$\angle B O C=100^{\circ}$
প্রবৃদ্ধ $\angle B O C=360^{\circ}-100^{\circ}=260^{\circ}$
অধিচাপ BC -এর উপর কেন্দ্রস্থ কোন প্রবৃদ্ধ $\angle B O C$ এবং বৃত্তস্থ কোন $\angle B A C$
$\therefore \angle B A C=\frac{1}{2}$ প্রবৃদ্ধ $\angle B O C=\frac{1}{2} \times 260^{\circ}$$=130^{\circ}$
এখন $\triangle A B C$ -এর $A B=A C$ (প্রদত্ত)
$\therefore \angle A B C=\angle A C B$
আমারা জানি,
$\angle B A C+\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}$\
$\Rightarrow 130^{\circ}+\angle A B C+\angle A B C=180^{\circ} \quad[\because \angle A C B=\angle A B C]$
$\Rightarrow 2 \angle A B C=180^{\circ}-130^{\circ}$
$\Rightarrow 2 \angle A B C=50^{\circ}$
$\Rightarrow \angle A B C=\frac{50^{\circ}}{2}=25^{\circ}$
আবার, $\triangle B O C$ -এর $B O=C O$ (ব্যাসার্ধ)
$\angle O B C=\angle O C B$
$\angle O B C+\angle O C B+\angle B O C=180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle O B C+\angle O B C=180^{\circ}-100^{\circ}$
$\Rightarrow 2 \angle O B C=80^{\circ}$
$\Rightarrow \angle O B C=40^{\circ}$
$\therefore \angle A B O=\angle A B C+\angle O B C=25^{\circ}+40^{\circ}=65^{\circ}$
$\therefore \angle A B C=25^{\circ} \quad \angle A B O=65^{\circ}$

প্রদত্ত ছবিতে $\angle$ AOC = $110^{\circ}$,
$\therefore$ প্রদত্ত প্রবৃদ্ধ $\angle$ AOC = $360^{\circ}-110^{\circ}-250^{\circ}$
এখন AC চাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ $\angle$ ABC = $\frac{1}{2} \times$ প্রবৃদ্ধ $\angle A O C$
$\angle$ AOC = $=\frac{1}{2} \times 250^{\circ}=125^{\circ}$।

দেওয়া আছে O কেন্দ্রও বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । DC বাহুকে P পর্যন্ত বর্ধিত করায়,
$\angle$ BCP = $108^{\circ}$ (প্রদত্ত)।
$\angle$ BOD-এর মান নির্ণয় করতে হবে ।
কোণের মান নির্ণয় : যেহেতু $\angle$ BCD + $\angle$ BCP = $180^{\circ}$
$\angle$ BCD = $180^{\circ}$ - $\angle$ BCP = $180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$
আবার, BD চাপের উপর অবস্থিত $\angle$ BOD কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং $\angle$ BCD পরিধিস্থ কোণ।
$\angle$ BOD = $2 \times$$\angle$ BCD = $2 \times 72^{\circ} = 144^{\circ}$
আবার প্রবৃদ্ধ $\angle$ BOD = $\left(360^{\circ}-144^{\circ}\right)=216^{\circ}$
$\therefore \angle B O D$-এর মান $=144^{\circ}$

প্রদত্ত ছবিতে দেওয়া আছে : বৃত্তের কেন্দ্র O, $\angle$ AOD = $40^{\circ}$ এবং $\angle$ ACB = $35^{\circ}$
নির্ণয় করতে হবে : $\angle$ BCO এবং $\angle$ BOD-এর মান ।
অঙ্কন : CD-কে বর্ধিত করা হল; বর্ধিত CD বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করল।
কোণের পরিমাপ নির্ণয় : AE চাপের উপর অবস্থিত $\angle$ AOE কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং $\angle$ ACE পরিধিস্থ কোণ ।
$\angle$ ACE = $\frac{1}{2}$ $\angle$ AOE = $\frac{1}{2} \times 40^{\circ}=20^{\circ}$
এখন, $\angle$ BCO= $\angle$ BCA + $\angle$ ACO = $\angle$ ACB + $\angle$ ACE = $35^{\circ}+20^{\circ}=55^{\circ}$
আবার, AB চাপের উপর অবস্থিত $\angle$ AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং $\angle$ ACB পরিধিস্থ কোণ ।
$\therefore$ $\angle$ AOB =$2 \times$$\angle$ ACB = $2 \times 35=70^{0}$
এখন $\angle$ BOD = $\angle$ AOB + $\angle$ AOD = $70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$
সুতরাং দেখা গেল যে, $\angle$ BCO = $55^{\circ}$, $\angle$ BOD = $110^{\circ}$
$\therefore \angle B C O=55^{\circ}$ ও $\angle B O D=110^{\circ}$.

দেওয়া আছে, প্রদত্ত চিত্রে বৃত্তটির কেন্দ্র O এবং $\angle$ ADB = $80^{\circ}$
নির্ণয় করতে হবে : $\angle$ AOB এবং $\angle$ COD -এর সমষ্টি ।
অঙ্কন : B, C যুক্ত করা হল।
কোণদ্বয়ের সমষ্টির মান নির্ণয় : AB চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle$ AOB এবং পরিধিস্থ কোণ $\angle$ ACB
$\angle$ AOB = $2 \times$ $\angle$ ACB
আবার, CD চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্ৰস্থ কোণ $\angle$ COD এবং পরিধিস্থ কোণ $\angle$ DBC
$\therefore$ $\angle$ COD = 2 $\times$ $\angle$ DBC
$\therefore$ $\angle$ AOB $\times$ $\angle$ COD = 2 $\times$ ($\angle$ ACB $\times$ $\angle$ DBC) ... (i)
এখন, $\Delta$ BCP-এর CP বাহু A পর্যন্ত বর্ধিত হয়েছে।
সেজন্য বহিস্থ $\angle$ BPA = $\angle$ PCB + $\angle$ PBC
অর্থাৎ, $\angle$ APB = $\angle$ ACB + $\angle$ DBC
বা, $\angle$ ACB + $\angle$ DBC = $\angle$ APB = $80^{\circ}$. . . (ii)
এবার (i) এবং (ii) থেকে $\angle$ AOB + $\angle$ COD = 2$\times$ ($\angle$ ACB + $\angle$ DBC) = 2 $\times$ $80^{\circ}=160^{\circ}$,

দেওয়া আছে, C এবং D কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A এবং B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমাণ করি যে, (i) $\angle$ PBQ = $\angle$ CAD এবং (ii) $\angle$ BPC = $\angle$ BQD
অঙ্কন : A, B; P, C; A, C; A, D; D, Q; B, P; B, Q; B, C এবং B এবং B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : C কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই বৃত্তচাপ AP-এর উপর অবস্থিত $\angle$ ACP কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle$ ABP পরিধিস্থ কোন।
$\therefore$ $\angle$ ABP = $\frac{1}{2}$ $\angle$ ACP
আবার $\Delta$ CAP এর CA = CP [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
$\therefore$ $\angle$ CAP = $\angle$ CPA
এবার $\Delta$ CAP-এর $\angle$ CAP + $\angle$ CPA + $\angle$ ACP = $180^{\circ}$
বা, 2$\angle$ CAP + $\angle$ ACP = $180^{\circ}$ $[\because \angle C A P=\angle C P A]$
বা, 2$\angle$ CAP = $180^{\circ}$ - $\angle$ ACP
$\therefore$ $\angle$ CAP = 90 - $\frac{1}{2}$ $\angle$ ACP = 90° - $\angle$ ABP ( পূর্বে প্রমাণিত)
সুতরাং $\angle$ CAP = $90^{\circ}$ - $\angle$ ABP
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের একই AQ বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত $\angle$ ADQ কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং $\angle$ ABQ পরিধিস্থ কোণ।
$\therefore$ $\angle$ ABQ = $=\frac{1}{2}$ $\angle$ ADQ ADQ ত্রিভুজের DA = DQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
সেজন্য $\angle$ DAQ = $\angle$ DQA
$\therefore$ $\angle$ DAQ + $\angle$ DQA = 2$\angle$ DAQ
ADQ ত্রিভুজে, $\angle$ ADQ + $\angle$ DAQ + $\angle$ DQA = $180^{\circ}$
বা, $\angle$ AOQ + 2$\angle$ DAQ = $180^{\circ}$
বা, 2$\angle$ DAQ = $180^{\circ}$ - $\angle$ ADQ
$\therefore$ $\angle$ DOQ = $90^{\circ}$ - $\frac{1}{2}$$\angle$ ADQ = $90^{\circ}$ - $\angle$ ABQ [পূর্বে প্রমাণিত]
$\angle$ DAQ = $90^{\circ}$ - $\angle$ ABQ ... (ii)
(i) এবং (ii)-এর দুদিক যোগ করলে ।
$\angle$ CAP + $\angle$ DAQ = $90^{\circ}$ - $\angle$ ABP + $90^{\circ}$ - $\angle$ ABQ
= $180^{\circ}$ – ($\angle$ ABP + $\angle$ ABQ) = $180^{\circ}$ - $\angle$ PBQ
বা, $\angle$ PBQ = $180^{\circ}$ - ($\angle$ CAP + $\angle$ DAQ) = $\angle$ CAD
$\therefore \angle P B Q=\angle C A D$ (প্রমাণিত)
[প্রথম অংশ প্রমাণিত হল]
আবার, ABC ত্রিভুজে CA = CB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
$\therefore$ $\angle$ CAB = $\angle$ CBA এবং DAB ত্রিভুজে DA = DB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
$\therefore$ $\angle$ DAB = $\angle$ DBA সেজন্য $\angle$ CAB + $\angle$ DAB = $\angle$ CBA + $\angle$ DBA
অর্থাৎ, $\angle$ CAD = $\angle$ CBD কিন্তু $\angle$ CAD = $\angle$ PBQ [পূর্বে প্রমাণিত]
$\therefore$ $\angle$ CBD = $\angle$ CAD = $\angle$ PBQ
দুদিকে $\angle$ PBD যোগ করলে $\angle$ CBD + $\angle$ PBD = $\angle$ PBD + $\angle$ PBQ
বা, $\angle$ CBP = $\angle$ DBQ যেহেতু BC = PC, [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং BD = DQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
সেজন্য $\angle$ BPC = $\angle$ CBP এবং $\angle$ DBQ = $\angle$ BQD
$\therefore$ $\angle$ BPC = $\angle$ CBP = $\angle$ DBQ = $\angle$ BQD
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, $\angle$ BPC = $\angle$ BQD [দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত]

যেহেতু $OB = OC =$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, সুতরাং $\angle OBC = \angle OCB = x°$ (ধরি)।
এখন, $\angle B O C=2 \angle B A C \ldots(1)$
আবার, BOC ত্রিভুজ থেকে পাই,
$\angle B O C+\angle O B C+\angle O C B=180^{\circ}$
$\angle B O C+x+x=180^{\circ}$
বা, $\angle B O C=180^{\circ}-2 x \ldots(2)$
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
$2 \angle B A C=180^{\circ}-2 x$
বা, $\angle B A C=\frac{180^{\circ}-2 x}{2}$
বা, $\angle B A C=90^{\circ}-x=90^{\circ}-\angle O B C$
বা, $\angle O B C+\angle B A C=90^{\circ}$ (প্রমাণিত)।

ধরি, P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি সমান। বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে A ও B বিদুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা CD, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle \mathrm{BCD}$ সমবাহু।
অঙ্কনঃ P Q; A, P; B, P, A, Q; B, Q বিন্দুগুলিকে যুক্ত করি। ধরি, PQ, AB-কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : $\triangle APS$ ও $\triangle \mathrm{BPS}$-এর মধ্যে AP = BP [$\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
AS = BS [$\therefore$ S, AB-এর মধ্যবিন্দু] এবং PS সাধারণ বাহু।
$\therefore \triangle \mathrm{APS} \cong \triangle \mathrm{BPS}$ $\therefore$ $\angle APS$ = $\angle BPS$ [$\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু] $\ldots\ldots$ (1)
এখন, P কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB জ্যা দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ACB$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle APB$
$\therefore \angle \mathrm{APB}=2 \angle \mathrm{ACB}$ [যেহেতু, কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে কোন বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, $\angle APS$ + $\angle BPS$ = 2 $\angle ACB$
বা, $\angle \mathrm{APS}+\angle \mathrm{APS}=2 \angle \mathrm{ACB}$ [(1) থেকে]
বা, $2 \angle \mathrm{APS}=2 \angle \mathrm{ACB}$
বা, $\angle \mathrm{APS}=\angle \mathrm{ACB}$$\ldots\ldots$ (2)
এখন, Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $\widehat{\mathrm{ADB}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ $\angle AQB$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle APB$
$\therefore$ প্রবৃদ্ধ $\angle AQB$ = 2 $\angle APB$ [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, $360^{\circ}-\angle \mathrm{AQB}=2 \angle \mathrm{APB}$
বা, $360^{\circ}-\angle \mathrm{APB}=2 \angle \mathrm{APB}[\because \angle \mathrm{AQB}=\angle \mathrm{APB}$ কারণ
$\triangle \mathrm{APS} \cong \triangle \mathrm{AQS}$
$\therefore$ $\angle \mathrm{APS}=\angle \mathrm{AQS}$, অনুরূপে$\angle \mathrm{BPS}=\angle \mathrm{BQS}]$
বা, $360^{\circ}=3 \angle \mathrm{APB}$
বা, $\angle \mathrm{APB}=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$
বা, $2 \angle \mathrm{APS}=120^{\circ}[\because \angle \mathrm{APB}=2 \angle \mathrm{APS}]$
বা, $\angle \mathrm{APS}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}$
$\therefore$ $\angle ACB$ = 60° [ (2) থেকে ]
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, $\angle BDC$ = 60°
$\therefore$ $\triangle \mathrm{BCD}$-এর অপর কোণটিও 60° হবে।
অর্থাৎ $\triangle \mathrm{BCD}$-এর $\angle BCD$ = $\angle BDC$ = $\angle \mathrm{CBD}$ = 60°
$\therefore$ $\triangle \mathrm{BCD}$ সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

. দেওয়া আছে, $\Delta$ABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S; AD সরলরেখা $\Delta$ABC-এর BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে $\angle$ BAD = $\angle$ SAC
অঙ্কন : S, A এবং S, C যুক্ত করা হল। প্রমাণ : SA = SC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ $\Delta$SAC-এর দুটি বাহু সমান সেজন্য $\angle$ SAC = $\angle$ SCA
আবার $\Delta$SAC-এর $\angle$ ASC + $\angle$ SAC + $\angle$ SCA = $180^{\circ}$
বা, $\angle$ ASC + 2 $\angle$ SAC =$180^{\circ}$, [ $\angle$ SAC = $\angle$ SCA]
অর্থাৎ, 2$\angle$ SAC = $180^{\circ}$ - $\angle$ ASC
বা, $\angle$ SAC = $90^{\circ}$ - $\frac{1}{2}$ $\angle$ ASC ... (i)
আবার, S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AKC বৃক্তচাপের উপর অবস্থিত $\angle$ ASC কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং $\angle$ ABC পরিধিস্থ কোণ।
$\angle$ ABC = $\frac{1}{2}$$\angle$ ASC……(ii)
$\angle$ SAC = $90^{\circ}$ - $\angle$ ABC .. (iii) [ (i)-এর সাহায্যে ]
আবার $\Delta$ABD-এর $\angle$ ADB = $\angle$ ADC = $90^{\circ}$
$\therefore$ $\angle$ ADB + $\angle$ BAD = $90^{\circ}$
বা, $\angle$ BAD = $90^{\circ}$ - $\angle$ ADB = $90^{\circ}$ - $\angle$ ABC ... (ii)
(iii) এবং (iv) থেকে $\angle$ SAC = $\angle$ BAD (প্রমাণিত)।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য: প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle AOD$ + $\angle BOC$ = 2 $\angle BPC$
এবং $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$ যখন, $\angle AOD$ + $\angle BOC$ = $180^{\circ}$
অঙ্কন : O, A; O, B; O, C; O, D এবং B, D যুক্ত করি।
প্রমাণ : $\widehat{A D}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle AOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ABD$
$\therefore$ $\angle AOD$ = 2 $\angle ABD$ (উপপাদ্য-34 অনুসারে] $\ldots\ldots$ (1)
আবার, $\widehat{\mathrm{BC}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle BOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle BDC$
$\therefore$ $\angle B O C=2 \angle B D C$) $\ldots\ldots$ (2) [উপপাদ্য-34 অনুসারে]
এখন, (2) ও (2) যােগ করে পাই, $\angle AOD$ + $\angle BOC$ = 2 $\angle \mathrm{ABD}+2 \angle \mathrm{BDC}=2(\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{BDC})$ $\ldots\ldots$ (3)
কিন্তু, PBD ত্রিভুজের DP বাহুকে C পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিস্থ $\angle BPC$ = অন্তঃস্থ বিপরীত $(\angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{BDP})$ = অন্তঃস্থ বিপরীত $(\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{BDC})$ [$\therefore$ কোণগুলি একই]
$\therefore$ $\angle A B D+\angle B D C=\angle B P C$
$\therefore$ (3) থেকে পাই, $\angle AOD$ + $\angle BOC$ = 2 $\angle BPC$
$\therefore \angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOC}=2 \angle \mathrm{BPC}$ (প্রমাণিত)
এখন, $\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}$ হলে আমরা পাই,
$180^{\circ}=2 \angle B P C$
বা, $\angle B P C=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$
$\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$
$\left[\because \angle B P C=90^{\circ}\right]$ (প্রমাণিত)।

ধরি, এ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle AOC$ - $\angle BOD$ = 2 $\angle BPC$
অঙ্কন : B, C যুক্তি করি।
প্রমাণ : $\widehat{\mathrm{AC}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle \mathrm{AOC}$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ABC$ $\therefore \angle A O C=2 \angle A B C$ $\ldots\ldots$ (1) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
আবার $\widehat{\mathrm{BD}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle BOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ
= $\angle B C D$ $\therefore \angle B O D=2 \angle B C D$$\ldots\ldots$ (2) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
এখন,(1) থেকে (2) বিয়ােগ করে পাই,
$\angle A O C-\angle B O D=2 \angle A B C-2 \angle B C D$$\ldots\ldots$ (3)
আবার, $\triangle \mathrm{BPC}$-এর PB বাহুকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন
বহিস্থ $\angle \mathrm{ABC}$ = অন্তঃস্থ বিপরীত $(\angle \mathrm{BPC}+\angle \mathrm{BCP})$[আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সময়]
বা, $\angle A B C=\angle B \dot{P} C+\angle B C D$
বা, $2 \angle A B C=2 \angle B P C+2 \angle B C D$ [2 দ্বারা গুণ করে]
বা, $2 \angle \mathrm{ABC}-2 \angle \mathrm{BCD}=2 \angle \mathrm{BPC}$
$\therefore$ (3) থেকে পাই, $\angle AOC$ - $\angle BOD$ = 2 $\angle \mathrm{BPC}$
$\therefore$ $\angle AOC$ - $\angle BOD$ = 2 $\angle \mathrm{BPC}$ (প্রমাণিত)

ধরি, ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল, যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{CDB}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAD}$
অঙ্কন : A, B; B, C; C, D; D, A; B, D এবং C, A যুক্ত করি।
প্রমাণ : $\widehat{\mathrm{BC}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle BAC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle B D C$
$\therefore \angle B D C=\frac{1}{2} \angle B A C$ $\ldots\ldots$ (1) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
আবার $\widehat{\mathrm{CD}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle CAD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle CBD$
$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAD}$ $\ldots\ldots$ (2) [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
তাহলে,(1) ও (2) যােগ করে পাই,
$\angle \mathrm{BDC}+\angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAD}$
$=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD})=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAD}$ . $\therefore \angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{CDB}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAD}$ (প্রমাণিত)।

$\triangle \mathrm{ABC}$-এর পরিকেন্দ্র O এবং $\mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}$
প্রামাণ্য : প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle BOD$ = $\angle BAC$
অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, C যুক্ত করি।
প্রমাণ : $\triangle B O D$
এবং $\Delta \mathrm{COD}$-এর মধ্যে
OB = OC [ $\therefore$একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
$\angle \mathrm{OBD}=\angle \mathrm{OCD}[\because \mathrm{OB}=\mathrm{OC}]$
এবং $\angle BDO$ = $\angle CDO$ [ $\therefore$ প্রত্যেকেই সমকোণ]
$\therefore \quad \triangle B O D \cong \triangle C O D$ [ সর্বসমতার A – A - S শর্তানুসারে]
$\therefore \angle B O D=\angle C O D$[$\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
$\therefore$ $\angle BOC$ = $\angle BOD$ + $\angle COD$ = $\angle BOD$ + $\angle BOD$ [ $\therefore$ $\angle COD$ = $\angle \mathrm{BOD}$] = 2 $\angle BOD$ $\ldots\ldots$ (1)
এখন BC জ্যা দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle \mathrm{BOC}$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle BAC$
$\therefore$ $\angle BOC$ = 2 $\angle BAC$ [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] $\ldots\ldots$ (2)
তাহলে (1) ও (2) থেকে পাই, 2 $\angle \mathrm{BOD}=2 \angle \mathrm{BAC}$
বা, $\angle \mathrm{BOD}=\angle \mathrm{BAC}$
$\therefore$ $\angle BOD$ = $\angle BAC$ (প্রমাণিত)।

চিত্রানুসারে, $\angle POR$ = 140° (প্রদত্ত), $\therefore$ $\angle ROQ$ = 180° – 140° = 40°
এখন, QR চাপের দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = $\angle QSR$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle ROQ$
$\therefore$ $\angle \mathrm{QSR}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ROQ}$ [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
$=\frac{1}{2} \times 40^{\circ}=20^{\circ}$
$\therefore x^{\circ}=\angle \mathrm{QSR}=20^{\circ}$
$\therefore x=20$
$\therefore$ (d) উত্তরটি সঠিক।

চিত্রানুসারে, $\angle P O Q=140^{\circ}, \angle P O R=80^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{QOR}=360^{\circ}-(\angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{POR})=360^{\circ}-\left(140^{\circ}+80^{\circ}\right)=360^{\circ}-220^{\circ}$
$=140^{\circ}$
আবার, QR চাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = $\angle QPR$ = $x^{0}$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle QOR$ = 140°
$\therefore \angle Q P R=\frac{1}{2} \angle Q O R$ [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
$=\frac{1}{2} \times 140^{\circ}=70^{\circ}$
$\therefore x^{\circ}=70^{\circ}$,
$\therefore x=70$
$\therefore$ (a) উত্তরটি সঠিক।

চিত্রানুসারে, $\angle OAB$ = 50°, $\angle ADC$ = $\mathrm{x}^{\circ}$
এখন, OA = OB [ $\therefore$একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
$\therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=50^{\circ}$ $\left[\because \angle O A B=50^{\circ}\right]$
$\therefore \angle \mathrm{AOC}$ অন্তঃস্থ বিপরীত (OAB + OBA) = 50° + 50° = 100°
আবার AC চাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ADC$ = $x^{0}$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle AOC$ = 100°
$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOC}$ [যেহেতু, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, $\angle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}$ $\left[\because \angle \mathrm{AOC}=100^{\circ}\right]$
বা, $x^{\circ}=50^{\circ} \therefore x=50$ $\therefore$ (b) উত্তরটি সঠিক।

(c) উত্তরটি সঠিক। O,B যুক্ত করা হলো
$\triangle A O B$-এর $O A=O B$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
$\angle A O B=180^{\circ}-(\angle O B+\angle A B O)$
$=180^{\circ}-\left(50^{\circ}+50^{\circ}\right) \quad\left[\angle O A B+\angle A B 0=50^{\circ}\right]$
$=180^{\circ}-100^{\circ}$
$=80^{\circ}$
$\widehat{A B}$ চাপের উপর $\angle A O B$ কেন্দ্রস্থ কোণ ও $\angle A C B$ বৃত্তস্থ কোণ
$\angle A O B=2 \angle A C B$ (যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
$\therefore \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B$
$=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}$
$=40^{\circ}$
$\therefore \angle A C B=40^{\circ}$(c)

(c) উত্তরটি সঠিক। $\triangle P O Q$-এর $P O=O Q$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
$\angle O P Q=\angle O Q P=10^{\circ}$
আবার, $\triangle O R Q\theta$-এর $O R=O Q$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
$\angle O R Q=\angle O Q R=40^{\circ}$
$\therefore \angle P Q R=40^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}$
$\widehat{PR}$ চাপের উপর $\angle P O R$ কেন্দ্রস্থ কোণ ও $\angle P Q R$ বৃত্তস্থ কোণ
$\therefore \angle P O R=2 \angle P Q R$
$=2 \times 30^{\circ}$
$=60^{\circ}$
$\therefore \angle P O R=60^{\circ}$

মিথ্যা।

সত্য।

কোনাে বৃত্তের একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

$A B=A C$
$\angle A O B=\angle A O C$ [কোন বৃত্তের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে]
$\widehat{AB}$ চাপের উপর $\angle AOB$ কেন্দ্রস্থ কোণ ও $\angle APB$ বৃত্তস্থ কোণ
$\therefore \angle AOB=2 \angle APB$
$=2 \times 30^{\circ}$
আবার $\angle AOC$ কেন্দ্রস্থ কোণ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle AQC$
$\therefore \angle A O C=2 \angle A Q C$
$\therefore 2 \angle A P B=2 \angle A Q C \Rightarrow \angle A P B=\angle A Q C$
[সমান]

ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O। তাহলে, $\angle BAC = 60°$ ।
$\therefore \angle B O C=2 \angle B A C=2 \times 60^{\circ}=120^{\circ}$ (চিত্র দেখাে)।

চিত্রানুযায়ী, $\angle AOC$ = $x^{\circ}$, $\angle ABC$ = 120°, $\angle \mathrm{OCB}=y^{\circ}$, $\angle BAO$ = $40^{\circ}$
এখন, $\widehat{\mathrm{AC}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle \mathrm{ABC}$ = 120°
$\therefore$ প্রবৃদ্ধ $\angle A O C=2 \times \angle A B C$ = $2 \times 120^{\circ}$ = 240°
তাহলে, $\angle COA$ = 360° – প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ = 360° - 240° = $120^{\circ}$
$\therefore x^{\circ}=120^{\circ} \Rightarrow x=120$
আবার, $\angle AOC$ + $\angle OCB$ + $\angle OAB$ + $\angle ABC$ = 360° [ $\therefore$চতুর্ভুজের 4 কোণের সমষ্টি 360°]
বা, $120^{\circ}+y^{\circ}+40^{\circ}+120^{\circ}=360^{\circ}$
বা, $y^{\circ}+280^{\circ}=360^{\circ}$
বা, $y^{\circ}=360^{\circ}-280^{\circ}$
বা, $y^{\circ}=80^{\circ} \Rightarrow y=80 \quad \therefore x=120, y=80$

D, BC-এর মধ্যবিন্দু, $\therefore$ BD = CD
এখন, $\triangle \mathrm{BOD}$ ও $\Delta \mathrm{COD}$-এর মধ্যে।
OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধj, BD = CD
এবং $\angle \mathrm{OBD}=\angle \mathrm{OCD}$ [$\therefore$ OB = OC]
$\therefore \Delta \mathrm{BOD} \cong \Delta \mathrm{COD}$[সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
$\therefore$ $\angle BOD$ = $\angle COD$ [ $\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
$\therefore \angle B O D=\frac{1}{2} \angle B O C$ $\ldots\ldots$ (1)
$[\because \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{BOD}+\angle \mathrm{COD} .=\angle \mathrm{BOD}+\angle \mathrm{BOD}=2 \angle \mathrm{BOD}]$
এখন, $\widehat{\mathrm{BC}}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle BOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle BAC$
$\therefore$ $\angle BOC$ = 2 $\angle \mathrm{BAC}$= $2 \times 40°$ [ $\therefore$ $\angle BAC$ = 40°] = 80°
তাহলে (1) থেকে পাই,
$\angle \mathrm{BOD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}\left[\because \angle \mathrm{BOC}=80^{\circ}\right]=40^{\circ}$

আমরা জানি, সামান্তরিকের যে-কোনাে দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°
$\therefore$ $\angle AOC$ + $\angle OAB$ = 180° $\ldots\ldots$ (1)
আবার, $\widehat{\mathrm{AC}}$ চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ABC$
$\therefore$ , প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ = $2 \angle \mathrm{ABC}$(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, 360° $-$ $\angle AQC$ = 2 $\angle AOC$ [ $\therefore$ $\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{AOC}$ কারণ সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
বা, 360° = 3 $\angle AOC$
বা, $\angle \mathrm{AOC}=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{AOC}=120^{\circ}$

O,A; O,B এবং O,C যুক্ত করি।
এখন, $\widehat{\mathrm{AC}}$ চাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle \mathrm{ABC}$ =$=120^{\circ}$
$\therefore$, প্রবৃদ্ধ $\angle AOC$ = 2 $\angle ABC$ (যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, 360° - $\angle AOC$ = 2$\times 120^{\circ}$
বা, 360° - $\angle AOC$ = 240°
বা, $\angle AOC$ = $120^{\circ}$ $\ldots\ldots$ (1)
আবার, $\triangle \mathrm{ABC}$-এর AB = BC [ $\therefore$সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]
এখন, $\triangle \mathrm{OAB}$ ও $\triangle \mathrm{OCB}$-এর মধ্যে
OA = OC [ $\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AB = BC এবং OB সাধারণ বাহু।
$\therefore$ $\Delta \mathrm{OAB}$ $\cong$ $\triangle \mathrm{OCB}$ [সর্বসমতার S – S – S শর্তানুসারে)।
$\therefore$ $\angle AOB$ = $\angle BOC$ [ $\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
এবং $\angle OBA=\angle OBC$ [$\therefore$ সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণ]
এখন, $\angle ABO$ + $\angle CBO$ = $\angle ABC$ = 120°
বা, $\angle ABO$ + $\angle ABO$ = 120° [ $\therefore$ $\angle OBA$ = $\angle \mathrm{OBC}$]
বা, 2 $\angle ABO$ = $120^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{ABO}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}$
আবার, $\angle AOB$ + $\angle COB$ = $\angle AOC$ = 120° [(1) থেকে]
বা, $\angle AOB$ + $\angle AOB$ = 120° [$\therefore$ $\angle \mathrm{COB}$ = $\angle \mathrm{AOB}$]
বা, 2 $\angle AOB$ =$120^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{AOB}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{AOB}$-এর $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{ABO}=60^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{AOB}$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore$ AB = AO = 5 সেমি [$\therefore$ AO = ব্যাসার্ধ = 5 সেমি]
$\therefore$ AB বাহুর নির্ণেয় দৈর্ঘ্য = 5 সেমি।

A, C; B, C; A, D এবং B, D বিন্দুগুলি যুক্ত করি।
এখন, B কেন্দ্রীয় বৃত্তে, $\widehat{\mathrm{CD}}$ জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = $\angle CQD$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle CBD$
$\therefore$ $\angle CBD$ = 2 $\angle \mathrm{CQD}$ = 2 $\times 70^{\circ}$(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
[$\therefore$ $\angle \mathrm{CQD}$ = 70°] = 140°
আবার, A কেন্দ্রীয় বৃত্তে, $\overparen{\mathrm{CPD}}$ চাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ $\angle CAD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle CBD$
, প্রবৃদ্ধ $\angle CAD$ = $2 \angle \mathrm{CBD}$(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, $360^{\circ}-\angle \mathrm{CAD}=2 \times 140^{\circ}$ [$\therefore$ $\angle CBD$ = 140°]
বা, $\angle \mathrm{CAD}=360^{\circ}-280^{\circ}=80^{\circ}$ এখন, A কেন্দ্রীয় বৃত্তে CD জ্যা দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle CAD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle \mathrm{CPD}$.
$\angle CAD$ = 2 $\angle \mathrm{CPD}$(যেহেতু কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ)
বা, 80° = 2 $\angle CPD$ [ $\because$ $\angle CAD$ = 80°]
বা, $\angle \mathrm{CPD}=\frac{80^{\circ}}{2}=40^{\circ}$. \$\therefore \angle \mathrm{CPD}=40^{\circ}$