প্রদত্ত : \( ABC\) একটি যে-কোনো ত্রিভুজ এবং \(BC\) বাহুর উপর \(D\) একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয় : \( A B+B C+C A>2 A D \)
অঙ্কন : \(A\) ও \(D\) বিন্দু' যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \(ABD\) একটি ত্রিভুজ যার
\( A B+B D>A D \ldots(i)\)
\(ADC\) একটি ত্রিভুজ, যার
\( A C+D C>A D\ldots(ii) \)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
\( A B+B D+A C+C D>A D+A D \)
বা, \( A B+A C+(B D+C D)>2 A D \)
বা, \( A B+A C+B C>2 A D \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত \(ABC\) একটি ত্রিভুজ যার ভিতর \(O\) যে-কোনো একটি বিন্দু। \(O, B\); \(O, C\) যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \(AB+ AC > OB+ OC\)
অঙ্কন : \(OC\) কে এমনভাবে বর্ধিত করা হল, যাতে বর্ধিত \(OC, AB\) কে \( Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : \( \triangle A Q C \)-এর মধ্যে \(AQ + AC > QC\ldots(1)\)
\( \triangle Q O B \)-এর মধ্যে \(OQ + QB > OB\ldots(2)\)
তাহলে (1) ও (2) যোগ করে পাই,
\( \mathrm{AQ}+\mathrm{AC}+\mathrm{OQ}+\mathrm{QB}>\mathrm{QC}+\mathrm{OB}\)
বা, \((\mathrm{AQ}+\mathrm{QB})+\mathrm{AC}+\mathrm{OQ}>\mathrm{QC}+\mathrm{OB}\)
বা, \(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{OQ}>\mathrm{OQ}+\mathrm{OC}+\mathrm{OB}\)
বা, \(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}>\mathrm{OC}+\mathrm{OB}\)
(প্রমাণিত)

(ii) প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(O\) একটি যে-কোনো বিন্দু। \(O\) বিন্দুর সঙ্গে \(A, B\) ও \(C\) বিন্দু যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \( \mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}>\mathrm{OA}+\mathrm{OB}+\mathrm{OC} \)
অঙ্কন : \(CO\) সরলরেখাংশকে বর্ধিত করা হল যা \(AB\) সরলরেখাংশকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে; একইভাবে \(BO\) সরলরেখাংশকে বর্ধিত করা হল যা, \(AC\) সরলরেখাংশকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : এখন \( \triangle \mathrm{APC} \)-এর \( \mathrm{AP}+\mathrm{AC}>\mathrm{PC} \ldots(1)\)
আবার \( \triangle \mathrm{BPO} \)-এর \( \mathrm{BP}+\mathrm{OP}>\mathrm{OB}\ldots(2) \)
(1) ও (2) যোগ করে পাই,
\( (A P+A C)+(B P+O P)>P C+O B\)
বা, \((A P+B P)+A C+O P>(O P+O C)+O B\)
বা, \(A B+A C+O P>O P+O C+O B\)
\(\therefore\) \(A B+A C>O C+O B\ldots(3) \)
একইভাবে \( \triangle \mathrm{BPC} \)-এর \(BP + BC > PC\ldots(4)\)
আবার, \( \triangle \mathrm{APO} \)-এর \(AP + OP > OA\ldots(5)\)
(4) ও (5) কে যোগ করে পাই,
\( B P+B C+A P+O P>P C+O A\)
বা, \((B P+A P)+B C+O P>P C+O A\)
বা, \(A B+B C+O P>(O P+O C)+O A\)
\(\therefore\) \(A B+B C>O C+O A\ldots(6) \)
\( \triangle B Q C \)-এর \( B C+Q C>B Q\ldots(7) \)
\( \triangle O Q A \)-এর \( O Q+Q A>O A \ldots(8)\)
(7) ও (8)-কে যোগ করে পাই,
\( B C+Q C+O Q+Q A>B Q+O A\)
বা, \(B C+(Q C+Q A)+O Q>(O B+O Q)+O A\)
বা, \(B C+A C+O Q>O B+O Q+O A\)
বা, \(B C+A C>O B+O A\ldots(9) \)
(3) ,(6) ও (9) কে যোগ করে পাই,
\( (A B+A C)+(A B+B C)+(B C+A C) >(O C+O B)+(O C+O A)+(O B+O A) \)
বা, \( 2(A B+A C+B C)>2(O B+O A+O C) \)
\( \therefore A B+A C+B C>O B+O A+O C \) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ যার চারটি বাহু যথাক্রমে \(AB, BC, CD\) ও \(DA\) এবং দুটি কর্ণ \(AC\) ও \(BD\)
প্রামাণ্য বিষয় :
\(AB+ BC + CD + AD > 2AC\)
এবং \(AB + BC + CD + DA > 2BD\)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AB + BC > AC\ldots(i)\)
[\(\because \) ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
\( \triangle \mathrm{ACD} \)-এর \(AD + DC > AC\ldots(ii)\)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
\( A B+B C+A D+D C>A C+A C\)
\(A B+B C+A D+D C>2 A C \)
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,
\(AB+ BC + CD + DA > 2BD\) (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : ABC ত্রিভুজের ভিতরে P যে-কোনো একটি বিন্দু। P বিন্দুর সঙ্গে A, B, ও C বিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \( A P+B P>A B \)
(ii) \( A B+B C+A C<2(A P+B P+C P) \)
প্রমাণ : (i) \( \triangle \mathrm{APB} \)-এর মধ্যে
\( A P+P B>A B \)
[ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
\(\therefore AP + PB > AB\) (প্রমাণিত)
(ii) \( \triangle \mathrm{APB} \) থেকে পাই,\( A P+B P>A B\ldots(1) \)
\( \triangle \mathrm{BPC} \) থেকে পাই, \( \mathrm{BP}+\mathrm{PC}>\mathrm{BC}\ldots(2) \)
[ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
\( \triangle \mathrm{APC} \) থেকে পাই, \(AP + PC > AC\ldots(3) \)
(1), (2) ও (3)-কে যোগ করে পাই,
\( (A P+B P)+(B P+P C)+(A P+P C)>A B+B C+A C \)
বা, \( 2(A P+B P+P C)>A B+B C+A C\)
\(\therefore\) \(A B+B C+A C<2(A P+B P+P C) \) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(BC\) বাহুর উপর মধ্যমা হল \(AD\), \(AC \) বাহুর উপর মধ্যমা হল \(BE, AB \) বাহুর উপর মধ্যমা হল \(CF\)।
প্রামাণ্য বিষয় : \(AB+ BC + AC > AD + BE + CF\)
প্রমাণ : \( \triangle A B C \)-এর \(AD\) মধ্যমা,
তাহলে \(AB+AC>2AD\ldots(i)\)
[\(\because \) ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর মধ্যমার দ্বিগুণের থেকে বড়ো হয়]
একইভাবে \( A B+B C>2 B E\ldots(ii) \)
আবার, \( A C+B C>2 C F \ldots(iii)\)
(i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
\( (A B+A C)+(A B+B C)+(A C+B C) >2 A D+2 B E+2 C F \)
বা, \( 2 A B+2 B C+2 A C>2 A D+2 B E+2 C F\)
বা, \(2(A B+B C+A C)>2(A D+B E+C F)\)
বা, \(A B+B C+A C>A D+B E+C F \)
( প্রমাণিত)

ধরা যাক, ABCD একটি চতুর্ভুজ, যার \(BD\) ও \(AC\) হল দুটি কর্ণ
এবং এই কর্ণগুলি পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: \(AC + BD > AB+ CD\)
এবং \(AC + BD > BC + AD\)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{AOB} \)-এর \( \mathrm{OA}+\mathrm{OB}>\mathrm{AB}\ldots(i) \)
[কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
\( \triangle C O D \)-এর \(OC + OD > CD\ldots(ii) \)
তাহলে (i) ও (ii) কে যোগ করে পাই,
\( (O A+O B)+(O C+O D)>A B+C D\)
বা, \((O A+O C)+(O B+O D)>A B+C D\)
বা, \(A C+B D>A B+C D \)
অনুরূপে \( \triangle B O C \) ও \( \triangle \mathrm{AOD} \)-এর
সাহায্যে প্রমাণ করা যায় \(AC + BD > BC + AD\) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ, যার \(BD\) ও \(AC\) হল দুটি কর্ণ।
এই কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \( A C+B D>\frac{1}{2}(A B+B C+C D+A D) \)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{AOD} \)-এর \( O A+O D>A D\ldots(i) \)
\( \triangle C O B \)-এর \( \mathrm{OC}+\mathrm{OB}>\mathrm{BC} \ldots(ii)\)
\( \triangle C O D \)-এর \( \mathrm{OD}+\mathrm{OC}>\mathrm{CD}\ldots(iii) \)
\( \triangle A O B \)-এর \( O A+O B>A B \ldots(iv)\)
(i), (ii), (iii) ও (iv)-কে যোগ করে পাই,
\( (O A+O D)+(O C+O B)+(O D+O C)+(\mathrm{OA}+\mathrm{OB})>\mathrm{AD}+\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{AB} \)
বা, \( 2(O A+O C)+2(O D+O B)>A D+B C+C D+A B\)
বা, \(2 A C+2 B D>A D+B C+C D+A B\)
বা, \(2(A C+B D)>A D+B C+C D+A B\)
বা, \((A C+B D)>\frac{1}{2}(A D+B C+C D+A B) \) (প্রমাণিত)

ধরা যাক, \(ABCD\) হল একটি চতুর্ভুজ যার কর্ণদ্বয় হল \(AC\) ও \(BD\)
এবং এরা পরস্পর পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(P\) হল \(ABCD\) চতুর্ভুজের ভিতরে \(O\) বিন্দু ব্যতীত যে-কোনো একটি বিন্দু।
\(P\) বিন্দুর সঙ্গে \(A, B, C\) ও \(D\) শীর্ষবিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \( A P+P B+P C+P D>A C+B D \)
প্রামাণ: \( \triangle \mathrm{APC} \)-এর \( A P+P C>A C \ldots(i)\)
আবার, \( \triangle B P D \)-এর \( B P+P D>B D \ldots(ii)\)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
\(AP + PC + BP + PD > AC + BD \) ( প্রমাণিত)
\(P\) বিন্দুটি যদি \(AC\) ও \(BD\) উভয়ের উপর অবস্থান করে অর্থাৎ \(P\) ও \(O\) যদি একটিই বিন্দু হয় তাহলে
\(OA + OB + OC + OD = (OA + OC) + (OB + OD) = AC + BD\)
অর্থাৎ \(O\) বিন্দুর সাথে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হবে।