দেওয়া আছে, \(\angle BAT\) = \(21^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle OBA \) = 21° [\(\because\) OA = OB একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের B বিন্দুতে BT স্পর্শক এবং OB, B বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
\(\therefore\) OB \(\perp\) BT, \(\therefore\) \(\angle OBT \) = 90°
এখন, \(\angle ABT \) = \(\angle ABO \) + \(\angle OBT \)
= 21° + 90° |\(\because\) \(\angle ABO \) = \(\angle OBA \) = 21°
এবং \(\angle OBT\) = 90°]
= \(111^{\circ}\)
তাহলে, \(\angle BTA \) = 180° - (\(\angle BAT\) + \(\angle ABT \) ) [\(\because\) ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]
= 180° – (21° + 111°) = 180° - \(132^{\circ}\) = \(48^{\circ}\)
\(\therefore\) \(\angle BTA\) = 48°.

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে XY একটি ব্যাস। বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের একটি স্পর্শক। X বিন্দু থেকে PAQ-এর উপর অঙ্কিত লম্ব XZ, PAQ স্পর্শককে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, XA, \(\angle YXZ\)-এর সমদ্বিখণ্ডক, অর্থাৎ, \(\angle YXA \) = \(\angle ZXA\)
অঙ্কন O, A যুক্ত করি।
প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে PAQ একটি স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, \(\therefore\) OA \(\perp\) PAQ (উপপাদ্য – 40 অনুসারে]
\(\therefore\) \(\angle OAP \) = 90°
বা, \(\angle OAZ \) = 90° \(\ldots\ldots\)(1)
আবার, দেওয়া আছে, XZ \(\perp\) PAQ, \(\therefore\) \(\angle XZA \) = 90° \(\ldots\ldots\) (2)
(1) ও (2) থেকে আমরা পাই, XZ \(\|\) OA. XA এদের ছেদক।
\(\therefore\) \(\angle OAX \) = \(\angle ZXA \) \(\ldots\ldots\)(3) [\(\because\) একান্তর কোণ ]
বা, \(\angle ZXA \) = \(\angle AXO \) [\(\because\) OX = OA = একাই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
বা, \(\angle ZXA \) =\(\angle YXA\)
\(\therefore\) XA, \(\angle YXZ\)-এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

যেহেতু, \(\angle\) PTR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

\(\therefore\) \(\angle PTR \) = \(\angle TSP \) + \(\angle TPS \)
বা, \(90^{\circ}=\angle \mathrm{TSP}+\angle \mathrm{TPS}\)
আবার, \(90^{\circ}=\angle \mathrm{TPS}+\angle \mathrm{RPT}\)
\(\therefore\) \(\angle \mathrm{TSP}=\angle \mathrm{RPT}\)
আবার, \(\triangle PTS \) ও \(\triangle PTR \) -এ
(i) \(\angle TSP \) = \(\angle RPT \)
(ii) PR = PS
আবার, PT সাধারণ
\(\therefore\) \(\triangle PTS \) = \(\triangle PTR\)
সুতরাং, ST = PT (প্রমাণিত)

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ও OB ব্যাসার্ধ দুটি পরস্পর লম্ব। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক যথাক্রমে ST ও RT পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। A, B এবং O, T যুক্ত করি। ধরি, AB ও OT পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = OT এবং AB ও OT পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণ : OATB চতুর্ভুজের OA \(\perp\) OB (প্রদত্ত), \(\therefore\) \(\angle AOB \) = 90°, OA \(\perp\) TS,
\(\therefore\) \(\angle OAT\) = 90° এবং OB \(\perp\) TR, \(\therefore\) \(\angle OBT \) = 90° অর্থাৎ, OATB চতুর্ভুজের তিনটি কোণই সমকোণ, ফলত চতুর্থ কোণটিও সমকোণ।
\(\therefore\) OATB চতুর্ভুজের চারটি কোণই সমকোণ।
আবার, OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ],
\(\therefore\) OA = OB = BT = TA
\(\therefore\) OATB চতুর্ভুজের চারটি বাহু পরস্পর সমান এবং চারটি কোণ সমকোণ।
\(\therefore\) OATB একটি বর্গক্ষেত্র, AB ও OT যার দুটি কর্ণ।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore\) AB = OT এবং AB ও OT পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

মনে করি, বৃত্ত দুটির কেন্দ্র O. বৃহত্তর বৃত্তের AB ও AC জ্যাদ্বয় ক্ষুদ্রতর
বৃত্তটিকে যথাক্রমে PওQ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবেঃ \(P Q=\frac{1}{2} B C\)
অঙ্কন : \(B C, P Q, O P\) এবং OQ যুক্ত করা হলাে।
প্রমাণ: \(\because\) OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
\(\therefore O P \perp A B\) অনুরূপে \(O Q \perp A C\)
\(\because O P \perp A B \therefore P\) বিন্দু AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু।
অনুরূপে Q বিন্দু AC জ্যা-এর মধ্যবিন্দু।
এখন \(\triangle A B C\)-এর AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q ।
\(\therefore P Q=\frac{1}{2} B C\). (প্রমাণিত)

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে XT একটি স্পর্শক। X বিন্দু থেকে যদি অঙ্কিত XZ ছেদক বৃত্তটিকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P।
প্রমাণ করতে হবে যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তে YZ একটি জ্যা এবং P, YZ-এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore\) OP \(\perp\) YZ
\(\therefore\) \(\angle OPX \) = 90° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে A বিন্দুতে XT একটি স্পর্শক।
\(\therefore\) OA \(\perp\) XT, \(\therefore\) \(\angle OAX \) = 90° \(\ldots\ldots\) (2)
এখন, (1) ও (2) থেকে পাই, \(\angle OPX \) +\(\angle OAX\) = 90° + 90° = 180°
\(\therefore\) XAOP চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
\(\therefore\) XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

O কেন্দ্রীয় কোনাে বৃত্তের একটি ব্যাস EF-এর উপর P যে-কোনাে একটি বিন্দু। OQ \(\perp\) EF এবং OQ বৃত্তটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। বর্ধিত QP বৃত্তটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ST বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, SP = SR.
অঙ্কন : O, R যুক্ত করি।
প্রমাণ : OR, SRT স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, \(\therefore\) OR \(\perp\) ST
\(\therefore\) \(\angle ORS \) = 90°
বা, \(\angle ORQ \) + \(\angle QRS \) = 90° \(\ldots\ldots\) (1)
আবার, OQ \(\perp\) ES, \(\therefore\) \(\angle QOS \) = 90°,
\(\therefore\) \(\angle OQP\) + \(\angle OPQ \) = 90° \(\ldots\ldots\)(2)
\(\therefore\) (1) ও (2) থেকে পাই, \(\angle ORQ \) + \(\angle QRS \) = \(\angle OQP \) + \(\angle OPQ\) \(\ldots\ldots\)(3)
এখন, OQ = OR [\(\because\) একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ],
\(\therefore\) \(\angle ORQ \) = \(\angle OQR \)
\(\therefore\) (3) থেকে পাই, \(\angle OQR \) + \(\angle QRS \) = \(\angle OQP \) + \(\angle OPQ \) [\(\because\) \(\angle ORQ\) = \(\angle OQR\)]
বা, \(\angle OQR\) + \(\angle QRS \) = \(\angle OQR \) + \(\angle SPR \) [ \(\because\) \(\angle OPQ \) = বিপ্রতীপ \(\angle SPR\)]
বা, \(\angle QRS \) = \(\angle SPR \) বা, \(\angle PRS \) = \(\angle SPR \)
\(\therefore\) SP = SR [\(\because\) \(\Delta\) SPR-এ সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুদ্বয়ও সমান।]
\(\therefore\) SP = SR (প্রমাণিত)

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে যথাক্রমে PS ও PT দুটি স্পর্শক পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle QPR \) = 2\(\angle RQM\)
অঙ্কন : O, R যুক্ত করি।
প্রমাণ : OQ \(\perp\) PS,
\(\therefore\) \(\angle OQP \) = 90°
আবার, OR \(\perp\) PT, \(\therefore\) \(\angle ORP \) = 90°
\(\therefore\) OQPR চতুর্ভূজের \(\angle QOR \) + \(\angle ORP \) + \(\angle RPQ \) + \(\angle PQO \) = 360°
বা, \(\angle QOR \) + 90° + \(\angle RPQ \) + 90° = 360°
বা, \(\angle QOR \) + \(\angle RPQ \) = 180°
বা, \(\angle QPR \) = 180° - \(\angle QOR \)
বা, \(\angle QPR \) = \(\angle ROM \) \(\ldots\ldots\)(1) [\(\because\) \(\angle QOR \) + \(\angle ROM \) = 180°]
এখন, RM জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ \(\angle RQM \) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle ROM \)
\(\therefore\) \(\angle ROM \) = 2 \(\angle RQM \) [ \(\therefore\) কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, \(\angle QPR \) = 2 \(\angle RQM \) [ (1) থেকে) ]
\(\therefore\) \(\angle QPR \) = 2 \(\angle RQM \) (প্রমাণিত)

O' কেন্দ্রীয় বৃত্তে AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি PAS ও PBT পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।আবার, C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে QCN ও QDM পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, \(\angle P\) + \(\angle Q\) = 2 \(\angle BOC \)
অঙ্কন : O', A O', D; A, B এবং C, D যুক্ত করি।
প্রমাণ : উদাহরণ–8 থেকে পাই, \(\angle P\) = 2 \(\angle BAO' \) এবং \(\angle Q\) = 2 \(\angle DCO' \)
\(\therefore\) \(\angle P\) + \(\angle Q\) = 2 \(\angle BAO\)' + 2 \(\angle DCO'\)
= 2 (\(\angle BAO'\) + \(\angle DCO'\))
= 2 (\(\angle BAC\) + \(\angle CAO'\)'+ \(\angle DCO\)') [ \(\because\) \(\angle BAO'\) = \(\angle BAC \) +\(\angle CAO\)
= 2 (\(\angle BDC\) + \(\angle ACO\)+ \(\angle DCO\))
= 2 (\(\angle BDC\) + \(\angle ACD\)) [ \(\because\) \(\angle ACO'\) + \(\angle DCO' \) =\(\angle ACD\)]
= 2 (\(\angle ODC\) + \(\angle OCD\)) [\(\because\) \(\angle BDC\) = \(\angle ODC\), \(\angle ACD \) = \(\angle OCD\)]
= 2 \(\angle BOC \) [\(\because\) \(\Delta\)COD-এর বহিস্থ \(\angle BOC \) = অন্তস্থ বিপরীত (\(\angle ODC\) + \(\angle OCD\) ) ]
\(\therefore\) \(\angle P\) + \(\angle Q\) = 2 \(\angle BOC \) (প্রমাণিত)