গণিত প্রকাশ সমাধান নবম শ্রেণী || গণিত প্রকাশ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত (Class-9) কষে দেখি 19 || West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 19 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত || West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 19 || Class 9 Solution koshe dekhi 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত || WBBSE Class 9 Math koshe dekhi 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution koshe dekhi 19 || Ganit Prakash Solution Class 9 In Bengali || গণিত প্রকাশ সমাধান নবম শ্রেণী || গণিত প্রকাশ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত (Class-9) কষে দেখি 19 || West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 19 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
Share this page using :
নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || Class 9 Chapter 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 19 koshe dekhi 19 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
কষে দেখি - 19
নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || Class 9 Chapter 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 19 koshe dekhi 19 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
1. নীচের বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশগুলি যে বিন্দুতে প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
(i) \((6, – 14)\) এবং \((– 8, 10) ; 3 : 4\) অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।
মনে করি, (\(6, – 14\)) এবং (\(– 8, 10\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ (\(h, k\)) বিন্দুতে \(3 : 4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore h=\frac{3 \times(-8)+4 \times 6}{3+4}=\frac{-24+24}{7}=0\)
এবং \(k=\frac{3 \times 10+4(-14)}{3+4}=\frac{30-56}{7}=-\frac{26}{7}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(0,-\frac{26}{7}\right)\)
\(\therefore h=\frac{3 \times(-8)+4 \times 6}{3+4}=\frac{-24+24}{7}=0\)
এবং \(k=\frac{3 \times 10+4(-14)}{3+4}=\frac{30-56}{7}=-\frac{26}{7}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(0,-\frac{26}{7}\right)\)
(ii) \((5, 3)\) এবং \((– 7, – 2) ; 2 : 3\) অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।
মনে করি, (\(5, 3\)) এবং (\(– 7, – 2\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ (h, k) বিন্দুতে \(2 : 3 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore h=\frac{2 \times(-7)+3 \times 5}{2+3}=\frac{-14+15}{5}=\frac{1}{5}\)
এবং \(k=\frac{2 \times(-2)+3 \times 3}{2+3}=\frac{-4+9}{5}=\frac{5}{5}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1}{5}, 1\right)\)
\(\therefore h=\frac{2 \times(-7)+3 \times 5}{2+3}=\frac{-14+15}{5}=\frac{1}{5}\)
এবং \(k=\frac{2 \times(-2)+3 \times 3}{2+3}=\frac{-4+9}{5}=\frac{5}{5}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1}{5}, 1\right)\)
(iii) \((–1, 2)\) এবং \((4, – 5) ; 3 : 2\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
মনে করি, (– 1, 2) এবং (4, – 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ (h, k) বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।
\(\therefore h=\frac{3 \times 4-2 \times(-1)}{3-2}=\frac{12+2}{1}=14\)
এবং \(k=\frac{3 \times(-5)-2 \cdot 2}{3-2}=\frac{-15-4}{1}=-19\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (14, – 19 )
\(\therefore h=\frac{3 \times 4-2 \times(-1)}{3-2}=\frac{12+2}{1}=14\)
এবং \(k=\frac{3 \times(-5)-2 \cdot 2}{3-2}=\frac{-15-4}{1}=-19\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (14, – 19 )
(iv) \((3, 2)\) এবং \((6, 5) ; 2 : 1\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
মনে করি, (3, 2) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত রেখাংশ (h, k) বিন্দুতে \(2 : 1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।
\(\therefore \mathrm{h}=\frac{2 \times 6-1 \times 3}{2-1}=\frac{12-3}{1}=9\)
এবং \(k=\frac{2 \times 5-1 \times 2}{2-1}=\frac{10-2}{1}=8\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(9, 8\))
\(\therefore \mathrm{h}=\frac{2 \times 6-1 \times 3}{2-1}=\frac{12-3}{1}=9\)
এবং \(k=\frac{2 \times 5-1 \times 2}{2-1}=\frac{10-2}{1}=8\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(9, 8\))
2. নীচের প্রত্যেক বিন্দুগুলোর সংযোজক সরলরেখাংশগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি :
(i) (5, 4) এবং (3, – 4)
(\(5, 4\)) ও (\(3, -4\)) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত
সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{5+3}{2}, \frac{4-4}{2}\right) \equiv(4,0)\)
সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{5+3}{2}, \frac{4-4}{2}\right) \equiv(4,0)\)
(ii) (6, 0) এবং (0, 7)
(\(6, 0\)) ও (\(0, 7)\) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত
সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+7}{2}\right) \equiv\left(3, \frac{7}{2}\right)\)
সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+7}{2}\right) \equiv\left(3, \frac{7}{2}\right)\)
3. (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করেছে হিসাব করে লিখি।
মনে করি, (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও ( 3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে k : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
\( \therefore 1=\frac{k \cdot 3+1 \cdot 4}{k+1} \)
বা, \(3 k+4=k+1 \)
বা, \(2 k=-3\)
বা, \(k =-\frac{3}{2}\)
বা, \(\frac{k}{1}=-\frac{3}{2} \)
\(\therefore k: 1=-3: 2\)
\(\therefore\) ( \(1, 3\)) বিন্দুটি (\(4, 6\)) ও ( \(3, 5\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \( 3 : 2 \)অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
[ \(\because \) অনুপাতটির একটি পদ ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত]
\( \therefore 1=\frac{k \cdot 3+1 \cdot 4}{k+1} \)
বা, \(3 k+4=k+1 \)
বা, \(2 k=-3\)
বা, \(k =-\frac{3}{2}\)
বা, \(\frac{k}{1}=-\frac{3}{2} \)
\(\therefore k: 1=-3: 2\)
\(\therefore\) ( \(1, 3\)) বিন্দুটি (\(4, 6\)) ও ( \(3, 5\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \( 3 : 2 \)অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
[ \(\because \) অনুপাতটির একটি পদ ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত]
4. (7, 3) ও (–9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ y অক্ষ দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে হিসাব করে লিখি।
মনে করি, (\(7, 3\)) ও (\(– 9, 6\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ \(y\)-অক্ষ দ্বারা
অর্থাৎ (\(0, y\)) বিন্দু দ্বারা \(k : 1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।
[\(\because \) y-অক্ষের উপর \(x\)-এর স্থানাঙ্ক মান 0]
\(\therefore 0=\frac{k(-9)+1 \times 7}{k+1}\)
বা,\( – 9k + 7 = 0 \)
বা, \(k=\frac{7}{9}\)
বা, \(\frac{k}{1}=\frac{7}{9}\)
\(\therefore\) \(k : 1 = 7 : 9\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অনুপাত \(7 : 9\) এবং উহা উৎপন্ন সংযোজক রেখাংশকে অন্তর্বিভক্ত করে।
অর্থাৎ (\(0, y\)) বিন্দু দ্বারা \(k : 1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।
[\(\because \) y-অক্ষের উপর \(x\)-এর স্থানাঙ্ক মান 0]
\(\therefore 0=\frac{k(-9)+1 \times 7}{k+1}\)
বা,\( – 9k + 7 = 0 \)
বা, \(k=\frac{7}{9}\)
বা, \(\frac{k}{1}=\frac{7}{9}\)
\(\therefore\) \(k : 1 = 7 : 9\)
\(\therefore\) নির্ণেয় অনুপাত \(7 : 9\) এবং উহা উৎপন্ন সংযোজক রেখাংশকে অন্তর্বিভক্ত করে।
5. প্রমাণ কর যে A(7, 3), B(9, 6), C(10, 12) এবং D(8, 9) বিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত।
ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \(A (7, 3), B (9, 6),
C (10, 12)\) এবং \(D (8, 9)\)।
\(\therefore\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (7, 3) ও (10, 12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(=\left(\frac{7+10}{2}, \frac{3+12}{2}\right) \equiv\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)\)
আবার, \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (9, 6) ও (8, 9)
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\( \equiv\left(\frac{9+8}{2}, \frac{6+9}{2}\right) \equiv\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right) \)
\(\therefore\) দুটি কর্ণ \(\overline{\mathrm{AC}} \) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\)-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই।
অর্থাৎ \(\overline{\mathrm{AC}} \) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
[\(\because \) যে চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তা একটি সামান্তরিক।]
C (10, 12)\) এবং \(D (8, 9)\)।
\(\therefore\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (7, 3) ও (10, 12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(=\left(\frac{7+10}{2}, \frac{3+12}{2}\right) \equiv\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)\)
আবার, \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (9, 6) ও (8, 9)
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\( \equiv\left(\frac{9+8}{2}, \frac{6+9}{2}\right) \equiv\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right) \)
\(\therefore\) দুটি কর্ণ \(\overline{\mathrm{AC}} \) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\)-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই।
অর্থাৎ \(\overline{\mathrm{AC}} \) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
[\(\because \) যে চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তা একটি সামান্তরিক।]
নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || Class 9 Chapter 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 19 koshe dekhi 19 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
6. যদি \((3,2), (6, 3), (x, y)\) এবং \((6, 5)\) বিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে \((x, y)\) কত হবে হিসাব করে লিখি।
ধরি, \(A ( 3, 2), B (6, 3), C (x,y), D (6, 5) \)
\(\because \) A, B, C, D বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক গঠন করে,
\(\therefore\) ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{\mathrm{AC}}\) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
\(\therefore\) \(\overline{\mathrm{AC}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)\)
এবং \(\overline{\mathrm{BD}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{6+6}{2}, \frac{3+5}{2}\right) \equiv(6,4)\)
এখন ভুজ দুটি তুলনা করে পাই,
\(\frac{3+x}{2}=6\)
বা, \(3 + x = 12\)
\(\therefore x = 9\)
আবার, কোটি দুটি তুলনা করে পাই,
\(\frac{2+y}{2}=4\)
বা, \(2+y=8\)
\(\therefore\) y = 6
\(\therefore\) C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 6)
\(\because \) A, B, C, D বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক গঠন করে,
\(\therefore\) ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{\mathrm{AC}}\) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
\(\therefore\) \(\overline{\mathrm{AC}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)\)
এবং \(\overline{\mathrm{BD}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{6+6}{2}, \frac{3+5}{2}\right) \equiv(6,4)\)
এখন ভুজ দুটি তুলনা করে পাই,
\(\frac{3+x}{2}=6\)
বা, \(3 + x = 12\)
\(\therefore x = 9\)
আবার, কোটি দুটি তুলনা করে পাই,
\(\frac{2+y}{2}=4\)
বা, \(2+y=8\)
\(\therefore\) y = 6
\(\therefore\) C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 6)
7. যদি \(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right)\) এবং \(\left(x_{4}, y_{4}\right)\) বিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}\) এবং \(y_{1}+y_{3}=y_{2}+y_{4}\)
ধরি, \(A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3} )\right.\) এবং \(\mathrm{D}\left(x_{4}, \mathrm{y}_{4}\right)\)
\(\because \) A, B, C, D বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়।
\(\therefore\) ABCD সামান্তরিকের \(\overline{\mathrm{AC}}\) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
\(\therefore \overline{\mathrm{AC}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)\)
এবং \(\overline{\mathrm{BD}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{x_{2}+x_{4}}{2}, \frac{y_{2}+y_{4}}{2}\right)\)
এখন \(x\)-স্থানাঙ্ক বা ভুজ তুলনা করে পাই,
\(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=\frac{x_{2}+x_{4}}{2}\)
বা, \(x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}\) (প্রমাণিত)
আবার, y-স্থানাঙ্ক বা কোটি তুলনা করে পাই,
\(\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{3}}{2}=\frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{4}}{2}\)
বা, \(\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{3}=\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{4}\)
(প্রমাণিত)
\(\because \) A, B, C, D বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়।
\(\therefore\) ABCD সামান্তরিকের \(\overline{\mathrm{AC}}\) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
\(\therefore \overline{\mathrm{AC}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)\)
এবং \(\overline{\mathrm{BD}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{x_{2}+x_{4}}{2}, \frac{y_{2}+y_{4}}{2}\right)\)
এখন \(x\)-স্থানাঙ্ক বা ভুজ তুলনা করে পাই,
\(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=\frac{x_{2}+x_{4}}{2}\)
বা, \(x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}\) (প্রমাণিত)
আবার, y-স্থানাঙ্ক বা কোটি তুলনা করে পাই,
\(\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{3}}{2}=\frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{4}}{2}\)
বা, \(\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{3}=\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{4}\)
(প্রমাণিত)
8. ABC ত্রিভুজের A, B ও C শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক (–1, 3) (1, – 1) এবং (5, 1); AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(A ( − 1, 3), B(1, – 1)\) এবং \(C(5, 1)\)
BC-র মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) \equiv(3,0)\)
\(\therefore\) এখন \(A ( − 1, 3)\) ও \(D ( 3, 0)\)-র সংযোজক রেখাংশ (\(\overline{\mathrm{AD}}\) মধ্যমা)-র দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{(3+1)^{2}+(0-3)^{2}}\) একক
\(=\sqrt{16+9}\) একক \(=\sqrt{25}\) একক = 5 একক
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, –4), (6, -2) এবং (–4, 2) ; ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
মনে করি, \(\triangle A B C\)-র তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A ( 2, – 4), B (6, - 2) এবং C(− 4, 2)।
\(\overline{\mathrm{BC}}\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(D \equiv\left(\frac{6-4}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) \equiv(1,0)\)
\(\overline{\mathrm{CA}}\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(E \equiv\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\)
\(\equiv(-1,-1)\)
\(\overline{\mathrm{AB}}\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক\(F \equiv\left(\frac{2+6}{2}, \frac{-4-2}{2}\right) \equiv(4,-3)\)
\(\overline{\mathrm{AD}}\) মধ্যমার দূরত্ব \(=\sqrt{(1-2)^{2}+(0+4)^{2}}\) একক
\(=\sqrt{1+16}\) একক \(=\sqrt{17}\) একক
\(\overline{\mathrm{BE}}\) মধ্যমার দূরত্ব \(=\sqrt{(-1-6)^{2}+(-1+2)^{2}}\) একক
\(=\sqrt{49+1}\) একক\(=\sqrt{50}\) একক \(=5 \sqrt{2}\) একক
\(\overline{\mathrm{CF}}\) মধ্যমার দূরত্ব\(=\sqrt{(4+4)^{2}+(-3-2)^{2}}\) একক
\(=\sqrt{64+25}\) একক \(=\sqrt{89}\) একক
\(\therefore\) মধ্যমা তিনটি যথাক্রমে \(=\sqrt{17}\) একক, \(5\sqrt{2}\) একক এবং \(\sqrt{89}\) একক।
10. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3), (–2, 7) এবং (0, 11); ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
মনে করি, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\mathrm{A}\left(x_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)\) এবং \(\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right)\)
আরও মনে করি,
\(\overline{\mathrm{BC}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(D \equiv(4,3)\)
\(\overline{\mathrm{CA}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(E \equiv(-2,7)\) এবং
\(\overline{\mathrm{AB}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(F \equiv(0,11)\)
\(\overline{\mathrm{BC}}\)-র মধ্যবিন্দু D-র স্থানাঙ্ক\(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) \equiv(4,3)\)
\(x\) স্থানাঙ্ক ও \(y\)-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই,
\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=4\)
\(\therefore x_{2}+x_{3}=8\ldots(i)\)
ও \(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=3\)
\(\therefore y_{2}+y_{3}=6\ldots(ii)\)
আবার, \(\overline{\mathrm{CA}}\)-র মধ্যবিন্দু (E)-র স্থানাঙ্ক
\( \left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right) \equiv(-2,7) \)
\(x\)-স্থানাঙ্ক ও y-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই
\( \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=-2 \)
\( \therefore x_{3}+x_{1}=-4\) .......(iii)
এবং \( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=7 \)
\( \therefore y_{3}+y_{1}=14 \)...............(iv)
আবার, \(\overline{\mathrm{AB}}\)-র মধ্যবিন্দু (F)-র স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \equiv(0,11)\)
\(x\)-স্থানাঙ্ক ও y-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই
\( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=0 \)
\( \therefore x_{1}+x_{2}=0 \)...........(v)
এবং \( \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=11 \)
\( \therefore y_{1}+y_{2}=22 \).........(vi)
(i), (iii) ও (v) যোগ করে পাই,
\(2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=4\)
\(\therefore\) \(x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\ldots(vii)\)
\(\therefore\) (vii) - (i)
\(\Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-\left(x_{2}+x_{3}\right)=2-8\)
\(\therefore\) \(x_{1}=-6\)
(vii)-( iii)
\(\Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-\left(x_{3}+x_{1}\right)=2+4\)
\(\therefore\) \(x_{2}=6\)
(vii)-(v)
\(\Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-\left(x_{1}+x_{2}\right)=2-0\)
\(\therefore\) \(x_{3}=2\)
আবার, (ii), (iv) ও (vi) যোগ করে পাই
\(2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=42\)
\(\therefore\) \(y_{1}+y_{2}+y_{3}=21\ldots(viii)\)
( viii)- (ii)
\(\Rightarrow\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)-\left(y_{2}+y_{3}\right)=21-6 \)
\(\therefore\) \(y_{1}=15\)
(viii)- (iv)
\( \Rightarrow\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)-\left(y_{3}+y_{1}\right)=21-14\)
\(\therefore\) \(y_{2}=7\)
(viii) -(vi)
\(\Rightarrow\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)-\left(y_{1}+y_{2}\right)=21-22\)
\(\therefore\) \(y_{3}=-1\)
\(\therefore\) A বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(x_{1}, y_{1}\right)=(-6,15) ; \mathrm{B}\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(x_{2}, y_{2}\right)=(6,7)\) এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(x_{3}, y_{3}\right)=(2,-1)\)
নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || Class 9 Chapter 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 19 koshe dekhi 19 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q) :
(i) \((l, 2m)\) এবং \((–l + 2m, 2l – 2m)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
(a) \((l, m)\) (b) \((l, – m)\) (c) \((m, – l),\) (d) \((m, l)\)
(a) \((l, m)\) (b) \((l, – m)\) (c) \((m, – l),\) (d) \((m, l)\)
\((l, 2 \mathrm{~m})\) ও \((-l+2 \mathrm{~m}, 2 l-2 \mathrm{~m})\)
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{l-l+2 m}{2}, \frac{2 m+2 l-2 m}{2}\right) \equiv\left(\frac{2 m}{2}, \frac{2 l}{2}\right) \equiv(m, l)\)
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{l-l+2 m}{2}, \frac{2 m+2 l-2 m}{2}\right) \equiv\left(\frac{2 m}{2}, \frac{2 l}{2}\right) \equiv(m, l)\)
(ii) A(1, 5) এবং B(–4, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে P বিন্দু অন্তঃস্থভাবে 2 : 3 অনুপাতে বিভক্ত করলে P বিন্দুর ভুজ
(a) – 1 (b) 11 (c) 1 (d) – 11
(a) – 1 (b) 11 (c) 1 (d) – 11
\(A (1,5)\) এবং \((– 4, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে
\(P\) বিন্দু অন্তঃস্থভাবে \(2 : 3\) অনুপাতে বিভক্ত করলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক হয়
\(=\left(\frac{2 \times(-4)+3 \times 1}{2+3}, \frac{2 \times 7+3 \times 5}{2+5}\right)\)
\(=\left(-\frac{5}{5}, \frac{29}{5}\right) \equiv\left(-1, \frac{29}{5}\right)\)
\(\therefore\) P বিন্দুর ভুজ – 1
\(P\) বিন্দু অন্তঃস্থভাবে \(2 : 3\) অনুপাতে বিভক্ত করলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক হয়
\(=\left(\frac{2 \times(-4)+3 \times 1}{2+3}, \frac{2 \times 7+3 \times 5}{2+5}\right)\)
\(=\left(-\frac{5}{5}, \frac{29}{5}\right) \equiv\left(-1, \frac{29}{5}\right)\)
\(\therefore\) P বিন্দুর ভুজ – 1
(iii) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (7, 9) এবং (–1, – 3); বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
(a) (3, 3) (b) (4, 6) (c) (3, – 3) (d) (4, – 6)
(a) (3, 3) (b) (4, 6) (c) (3, – 3) (d) (4, – 6)
একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক
(\(7, 9\)) ও (\(− 1, − 3\)) হলে ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{7-1}{2}, \frac{9-3}{2}\right) \equiv(3,3)\)
(\(7, 9\)) ও (\(− 1, − 3\)) হলে ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{7-1}{2}, \frac{9-3}{2}\right) \equiv(3,3)\)
(iv) (2,–5) এবং (–3, –2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে একটি বিন্দু 4 : 3 অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে। ঐ বিন্দুর কোটি
(a) – 18 (b) – 7 (c) 18 (d) 7
(a) – 18 (b) – 7 (c) 18 (d) 7
(\( 2, – 5\)) এবং \((– 3, – 2\)) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে
একটি বিন্দু \(4 : 3\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করলে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে
\(\equiv\left(\frac{4 \times(-3)-3 \times 2}{4-3}, \frac{4 \times(-2)-3 \times(-5)}{4-3}\right)\)
\(\equiv(-18,7)\)
\(\therefore\) ঐ বিন্দুর কোটি 7
একটি বিন্দু \(4 : 3\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করলে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে
\(\equiv\left(\frac{4 \times(-3)-3 \times 2}{4-3}, \frac{4 \times(-2)-3 \times(-5)}{4-3}\right)\)
\(\equiv(-18,7)\)
\(\therefore\) ঐ বিন্দুর কোটি 7
(v) PQRS সামান্তরিকের \(P(1, 2), Q(4, 6), R(5, 7)\) এবং \(S(x, y)\) শীর্ষবিন্দু হলে, (a) \(x = 2, y = 4\) (b) \(x = 3, y = 4\) (c) \(x = 2, y = 3\) (d) \(x = 2, y = 5\)
\(P(1,2), Q(4,6), R(5,7)\) ও \(S(x, y)\), PQRS সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু হলে,
\(\frac{1+5}{2}=\frac{4+x}{2}\)
বা, \(4+x=6\)
\(\therefore\)\(x=2\)
ও \(\frac{2+7}{2}=\frac{6+y}{2}\)
বা, \(6+y=9\)
\(\therefore\) \(y=3\)
\(\frac{1+5}{2}=\frac{4+x}{2}\)
বা, \(4+x=6\)
\(\therefore\)\(x=2\)
ও \(\frac{2+7}{2}=\frac{6+y}{2}\)
বা, \(6+y=9\)
\(\therefore\) \(y=3\)
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :
(i) একটি বৃত্তের কেন্দ্র C এবং ব্যাস AB; A এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6, – 7) এবং (5, – 2) হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
মনে করি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x,y)\)
\(\because \) C, AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু
\(\therefore \frac{6+x}{2}=5\)
বা, \(6+x=10 \quad \)
\(\therefore x=4\)
এবং \(\frac{-7+y}{2}=-2\)
বা, \(-7+y=-4 \)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore\) B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3)
(ii) P ও Q বিন্দু যথাক্রমে প্রথম ও তৃতীয় পদে অবস্থিত এবং \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ থেকে বিন্দুদুটির প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 6 একক এবং 4 একক। PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
প্রথম পাদে P বিন্দু থাকায় P-র \(x\) ও y স্থানাঙ্ক দুটিই ধনাত্মক
এবং Q বিন্দু তৃতীয় পাদে থাকায় Q-র \(x\) ও y-স্থানাঙ্ক দুটিই ঋণাত্মক।
\(\therefore\) P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 6)
এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(– 4, – 6\))
\(\therefore\) PQ-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{4-4}{2}, \frac{6-6}{2}\right) \equiv(0,0)\)
(iii) A ও B বিন্দু যথাক্রমে দ্বিতীয় ও চতুর্থ পাদে অবস্থিত এবং \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ থেকে বিন্দুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 8 একক ও 6 একক। AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
দ্বিতীয় পাদে A বিন্দু থাকায় A-র \(x\) স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক
এবং y-স্থানাঙ্ক ধনাত্মক এবং B বিন্দু চতুর্থ পাদে থাকায় B-র
\(x\) স্থানাঙ্ক ধনাত্মক এবং y-স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক।
\(\therefore\) A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(– 6, 8\))
এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (\(6, – 8\))
\(\therefore\) \(\overline{\mathrm{AB}}\)-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\left(\frac{-6+6}{2}, \frac{8-8}{2}\right) \equiv(0,0)\)
(iv) AB সরলরেখাংশের উপর P একটি বিন্দু এবং AP = PB; A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, – 4) ও (–5, 2); P বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
\(\because \) \(\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PB}}\) এবং P বিন্দু
\(\overline{\mathrm{AB}}\)-র উপর অবস্থিত।
\(\therefore P, \overline{A B}\)-র মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) P বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{3-5}{2}, \frac{-4+2}{2}\right) \equiv(-1,-1)\)
নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || Class 9 Chapter 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 19 koshe dekhi 19 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
(v) ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল। B এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (7, 3) এবং (2, 6); A ও C বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
ABCD আয়তক্ষেত্রের \(\overline{\mathrm{AB}} \) ও \( \overline{\mathrm{DC}}\) বাহুদ্বয় \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল
এবং \(\overline{\mathrm{AD}} \) ও \( \overline{\mathrm{BC}}\) বাহুদ্বয় y-অক্ষের সমান্তরাল।
\(\therefore\) A বিন্দুর ভুজ = D বিন্দুর ভুজ = 2
এবং A বিন্দুর কোটি = B বিন্দুর কোটি = 3
\(\therefore\) A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3)
আবার, C বিন্দুর ভুজ = B বিন্দুর ভুজ = 7
এবং C বিন্দুর কোটি = D বিন্দুর কোটি = 6
\(\therefore\) C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 6)
\(\therefore\) \(\overline{\mathrm{AC}}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{2+7}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)
\(\equiv\left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)^{2}\)
বিকল্প পদ্ধতি:
\(\therefore\) ABCD একটি আয়তক্ষেত্র,
\(\therefore \overline{\mathrm{AC}}\) ও \(\overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
\(\therefore \overline{\mathrm{AC}}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(= \overline{\mathrm{BD}}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(\equiv\left(\frac{2+7}{2}, \frac{6+3}{2}\right)\)
\(\equiv\left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)\)
নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || Class 9 Chapter 19 || Ganit Prakash Class 9 Solution || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 19 koshe dekhi 19 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 19 || স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
