মনে করি, ($6, – 14$) এবং ($– 8, 10$) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ ($h, k$) বিন্দুতে $3 : 4$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

$\therefore h=\frac{3 \times(-8)+4 \times 6}{3+4}=\frac{-24+24}{7}=0$
এবং $k=\frac{3 \times 10+4(-14)}{3+4}=\frac{30-56}{7}=-\frac{26}{7}$
$\therefore$ নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(0,-\frac{26}{7}\right)$

মনে করি, ($5, 3$) এবং ($– 7, – 2$) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ (h, k) বিন্দুতে $2 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

$\therefore h=\frac{2 \times(-7)+3 \times 5}{2+3}=\frac{-14+15}{5}=\frac{1}{5}$
এবং $k=\frac{2 \times(-2)+3 \times 3}{2+3}=\frac{-4+9}{5}=\frac{5}{5}=1$
$\therefore$ নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{1}{5}, 1\right)$

মনে করি, (– 1, 2) এবং (4, – 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ (h, k) বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।

$\therefore h=\frac{3 \times 4-2 \times(-1)}{3-2}=\frac{12+2}{1}=14$
এবং $k=\frac{3 \times(-5)-2 \cdot 2}{3-2}=\frac{-15-4}{1}=-19$
$\therefore$ নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক (14, – 19 )

মনে করি, (3, 2) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত রেখাংশ (h, k) বিন্দুতে $2 : 1$ অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।

$\therefore \mathrm{h}=\frac{2 \times 6-1 \times 3}{2-1}=\frac{12-3}{1}=9$
এবং $k=\frac{2 \times 5-1 \times 2}{2-1}=\frac{10-2}{1}=8$
$\therefore$ নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($9, 8$)

($5, 4$) ও ($3, -4$) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত
সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\left(\frac{5+3}{2}, \frac{4-4}{2}\right) \equiv(4,0)$

($6, 0$) ও ($0, 7)$ বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত
সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+7}{2}\right) \equiv\left(3, \frac{7}{2}\right)$

মনে করি, (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) ও ( 3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে k : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
$\therefore 1=\frac{k \cdot 3+1 \cdot 4}{k+1}$
বা, $3 k+4=k+1$
বা, $2 k=-3$
বা, $k =-\frac{3}{2}$
বা, $\frac{k}{1}=-\frac{3}{2}$
$\therefore k: 1=-3: 2$
$\therefore$ ( $1, 3$) বিন্দুটি ($4, 6$) ও ( $3, 5$) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে $3 : 2$অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
[ $\because$ অনুপাতটির একটি পদ ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত]

মনে করি, ($7, 3$) ও ($– 9, 6$) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ $y$-অক্ষ দ্বারা
অর্থাৎ ($0, y$) বিন্দু দ্বারা $k : 1$ অনুপাতে বিভক্ত হয়।
[$\because$ y-অক্ষের উপর $x$-এর স্থানাঙ্ক মান 0]
$\therefore 0=\frac{k(-9)+1 \times 7}{k+1}$
বা,$– 9k + 7 = 0$
বা, $k=\frac{7}{9}$
বা, $\frac{k}{1}=\frac{7}{9}$
$\therefore$ $k : 1 = 7 : 9$
$\therefore$ নির্ণেয় অনুপাত $7 : 9$ এবং উহা উৎপন্ন সংযোজক রেখাংশকে অন্তর্বিভক্ত করে।

ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক $A (7, 3), B (9, 6), C (10, 12)$ এবং $D (8, 9)$।
$\therefore$ $ABCD$ চতুর্ভুজের AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (7, 3) ও (10, 12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$=\left(\frac{7+10}{2}, \frac{3+12}{2}\right) \equiv\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)$
আবার, $\overline{\mathrm{BD}}$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = (9, 6) ও (8, 9)
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\equiv\left(\frac{9+8}{2}, \frac{6+9}{2}\right) \equiv\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)$
$\therefore$ দুটি কর্ণ $\overline{\mathrm{AC}}$ ও $\overline{\mathrm{BD}}$-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই।
অর্থাৎ $\overline{\mathrm{AC}}$ ও $\overline{\mathrm{BD}}$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
[$\because$ যে চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তা একটি সামান্তরিক।]

ধরি, $A ( 3, 2), B (6, 3), C (x,y), D (6, 5)$
$\because$ A, B, C, D বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক গঠন করে,
$\therefore$ ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $\overline{\mathrm{AC}}$ ও $\overline{\mathrm{BD}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
$\therefore$ $\overline{\mathrm{AC}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$
এবং $\overline{\mathrm{BD}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{6+6}{2}, \frac{3+5}{2}\right) \equiv(6,4)$
এখন ভুজ দুটি তুলনা করে পাই,
$\frac{3+x}{2}=6$
বা, $3 + x = 12$
$\therefore x = 9$
আবার, কোটি দুটি তুলনা করে পাই,
$\frac{2+y}{2}=4$
বা, $2+y=8$
$\therefore$ y = 6
$\therefore$ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 6)

ধরি, $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3} )\right.$ এবং $\mathrm{D}\left(x_{4}, \mathrm{y}_{4}\right)$
$\because$ A, B, C, D বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়।
$\therefore$ ABCD সামান্তরিকের $\overline{\mathrm{AC}}$ ও $\overline{\mathrm{BD}}$ কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
$\therefore \overline{\mathrm{AC}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$
এবং $\overline{\mathrm{BD}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{x_{2}+x_{4}}{2}, \frac{y_{2}+y_{4}}{2}\right)$
এখন $x$-স্থানাঙ্ক বা ভুজ তুলনা করে পাই,
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=\frac{x_{2}+x_{4}}{2}$
বা, $x_{1}+x_{3}=x_{2}+x_{4}$ (প্রমাণিত)
আবার, y-স্থানাঙ্ক বা কোটি তুলনা করে পাই,
$\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{3}}{2}=\frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{4}}{2}$
বা, $\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{3}=\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{4}$
(প্রমাণিত)

$\triangle \mathrm{ABC}$-র $A ( − 1, 3), B(1, – 1)$ এবং $C(5, 1)$
BC-র মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক
$\equiv\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) \equiv(3,0)$
$\therefore$ এখন $A ( − 1, 3)$ ও $D ( 3, 0)$-র সংযোজক রেখাংশ ($\overline{\mathrm{AD}}$ মধ্যমা)-র দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(3+1)^{2}+(0-3)^{2}}$ একক
$=\sqrt{16+9}$ একক $=\sqrt{25}$ একক = 5 একক

মনে করি, $\triangle A B C$-র তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A ( 2, – 4), B (6, - 2) এবং C(− 4, 2)।
$\overline{\mathrm{BC}}$ বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $D \equiv\left(\frac{6-4}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) \equiv(1,0)$
$\overline{\mathrm{CA}}$ বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $E \equiv\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)$
$\equiv(-1,-1)$
$\overline{\mathrm{AB}}$ বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক$F \equiv\left(\frac{2+6}{2}, \frac{-4-2}{2}\right) \equiv(4,-3)$
$\overline{\mathrm{AD}}$ মধ্যমার দূরত্ব $=\sqrt{(1-2)^{2}+(0+4)^{2}}$ একক
$=\sqrt{1+16}$ একক $=\sqrt{17}$ একক
$\overline{\mathrm{BE}}$ মধ্যমার দূরত্ব $=\sqrt{(-1-6)^{2}+(-1+2)^{2}}$ একক
$=\sqrt{49+1}$ একক$=\sqrt{50}$ একক $=5 \sqrt{2}$ একক
$\overline{\mathrm{CF}}$ মধ্যমার দূরত্ব$=\sqrt{(4+4)^{2}+(-3-2)^{2}}$ একক
$=\sqrt{64+25}$ একক $=\sqrt{89}$ একক
$\therefore$ মধ্যমা তিনটি যথাক্রমে $=\sqrt{17}$ একক, $5\sqrt{2}$ একক এবং $\sqrt{89}$ একক।

মনে করি, $\triangle \mathrm{ABC}$-র $\mathrm{A}\left(x_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ এবং $\mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right)$
আরও মনে করি,
$\overline{\mathrm{BC}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $D \equiv(4,3)$
$\overline{\mathrm{CA}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $E \equiv(-2,7)$ এবং
$\overline{\mathrm{AB}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $F \equiv(0,11)$
$\overline{\mathrm{BC}}$-র মধ্যবিন্দু D-র স্থানাঙ্ক$\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) \equiv(4,3)$
$x$ স্থানাঙ্ক ও $y$-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই,
$\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=4$
$\therefore x_{2}+x_{3}=8\ldots(i)$
ও $\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=3$
$\therefore y_{2}+y_{3}=6\ldots(ii)$
আবার, $\overline{\mathrm{CA}}$-র মধ্যবিন্দু (E)-র স্থানাঙ্ক
$\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right) \equiv(-2,7)$
$x$-স্থানাঙ্ক ও y-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই
$\frac{x_{3}+x_{1}}{2}=-2$
$\therefore x_{3}+x_{1}=-4$ .......(iii)
এবং $\frac{y_{3}+y_{1}}{2}=7$
$\therefore y_{3}+y_{1}=14$...............(iv)
আবার, $\overline{\mathrm{AB}}$-র মধ্যবিন্দু (F)-র স্থানাঙ্ক
$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \equiv(0,11)$
$x$-স্থানাঙ্ক ও y-স্থানাঙ্ক তুলনা করে পাই
$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=0$
$\therefore x_{1}+x_{2}=0$...........(v)
এবং $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=11$
$\therefore y_{1}+y_{2}=22$.........(vi)
(i), (iii) ও (v) যোগ করে পাই,
$2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=4$
$\therefore$ $x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\ldots(vii)$
$\therefore$ (vii) - (i)
$\Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-\left(x_{2}+x_{3}\right)=2-8$
$\therefore$ $x_{1}=-6$
(vii)-( iii)
$\Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-\left(x_{3}+x_{1}\right)=2+4$
$\therefore$ $x_{2}=6$
(vii)-(v)
$\Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)-\left(x_{1}+x_{2}\right)=2-0$
$\therefore$ $x_{3}=2$
আবার, (ii), (iv) ও (vi) যোগ করে পাই
$2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=42$
$\therefore$ $y_{1}+y_{2}+y_{3}=21\ldots(viii)$
( viii)- (ii)
$\Rightarrow\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)-\left(y_{2}+y_{3}\right)=21-6$
$\therefore$ $y_{1}=15$
(viii)- (iv)
$\Rightarrow\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)-\left(y_{3}+y_{1}\right)=21-14$
$\therefore$ $y_{2}=7$
(viii) -(vi)
$\Rightarrow\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)-\left(y_{1}+y_{2}\right)=21-22$
$\therefore$ $y_{3}=-1$
$\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(x_{1}, y_{1}\right)=(-6,15) ; \mathrm{B}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(x_{2}, y_{2}\right)=(6,7)$ এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(x_{3}, y_{3}\right)=(2,-1)$

$(l, 2 \mathrm{~m})$ ও $(-l+2 \mathrm{~m}, 2 l-2 \mathrm{~m})$
বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক
$\equiv\left(\frac{l-l+2 m}{2}, \frac{2 m+2 l-2 m}{2}\right) \equiv\left(\frac{2 m}{2}, \frac{2 l}{2}\right) \equiv(m, l)$

$A (1,5)$ এবং $(– 4, 7)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে
$P$ বিন্দু অন্তঃস্থভাবে $2 : 3$ অনুপাতে বিভক্ত করলে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হয়
$=\left(\frac{2 \times(-4)+3 \times 1}{2+3}, \frac{2 \times 7+3 \times 5}{2+5}\right)$
$=\left(-\frac{5}{5}, \frac{29}{5}\right) \equiv\left(-1, \frac{29}{5}\right)$
$\therefore$ P বিন্দুর ভুজ – 1

একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক
($7, 9$) ও ($− 1, − 3$) হলে ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
$\equiv\left(\frac{7-1}{2}, \frac{9-3}{2}\right) \equiv(3,3)$

($2, – 5$) এবং $(– 3, – 2$) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে
একটি বিন্দু $4 : 3$ অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করলে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে
$\equiv\left(\frac{4 \times(-3)-3 \times 2}{4-3}, \frac{4 \times(-2)-3 \times(-5)}{4-3}\right)$
$\equiv(-18,7)$
$\therefore$ ঐ বিন্দুর কোটি 7

$P(1,2), Q(4,6), R(5,7)$ ও $S(x, y)$, PQRS সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু হলে,
$\frac{1+5}{2}=\frac{4+x}{2}$
বা, $4+x=6$
$\therefore$$x=2$
ও $\frac{2+7}{2}=\frac{6+y}{2}$
বা, $6+y=9$
$\therefore$ $y=3$

মনে করি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)$
$\because$ C, AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু
$\therefore \frac{6+x}{2}=5$
বা, $6+x=10 \quad$
$\therefore x=4$
এবং $\frac{-7+y}{2}=-2$
বা, $-7+y=-4$
$\therefore y=3$
$\therefore$ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 3)

প্রথম পাদে P বিন্দু থাকায় P-র $x$ ও y স্থানাঙ্ক দুটিই ধনাত্মক
এবং Q বিন্দু তৃতীয় পাদে থাকায় Q-র $x$ ও y-স্থানাঙ্ক দুটিই ঋণাত্মক।
$\therefore$ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 6)
এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($– 4, – 6$)
$\therefore$ PQ-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\left(\frac{4-4}{2}, \frac{6-6}{2}\right) \equiv(0,0)$

দ্বিতীয় পাদে A বিন্দু থাকায় A-র $x$ স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক
এবং y-স্থানাঙ্ক ধনাত্মক এবং B বিন্দু চতুর্থ পাদে থাকায় B-র
$x$ স্থানাঙ্ক ধনাত্মক এবং y-স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক।
$\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($– 6, 8$)
এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক ($6, – 8$)
$\therefore$ $\overline{\mathrm{AB}}$-র মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\left(\frac{-6+6}{2}, \frac{8-8}{2}\right) \equiv(0,0)$

$\because$ $\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PB}}$ এবং P বিন্দু
$\overline{\mathrm{AB}}$-র উপর অবস্থিত।
$\therefore P, \overline{A B}$-র মধ্যবিন্দু।
$\therefore$ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{3-5}{2}, \frac{-4+2}{2}\right) \equiv(-1,-1)$

ABCD আয়তক্ষেত্রের $\overline{\mathrm{AB}}$ ও $\overline{\mathrm{DC}}$ বাহুদ্বয় $x$-অক্ষের সমান্তরাল
এবং $\overline{\mathrm{AD}}$ ও $\overline{\mathrm{BC}}$ বাহুদ্বয় y-অক্ষের সমান্তরাল।
$\therefore$ A বিন্দুর ভুজ = D বিন্দুর ভুজ = 2
এবং A বিন্দুর কোটি = B বিন্দুর কোটি = 3
$\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3)
আবার, C বিন্দুর ভুজ = B বিন্দুর ভুজ = 7
এবং C বিন্দুর কোটি = D বিন্দুর কোটি = 6
$\therefore$ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 6)
$\therefore$ $\overline{\mathrm{AC}}$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\equiv\left(\frac{2+7}{2}, \frac{3+6}{2}\right)$
$\equiv\left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)^{2}$
বিকল্প পদ্ধতি:
$\therefore$ ABCD একটি আয়তক্ষেত্র,
$\therefore \overline{\mathrm{AC}}$ ও $\overline{\mathrm{BD}}$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক একই হবে।
$\therefore \overline{\mathrm{AC}}$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$= \overline{\mathrm{BD}}$ কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$\equiv\left(\frac{2+7}{2}, \frac{6+3}{2}\right)$
$\equiv\left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)$