আমি PQR একটি ত্রিভুজ আঁকি ও যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে—
$\Delta \mathrm{PQR}$-এর মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু।
ধরা যাক, $\Delta \mathrm{PQR}$-এর OE ও RF মধ্যমা দুটি G বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
প্রামাণ্য : মধ্যমা তিনটি সমবিন্দু।
মনে করি PG যুক্ত করে বর্ধিত করলে তা QR-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। D, QR-এর মধ্যবিন্দু = প্রমাণ করলেই প্রমাণিত হবে যে, মধ্যমা তিনটি সমবিন্দু।
অঙ্কন :
PD-কে H পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যে
GH = PG
Q, H; R, H যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : $\Delta \mathrm{PQH}$-এর PQ ও PH বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F ও G
$\therefore$ $\mathrm{FG} \| \mathrm{QH}$ অর্থাৎ $\mathrm{GR} \| \mathrm{QH}$
আবার $\Delta \mathrm{PRH}$-এর PR ও PH বাহু দুটির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও G
$\therefore$ $\mathrm{GH} \| \mathrm{HR}$ অর্থাৎ $\mathrm{QG} \| \mathrm{HR}$
এখন QHRG চতুর্ভুজের $\mathrm{GR} \| \mathrm{QH}$ এবং $\mathrm{QG} \| \mathrm{HR}$
$\therefore$ QHRG একটি সামান্তরিক।
আবার QR ও GH হল QHRG সামন্তরিকের দুটি কর্ণ।
আমরা জানি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore$ D, QR-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ $\Delta P Q R$-এর মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু (প্রমাণিত)

আমি সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী ও স্থূলকোণী ত্রিভুজ আলাদা আলাদা এঁকে তাদের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের কোথায় অবস্থিত দেখি।
সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ভরকেন্দ্র G ত্রিভুজের মধ্যে অবস্থিত।
BD সমকোণী ত্রিভুজ ভরকেন্দ্র G ত্রিভুজের মধ্যে অবস্থিত। $\Delta$ABC একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ যার ZABC ফুলকোণ। ভরকেন্দ্র G ত্রিভুজের মধ্যে অবস্থিত।