ঘনকদ্বয় হল—

1 টি 1 সেমি বাহুবিশিষ্ট ঘনকের ঘনফল বা আয়তন = (1 সেমি)$^3$ = 1 ঘনসেমি
1 টি 5 সেমি বাহুবিশিষ্ট ঘনকের ঘনফল বা আয়তন = (5 সেমি)$^{3}$ = 125 ঘনসেমি
অর্থাৎ, 1 ঘনসেমি ঘনফলের জন্য ঘনক প্রয়োজন $= 1$ টি
125 ঘনসেমি ঘনফলের জন্য ঘনক প্রয়োজন $= (1 \times 125)$ টি $= 125$ টি
$\therefore$ $1$ সেমি দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট 125 টি ঘনক জুড়ে এই বড়ো ঘনকটি পাব।

ঘনক তৈরি করা যাবে কি না জানার জন্য প্রতিটি সংখ্যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
একমাত্র পূর্ণঘন সংখ্যাগুলির ক্ষেত্রেই ঘনক তৈরি করা যাবে।
(i)
$100=2 \times 2 \times 5 \times 5=2^{2} \times 5^{2}$
$\therefore$ 100 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
$\therefore$ এক্ষেত্রে মনামী কোনো ঘনক তৈরি করতে পারবে না।
(ii)
$\therefore$ $1000=10 \times 10 \times 10=10^{3}$
$\therefore$ 1000 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা এবং $\sqrt[3]{1000}=10$
$\therefore$ এক্ষেত্রে মনামী 10 একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক তৈরি করতে পারবে।
(iii)
$1331=11 \times 11 \times 11=11^{3}$
$\therefore$ 1331 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা এবং $\sqrt[3]{1331}=11$
$\therefore$ এক্ষেত্রে মনামী 11 একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক তৈরি করতে পারবে।
(iv)
$1210=2 \times 5 \times 11 \times 11=2 \times 5 \times 11^{2}$
$\therefore$ $1210$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
$\therefore$ এক্ষেত্রে মনামী কোনো ঘনক তৈরি করতে পারবে না।
(v)
$3375=15 \times 15 \times 15=15^{3}$
$\therefore$ $3375$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা এবং $\sqrt[3]{3375}=15$।
$\therefore$ এক্ষেত্রে মনামী $15$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক তৈরি করতে পারবে।
(vi)
$2700=3 \times 3 \times 3 \times 10 \times 10=3^{3} \times 10^{2}$
$\therefore$ 2700 একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
$\therefore$ এক্ষেত্রে মনামী কোনো বড়ো ঘনক তৈরি করতে পারবে না।
$\therefore$ $3375$-এর ক্ষেত্রে মনামী সবচেয়ে বড়ো ঘনক তৈরি করতে পারবে।

(i)

$\therefore$ $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$
$=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}=6^{3}$
$\therefore$ $216$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা।
(ii)

$\therefore 343=7 \times 7 \times 7=7^{3}$
$\therefore$ $343$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা।
(iii)

$\therefore$ $1024=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
$=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2=(2 \times 2 \times 2)^{3} \times 2=8^{3} \times 2$
$\therefore$ $1024$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
(iv)
$\therefore$ $324=2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
$324=2^{2} \times 3^{3} \times 3$
$\therefore$ $324$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
(v)
$\therefore$ $1744=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 109=2^{3} \times 2 \times 109$
$\therefore$ $1744$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।
(vi)
$1372=2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7=2^{2} \times 7^{3}$
$\therefore$ $1372$ একটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।

দেবনাথ যে আয়তঘন তৈরি করেছে তার ঘনফল
$=(4 \times 3 \times 3)$ ঘনসেমি $=2^{2} \times 3^{2}$ ঘনসেমি,
যা পূর্ণঘন নয় এই আয়তঘনগুলি জুড়ে তৈরি নতুন ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
সেই সংখ্যা যা 4 সেমি, 3 সেমি, 3 সেমি দিয়ে বিভাজ্য;
যা হল $4, 3, 3$-এর লসাগু
$4, 3, 3$-এর লসাগু = 12
অর্থাৎ দৈর্ঘ্য বরাবর $\frac{12}{4}$টি = 3টি, প্রস্থ বরাবর $\frac{12}{3}$ টি = 4টি করে পাশাপাশি সাজালে মোট (3$\times$4) টি = 12 টি ঘনক প্রয়োজন।
উচ্চতা বরাবর এরূপ ধাপ হবে $\frac{12}{3}$টি =4টি
$\therefore$ মোট ঘনকের সংখ্যা হবে (12 $\times$ 4) টি = 48 টি
$\therefore$ দেবনাথ এইরকম 48টি আয়তঘন জুড়ে ঘনক তৈরি করতে পারবে।

(i)
$\therefore$ $675=3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5=3^{3} \times {5}^{2}$
যেহেতু, 5 উৎপাদকটির ঘন নেই,
সুতরাং 675 কে একটি 5 দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন হবে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 5
(ii)
$\therefore$ $200=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5=2^{3} \times \underline{5}^{2}$
যেহেতু, 5 উৎপাদকটির ঘন নেই
$\therefore$ 200 কে একটি 5 দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন হবে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 5
(iii)

$\therefore$ $108=2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3=\underline{2}^{2} \times 3^{3}$
যেহেতু, 2 উৎপাদকটির ঘন নেই
$\therefore$ 108 কে একটি 2 দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন হবে।
ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 2
(iv)

$\therefore$ $121=11 \times 11=11^{2}$
যেহেতু, 11 উৎপাদকটির ঘন নেই
$\therefore$ 121 কে একটি 11 দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন হবে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 11
(v)

$\therefore$ $1225=5 \times 5 \times 7 \times 7=\underline{5}^{2} \times \underline{7}^{2}$
যেহেতু, 5 ও 7 উৎপাদক দুটিরই ঘন নেই
$\therefore$ 1225 কে 5 $\times$ 7 = 35 দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন হবে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 35

(i)
$\therefore$ $7000=7 \times 10 \times 10 \times 10=\underline{7} \times 10^{3}$
$\therefore$ 7 দিয়ে 7000-কে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে
কারণ 7000-এর উৎপাদকে একটি 7 আছে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 7
(ii)
$\therefore$ $2662=2 \times 11 \times 11 \times 11=2 \times 11^{3}$
$\therefore$ 2662-কে 2 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে
কারণ 2662-এর উৎপাদকে একটি 2 আছে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 2
(iii)
$\therefore$ $4394=2 \times 13 \times 13 \times 13=\underline{2} \times 13^{3}$
$\therefore$ 4394-কে 2 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে
কারণ 4394-এর উৎপাদকে একটি 2 আছে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 2
(iv)
$\therefore$$6750=2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5=\underline{2} \times 3^{3} \times 5^{3}$
$\therefore$ $6750$ কে $2$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে
কারণ $6750$-এর উৎপাদকে একটি $2$ আছে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যাটি হল 2
(v)
$\therefore$ $675=3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5=3^{3} \times \underline{5}^{2}$
$\therefore$ 675 কে $5^{2}=25$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে
কারণ 675-এর উৎপাদকে একটি $5^{2}=25$ আছে।
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা হবে 25

$\therefore$ $512=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3}=(2 \times 2 \times 2)^{3}=(8)^{3}$
$\therefore (512)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{512}=8$
$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল 8।
(ii)

$\therefore$ $1728=2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 2 \times 3)^{3}=(12)^{3}$
$\therefore (1728)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1728}=12$
$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল 12।
(iii)
$\therefore 5832=2^{3} \times 3^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3 \times 3)^{3}=(18)^{3}$
$\therefore (5832)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5832}=18$
$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $18$।
(iv)
$\therefore$ $15625=5^{3} \times 5^{3}=(5 \times 5)^{3}=(25)^{3}$
$\therefore (15625)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{15625}=25$
$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল $25$।
(v)
$\therefore$ $10648{}=2^{3} \times 11^{3}=(2 \times 11)^{3}=(22)^{3}$
$\therefore(10648)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{10648}=22$
$\therefore$ নির্ণেয় ঘনমূল 22।