গণিতপ্রভা অষ্টম শ্রেণি (ক্লাস-৮) সমাধান || Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || Gonitprava Class 8 Chapter 8 Solution || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
Share this page using :
Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
কষে দেখি - 8
Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
1. চন্দ্রা লাইন টানা খাতার পাতা নিল। দুটি লাইনের মাঝে একটি ছেদক টানল। এর ফলে 4 জোড়া অনুরূপ কোণ ও 2 জোড়া একান্তর কোণ ও 2 জোড়া একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ তৈরি হলো। তাদের খুঁজে নাম দিই ও লিখি। চাঁদার সাহায্যে মেপে যাচাই করি যে (i) অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান, (ii) একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান ও (iii) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
চন্দ্রা খাতায় PQ ও RS দুটি লাইনের মধ্যে MN ছেদক টানল।
ছেদকটি সরলরেখা দুটিকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করল।
(i) উৎপন্ন চার জোড়া অনুরূপ কোণ
\( \angle \mathrm{MAQ} \) ও \( \angle A B S, \angle M A P \) ও \( \angle \mathrm{ABR}, \angle \mathrm{PAB} \) ও \( \angle \mathrm{RBN}, \angle \mathrm{QAB} \) ও \( \angle S B N \)
\( \therefore \angle \mathrm{MAQ}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{ABS}=60^{\circ} \)
\( \therefore \angle M A P= \) অনুরূপ \( \angle A B R=120^{\circ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{PAB}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{RBN}=60^{\circ} \)
\( \therefore \angle Q A B= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{SBN}=120^{\circ} \)
\(\therefore\) অর্থাৎ, অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান।
(ii) উৎপন্ন দুই জোড়া একান্তর কোণ–
\( \angle \mathrm{PAB}\) ও \(\angle \mathrm{ABS} \) এবং \( \angle \mathrm{QAB}\) ও \(\angle \mathrm{ABR} \)
\( \therefore \angle P A B= \) একান্তর \( \angle A B S=60^{\circ} \)
\( \therefore \angle Q A B= \) একান্তর \( \angle \mathrm{ABR}=120^{\circ} \)
\(\therefore\) একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান।
(iii) MN ছেদকের ডান দিকে উৎপন্ন হওয়া অন্তঃস্থ কোণ \( \angle Q A B \) ও \( \angle \mathrm{ABS} \)
\( \therefore \angle Q A B+\angle A B S=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ} \)
MN ছেদকের বাঁ-দিকে উৎপন্ন হওয়া অন্তঃস্থ কোণ \( \angle P A B \) ও \( \angle A B R \)
\( \therefore \angle P A B+\angle A B R=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ} \)
ছেদকটি সরলরেখা দুটিকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করল।
(i) উৎপন্ন চার জোড়া অনুরূপ কোণ
\( \angle \mathrm{MAQ} \) ও \( \angle A B S, \angle M A P \) ও \( \angle \mathrm{ABR}, \angle \mathrm{PAB} \) ও \( \angle \mathrm{RBN}, \angle \mathrm{QAB} \) ও \( \angle S B N \)
\( \therefore \angle \mathrm{MAQ}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{ABS}=60^{\circ} \)
\( \therefore \angle M A P= \) অনুরূপ \( \angle A B R=120^{\circ} \)
\( \therefore \angle \mathrm{PAB}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{RBN}=60^{\circ} \)
\( \therefore \angle Q A B= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{SBN}=120^{\circ} \)
\(\therefore\) অর্থাৎ, অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান।
(ii) উৎপন্ন দুই জোড়া একান্তর কোণ–
\( \angle \mathrm{PAB}\) ও \(\angle \mathrm{ABS} \) এবং \( \angle \mathrm{QAB}\) ও \(\angle \mathrm{ABR} \)
\( \therefore \angle P A B= \) একান্তর \( \angle A B S=60^{\circ} \)
\( \therefore \angle Q A B= \) একান্তর \( \angle \mathrm{ABR}=120^{\circ} \)
\(\therefore\) একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান।
(iii) MN ছেদকের ডান দিকে উৎপন্ন হওয়া অন্তঃস্থ কোণ \( \angle Q A B \) ও \( \angle \mathrm{ABS} \)
\( \therefore \angle Q A B+\angle A B S=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ} \)
MN ছেদকের বাঁ-দিকে উৎপন্ন হওয়া অন্তঃস্থ কোণ \( \angle P A B \) ও \( \angle A B R \)
\( \therefore \angle P A B+\angle A B R=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ} \)
2. পাশের ছবির কোণগুলি দেখি ও কোনগুলি অনুরূপ কোণ, কোনগুলি একান্তর কোণ ও কোনগুলি একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ লিখি।
অনুরূপ কোণ → \(\angle\) 1 ও \(\angle\) 5, \(\angle\) 4 ও \(\angle\) 8, \(\angle\) 2 ও \(\angle\) 6, \(\angle\) 3 ও \(\angle\) 7
একান্তর কোণ → \(\angle\) 4 ও \(\angle\) 6, \(\angle\) 3 ও \(\angle\) 5
একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ → \(\angle\) 4 ও \(\angle\) 5, \(\angle\) 3 ও \(\angle\) 6
3. \(A B \| C D\) হলে নীচের কোণগুলির মান লিখি—
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
(a) \(x\) = বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{EMB}=55^{\circ} \)
\(x\) = একান্তর \( \angle \mathrm{MND}=55^{\circ} \)
আবার, \( \angle M N D+y=180^{\circ} \)
[\(\because\) EF সরলরেখার উপর ND রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle \mathrm{MND}, \angle \mathrm{FND} \)]
বা, \( y=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ} \)
\( \therefore x=55^{\circ}, y=125^{\circ} \)
(b) \(x\) = অনুরূপ \( \angle \mathrm{MNC} \)
আবার, \( \angle M N C+\angle M N D=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর MN সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle M N C \) ও \( \angle M N D \)]
বা, \( x+68^{\circ}=180^{\circ} \)
বা, \( x=180^{\circ}-68^{\circ} \)
\( \therefore x=112^{\circ} \)
(c) \( \angle B M N= \) অনুরূপ \( \angle D N F=100^{\circ} \)
আবার, \( \angle D N F+\angle C N F=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর NF রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle D N F \) ও \( \angle C N F \)]
বা, \( \angle D N F+x=180^{\circ} \)
বা, \( 100^{\circ}+x=180^{\circ} \)
বা, \( x=180^{\circ}-100^{\circ} \)
\( \therefore x=80^{\circ} \)
\(x\) = একান্তর \( \angle \mathrm{MND}=55^{\circ} \)
আবার, \( \angle M N D+y=180^{\circ} \)
[\(\because\) EF সরলরেখার উপর ND রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle \mathrm{MND}, \angle \mathrm{FND} \)]
বা, \( y=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ} \)
\( \therefore x=55^{\circ}, y=125^{\circ} \)
(b) \(x\) = অনুরূপ \( \angle \mathrm{MNC} \)
আবার, \( \angle M N C+\angle M N D=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর MN সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle M N C \) ও \( \angle M N D \)]
বা, \( x+68^{\circ}=180^{\circ} \)
বা, \( x=180^{\circ}-68^{\circ} \)
\( \therefore x=112^{\circ} \)
(c) \( \angle B M N= \) অনুরূপ \( \angle D N F=100^{\circ} \)
আবার, \( \angle D N F+\angle C N F=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর NF রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle D N F \) ও \( \angle C N F \)]
বা, \( \angle D N F+x=180^{\circ} \)
বা, \( 100^{\circ}+x=180^{\circ} \)
বা, \( x=180^{\circ}-100^{\circ} \)
\( \therefore x=80^{\circ} \)
Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
4. পাশের ছবির \(XY \| PQ\) হলে 7টি কোণের মান লিখি।
\( \angle 2=\angle \mathrm{XMN}= \) বিপ্রতীপ \( \angle A M Y=50^{\circ} \)
\( \therefore \angle 2=50^{\circ} \)
\(AN\) সরলরেখাংশের উপর \(XM\) সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান।
\( \therefore \angle 1+\angle 2=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle 1=180^{\circ}-\angle 2\)
\( =180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \)
আবার, \( \mathrm{XY} \| \mathrm{PQ} \) ও AB ভেদক
\( \therefore \angle 4= \) অনুরূপ \( \angle 1=130^{\circ} \) এবং \( \angle 7= \) অনুরূপ \( \angle 2=50^{\circ} \)
\( \angle 6= \) বিপ্রতীপ \( \angle 4=130^{\circ} \)
\( \angle 5= \) বিপ্রতীপ \( \angle 7=50^{\circ} \)
\( \angle 3= \) বিপ্রতীপ \( \angle 1=130^{\circ} \)
\( \therefore \angle 1=130^{\circ}, \angle 2=50^{\circ}, \angle 3=130^{\circ}, \angle 4=130^{\circ} \)
\( \angle 5=50^{\circ}, \angle 6=130^{\circ}, \angle 7=50^{\circ} \)
5. নীচের AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল কিনা কোণের মান দেখে যুক্তি দিয়ে লিখি-
(i) ধরি, \( \mathrm{AB} \| \mathrm{CD} \)
সেক্ষেত্রে \( \angle \mathrm{MNC}= \) একান্তর \( \angle B M N=125^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{MNC}+\angle \mathrm{MND}=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর MN সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle M N C \) ও \( \angle \mathrm{MND} \)]
বা, \( 125^{\circ}+\angle M N D=180^{\circ}\)
বা, \(\angle M N D=180^{\circ}-125^{\circ}\)
বা, \(\angle M N D=55^{\circ} \)
কিন্তু, প্রদত্ত \( \angle \mathrm{MND}=30^{\circ} \)
\(\therefore\) AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।
সংশোধিত চিত্রটি হল—
(ii) ধরি, \( \mathrm{AB} \| \mathrm{CD} \)
\( \therefore \angle \mathrm{CNF}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{AMN}=120^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{CNF}+\angle \mathrm{DNF}=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর NF রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle \mathrm{CNF} \) ও \( \angle D N F \)]
বা, \( 120^{\circ}+\angle D N F=180^{\circ}\)
বা, \(\angle D N F=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)
এবং চিত্রে প্রদত্ত, \( \angle D N F=60^{\circ} \)
\( \therefore A B \| C D \)
(iii) ধরি, \( A B \| C D \)
\( \angle E N D= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{EMB}=75^{\circ} \)
আবার, \( \angle E N D+\angle D N F=180^{\circ} \)
[\(\because\) EF সরলরেখার উপর ND রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle E N D \) ও \( \angle \mathrm{DNF} \)]
বা, \( 75^{\circ}+\angle D N F=180^{\circ}\)
বা, \(\angle D N F=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ} \)
কিন্তু, প্রদত্ত \( \angle \mathrm{DNF}=95^{\circ} \)
\(\therefore\) AB ও CD সমান্তরাল নয়।
সংশোধিত চিত্রটি হল
সেক্ষেত্রে \( \angle \mathrm{MNC}= \) একান্তর \( \angle B M N=125^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{MNC}+\angle \mathrm{MND}=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর MN সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle M N C \) ও \( \angle \mathrm{MND} \)]
বা, \( 125^{\circ}+\angle M N D=180^{\circ}\)
বা, \(\angle M N D=180^{\circ}-125^{\circ}\)
বা, \(\angle M N D=55^{\circ} \)
কিন্তু, প্রদত্ত \( \angle \mathrm{MND}=30^{\circ} \)
\(\therefore\) AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল নয়।
সংশোধিত চিত্রটি হল—
(ii) ধরি, \( \mathrm{AB} \| \mathrm{CD} \)
\( \therefore \angle \mathrm{CNF}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{AMN}=120^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{CNF}+\angle \mathrm{DNF}=180^{\circ} \)
[\(\because\) CD সরলরেখার উপর NF রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle \mathrm{CNF} \) ও \( \angle D N F \)]
বা, \( 120^{\circ}+\angle D N F=180^{\circ}\)
বা, \(\angle D N F=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)
এবং চিত্রে প্রদত্ত, \( \angle D N F=60^{\circ} \)
\( \therefore A B \| C D \)
(iii) ধরি, \( A B \| C D \)
\( \angle E N D= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{EMB}=75^{\circ} \)
আবার, \( \angle E N D+\angle D N F=180^{\circ} \)
[\(\because\) EF সরলরেখার উপর ND রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বয় \( \angle E N D \) ও \( \angle \mathrm{DNF} \)]
বা, \( 75^{\circ}+\angle D N F=180^{\circ}\)
বা, \(\angle D N F=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ} \)
কিন্তু, প্রদত্ত \( \angle \mathrm{DNF}=95^{\circ} \)
\(\therefore\) AB ও CD সমান্তরাল নয়।
সংশোধিত চিত্রটি হল
6. চিত্রে \(A B \| C D\) এবং \(\angle \mathrm{EGB}=50^{\circ} ; \angle \mathrm{AGE}, \angle \mathrm{AGH}, \angle \mathrm{BGH}, \angle \mathrm{GHC}, \angle \mathrm{GHD}\), \(\angle {CHF} \) এবং \(\angle {DHF} \) -এর পরিমাপ লিখি।
\( \angle \mathrm{EGB}=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{AGH}= \) বিপ্রতীপ \( \angle E G B=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{AGE}+\angle \mathrm{EGB}=180^{\circ} \)
[\(\because\) \(AB\) সরলরেখাংশের উপর EG সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান
হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ \( \angle E G B \) ও \( \angle \mathrm{AGE} \)]
বা, \( \angle \mathrm{AGE}+50^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle A G E=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{BGH}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{AGE}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{GHD}= \) অনুরূপ \( \angle E G B=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{CHF}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{GHD}=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{AGE}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{GHC}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{DHF}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{GHC}=130^{\circ} \)
\(\therefore\) \( \angle \mathrm{AGE}=130^{\circ}, \angle \mathrm{AGH}=50^{\circ}, \angle \mathrm{BGH}=130^{\circ}\)
\(\angle \mathrm{GHC}=130^{\circ}, \angle \mathrm{GHD}=50^{\circ}, \angle \mathrm{CHF}=50^{\circ} \)
এবং \( \angle \mathrm{DHF}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{AGH}= \) বিপ্রতীপ \( \angle E G B=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{AGE}+\angle \mathrm{EGB}=180^{\circ} \)
[\(\because\) \(AB\) সরলরেখাংশের উপর EG সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান
হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ \( \angle E G B \) ও \( \angle \mathrm{AGE} \)]
বা, \( \angle \mathrm{AGE}+50^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle A G E=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{BGH}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{AGE}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{GHD}= \) অনুরূপ \( \angle E G B=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{CHF}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{GHD}=50^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{AGE}= \) অনুরূপ \( \angle \mathrm{GHC}=130^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{DHF}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{GHC}=130^{\circ} \)
\(\therefore\) \( \angle \mathrm{AGE}=130^{\circ}, \angle \mathrm{AGH}=50^{\circ}, \angle \mathrm{BGH}=130^{\circ}\)
\(\angle \mathrm{GHC}=130^{\circ}, \angle \mathrm{GHD}=50^{\circ}, \angle \mathrm{CHF}=50^{\circ} \)
এবং \( \angle \mathrm{DHF}=130^{\circ} \)
7. চিত্রে \(A B \| C D\); \(\angle \mathrm{P} \mathrm{QR}\) এর পরিমাপ লিখি। 
\(AB\) ও \(CD\)-এর সমান্তরাল সরলরেখা QS অঙ্কন করা হল।
\( \angle \mathrm{PQS}= \) একান্তর \( \angle \mathrm{APQ}=30^{\circ} \)
আবার, \( \angle R Q S= \) একান্তর \( \angle Q R C \)
\( =40^{\circ} \)
\( \angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PQS}+\angle \mathrm{RQS} \)
\( =30^{\circ}+40^{\circ}=70^{\circ} \)
8. চিত্রে \({P Q} \| {R S}, \angle {B P Q}={4 0}^{\circ}, \angle {B P R}=155^{\circ}\) এবং \(\angle \mathrm{CRS}=70^{\circ} ; \Delta \mathrm{APR}\) -এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
প্রদত্ত \( \angle B P R=155^{\circ} \)
এখন, \( \angle B P R+\angle A P R=180^{\circ} \)
[\(\because\) AB রশ্মির উপর PR সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার
ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle \mathrm{APR} \) ও \( \angle B P R \)]
বা, \( 155^{\circ}+\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}-155^{\circ}=25^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{BPQ}=\angle \mathrm{BPR} \)
বা, \( \angle \mathrm{QPR}+40^{\circ}=155^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{QPR}=155^{\circ}-40^{\circ}=115^{\circ} \)
চিত্রে, \(PQ\|RS\) এবং PR ছেদক
আমরা জানি, ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 2 সমকোণ
\( \therefore \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ} \)
বা, \( 115^{\circ}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}\)
আবার, \( \angle \mathrm{PRA}+\angle \mathrm{PRS}+\angle \mathrm{SRC}=180^{\circ} \)
[\(\because\) AC সরলরেখার উপর RS রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বায় হল \( \angle \mathrm{SRA}, \angle \mathrm{SRC} \)]
বা, \( \angle P R A+65^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle P R A=180^{\circ}-65^{\circ}-70^{\circ}=45^{\circ} \)
\( \triangle \mathrm{APR} \)-এর
\( \angle \mathrm{PRA}+\angle \mathrm{PAR}+\angle \mathrm{APR}=180^{\circ} \)
বা, \( 45^{\circ}+\angle \mathrm{PAR}+25^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{PAR}=180^{\circ}-45^{\circ}-25^{\circ}=110^{\circ} \)
\( \triangle \mathrm{APR} \)-এর
\( \angle \mathrm{PRA}=45^{\circ}, \angle \mathrm{PAR}=110^{\circ} \) ও \( \angle \mathrm{APR}=25^{\circ} \)
এখন, \( \angle B P R+\angle A P R=180^{\circ} \)
[\(\because\) AB রশ্মির উপর PR সরলরেখাংশ দণ্ডায়মান হওয়ার
ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি হল \( \angle \mathrm{APR} \) ও \( \angle B P R \)]
বা, \( 155^{\circ}+\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{APR}=180^{\circ}-155^{\circ}=25^{\circ} \)
আবার, \( \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{BPQ}=\angle \mathrm{BPR} \)
বা, \( \angle \mathrm{QPR}+40^{\circ}=155^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{QPR}=155^{\circ}-40^{\circ}=115^{\circ} \)
চিত্রে, \(PQ\|RS\) এবং PR ছেদক
আমরা জানি, ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 2 সমকোণ
\( \therefore \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ} \)
বা, \( 115^{\circ}+\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{PRS}=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}\)
আবার, \( \angle \mathrm{PRA}+\angle \mathrm{PRS}+\angle \mathrm{SRC}=180^{\circ} \)
[\(\because\) AC সরলরেখার উপর RS রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ার ফলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণদ্বায় হল \( \angle \mathrm{SRA}, \angle \mathrm{SRC} \)]
বা, \( \angle P R A+65^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle P R A=180^{\circ}-65^{\circ}-70^{\circ}=45^{\circ} \)
\( \triangle \mathrm{APR} \)-এর
\( \angle \mathrm{PRA}+\angle \mathrm{PAR}+\angle \mathrm{APR}=180^{\circ} \)
বা, \( 45^{\circ}+\angle \mathrm{PAR}+25^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle \mathrm{PAR}=180^{\circ}-45^{\circ}-25^{\circ}=110^{\circ} \)
\( \triangle \mathrm{APR} \)-এর
\( \angle \mathrm{PRA}=45^{\circ}, \angle \mathrm{PAR}=110^{\circ} \) ও \( \angle \mathrm{APR}=25^{\circ} \)
Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
9. AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু। OP ও OQ যথাক্রমে-AB ও CD সরলরেখার উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।
\(AB\) ও \(CD\) দুটি সমান্তরাল সরলরেখার ভিতর \(O\) যে-কোনো একটি বিন্দু।
\(OP\) ও \(OQ\) যথাক্রমে AB ও CD সরলরেখার উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয় : \(P, O, Q\) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অঙ্কন : \(O\) বিন্দু দিয়ে \(AB\) ও \(CD\)-এর সমান্তরাল সরলরেখা MN অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : \( \mathrm{AB} \| \mathrm{MN} \) এবং \(PO\) ছেদক
\( \therefore \angle \mathrm{BPO}+\angle \mathrm{PON}=180^{\circ} \) [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ]
বা, \( 90^{\circ}+\angle P O N=180^{\circ}\left[\because P O \perp A B \therefore \angle B P O=90^{\circ}\right]\)
বা, \(\angle P O N=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} \)
আবার, \( C D \| M N \) এবং QO ছেদক
\( \therefore \angle \mathrm{NOQ}+\angle O Q D=180^{\circ} \) [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ]
বা, \( \angle N O Q+90^{\circ}=180^{\circ} \)
\( \left[\because O Q \perp C D \therefore \angle O Q D=90^{\circ}\right] \)
বা, \( \angle \mathrm{NOQ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{PON}+\angle \mathrm{NOQ}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} \)
কিন্তু, এরা সন্নিহিত কোণ।
\(\therefore\) \(PO\) ও \(OQ\) একই সরলরেখা
\(\therefore\) \(P, O, Q\) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)
10. দুটি কোণের প্রতিজোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল। প্রমাণ করি যে, কোণদুটি সমান অথবা পরস্পর সম্পূরক।
ধরা যাক, \( \angle A B C \) ও \( \angle D E F \)-এর
\( A B \| D E \) এবং \( \mathrm{BC} \| \mathrm{EF} \)
প্রামাণ্য বিষয় : \( \angle A B C=\angle D E F \) (চিত্র : 1) ...........(i)
অথবা, \( \angle A B C+\angle D E F=180^{\circ} \) (চিত্র : 2) .........(ii)
প্রমাণ : চিত্র : 1
\( \because A B \| D E \) এবং BC ভেদক
\( \therefore \angle \mathrm{ABC}= \) অনুরূপ \( \angle D O C \)
আবার, \( \mathrm{BC} \| \mathrm{EF} \) এবং DE ভেদক
\( \therefore \angle D O C= \) অনুরূপ \( \angle D E F \)
\( \therefore \angle A B C=\angle D E F \) (প্রমাণিত)
চিত্ৰ : 2
\( \because B C \| E F \) এবং DE ভেদক
\( \therefore \angle D O B= \) অনুরূপ \( \angle D E F \)
এবং \( A B|| D E \) এবং BC ভেদক
\( \angle A B O+\angle D O B=2 \) সমকোণ
[\(\because\) ভেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
\( \therefore \angle A B O+\angle D E F=2 \) সমকোণ \( [\because \angle D E F=\angle D O B] \)
\(\therefore\) কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক। (প্রমাণিত)
Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
11. ABCD সামন্তরিকের AC কর্ণ \(\angle \mathrm{BAD}\)-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। প্রমাণ করি যে AC কর্ণ \(\angle \mathrm{BCD}\)-কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রদত্ত : ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ \( \angle B A D \) কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, \( \angle B A C=\angle C A D \)
প্রামাণ্য বিষয় : AC কর্ণ \( \angle B C D \)-কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ \( \angle B C A=\angle A C D \)
প্ৰমাণ :
\( \because \mathrm{AB} \| \mathrm{DC} \) এবং AC ছেদক
\( \angle \mathrm{BAC}= \) একান্তর \( \angle \mathrm{ACD} \ldots(i)\)
আবার, \( A D \| B C \) এবং AC ছেদক
\( \therefore \angle C A D= \) একান্তর \( \angle B C A \ldots(ii)\)
\( \because \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD} \ldots(iii)\)
[\(\because\) AC কৰ্ণ \( \angle B A D \) কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
\( \therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BCA} \) [(i), (ii) ও (iii) থেকে]
\(\therefore\) AC কর্ণ \( \angle B C D \) কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)
12. প্রমাণ করি যে, সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, প্রতিটি কোণই সমকোণ।
ধরা যাক, ABCD সামান্তরিকের \( \angle A=1 \) সমকোণ
প্রামাণ্য বিষয় : \( \angle B=\angle C=\angle D=1 \) সমকোণ
প্রমাণ : যেহেতু, \( A B \| D C \) এবং AD ছেদক
\( \therefore \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=2 \) সমকোণ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, \( \angle D=(2-1) \) সমকোণ
[\( \because \angle A=1 \) সমকোণ (প্রদত্ত)]
= 1 সমকোণ
আবার যেহেতু, \( A D \| B C \) এবং AB ছেদক
\( \angle A+\angle B=2 \) সমকোণ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, \( \angle B=(2-1) \) সমকোণ \(\quad\) [\( \because\angle \mathrm{A}=1 \) সমকোণ (প্রদত্ত)]
= 1 সমকোণ
এখন, \( A D \| B C \) এবং CD ছেদক
\( \therefore \angle C+\angle D=2 \) সমকোণ [ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোণ]
বা, \( \angle C=(2-1) \) সমকোণ \(\quad\) [\( \because \angle D=1 \) সমকোণ]
= 1 সমকোণ
\( \therefore \angle B=\angle C=\angle D=1 \) সমকোণ (প্রমাণিত)
Koshe dekhi 8 WBBSE Class 8 || সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম কষে দেখি 8 || WBBSE Class-8 (VIII) Koshe dekhi 8 Somadhan || West Bengal Board Class 8 Math Book Solution || অধ্যায় ৮ পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra