Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ || SN Dey Math Solution Class 11 || সৌরেন্দ্রনাথ দে গণিত সমাধান ক্লাস ১১ || Trigonometric angles and standard angles || Trigonometric angles and standard angles formula || Class11 Chaya Math Book Solution || 11 তম শ্রেণি ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ (Trigonometric angles and standard angles)
Share this page using :
Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ - এর সমাধান
প্রশ্নমালা 2
Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ - এর সমাধান
বহু বিকল্পধর্মী
1. \(\theta\) ধনাত্মক
সূক্ষ্মকোন
হলে \(\sec \theta\) –এর মান হতে পারে না-
a. 1 –এর চেয়ে অধিক
b. 1–এর চেয়ে কম
c. 1-এর সমান
d. 0
a. 1 –এর চেয়ে অধিক
b. 1–এর চেয়ে কম
c. 1-এর সমান
d. 0
\(\therefore\) b. সঠিক
2. \(\theta\) একটি
ধনাত্মক
সূক্ষ্মকোন হলে \(\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=0\) সমীকরণের সমাধান
হবে,
\(\theta=\)
a. \(\frac{\pi}{2}\) b. \(\frac{\pi}{3}\) c. \(\frac{\pi}{6}\) d. \(\frac{\pi}{8}\)
a. \(\frac{\pi}{2}\) b. \(\frac{\pi}{3}\) c. \(\frac{\pi}{6}\) d. \(\frac{\pi}{8}\)
\(\sqrt{3} \sin \theta=\cos \theta\)
\(\sqrt{3}=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
\(\sqrt{3}=\cot \theta\)
\(\cot 30^{\circ}=\cot \theta\)
\(\theta=30^{\circ}\)
\(\frac{\pi}{180} \times 30^{\circ}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore\) c. সঠিক
\(\sqrt{3}=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
\(\sqrt{3}=\cot \theta\)
\(\cot 30^{\circ}=\cot \theta\)
\(\theta=30^{\circ}\)
\(\frac{\pi}{180} \times 30^{\circ}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore\) c. সঠিক
3. \(\left(\sec ^{2}
\alpha+\cos
^{2} \alpha\right)\) -এর ক্ষুদ্রতম মান –
a. 0 b. 1 c. 2 d. \(-\infty\)
a. 0 b. 1 c. 2 d. \(-\infty\)
\(=(\sec \alpha^{2}+\cos \alpha^{2})-2 \sec \alpha \cos
\alpha +
2 \sec \alpha \cos\)
\(=(\sec \alpha-\cos \alpha)^{2}+2 \sec \alpha \cos \alpha\)
\(=(\sec \alpha-\cos \alpha)^{2}+2 > 2\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রতম মান হল 2.
\(=(\sec \alpha-\cos \alpha)^{2}+2 \sec \alpha \cos \alpha\)
\(=(\sec \alpha-\cos \alpha)^{2}+2 > 2\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রতম মান হল 2.
4. \(\sin \theta \cdot
\cos
\theta\) -এর বৃহত্তম মান –
a. \(\frac{1}{2}\) b. 1 c. 2 d. \(\infty\)
a. \(\frac{1}{2}\) b. 1 c. 2 d. \(\infty\)
\(\sin \theta \cdot \cos \theta\)
\(=\frac{1}{2}(2 \sin \theta \cdot \cos \theta)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta\right.) - \frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(\sin \theta+\cos \theta)^{2}-\frac{1}{2}\)
\(\therefore \sin \theta . \cos \theta\) এর ক্ষুদ্রতম মান হল \(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) a. সঠিক
\(=\frac{1}{2}(2 \sin \theta \cdot \cos \theta)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta\right.) - \frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}(\sin \theta+\cos \theta)^{2}-\frac{1}{2}\)
\(\therefore \sin \theta . \cos \theta\) এর ক্ষুদ্রতম মান হল \(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) a. সঠিক
Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ - এর সমাধান
5. যদি \(0 < \theta
<
90^{\circ}\) হয় তবে \(9 \tan ^{2} \theta+4 \cot ^{2} \theta\) -এর
ক্ষুদ্রতম মান–
a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
\(9 \tan ^{2} \theta+4 \cot^{2} \theta\)
\((3\tan \theta)^{2}+(2 \cot \theta)^{2}\)
\(=(3\tan \theta)^{2}+(2 \cot \theta)^{2}-2 \cdot 3 \tan \theta \cdot 2 \cot \theta + 2 \cdot 3 \tan \theta \cdot 2 \cot \theta\)
\(=(3\tan \theta)^{2}+(2 \cot \theta)^{2}-2 \cdot 3\tan \theta \cdot 2 \cot \theta + 12\)
\(=(3 \tan \theta-2 \cot \theta)^{2}+12\)
\(9 \tan ^{2} \theta+4 \cot^{2} \theta\) এর ক্ষুদ্রতম মান হল – 12
\(\therefore\) b. সঠিক
\((3\tan \theta)^{2}+(2 \cot \theta)^{2}\)
\(=(3\tan \theta)^{2}+(2 \cot \theta)^{2}-2 \cdot 3 \tan \theta \cdot 2 \cot \theta + 2 \cdot 3 \tan \theta \cdot 2 \cot \theta\)
\(=(3\tan \theta)^{2}+(2 \cot \theta)^{2}-2 \cdot 3\tan \theta \cdot 2 \cot \theta + 12\)
\(=(3 \tan \theta-2 \cot \theta)^{2}+12\)
\(9 \tan ^{2} \theta+4 \cot^{2} \theta\) এর ক্ষুদ্রতম মান হল – 12
\(\therefore\) b. সঠিক
6. \(x=\sin ^{2}
\alpha+\operatorname{cosec}^{2} \alpha\) হলে নীচের কোনটি \(x\) –এর মান
হবে
?
a. \(0 < x \leqslant 1\) b. \(1 \leqslant x < 2\) c. \(x \geqslant 2\) d. \(x=1.5\)
a. \(0 < x \leqslant 1\) b. \(1 \leqslant x < 2\) c. \(x \geqslant 2\) d. \(x=1.5\)
7. নীচের প্রদত্ত
সম্বন্ধগুলির
মধ্যে কোনটি সঠিক ?
a. \(\cos \theta=\frac{7}{5}\) b. \(\sin \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}(a \neq \pm b)\) c. \(\tan \theta=45\) d. \(\sec \theta=\frac{4}{5}\)
a. \(\cos \theta=\frac{7}{5}\) b. \(\sin \theta=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}(a \neq \pm b)\) c. \(\tan \theta=45\) d. \(\sec \theta=\frac{4}{5}\)
যদি
\(3 \sin \theta + 4 \sin \theta = 4\) হয়, তবে \(4 \sin \theta - 3 \cos
\theta
=\)
(A) 1 (B) 0 (C) \(-1\) (D) \(\frac{25}{2}\)
(A) 1 (B) 0 (C) \(-1\) (D) \(\frac{25}{2}\)
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
1. নীচের অভেদাবলি প্রমান করো :
(i) \((\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)^{2}+(\sec \theta-\cos
\theta)^{2}-(\tan \theta-\cot \theta)^{2}=1\)
(ii) \((\cot
\theta+\operatorname{cosec} \theta)^{2}=\frac{1+\cos \theta}{1-\cos
\theta}\)
(iii) \(\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}=(\sec \theta+\tan
\theta)^{2}\)
(iv) \((\sin \alpha+\operatorname{cosec} \alpha)^{2}+(\cos \alpha+\sec
\alpha)^{2}=\tan ^{2} \alpha+\cot ^{2} \alpha+7\)
(v) \((1+\sec A+\tan A)(1-\operatorname{cosec} A+\cot A)=2\)
2. \(A B C\) ত্রিভুজের \(A\) স্থূলকোণ; যদি \(\sec
(B+C)=\operatorname{cosec}(B-C)\) \(=2\) হয়, তবে কোণ তিনটি নির্ণয় করো।
3. যদি \(3 \cos \alpha-4 \sin \alpha=5\) হয়, তবে দেখাও যে \(3 \sin
\alpha+4 \cos
\alpha=0\)
4.
(i) যদি \(x=r \cos \theta \cos \phi\), \(y=r \cos \theta \sin \phi\) এবং
\(z=r
\sin \theta\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\)
Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ - এর সমাধান
(ii) \(x=a \sec \theta \cos \phi\), \(y=b \sec \theta \sin \phi\) এবং
\(z=c \tan
\theta\) হলে দেখাও যে,
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\)
(iii)
\(x=\operatorname{cosec}
\theta-\sin \theta\) এবং \(y=\sec \theta-\cos \theta\) হলে দেখাও যে,
\(x^{\frac{2}{3} }+y^{ \frac{2}{3} }=(x y)^{-\frac{2}{3} }\)
5. \(\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{4} \theta\right)\) –এর ক্ষুদ্রতম মান
নির্ণয়
করো।
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
1. \(\alpha, \quad \beta, \quad \gamma\) ধনাত্মক সূক্ষকোণ এবং \(\sin
(\alpha+\beta-\gamma)=\) \(\cos (\beta+\gamma-\alpha)=\tan
(\gamma+\alpha-\beta)=1\) হলে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\)- এর মান
নির্ণয় করো।
2. \(A, B\) ও \(C\) একটি
সূক্ষকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণ এবং \(\cos (B+C-A)=0\) ও \(\sin
(C+A-B)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে \(A, B\) ও \(C\) -এর মান নির্ণয়
করো।
3.
(i) \(1+\cos ^{2} A=3
\cos A
\sin A\) হলে \(\cot A\) -এর মান নির্ণয় করো।
(ii) যদি \(3 \sin
\theta+4 \cos
\theta=5\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\) হয়, তাহলে দেখাও
যে,
\(\sin \theta=\frac{3}{5}\)।
4. যদি \(\operatorname{cosec} \alpha+\cot \alpha=a\) হয়, তবে প্রমান করো
যে,
\(\cos \alpha=\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\)।
5. যদি \(4 x \sec A=1+4 x^{2}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sec A+\tan A=2 x\)
অথবা
\(\frac{1}{2 x}\)।
6. যদি \(\tan ^{2}
\theta=1-e^{2}\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(\sec \theta+\tan ^{3} \theta
\operatorname{cosec} \theta=\left(2-e^{2}\right)^{\frac{3}{2} }\)।
7. যদি \(a^{2} \sec ^{2} \alpha-b^{2} \tan ^{2} \alpha=c^{2}\) হয়, তবে
দেখাও যে,
\(\sin \alpha=\pm \sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{c^{2}-b^{2}}}\)।
8. যদি \(\cos \theta-\sin \theta=\sqrt{2} \sin \theta\) হয়, তবে দেখাও
যে, \(\cos
\theta+\sin \theta=\sqrt{2} \cos \theta \quad\left(0 < \theta <
\frac{\pi}{2}\right)\)।
9. নীচের প্রতিটি ক্ষেত্রে \(\theta\) অপনয়ন করো :
(i) \(\sin \theta+\cos \theta=m, \tan \theta+\cot \theta=n\)
(ii) \(\sin \theta -\cos
\theta
= a, \sec \theta -\cos ec \theta = b\)
দীর্ঘ উত্তরধর্মী
1. যদি \(p \tan \theta=\tan p \theta\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{\sin
^{2} p
\theta}{\sin ^{2} \theta}=\frac{p^{2}}{1+\left(p^{2}-1\right) \sin ^{2}
\theta}\)।
2. নীচের প্রতিক্ষেত্রে \(\theta\) অপনয়ন করো :
(i) \(l_{1} \cos
\theta+m_{1}
\sin \theta+n_{1}=0, l_{2} \cos \theta+m_{2} \sin \theta+n_{2}=0\)
Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ - এর সমাধান
(ii) \(a \sec \theta+b
\tan
\theta+c=0, \quad a^{\prime} \sec \theta+b^{\prime} \tan
\theta+c^{\prime}=0\)
(iii) \(\cos ^{3}
\theta+3 \cos
\theta \sin ^{2} \theta=x, \quad \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta \cos
^{2}
\theta=y\)
3. যদি \(\tan
\theta+\sin
\theta=m\) এবং \(\tan \theta-\sin \theta=n\) হয়, তবে প্রমান করো যে, \(m
n=\tan
^{2} \theta \sin ^{2} \theta\) এবং \(m^{2}-n^{2}=4 \sqrt{m n}\)।
4. যদি \(\operatorname{cosec} \alpha-\sin \alpha=m^{3}\); \(\sec
\alpha-\cos
\alpha=n^{3}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(m^{2}
n^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)=1\)।
5. \(\frac{\sin ^{4} \theta}{x}+\frac{\cos ^{4}
\theta}{y}=\frac{1}{x+y}\) হলে
দেখাও যে, \(\frac{\sin ^{12} \theta}{x^{5}}+\frac{\cos ^{12}
\theta}{y^{5}}=\frac{1}{(x+y)^{5}}\)
6. \(a \sin x=b \cos x=\frac{2 c \tan x}{1-\tan ^{2} x}\) হলে প্রমান করো
যে,
\(\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}=4 c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\)
7. \(\cos \theta=\frac{\cos \alpha \cos \beta}{1+\sin \alpha \sin
\beta}\) হলে
দেখাও যে, \(\sin \theta=\pm \frac{\sin \alpha+\sin \beta}{1+\sin \alpha
\sin
\beta}\)
8. \(\frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{2} y}+\frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{2} y}=1\)
হলে
দেখাও যে, \(\frac{\cos ^{4} y}{\cos ^{2} x}+\frac{\sin ^{4} y}{\sin ^{2}
x}=1\)
9. \(\operatorname{cosec} x=\operatorname{cosec} y \operatorname{cosec}
z+\cot y
\cot z\) হলে প্রমান করো যে, \(\operatorname{cosec}
y=\operatorname{cosec} z
\operatorname{cosec} x \pm \cot z \cot x\)
10. \(\frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1\) এবং \(\frac{a
x}{\cos
\theta}-\frac{b y}{\sin \theta}=a^{2}-b^{2}\) হলে দেখাও যে,
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)
11. \(\sec \theta=\sec \alpha \sec \beta+\tan \alpha \tan \beta\) হলে
দেখাও যে,
\(\tan \theta=\pm(\sec \alpha \tan \beta+\tan \alpha \sec \beta)\)
12. \(x \cos \theta+y \cos \phi+z \cos \psi=0\),
\(x \sin \theta+y \sin \phi+z \sin \psi=0\) এবং
\(x \sec \theta+y \sec \phi+z \sec \psi=0\) হলে দেখাও যে,
\(\left(x^{2}+y^{2}-z^{2}\right)^{2}=4 x^{2} y^{2}\)
13. \(\sin \theta=\cot \alpha \tan \gamma\) এবং \(\tan \theta=\cos
\alpha \tan
\beta\) হলে দেখাও যে, \(\cos \theta\) –র একটি মান \(\cos \beta \sec
\gamma\)।
Trigonometric angles and standard angles SN Dey Mathematics Class 11 Trigonometry Solutions || ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ - এর সমাধান
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright
আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত।
ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা
আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু
কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
Madhyamik Previous Year Question Paper | মাধ্যমিক বিগত 22 বছরের অঙ্ক প্রশ্নের উত্তরপত্র https://wbchse.wb.gov.in
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali