ধরা যাক, \(\left(x_{1}, y_{1}\right) \equiv(2,-2),\left(x_{2}, y_{2}\right) \equiv(4,2)\)
\(\left(x_{3}, y_{3}\right) \equiv(-1,3)\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \mid x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right) +x_{3}\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)\mid\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|2(2-3)+4(3+2)+(-1)(-2-2)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|2 \times(-1)+4 \times 5+(-1) \times(-4)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|-2+20+4|\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}|24-2|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 22\) বর্গএকক
= 11 বর্গএকক
\(\therefore\) ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 11 বর্গএকক।

ধরা যাক, \(\left(x_{1}, y_{1}\right) \equiv(8,9),\left(x_{2}, y_{2}\right) \equiv(2,6),\left(x_{3}, y_{3}\right) \equiv(9,2)\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\left|x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right|\) বৰ্গএকক
\(=\frac{1}{2}|8(6-2)+2(2-9)+9(9-6)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|8 \times 4+2 \times(-7)+9 \times 3|\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}|32-14+27|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|59-14|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 45\) বর্গএকক
\(=22 \frac{1}{2}\) বর্গএকক।
\(\therefore\) PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(22 \frac{1}{2}\) বর্গএকক।

ধরা যাক \(\left(x_{1}, y_{1}\right) \equiv(1,2),\left(x_{2}, y_{2}\right) \equiv(3,0)\)
এবং \(\left(x_{3}, y_{3}\right) \equiv(0,0)\)
\(\therefore\) \(GHO\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\left|x_{1}\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{3}\right)+x_{2}\left(\mathrm{y}_{3}-\mathrm{y}_{1}\right)+x_{3}\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)\right|\) বর্গএকক
\(=\frac{\overline{1}}{2}|1(0-0)+3(0-2)+0(2-0)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|1 \times 0+3 \times(-2)+0 \times 2|\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}|-6|\) বর্গএকক
\( =\frac{1}{2} \times 6 \) বর্গএকক
\(= 3\) বর্গএকক

মনে করি, \(A \equiv(3,-2), B \equiv(-5,4)\) এবং \(C \equiv(-1,1)\),
A, B, C শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\left|x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|3(4-1)+(-5)(1+2)+(-1)(-2-4)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|3 \times 3+(-5) \times 3+(-1) \times(-6)| \) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|9-15+6|\) বর্গএকক
\( =\frac{1}{2}|15-15| \) বর্গএকক \(= 0\) বর্গএকক
\(\because \) A, B, C শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য।
\(\therefore\) A, B, C বিন্দুত্রয় সমরেখ। (প্রমাণিত)

যেহেতু, \(A(1, – 1)\), \(B (2, – 1)\) এবং \(C(K, – 1)\) বিন্দুত্রয় সমরেখ,
সুতরাং A, B, C শীর্ষবিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অবশ্যই শূন্য হবে।
এখন \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|1(-1+1)+2(-1+1)+K(-1+1)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|1 \times 0+2 \times 0+K \times 0|\) বর্গএকক \(= 0\) বর্গএকক
\(\therefore\) K-এর যে-কোনো বাস্তব মানের জন্যই \((1, − 1), (2, − 1)\)
এবং \((K, – 1)\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে।

যদি \(A ( 1, 2)\) ও \(B (−2, – 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা \(O(0, 0)\)
অর্থাৎ মূলবিন্দুগামী হয়, তবে \(A, B\) ও \(O\) শীর্ষবিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
\(A, B\) ও \(O\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|1(-4-0)+(-2)(0-2)+0(2+4)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|1 \times(-4)+(-2) \times(-2)+0 \times 6|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|-4+4+0|\) বর্গএকক \(= 0\) বর্গ একক
\(\therefore\) ( \(1, 2\)) এবং (\(– 2, – 4\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী। (প্রমাণিত)

(\(2,1\)) এবং (\(6, 5\)) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2}\right) \equiv\left(\frac{8}{2}, \frac{6}{2}\right) \equiv(4,3)\)
\(A (- 4, – 5)\) এবং \(B (9, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক
সরলরেখাংশের উপর C(4, 3) বিন্দু অবস্থিত হলে A, B, C সমরেখ হবে।
\(\therefore\) A, B, C সমরেখ প্রমাণ করলেই সমস্যার সমাধান হবে।
A, B, C শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|-4(8-3)+9(3+5)+4(-5-8)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|-4 \times 5+9 \times 8+4 \times(-13)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|-20+72-52|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|72-72|\) বর্গএকক \(= 0 \)বর্গ একক
\(\because \) \(A, B, C\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শূন্য
\(\therefore\) \(A, B, C\) সমরেখ।

মনে করি, \(A \equiv(1,1), B \equiv(3,4), C \equiv(5,-2)\)
এবং \(\mathrm{D} \equiv(4,-7)\)
ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \mid\{1 \times 4+3 \times(-2)+5 \times(-7)+4 \times 1\} \)
\(\quad \quad -\{1 \times(-7)+4 \times(-2)+5 \times 4+3 \times 1\} \mid\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|(4-6-35+4)-(-7-8+20+3)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|(8-41)-(23-15)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|-33-8|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|-41|\) বর্গ একক
\(=\frac{41}{2}\) বর্গএকক = 20.5 বর্গএকক
\(\therefore\) \((1,1), (3, 4), (5, –2) \)
এবং (\(4, –7\)) শীর্ষবিন্দু -বিশিষ্ট চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল 20.5 বর্গএকক।

মনে করি, \(P(1,4), Q(-2,1), R(2,-3), S(3,3)\)
PQRS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
\( =\frac{1}{2} \mid\{1 \times 1+(-2) \times(-3)+2 \times 3+3 \times 4\} \)
\( -\{1 \times 3+3 \times(-3)+2 \times 1+(-2) \times 4\} \) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|(1+6+6+12)-(3-9+2-8)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|25-(5-17)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|25-(-12)|\) বর্গএকক
\(=\left.=\frac{1}{2} \mid 25+12\right) \mid\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 37\) বর্গএকক
\(= 18.5\) বর্গএকক
\(\therefore\) \(( 1, 4), (– 2, 1), (2,-3)\) ও \((3, 3)\)
শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(18.5\) বর্গএকক।

A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3,4), (-4, 3)\) এবং \((8, – 6)\)
\(\therefore\) ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|3(3+6)+(-4)(-6-4)+8(4-3)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|3 \times 9+(-4)(-10)+8 \times 1|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|27+40+8|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|75|\) বর্গএকক
\(=\frac{75}{2}\) বর্গএকক
\(=37.5\) বর্গএকক
এখন \(\overline{B C}=\sqrt{(8+4)^{2}+(-6-3)^{2}}\) একক
\(=\sqrt{(12)^{2}+(-9)^{2}}\) একক
\(=\sqrt{144+81}\) একক
\(=\sqrt{225}\) একক = 15 একক
প্রশ্নানুসারে,
\(\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{AD}}=\frac{75}{2}\) বর্গএকক [শীর্ষবিন্দু A থেকে ভূমি \(\overline{\mathrm{BC}}\)-র উপর লম্ব AD]
বা, \(\frac{1}{2} \times 15 \times \overline{\mathrm{AD}}=\frac{75}{2}\)
বা, \(\overline{\mathrm{AD}}=\frac{75}{2} \times \frac{2}{15}=5\)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফল 37.5 বর্গএকক এবং শীর্ষবিন্দু A থেকে ভূমি \(\overline{\mathrm{BC}}\) র লম্ব দূরত্ব 5 একক।

মনে করি, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\overline{\mathrm{BC}}\)-বাহুর মধ্যবিন্দু \(\mathrm{D}(x, \mathrm{y})\)
\(\therefore\) AD হল \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র একটি মধ্যমা।
মনে করি, \(G(– 2, 1)\) হল
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ভরকেন্দ্র ,
যেহেতু মধ্যমা ভরকেন্দ্রে \(2 : 1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়
\(\therefore \overline{\mathrm{AG}}: \overline{\mathrm{GD}}=2: 1\)
এখন, \(\because \mathrm{A}(2,5), \mathrm{G}(-2,1), \mathrm{D}(x, \mathrm{y})\) এবং \(\overline{\mathrm{AG}}: \overline{\mathrm{GD}}=2: 1\)
\(\therefore \frac{2 \times x+1 \times 2}{2+1}=-2\)
বা, \(2 x+2=-6\)
বা, \(2 x=-8\)
\(\therefore\) \(x=-4\)
এবং \(\frac{2 \times y+1 \times 5}{2+1}=1\)
বা, \(2 y+5=3\)
বা, \(2 y=-2\)
\(\therefore\) \(y=-1\)
\(\therefore\) BC-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((– 4, – 1\) )

একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, -3), (-5, 2)\) এবং \((x, y)\);
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \( \equiv\left(\frac{4-5+x}{3}, \frac{-3+2+y}{3}\right) \)
প্রস্নানুসারে, \( \frac{4-5+x}{3}=0 \)
বা, \( -1+x=0 \)
বা, \(x= 1\)
এবং \( \frac{-3+2+y}{3}=0 \)
বা, \( -1+y=0 \)
বা, \(y=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান, \(x = 1, y = 1\)
বিকল্প পদ্ধতি :
মনে করি \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র, \(A \equiv(4,-3)\) \(B \equiv(-5,2)\) এবং \(C \equiv(x, y)\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ভরকেন্দ্র \(G (0,0)\)
মনে করি, \(\overline{\mathrm{BC}}\)-র মধ্যবিন্দু D(h,k)
\(\therefore \mathrm{h}=\frac{-5+x}{2}\) এবং \(\mathrm{k}=\frac{2+\mathrm{y}}{2}\)
যেহেতু \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\overline{\mathrm{AD}}\) একটি মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র
\(\therefore \overline{\mathrm{AG}}: \overline{\mathrm{GD}}=2: 1\)
\(\therefore \frac{2 h+1.4}{2+1}=0\)
বা, \(2 \mathrm{~h}+4=0\)
বা, \(2 \times \frac{-5+x}{2}=-4\)
বা, \(-5+x=-4\)
\(\therefore\) \(x=1\)
এবং \(\frac{2 k+1 \cdot(-3)}{2+1}=0\)
বা, \(2 k-3=0\)
বা, \(2 \times \frac{2+y}{2}-3=0\)
বা, \(2+y=3\)
\(\therefore\) \(y=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান, \(x = 1, y = 1\)

\(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র শীর্ষবিন্দু \(A(–1, 5), B(3,1)\) এবং \(C (5,7)\)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|(-1)(1-7)+3(7-5)+5(5-1)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|(-1) \times(-6)+3 \times 2+5 \times 4|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|6+6+20|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 32\) বর্গএকক
\(=16\) বর্গএকক
\(\overline{\mathrm{BC}}\)-এর মধ্যবিন্দু D-র স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{3+5}{2}, \frac{1+7}{2}\right) \equiv\left(\frac{8}{2}, \frac{8}{2}\right) \equiv(4,4)\)
\(\overline{\mathrm{CA}}\)-এর মধ্যবিন্দু E-র স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{5-1}{2}, \frac{7+5}{2}\right) \equiv\left(\frac{4}{2}, \frac{12}{2}\right) \equiv(2,6)\)
\(\overline{\mathrm{AB}}\)-এর মধ্যবিন্দু F-র স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{3-1}{2}, \frac{1+5}{2}\right) \equiv\left(\frac{2}{2}, \frac{6}{2}\right) \equiv(1,3)\)
\(\therefore \triangle D E F\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|4(6-3)+2(3-4)+1(4-6)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|4 \times 3+2 \times(-1)+1 \times(-2)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|12-2-2|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|12-4|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 8\) বর্গএকক
\(=4 \) বর্গএকক
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-এর ক্ষেত্রফল \( =16 \) বর্গএকক = \(4 \times 4\) বর্গএকক
\(=4 \times \triangle \mathrm{DEF}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}=4 \triangle \mathrm{DEF}\)(প্রমাণিত)

\((0, 4), (0, 0)\) এবং \((– 6, 0)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|0(0-0)+0(0-4)+(-6)(4-0)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|0+0+(-6) \times 4|\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}|-24|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 24 \) বর্গএকক \(= 12\) বর্গ একক

\((7, – 5), (– 2, 5)\) এবং \((4, 6)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\equiv\left(\frac{7-2+4}{3}, \frac{-5+5+6}{3}\right) \equiv(3,2)\)

\(AB = 4\) একক এবং \( BC = 3\) একক
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{AB}}\)
\(=\frac{1}{2} \times 3 \times 4\) বর্গএকক
\(= 6\) বর্গএকক

\((0, 0), (4, - 3)\) এবং \((x,y)\) সমরেখ হলে
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(0\) হবে।
\(\therefore \frac{1}{2}|0(-3-y)+4(y-0)+x(0+3)|=0\)
বা, \(\frac{1}{2}|0+4 y+3 x|=0\)
বা, \( 4y + 3x = 0 \)
যদি \(x = 8\) এবং \(y = – 6\) বসানো হয় তবে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

মনে করি, \(\overline{\mathrm{BC}}\)-র মধ্যবিন্দু D-র স্থানাঙ্ক (h, k) এবং ভরকেন্দ্র G(1,2)
অর্থাৎ \(\overline{\mathrm{AG}}: \overline{\mathrm{GD}}=2: 1\)
\(\therefore 1=\frac{2 h+1 \cdot 7}{2+1}\)
বা, \(2 h+7=3\)
বা, \(2 h=-4\)
বা, \(h=-2\)
এবং \(2=\frac{2 k+1 \cdot(-4)}{2+1}\)
বা, \(2 k-4=6\)
বা, \(2 k=10\)
বা, \(k=5\)
\(\therefore\) D বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-2, 5 )\)

মনে করি, \(D \equiv(0,1), E \equiv(1,1)\) এবং \(F \equiv(1,0)\)
যেহেতু \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ভরকেন্দ্র ও \(\triangle \mathrm{DEF}\)-এর ভরকেন্দ্র একই বিন্দু,
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-র ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\equiv\left(\frac{0+1+1}{3}, \frac{1+1+0}{3}\right)\)
\(\equiv\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
বিকল্প পদ্ধতি :
মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক
\(\mathrm{A}\left(x_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)\), \( B\left(x_{2}, y_{2}\right) \) এবং \(\mathrm{C}\left(x_{3}, \mathrm{y}_{3}\right)\)
শর্তানুযায়ী,
\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1\),
বা, \(x_{1}+x_{2}=2\ldots(i)\)
\(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=0\)
\(y_{1}+y_{2}=0\ldots(ii)\)
অনুরুপে,
\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=0\)
বা, \(x_{2}+x_{3}=0 \ldots\) (iii)
\(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=1\)
\(y_{2}+y_{3}=2 \ldots(iv)\)
এবং \(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}=1\)
বা, \(x_{3}+x_{1}=2\ldots(v)\)
\( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=1 \)
\( y_{3}+y_{1}=2 \ldots (vi)\)
(i) + (iii) + (v) করে পাই, \(2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=4\)
\(\therefore x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\ldots(vii)\)
(ii)+(iv)+(v) করে পাই, \( 2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=4 \)
\( y_{1}+y_{2}+y_{3}=2 \)............(viii)
(vii) – (i) থেকে পাই, \(x_{3} = 0 \)
(vii) – (iii) থেকে পাই, \(x_{1} = 2\)
(vii) – (v) থেকে পাই, \(x_{2}= 0\)
(viii) – (ii) থেকে পাই, y\(_{3} = 2\)
(viii) – (iv) থেকে পাই, \(y_1 = 0 \)
(viii) – (vi) থেকে পাই, \(y_2 =0\)
\(\therefore\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \(A(2,0), B (0,0), C (0, 2)\)
\(\therefore\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{2+0+0}{3}, \frac{0+0+2}{3}\right) \equiv\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

মনে করি, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর
\(A(0, 10), B (15, 0) \)
এবং ভরকেন্দ্র \(G(6, 9)\);
আরও মনে করি, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
\(\therefore 6=\frac{0+15+h}{3}\)
এবং \(9=\frac{10+0+k}{3}\)
বা, \(15+h=18\)
\(\therefore\) \(h=3\)
বা, \(10+k=27\)
\(\therefore k=17 \)
\(\therefore\) তৃতীয় বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (\(3,17\))

\((a, 0), (O, b)\) এবং \((1, 1)\) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
\(\therefore \frac{1}{2}|a(b-1)+0(1-0)+1(0-b)|=0\)
বা, \(\frac{1}{2}|a b-a+0+(-b)|=0\)
বা, \(ab − a – b = 0\)
বা, \(ab = a + b\)
বা, \(\frac{a+b}{a b}=1\)
বা, \(\frac{a}{a b}+\frac{ b}{a b}=1\)
বা, \(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=1\) (প্রমাণিত)

\((1, 4), (− 1, 2) \) এবং \((– 4, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা
গঠিত ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}|1(2-1)+(-1) \times(1-4)+(-4)(4-2)|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2}|1 \times 1+(-1) \times(-3)+(-4) \times 2|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times|1+3-8|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times|4-8|\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times |-4 \mid\) বর্গএকক
\(=\frac{1}{2} \times 4 \) বর্গএকক
\(= 2 \) বর্গএকক
\(\therefore\) \((1, 4), (− 1, 2)\) এবং \((– 4, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(2\) বর্গএকক।

\((x – y, y − z), (− x, y)\) এবং (\(y, z\)) দ্বারা গঠিত
ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
\( \equiv\left(\frac{x-y-x+y}{3}, \frac{y-z-y+z}{3}\right) \)
\(\equiv(0,0)\)