চিত্রে \( \angle Q P R>\angle P Q R \) (প্রদত্ত)
এবং \( \angle Q P R \) ও \( \angle P Q R \)-এর বিপরীত বাহু
যথাক্রমে \(QR\) এবং \(PR\)
[যেহেতু ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ]
\(\therefore\) নির্ণেয় সম্পর্কটি হল, \( Q R>P R \)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \( A C>A B \) এবং \(AC\) বাহুর উপর \(D\)
এমন একটি বিন্দু যে \( \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABD} \)
প্রামাণ্য বিষয় : \( \angle A B C>\angle A C B \)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{BDC} \)-এর বহিস্থ \( \angle A D B> \) বিপরীত অন্তঃস্থ \( \angle D C B \)
বা, \(\angle \mathrm{ABD}>\angle \mathrm{DCB}\)
\( [\because \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABD}] \)
কিন্তু \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \( \angle \mathrm{ABC}>\angle \mathrm{ABD} \) \( [\because \angle \mathrm{ABD}, \angle \mathrm{ABC} \) এর অংশ ]
\( \therefore \angle \mathrm{ABC}>\angle \mathrm{DCB} \)
বা, \( \angle A B C>\angle A C B \) \( [\because \angle \mathrm{ACB} \) ও \( \angle \mathrm{DCB} \) একই কোণ] (প্রমানিত)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \( A B>A C \)
এবং \( \angle B A C \)-এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ, \( \angle B A D=\angle D A C \)
প্রামাণ্য বিষয় : \(BD > CD\)
অঙ্কন : \(AB\) থেকে \(AC\)-এর সমান করে \(AE\) অংশ কেটে নেওয়া হল
এবং \(D, E\) যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{ADE} \) ও \( \triangle \mathrm{ACD} \)-এর মধ্যে
(i) \(AE = AC\) (অঙ্কনানুসারে)
(ii) \(AD\) সাধারণ বাহু
(iii) \( \angle E A D=\angle D A C \) (প্রদত্ত \( \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC} \))
\( \therefore \triangle \mathrm{ADE} \cong \triangle \mathrm{ACD} \) [বাহু কোণ বাহু সর্বসমতা অনুসারে]
\(\therefore\) \(DE = DC\) ..........(i)
এবং \( \angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADC} \) ......(ii) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও কোণ]
এখন \(ABD\) ত্রিভুজের বহিস্থ \( \angle \mathrm{ADC}>\angle \mathrm{ABD} \)
অর্থাৎ, \( \angle ADE >\) \( \angle ABD\) [(ii) থেকে]
আবার, \( \triangle \mathrm{AED} \)-এর বহিস্থ \( \angle B E D>\angle A D E \)
\( \therefore \angle B E D>\angle A B D \)
অর্থাৎ, \( \angle B E D>\angle E B D \) \( [\because \angle \mathrm{ABD} \) ও \( \angle \mathrm{EBD} \) একই কোণ]
\( \therefore D B>D E \)
[একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ পরস্পর অসমান হলে বৃহত্তর কোণটির বিপরীত বাহুটির দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতর কোণটির বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা, \(BD > DC \) \( [\therefore \) (i) থেকে \( D E=D C] \) (প্রমানিত)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \( \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC} \) এবং \( \mathrm{AC}>\mathrm{AB} \)
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \( \angle C A D>\angle B A D \) (ii) \( D C>B D \)
প্রমাণ : সমকোণী \( \triangle \mathrm{ADC} \) থেকে পাই,
\( \begin{array}{l}\angle C A D+\angle A C D=90^{\circ} \\ {\left[\because \angle A D C=90^{\circ}\right] \ldots \text { (i) }}\end{array} \)
আবার সমকোণী \( \triangle \mathrm{BDA} \) থেকে পাই,
\( \angle B A D+\angle A B D=90^{\circ}\left[\because \angle A D B=90^{\circ}\right] \)............... (ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই,
\( \angle C A D+\angle A C D=\angle B A D+\angle A B D=90^{\circ} \)
কিন্তু \( \mathrm{AC}>\mathrm{AB} \therefore \angle \mathrm{ABC}>\angle \mathrm{ACB} \)
\( \therefore \angle A B D>\angle A C D \)
বা, \( 90^{\circ}-\angle \mathrm{BAD}>90^{\circ}-\angle \mathrm{CAD}\)
বা, \(-\angle \mathrm{BAD}>-\angle \mathrm{CAD}\)
বা, \(\angle \mathrm{BAD}<\angle \mathrm{CAD} \)
\( \therefore \angle \mathrm{CAD}>\angle \mathrm{BAD} \) (প্রমানিত)
\( \therefore D C>B D \) [ কোনো ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ] (প্রমাণিত)

প্রদত্ত : \(ABCD\) চতুর্ভুজের বৃহত্তম বাহু \(BC\) এবং ক্ষুদ্রতম বাহু \(AD\) পরস্পরের বিপরীতে অবস্থিত।
প্রামাণ্য বিষয় : \( \angle B C D<\angle B A D \)
অঙ্কন : \(A, C\) যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-তে \(AB < BC\)
[\(\because\) ABCD চতুর্ভুজে BC বৃহত্তম
\(\therefore\) \(AB < BC\) ]
\( \therefore \angle A C B<\angle B A C \) ............ (i)
\( \triangle \mathrm{ADC} \) তে \(AD < DC\)
[\(\because\) \( ABCD\) চতুৰ্ভুজে \(AD\) ক্ষুদ্রতম \(\therefore\) \(AD < DC\) ]
\( \therefore \angle \mathrm{DCA}<\angle C A D \)............. (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
\( (\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{DCA})<(\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}) \)
বা, \( \angle \mathrm{BCD}<\angle B A D \) (প্রমানিত)

প্রদত্ত : \( A B<O B \) এবং \(CD > OD\)
প্রামান্য বিষয় : \( \angle B A O>\angle O C D \)
প্রমান : প্রদত্ত, \( \mathrm{AB}<\mathrm{OB}, \mathrm{CD}>\mathrm{OD} \)
\( \triangle \mathrm{OAB}\)-তে, \(\angle B A O>\angle B O A \)
বা, \( \angle \mathrm{BOA}<\angle B A O \)...(i)
এবং \( \triangle \mathrm{OCD}\)-তে, \(\angle C O D>\angle O C D \)...(ii)
কিন্তু \( \angle \mathrm{BOA}= \) বিপ্রতীপ \( \angle \mathrm{COD} \)
\( \therefore \angle \mathrm{BAO}>\angle \mathrm{COD}[(\mathrm{i}) \) থেকে]
বা, \( \angle \mathrm{BAO}>\angle \mathrm{COD}>\angle \mathrm{OCD}[( \) ii) থেকে]
\( \therefore \angle B A O>\angle O C D \) (প্রমানিত)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{PQR} \)-এর \(PQ > PR\)
\(PQ\) বাহু থেকে \( PR\) বাহুর দৈর্ঘ্যর সমান করে \( PS\) কেটে নেওয়া হল। \(R, S\) বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল।
প্রামান্য বিষয় : (i) \( \angle \mathrm{PSR}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{PQR}+\angle \mathrm{PRQ}) \)
(ii) \(\angle Q R S=\frac{1}{2}(\angle P R Q-\angle P Q R)\)
প্রমান : \( \Delta \mathrm{PSR} \)-এর \(PS = PR\) (প্রদত্ত)
\( \therefore \angle \mathrm{PRS}=\angle \mathrm{PSR} \)
(i) \( \therefore \) \( \triangle Q S R \)-এর বহিস্থ \( \angle \mathrm{PSR} \)
= অন্তঃস্থ বিপরীত \( (\angle \mathrm{SQR}+\angle \mathrm{SRQ}) \)
বা, \( \angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{SQR}+\angle \mathrm{SRQ}\)
বা, \(\angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{SQR}+(\angle \mathrm{PRQ}-\angle \mathrm{PRS})\)
বা, \(\angle \mathrm{PSR}+\angle \mathrm{PRS}=\angle \mathrm{SQR}+\angle \mathrm{PRQ}\)
বা, \(2 \angle \mathrm{PSR}=(\angle \mathrm{PQR}+\angle \mathrm{PRQ}) \)
\( [\because \angle \mathrm{PRS}=\angle \mathrm{PSR} \) এবং \( \angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{SQR}] \)
\( \therefore \angle P S R=\frac{1}{2}(\angle P Q R+\angle P R Q) \) (প্রমানিত)
আবার, (ii) \( \triangle \mathrm{SRQ} \)-এর বহিস্থ কোণ \( \angle P S R \)
= অন্তঃস্থ বিপরীত \( (\angle \mathrm{SQR}+\angle \mathrm{QRS}) \)
বা, \( \angle \mathrm{QRS}=\angle \mathrm{PSR}-\angle \mathrm{SQR}\)
বা, \(\angle \mathrm{QRS}=\angle \mathrm{PRS}-\angle \mathrm{SQR}[\because \angle \mathrm{PSR}=\angle \mathrm{PRS}]\)
বা, \(\angle \mathrm{QRS}=(\angle \mathrm{PRQ}-\angle \mathrm{QRS})-\angle \mathrm{PQR} \)
\(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad [\because \angle \mathrm{SQR} \) ও \( \angle \mathrm{PQR} \) একই কোণ]
বা, \( 2 \angle \mathrm{QRS}=\angle \mathrm{PRQ}-\angle \mathrm{PQR}\)
বা, \(\angle \mathrm{QRS}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{PRQ}-\angle \mathrm{PQR}) \) (প্রমানিত)

প্রদত্ত : \( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AB > AC\)
এবং \( \angle B A C \)-এর \(A\) সমদ্বিখণ্ডক \(AD, BC\)-কে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \( \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC} \)
\( \triangle \mathrm{ABC} \)-এর \(AB\) থেকে \(AC\)-এর সমান করে \(AE\) অংশ কেটে নেওয়া হল। \(E, D\) যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \( \triangle \mathrm{ACD} \cong \angle \mathrm{AED} \)
(ii) \( \angle A C B>\angle A B C \)
প্রমাণ : \( \triangle \mathrm{ACD} \) এবং \( \triangle \mathrm{AED} \)-এর মধ্যে,
\(AE = AC\) [প্রদত্ত]
\(AD\) সাধারণ বাহু
\( \angle E A D=\angle D A C \)[প্রদত্ত]
\( \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{AED} \) [বাহু কোণ বাহু সর্বসমতা] (প্রমাণিত)...(i)
আবার \( \triangle \mathrm{ABC}\)-এর \( A B>A C \)
\( \therefore\angle \mathrm{ACB}>\angle \mathrm{ABC} \) (প্রমানিত)...................(ii)
[ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতম বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর]