}=2 \sqrt{2}\)
\(\therefore\) a.সঠিক
2. কোন ত্রিভুজের বাহু
তিনটির
দৈর্ঘ্য 12 একক, 15 একক ও 9 একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ এককে –
a. 45 b. 54 c. 50 d. 40
a. 45 b. 54 c. 50 d. 40
a=12,b=15,c=9
S=(12+15+9)/2 =36/2=18
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল =\(\sqrt{18 \cdot(18-12)(3-15)(18-9)}\)
=\(\sqrt{18 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 9}\)
=\(2 \sqrt{9.9 .6 .6}\)
=9.6 =54
\(\therefore\) b. সঠিক
S=(12+15+9)/2 =36/2=18
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল =\(\sqrt{18 \cdot(18-12)(3-15)(18-9)}\)
=\(\sqrt{18 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 9}\)
=\(2 \sqrt{9.9 .6 .6}\)
=9.6 =54
\(\therefore\) b. সঠিক
3. \(\sin ^{2} B+\sin
^{2} C=\sin
^{2} A\) হলে \(ABC\) ত্রিভুজটি হবে –
a. সমদ্বিবাহু b. সমকোণী c. সমবাহু d. এদের কোনোটিই নয়
a. সমদ্বিবাহু b. সমকোণী c. সমবাহু d. এদের কোনোটিই নয়
\(\sin ^{2} B+\sin ^{2} C=\sin ^{2} A\)
= \(\left(\frac{b}{2 R}\right)^{2}+\left(\frac{c}{2 R}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2 R}\right)^{2}\)
\(\left[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R\right]\)
= \({b}^{2}+{c}^{2}=a^{2}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটি সমকোনি ত্রিভুজ।
\(\therefore\) b. সঠিক
= \(\left(\frac{b}{2 R}\right)^{2}+\left(\frac{c}{2 R}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2 R}\right)^{2}\)
\(\left[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R\right]\)
= \({b}^{2}+{c}^{2}=a^{2}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটি সমকোনি ত্রিভুজ।
\(\therefore\) b. সঠিক
4. \(a=\sqrt{3}\) , b = 2
এবং c =
1 হলে, A কোণের মান –
a. \(30^{\circ}\) b. \(45^{\circ}\) c. \(60^{\circ}\) d. \(90^{\circ}\)
a. \(30^{\circ}\) b. \(45^{\circ}\) c. \(60^{\circ}\) d. \(90^{\circ}\)
\(a=\sqrt{3}, b=2,c=1\)
\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b{c}}\)
\(=(4+1-3)/2.2\)
\(=2/4 =1/2
\(\cos A=\cos 60^{\circ}\)
\(A=600\)
\(\therefore\) c. সঠিক
\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b{c}}\)
\(=(4+1-3)/2.2\)
\(=2/4 =1/2
\(\cos A=\cos 60^{\circ}\)
\(A=600\)
\(\therefore\) c. সঠিক
5. যে-কোনো ত্রিভুজ
\(ABC\) -তে
প্রদত্ত বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য নয় ?
a. \(a=b \cos C-c \cos B\)
b. \(\sin A+\sin B>\sin C\)
c. \(b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B\)
d. \(a=b \cos C+c \cos B\) আকারের সুত্রাবলির সাহায্যে \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A\) সূত্র প্রমাণ করা যায়।
a. \(a=b \cos C-c \cos B\)
b. \(\sin A+\sin B>\sin C\)
c. \(b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B\)
d. \(a=b \cos C+c \cos B\) আকারের সুত্রাবলির সাহায্যে \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A\) সূত্র প্রমাণ করা যায়।
\(a=b \cos C+c\cos B\)
\(\therefore\) d. সঠিক
\(\therefore\) d. সঠিক
6. \(ABC\) ত্রিভুজে \((b
c \cos
A+c a \cos B)\) -এর মান নীচের কোনটির সমান ?
a. \(a^{2}\) b. \(b^{2}\) c. \(c^{2}\) d. \(a^{2}+b^{2}\)
a. \(a^{2}\) b. \(b^{2}\) c. \(c^{2}\) d. \(a^{2}+b^{2}\)
7. কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)
–তে \(B=
90^{\circ}\) হলে, নীচের কোনটি সত্য ?
a. \((a-b)^{2}=c^{2}-a b\) b. \((b-c)^{2}=a^{2}-b c\) c. \((c-a)^{2}=b^{2}-c a\) d. \((c-a)^{2}=b^{2}-2 c a\)
a. \((a-b)^{2}=c^{2}-a b\) b. \((b-c)^{2}=a^{2}-b c\) c. \((c-a)^{2}=b^{2}-c a\) d. \((c-a)^{2}=b^{2}-2 c a\)
8. যে-কোনো ত্রিভুজ
\(ABC\) -তে
\(\cos B=\frac{a}{2 c}\) হলে, ত্রিভুজটি হবে
a. সমবাহু b. সমদ্বিবাহু c. সমকোণী d. বিষমবাহু
a. সমবাহু b. সমদ্বিবাহু c. সমকোণী d. বিষমবাহু
9. \(ABC\) ত্রিভুজের
পরিব্যাসার্ধ
10 একক; যদি \(c=10 \sqrt{3}\) একক হয় তবে নীচের কোনটি C কোণের মান ?
a. \(60^{\circ}\) b. \(120^{\circ}\) c. \(30^{\circ}\) d. \(90^{\circ}\)
a. \(60^{\circ}\) b. \(120^{\circ}\) c. \(30^{\circ}\) d. \(90^{\circ}\)
10. \(ABC\) ত্রিভুজে
\((a+b+c)(b+c-a)=3bc\) হলে নীচের কোনটি \(A\) কোণের মান ?
a. \(30^{\circ}\) b. \(60^{\circ}\) c. \(90^{\circ}\) d. \(120^{\circ}\)
a. \(30^{\circ}\) b. \(60^{\circ}\) c. \(90^{\circ}\) d. \(120^{\circ}\)
11. \(ABC\) ত্রিভুজে,
\(a = 3, b
= 5,\) এবং \(C =120^{\circ}\) হলে নীচের কোনটি \(c\) -এর মান ?
a. 7 b. 6 c. 6.5 d. 7.5
a. 7 b. 6 c. 6.5 d. 7.5
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি - এর সমাধান
12. \(ABC\) ত্রিভুজে,
\(\angle
A=45^{\circ}, \quad \angle B=60^{\circ}, \quad \angle C=75^{\circ}\) হলে
ত্রিভুজটির বাহুগুলির আনুপাত হবে—
a. \(2: \sqrt{6}: \sqrt{3}+1\) b. \(\sqrt{6}: 2: \sqrt{3}+1\) c. \(\sqrt{6}: \sqrt{3}+1: 2\) d. এদের কোনোটিই নয়।
a. \(2: \sqrt{6}: \sqrt{3}+1\) b. \(\sqrt{6}: 2: \sqrt{3}+1\) c. \(\sqrt{6}: \sqrt{3}+1: 2\) d. এদের কোনোটিই নয়।
13. কোনো ত্রিভূজে \(a =
2b\) এবং
\(A = 3B\)। নিম্নলিখিত উক্তিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক কেবলমাত্র তা উল্লেখ
করো :
a. ত্রিভুজটি সমবাহু b. ত্রিভূজটি সমকোণী c. ত্রিভূজটি সমদ্বিবাহু d. এমন কোনো ত্রিভূজ হওয়া সম্ভব নয়।
a. ত্রিভুজটি সমবাহু b. ত্রিভূজটি সমকোণী c. ত্রিভূজটি সমদ্বিবাহু d. এমন কোনো ত্রিভূজ হওয়া সম্ভব নয়।
অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
1. কোনো ত্রিভুজের
বাহুগুলির
অনুপাত \(\sqrt{2}:2:(1+\sqrt{3})\); ত্রিভুজটির কোণগুলির সম্ভাব্য মান
নির্নয়
করো।
2. যদি কোনো ত্রিভুজের
কোণগুলির
আনুপাত \(2 : 3 : 7\) এবং তার পরিব্যাসার্ধ 10 সেমি.-র সমান হয়, তবে তার
বাহুগুলির
দৈর্ঘ নির্ণয় করো।
3. \(\triangle A B C\)
–তে
\(\angle B=60^{\circ}, \mathrm{c}=2 \sqrt{3}, b=3 \sqrt{2}\) হলে
\(\angle A\)
–এর মান নির্ণয় করো।
4.
i. \(ABC\) ত্রিভুজের A
কোণ
\(=60^{\circ}\) এবং \(b: c=(\sqrt{3}+1): 2\) হলে অন্য দুটি কোণ B ও C
নির্ণয়
করো।
ii.
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\sin^{2}A+\cos^{2} C=\cos^{2} B\) হলে, \(\angle C\)
নির্ণয়
করো।
5. একটি ত্রিভুজের দুটি
বাহু এবং
বাহু দুটির অন্তর্ভুত কোণ যদি যথাক্রমে \(a=\sqrt{3}+1, b=2, \angle
C=60^{\circ}\)
হয়, তাহলে অন্য কোণগুলি ও তৃতীয় বাহুটি নির্ণয় করো।
6. একটি ত্রিভুজের বাহু
তিনটি হল
\(\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} \) এবং
\(\quad
\frac{\sqrt{3}}{2}\); ত্রিভুজটির তিনটি কোণের মান নির্ণয় করো।
7. নীচের প্রতিক্ষেত্রে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর :
(ii) \(a: b: c=3: 4: 5\)
এবং \(s
=48\) সেমি
(iii) \(a=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}, b=\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) এবং
\(c=\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি - এর সমাধান
8. কোনো ত্রিভুজে \(a =
3, b =
5\) এবং \(c = 7\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি স্থূলকোণী।
9. \(\frac{\sin A}{3}=\frac{\sin B}{3}=\frac{\sin C}{4}\) হলে দেখাও যে,
\(\cos
C=\frac{1}{9}\)
10. \(ABC\) ত্রিভুজে,
\(\frac{a-b+c}{a}=\frac{b}{b+c-a}\) হলে প্রমাণ করো যে, \(\angle
C=60^{\circ}\)।
11. \(a = 3, b = 4, c =
5\) হলে
\(\tan \frac{B}{2}\) -এর মান নির্ণয় করো।
12. \(a = 2b\) এবং \(A =
3B\)
হলে \(ABC\) ত্রিভুজের কোণ তিনটি নির্ণয় করো।
প্রমাণ করো :
13. \((b+c) \cos A+(c+a)
\cos
B+(a+b) \cos C=a+b+c\)
14. \((b-c) \sin A+(c-a) \sin B+(a-b) \sin C=0\)
16. \(a^{2}\left(\cos ^{2} B-\cos ^{2} C\right)+b^{2}\left(\cos ^{2}
C-\cos ^{2}
A\right)\)
\(\quad+c^{2}\left(\cos ^{2} A-\cos ^{2} B\right)=0\)
17. \(2(b c \cos A+c a \cos B+a b \cos C)\) \(=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)
18.
\(\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) \tan A=\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)
\tan
B\)\(\quad =\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) \tan C \)
19. \((b+c-a) \tan \frac{A}{2}=(c+a-b) \tan \frac{B}{2}=(a+b-c) \tan
\frac{C}{2}\)
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
প্রমাণ করো :
1. \(a \sin \left(\frac{A}{2}+B\right)=(b+c) \sin \frac{A}{2}\)
2. \((b-c) \cos \frac{A}{2}=a \sin \frac{B-C}{2}\)
3. \(a \cos A+b \cos B+c \cos C=4 R \sin A \sin B \sin C\)
4.
\(\operatorname{asin}(B-C)+\operatorname{bsin}(C-A)+\operatorname{csin}(A-B)=0\)
5. \(\frac{b^{2}-c^{2}}{\cos B+\cos C}+\frac{c^{2}-a^{2}}{\cos C+\cos
A}+\frac{a^{2}-b^{2}}{\cos A+\cos B}=0\)
6. \( a \cos B \cos C+b
\cos C
\cos A+c \cos A \cos B=\frac{a b c}{4 R^{2}} \)
7.
\(\frac{b^{2}-c^{2}}{a^{2}}
\sin 2 A+\frac{c^{2}-a^{2}}{b^{2}} \sin 2 B+\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}
\sin 2
C=0\)
8. \(\left(b^{2}-c^{2}\right) \cos 2 A+\left(c^{2}-a^{2}\right) \cos 2
B+\left(a^{2}-b^{2}\right) \cos 2 C=0\)
9. \(\frac{a^{2} \sin (B-C)}{\sin A}+\frac{b^{2} \sin (C-A)}{\sin
B}+\frac{c^{2}
\sin (A-B)}{\sin C}=0\)
10. \(\frac{a \sin (B-C)}{b^{2}-c^{2}}=\frac{b \sin
(C-A)}{c^{2}-a^{2}}=\frac{c
\sin (A-B)}{a^{2}-b^{2}}\)
11. \(a^{2} \sin 2 B+b^{2} \sin 2 A=4 \Delta\)
12. \((b+c-a)\left(\cot ^{\frac{B}{2}}+\cot \frac{C}{2}\right)=2 a \cot
\frac{A}{2}\)
13. \(a^{3} \sin (B-C)+b^{3} \sin (C-A)+c^{3} \sin (A-B)=0\)
14. \(b cos B + c cos C
= a cos
(B – C)\)
15. \(b c \cos ^{2} \frac{A}{2}+c a \cos ^{2} \frac{B}{2}+a b \cos ^{2}
\frac{C}{2}=s^{2}\)
16. \(\frac{\cos A}{a}+\frac{a}{b c}=\frac{\cos B}{b}+\frac{b}{c
a}=\frac{\cos
C}{c}+\frac{c}{a b}\)
17. \(a^{2} \cot A+b^{2} \cot \beta+c^{2} \cot C=4 \Delta\)
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি - এর সমাধান
18.
(i) \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=4 \Delta(\cot A+\cot B+\cot C)\)
(ii) \(\frac{\operatorname{eos} B \cos C}{b c}+\frac{\cos C \cos A}{c
a}+\frac{\cos A \cos B}{a b}=\frac{\sin ^{2} A}{a^{2}}\)
19. \(\frac{\cos 2 A}{a^{2}}-\frac{\cos 2
B}{b^{2}}=\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\)
20. \((a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right)=2 c \cot
\frac{C}{2}\)
21. \((s-a) \tan \frac{A}{2}=(s-b) \tan \frac{B}{2}=(s-c) \tan
\frac{C}{2}\)
22. \(a^{2} b^{2} c^{2}(\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C)=32 \Delta^{3}\)
23. \(a \cos A+b \cos B+c \cos C=\frac{a b c}{2 R^{2}}\)
24. \(a \cos (B-C)+b \cos (C-A)+c \cos (A-B)=4 \frac{\Delta}{R}\)
25. \(C=60^{\circ}\) হলে দেখাও যে, \(2 a-b=2 c \cos B\)
26. \(b + c = 2a\) হলে
দেখাও যে,
\(2 \sin \frac{A}{2}=\sin \left(B+\frac{A}{2}\right)\)
27. যদি \(a \cos ^{2} \frac{C}{2}+c \cos ^{2} \frac{A}{2}=\frac{3
b}{2}\) হয়,
তবে দেখাও যে, ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে।
28. যে-কোনো ত্রিভুজে,
যদি
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\) হয়, তবে দেখাও যে,
\(C=60^{\circ}\)।
29. \(2 \cos
A=\frac{\sin
B}{\sin C}\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
30.
(i) কোনো ত্রিভুজে দুটি
কোণের
কোসাইন বিপরীত বাহুর সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজটি
সমদ্বিবাহু।
(ii) কোনো ত্রিভুজে দুটি
কোণের
কোসাইন যদি কোণ দুটির বিপরীত বাহুর সঙ্গে ব্যাস্তানুপাতী হয়, তবে দেখাও যে,
ত্রিভুজটি হয় সমদ্বিবাহু নতুবা সমকোণী।
31. \(ABC\) ত্রিভুজের
ক্ষেত্রে
যদি \(\cos A \cos B+\sin A \sin B \sin C=1\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে
\(ABC\)
ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
32. যে-কোনো \(ABC\)
ত্রিভুজের
ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে, \(\cos A+\cos B+\cos C \leqslant
\frac{3}{2}\)
33. যে-কোনো ত্রিভুজ
\(ABC\) –তে
প্রমাণ করো যে, \(\frac{a \sin C}{b-a \cos C}=\tan A\)
34. \(ABC\) ত্রিভুজে,
\(B=30^{\circ}, b=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}\) এবং \(c=6-2 \sqrt{3}\) হলে
ত্রিভুজটি
সমাধান করো।
35. কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)
–তে
\(\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।
36. A, B, C একটি
ত্রিভুজের তিনটি
কোণ হলে, প্রমাণ করো যে, \((\sin A+\sin B)(\sin B+\sin C)\) \(\quad(\sin
C+\sin
A)>\sin A \sin B \sin C\)
37. \(ABC\) ত্রিভুজে
\(\cos ^{2}
A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C=1\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
38. কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)
–তে
\(\sin ^{2} A+\sin ^{2} B+\sin ^{2} C=\frac{9}{4}\) হলে দেখাও যে,
ত্রিভুজটি
সমবাহু।
দীর্ঘ উত্তরধর্মী
1. \(ABC\) ত্রিভুজের
বাহুগুলি হয়
\(\left(x^{2}+x+1\right), (2 x+1)\) এবং \(\left(x^{2}-1\right)\);
ত্রিভুজটির
বৃহত্তম কোণ নির্ণয় করো।
2. \(ABC\) ত্রিভুজে,
\(\left(a^{2}+b^{2}\right) \sin (A-B)=\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin
(A+B)\) হলে
(যেখানে \(a \neq b\)), প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
3. যদি
\(a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}
b^{2}=2 c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে,
\(C=60^{\circ}\) বা,
\(120^{\circ}\)।
4. দুই মিটার দৈর্ঘ্যের
সরু তারকে
বেঁকিয়ে তিনটি অংশ করা হয় যাতে একটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় যার দুটি কোণ
\(35^{\circ}\)
এবং \(85^{\circ}\)। ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য মিটারে নির্ণয় করো
(আসন্ন দুই
দশমিক স্থান পর্যন্ত শুদ্ধ)। দেওয়া আছে \(\sin 35^{\circ}=0.5736, \sin
60^{\circ}=0.8660\) এবং \(\sin 85^{\circ}=0.9962\)।
5. কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)
–এর \(A,
B, C\) কোণ তিনটি সমান্তর প্রগতিতে আছে এবং \(b: c=\sqrt{3}: \sqrt{2} ;
A\) কোন
নির্ণয় করো।
6. যে-কোনো ত্রিভুজ
\(ABC\) -তে
প্রমাণ করো যে, \(\frac{1+\cos (A-B) \cos C}{1+\cos (C-A) \cos
B}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ c^{2}}\)
7. কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)
–তে
\(\sin A: \sin C=\sin (A-B): \sin (B-C)\) হলে দেখাও যে, \(a^{2}, b^{2},
c^{2}\)
সমান্তর প্রগতিতে আছে।
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি - এর সমাধান
8. a, b, c সমান্তর প্রগতিতে থাকলে প্রমাণ করো যে,
(i) \(\cot \frac{A}{2},
\cot
\frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}\) সামন্তর প্রগতিতে আছে।
(ii) \(3 \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}=1\)
9. কোনো ত্রিভুজে \(\sin
A: \sin
B: \sin C=4: 5: 6\) হলে প্রমাণ করো যে, \(\cos A: \cos B: \cos C=12: 9:
2\)।
10. কোনো ত্রিভুজে \(\tan
\frac{A}{2}, \tan \frac{B}{2}, \tan \frac{C}{2}\) সমান্তর প্রগতিতে থাকলে
প্রমাণ
করো যে, \(\cos A, \cos B, \cos C\) সমান্তর প্রগতিতে আছে।
11. \(ABC\) ত্রিভুজে A
থেকে BC
বাহুর লম্বদূরত্ব h হলে দেখাও যে, \(h=\frac{a \sin B \sin C}{\sin
(B+C)}\)
12. \(ABC\) ত্রিভুজে BC
বাহুর
মধ্যবিন্দু D এবং \(\angle B A D=\theta\) ও \(\angle C A D=\phi\) হলে
দেখাও যে,
\(\cot \theta-\cot \phi=\cot B-\cot C\)।
13. একটি ত্রিভুজের বাহু
তিনটির
দৈর্ঘ্য 4, 5 ও 6 সেমি। দেখাও যে ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণ তার বৃহত্তম
কোণের
অর্ধেক।
14. \(ABC\) একটি
ত্রিভুজ। BC
বাহুর মধ্যবিন্দু D। যদি AC –এর ওপর AD লম্ব হয়, তবে প্রমাণ করো যে \(\cos
A \cos
C=\frac{2\left(c^{2}-a^{2}\right)}{3 c a}\)।
15. যে-কোনো ত্রিভুজ
\(ABC\) -তে
\(\frac{\cos B+2 \cos A}{\cos B+2 \cos C}=\frac{\sin C}{\sin A}\) হলে
দেখাও যে,
ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু অথবা সমকোণী।
16. A, B ও C বিন্দু থেকে
ABC
ত্রিভুজের উচ্চতা যথাক্রমে x, y, ও z। প্রমাণ করো যে,
\(\frac{\cos A}{x}+\frac{\cos B}{y}+\frac{\cos C}{z}=\frac{1}{R} ; R=\) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।
[সংকেতঃ লক্ষ করো, \(x=2 R \sin B \sin C, y=2 R \sin C \sin A\), \(z=2 R \sin A \sin B\) এবং \(\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C\) \(=4 \sin A \sin B \sin C]\)
\(\frac{\cos A}{x}+\frac{\cos B}{y}+\frac{\cos C}{z}=\frac{1}{R} ; R=\) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।
[সংকেতঃ লক্ষ করো, \(x=2 R \sin B \sin C, y=2 R \sin C \sin A\), \(z=2 R \sin A \sin B\) এবং \(\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C\) \(=4 \sin A \sin B \sin C]\)
17. \(ABC\) ত্রিভুজে,
\(3\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}\right)=2 \cot \frac{B}{2}\)
হলে দেখাও
যে, ত্রিভুজটির বাহু তিনটি \(a, b, c\) সামন্তর প্রগতিতে আছে।
18. \(ABC\) ত্রিভুজের
ক্ষেত্রে
যদি \(\frac{2 \cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{2 \cos C}{c}=\frac{a}{b
c}+\frac{b}{c a}\) হয়, তবে A কোণের মান নির্ণয় করো।
19. \(ABC\) ত্রিভুজের
ক্ষেত্রে
\(C=\frac{\pi}{2}\) এবং \(\tan \frac{A}{2}, \tan \frac{B}{2}\) \(p
x^{2}+q x+r=0
\quad(p \neq 0)\) সমীকরণের দুটি বীজ হয়, তবে দেখাও যে \( p+q = r\)।
20. \(ABC\) ত্রিভুজের
ক্ষেত্রে
যদি \(\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}\) হয়, তবে প্রমাণ করো
যে
\(\frac{\cos A}{7}=\frac{\cos B}{19}=\frac{\cos C}{25}\)।
21. \(ABC\) ত্রিভুজের
দুটি বাহু
b এবং c এবং কোণ B দেওয়া আছে, a বাহুর ক্ষেত্রে দুটি মান \(a_{1} \) এবং \(
a_{2}\)
হলে দেখাও যে \(\left|a_{1}-a_{2}\right|=2 \sqrt{b^{2}-c^{2} \sin ^{2}
B}\)।
SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions Religion of the triangle || ত্রিভুজের ধর্মাবলি - এর সমাধান
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright
আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত।
ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা
আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু
কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।