দেখছি A-এর মান বাড়লে বা কমলে B-এর মান বাড়ছে বা কমছে।
আবার \(\frac{A}{B}=\frac{25}{10}=\frac{30}{12}=\frac{45}{18}=\frac{250}{100}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore A=\frac{5}{2} B\)
\(\therefore A \propto B\) এবং এখানে ভেদ ধ্রুবকের মান \(\frac{5}{2}\)

দেখছি, \(x y=18 \times 3=8 \times \frac{27}{4}=12 \times \frac{9}{2}=6 \times 9\) \(x\)y = ধ্রুবক
এবং \(\therefore x \propto \frac{1}{y}\) ভেদ ধ্রুবকের মান 54 ।

ধরি, দূরত্ব \(= S\) এবং সময় \(=t\)
আমরা জানি, অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং প্রয়ােজনীয় সময় সরল ভেদে থাকে।
\(\therefore \quad S \infty t \Rightarrow S=k t \ldots \ldots\) (1) \([ k=\) অশুন্য ভেদ ধ্রুবক]
প্রশ্নানুসারে, \(S = 14\) কিমি এবং \(t = 25\) মিনিট
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(14=k .25 \Rightarrow k=\frac{14}{25}\)
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(\mathrm{S}=\frac{14}{25} t\)....(2)
এখন, \(5\) ঘণ্টা \(= 5\times60\) মিনিট \(= 300\) মিনিট।
\(\therefore\) (2) নং -এ \(t = 300\) বসিয়ে পাই, \(\mathrm{S}=\frac{14}{25} \times 300\)
বা, \(S = 168\)
\(\therefore\) নির্ণেয় দূরত্ব \(= 168\) কিমি।

ধরি, শিশুর সংখ্যা = A, সন্দেশের সংখ্যা = B
যেহেতু শিশুর সংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাস পেলে সন্দেশের সংখ্যা একই অনুপাতে হ্রাস বা বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং A ও B ব্যস্তভেদে আছে।
সুতরাং \(A \propto \frac{1}{B}\)
\(\therefore A=\frac{K}{B}\) [এখানে K অশূন্য ভেদ ধুবক]
A = 24 হলে, B = 5
সুতরাং \(24=\frac{K}{5}\)
\(\therefore K=120\)
\(\therefore A=\frac{120}{B}\)……….(i)
(i) নং সমীকরণে A = 24 – 4 = 20 বসিয়ে পাই, \(20=\frac{120}{B}\)
\(\therefore B=\frac{120}{20}=6\)
\(\therefore\) প্রত্যেকে 6 টি করে গোটা সন্দেশ পেত।

ধরি, লােকসংখ্যা \(= M\) এবং দিলংখ্যা \(= D\)
\(\because\) লােকসংখ্যা বাড়লে দিনসংখ্যা কম লাগবে, সুতরাং \(M\) ও \(D\) ব্যস্ত ভেদে থাকে।
\(\therefore \quad \mathrm{M} \infty \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{D}} \Rightarrow \mathrm{M}=\frac{k}{\mathrm{D}} [ k=\) = অশুন্য ভেদ ধ্রুবক] ....(1)
প্রশ্নানুসারে, \(M = 50\) হলে \(D = 18\)
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(50=\frac{k}{18} \Rightarrow k=900\)
\(\therefore \quad M=\frac{900}{D} \ldots \ldots\)(2)
এখন (2) নং -এ \(D = 15\) বসিয়ে পাই, \(\mathrm{M}=\frac{900}{15}=60\)
\(\therefore\) অতিরিক্ত লােকসংখ্যা \(= (60 - 50)\) জন \(= 10 \) জন।
\(\therefore\) পুকুরটি \(15\) দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত \(10\) জন লােককে কাজ করতে হবে।

প্রশ্নানুসারে, \(y \propto \sqrt{x} \Rightarrow y=k \sqrt{x}[k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক].... (1)
যখন \(x=9 . y=9, \)
\(\therefore 9=k \sqrt{9} \Rightarrow k=\sqrt{9}=3\)
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(y=3 \sqrt{x} \ldots\)(2)
এখন \(y = 6\) হলে (2) নং থেকে আমরা পাই, \(6=3 \sqrt{x}\)
বা, \(\sqrt{x}=\frac{6}{3}=2\)
বা, \(x=4\) [বর্গ করে]
\(\therefore x\) -এর নির্ণেয় মান \(= 4\)

\(x, y\)-এর সশে সরল ভেদে এবং \(z\) এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।
\(\therefore \quad x \propto \frac{y}{z} \Rightarrow x=k \cdot \frac{y}{z} \ldots \ldots \ldots\) (1) [\(k =\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
প্রশ্নানুসারে, \(y=4, z=5\) হলে \(x = 3\) হয়।
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(3=k \cdot \frac{4}{5}\)
বা, \(k=\frac{15}{4}\)
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(x=\frac{15}{4} \cdot \frac{y}{z} \ldots \ldots \ldots .\)(2)
এখন (2) নং-এ \(y = 16\) ও \(z = 30\) বসিয়ে পাই,
\(x=\frac{15}{4} \times \frac{16}{30}=2\)
\(\therefore\) \(x\) - এর নির্ণেয় মান \(= 2\)

\(x, y\) -এর সঙ্গে সরল ভেসে এবং \(z\) -এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে।
\(\therefore \quad x \propto \frac{y}{z} \Rightarrow x=k \cdot \frac{y}{z}\) ...... (1) [ \(k =\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
প্রশ্নানুসারে, \(y = 5 ও z = 9\) হলে \(x=\frac{1}{6}\) হয়।
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(\frac{1}{6}=k \cdot \frac{5}{9}\)
বা \(k=\frac{3}{10}\)
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(x=\frac{3}{10} \cdot \frac{y}{z}\) .....(2)
\(x, y, z\)-এর মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্ক, \(x=\frac{3 y}{10 z}\)
এখন, \(y=6 \quad ও z=\frac{1}{5}\) হলে (2) নং থেকে পাই,
\(x=\frac{3}{10} \times \frac{6}{\frac{1}{5}}\)
বা, \(x=\frac{3}{10} \times \frac{6 \times 5}{1}=9\)
\(\therefore\) \(x\) -এর নির্ণেয় মান \(= 9\)

\(x \propto y\)
সুতরাং \(x\)= ky, যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।
\(\therefore \frac{x+y}{x-y}\)
\(=\frac{k y+y}{k y-y}\)
\(=\frac{y(k+1)}{y(k-1)}\)
\(=\frac{k+1}{k-1}\)
\(=n\) [যেখানে n = অশূন্য ধ্রুবক]
\(\therefore x+y=n(x-y)\)
\(\therefore x+y \propto x-y\)

যেহেতু \(A \propto \frac{1}{C}\) এবং \(C \propto \frac{1}{B}\),
সুতরাং \(A=k_{1} \times \frac{1}{C}\) এবং \(C=k_{2} \times \frac{1}{B}\)
\(\therefore C=\frac{k_{1}}{A}\) এবং \(C=\frac{k_{2}}{B}\)
\(\therefore \quad \frac{k_{1}}{A}=\frac{k_{2}}{B}\)
বা, \(A k_{2}=B k_{1}\)
বা, \(A=\frac{k_{1}}{k_{2}} B \)
বা, \(A \propto B\) (\(\because \frac{k_{1}}{k_{2}}\) একটি ধ্রুবক)

\(a \propto b \therefore a=k_{1} b\) [যেখানে k1 অশূন্য ভেদ ধুবক]
\(b \propto \frac{1}{c} \therefore b=k_{2} \cdot \frac{1}{c}\) [যেখানে k2 অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
\(c \propto d \therefore c=k_{3} d\) [যেখানে k3 অশূন্য ভেদ ধুবক]
আবার \(a=k_{1} b=k_{1} k_{2} \cdot \frac{1}{c}=k_{1} k_{2} \cdot \frac{1}{k_{3} d}=\frac{k_{1} k_{2}}{k_{3}} \cdot \frac{1}{d}\)
বা, \(a=m \frac{1}{d}\) [যেখানে\(m=\frac{k_{1} k_{2}}{k_{3}}\) = অশূন্য ভেদ ধুবক]
\( \therefore a \propto \frac{1}{d}\)
\(\therefore\) a ও b এর মধ্যে ব্যস্ত ভেদ সম্পর্ক।

\(x \infty y \Rightarrow x=k_{1} y\left(k_{1}=\right.\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\Rightarrow k_{1}=\frac{x}{y} .\)...(1) \(y \infty z \Rightarrow y=k_{2} z\left(k_{2}=\right.\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\Rightarrow k_{2}=\frac{y}{z} \cdots \cdots \cdots \cdots\)(2)
\(z \infty x \Rightarrow z=k_{3} x\left(k_{3}=\right.\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\Rightarrow k_{3}=\frac{z}{x} \cdots \ldots \ldots .\)(3) এখন, (1), (2) এবং (3) গুণ করে পাই,
\(k_{1} \cdot k_{2} \cdot k_{3}=\frac{x}{y} \times \frac{y}{z} \times \frac{z}{x}=1\)
\(\therefore\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল \(= 1.\)

\(x+y \propto x-y\)
\(\therefore x+y=k(x-y)\) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, \(\frac{x+y}{x-y}=k\);
\(\frac{(x+y)^{2}}{(x-y)^{2}}=k^{2}\)
বা, \(\frac{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}=\frac{k^{2}+1}{k^{2}-1}\) [যোগভাগ প্রক্রিয়া]
বা, \(\frac{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}{4 x y}=\frac{k^{2}+1}{k^{2}-1}\)
বা, \(x^{2}+y^{2}=\frac{2\left(k^{2}+1\right)}{k^{2}-1} x y\)
\(\therefore x^{2}+y^{2} \propto x y\) [যেখানে\(\frac{2\left(k^{2}+1\right)}{k^{2}-1}\) = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(x+y \propto x-y\)
\(\therefore x+y=k(x-y)\) যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(\frac{x+y}{x-y}=k\)
বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(\frac{2 x}{2 y}=\frac{k+1}{k-1}\)
\(\therefore x=\frac{k+1}{k-1} y\)
বা, \(\frac{x}{y}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(\frac{x}{y}=m\) [ধরি,\(\frac{k+1}{k-1}=m\)]
বা, \(\frac{x^3}{y^3}=m^3\)
বা, \(\frac{x^3 + y^3 }{x^3 - y^3}=\frac{m^3 +1}{m^3 -1}\)= ধ্রুবক
\(\therefore x^{3}+y^{3} \propto x^{3}-y^{3}\)

\(x+y \propto x-y\)
সুতরাং x+y=k(x-y) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
\(\therefore \frac{x+y}{x-y}=k\)
বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y} =\frac{k+1}{k-1}\) [যোগভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{2 x}{2 y}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(x=\frac{k+1}{k-1} y\)
বা, \(x=m y\) [\(\frac{k+1}{k-1}=m\)]=অশূন্য ভেদ ধ্রুবক এখন \(\frac{a x+b y}{p x+q y} =\frac{a \cdot m y+b y}{p \cdot m y+q y} =\frac{y\left(a \cdot m+b\right)}{y\left(p \cdot m+q\right)}\)
বা, \(\frac{a x+b y}{p x+q y}=\frac{a m+b}{p m+q}\) = অশূন্য ধ্রুবক [ ∵ a, b, p, q এবং m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
\(\therefore a x+b y \propto p x+q y\)

প্রদত্ত আছে \(a^{2}+b^{2} \propto a b\)
\(\therefore a^{2}+b^{2}=k a b\) যেখানে k ভেদ ধ্রুবক \((\neq 0)\)।
বা, \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}=\frac{k}{2}\)
বা, \(\frac{a^{2}+b^{2}+2 a b}{a^{2}+b^{2}-2 a b}=\frac{k+2}{k-2}\)
বা, \(\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}=\frac{k+2}{k-2}\)
বা, \(\frac{a+b}{a-b}=\pm \sqrt{\frac{k+2}{k-2}}=\)একটি ধ্রুবক
\(\therefore(a+b) \propto(a-b)\) (প্রমাণিত) ।

\(x^{3}+y^{3} \infty x^{3}-y^{3}\)
\(\Rightarrow x^{3}+y^{3}=k\left(x^{3}-y^{3}\right) [ k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
\(\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}-y^{3}}=k \Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}+x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}-x^{3}+y^{3}}=\frac{k+1}{k-1}\)[যােগ-ভাগ প্রক্রিয়ায়]
\(\Rightarrow \frac{2 x^{3}}{2 y^{3}}=\frac{k+1}{k-1} \Rightarrow \frac{x^{3}}{y^{3}}=\frac{k+1}{k-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\) (ধরি) \(\neq 0\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}\) [যােগ-ভাগ প্রক্রিয়ায়]
\(\Rightarrow \frac{x+y}{x-y}=n\) [যেখানে \(n=\frac{m+1}{m-1} \neq 0]\)
\(\Rightarrow x+y=n(x-y),[n=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
\(\therefore \quad x+y \infty x-y\) (প্রমাণিত)

মনে করি, কৃষকসংখ্যা \(n\), দিনসংখ্যা \(d\), জমির পরিমাণ (বিঘায়) \(B\). কৃষকসংখ্যা \((n)\) অপরিবর্তিত থাকলে, দিনসংখ্যা \((d)\) এবং জমির পরিমাণ সরল ভেদে থাকে। আবার, জমির পরিমাণ \((B)\) অপরিবর্তিত থাকলে দিনসংখ্যা \((d)\) কৃষকসংখ্যার \((n)\) সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে থাকে।
\(\therefore d \propto B\), যখন \(n\) ধ্রুবক
এবং \(d \propto\), যখন \(B\) ধ্রুবক।
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
\(d \propto \frac{B}{n}\)
\(\therefore d=k \cdot \frac{B}{n}\), যেখানে \(k\) হল ভেদ ধ্রুবক।
এখন,\(n=15, d=5\) এবং \(B=18\),
সুতরাং \(5=k \times \frac{18}{15}\)
বা, \(k=\frac{5 \times 15}{18}\)
\(\therefore\) \(k=\frac{25}{6}\)
\(\therefore\) \(d=\frac{25}{6} \times \frac{B}{n}\)
যখন \(n=10, B=12\) তখন
\(d=\frac{25}{6} \times \frac{12}{10}\)
\(\therefore d=5\)
\(\therefore\) 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করবে।
উত্তর : নির্ণেয় দিন সংখ্যা 5

ধরি, গােলকের আয়তন \(= V\) এবং ব্যাসার্ধ \(= R\)
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{V} \infty \mathrm{R}^{3}\) বা, \(\mathrm{V}=k \cdot \mathrm{R}^{3}\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এখন (1) নং \(\mathrm{R}=\frac{1 \frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}, \frac{2}{2}=1\) এবং \(\frac{2 \frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{4}\) বসিয়ে পাই,
\(\mathrm{V}_{1}=k \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\) বা, \(64 \mathrm{~V}_{1}=27 \mathrm{k}\) ....(2)
\(V_{2}=k \cdot(1)^{3} \quad\) বা, \(V_{2}=k\) ....(3)
\(V_{3}=k \cdot\left(\frac{5}{4}\right)^{3}\) বা, \(64 \mathrm{~V}_{3}=125 \mathrm{k}\)....(4)
যখন প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় গােলকের আয়তন যথাক্রমে \(\mathrm{V}_{1}, \mathrm{~V}_{2}\) এবং \(\mathrm{V}_{3}\)
\(\therefore \quad V=V_{1}+V_{2}+V_{3}\)
\(=\frac{27 k}{64}+k+\frac{125 k}{64}\)
\(=\frac{27 k+64 k+125 k}{64}\)
\(=\frac{216 k}{64}\)
\(=\frac{54 k}{16}\)
\(=\frac{27 k}{8}\)
এখন (1) নং -এ \(\mathrm{V}=\frac{27 k}{8}\) বসিয়ে পাই, \(\frac{27 k}{8}=k \cdot \mathrm{R}^{3}\)
বা, \(\mathrm{R}^{3}=\frac{27}{8}[\because k \neq 0]\)
বা, \(\mathrm{R}^{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{3}\)
বা, \(\mathrm{R}=\frac{3}{2}\)
\(\therefore\) নতুন গােলকের ব্যাসার্ধ \(=\frac{3}{2}\) মিটার
\(\therefore\) নতুন গােলকের ব্যাস \(=2 \times \frac{3}{2}\) মিটার \(= 3\) মিটার।
\(\therefore\) নতুন গােলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(= 3\) মিটার।

প্রশ্নানুসারে, \(y=k_{1} x+\frac{k_{2}}{x}\)......(1)
যেখানে, \(k_{1} ও k_{2}\) ভেদ ধ্রুবক।
(1) নং এ \(x = 1, y = -1\) বসিয়ে পাই,
\(-1=k_{1}+k_{2}\)......(2)
আবার (1) নং \(x = 3, y = 5\) বসিয়ে পাই,
\(5=3 k_{1}+\frac{k_{2}}{3}\)......(3)
(2) নং ও (3) নং সমাধান করে পাই,
\(k_{1}=2\) এবং \(k_{2}=-3\)
\(\therefore\) \(x\) ও y এর মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্কটি হল \(y=2 x-\frac{3}{x}\)

যেহেতু \(a \propto b\) এবং \(b \propto c\) সুতরাং \(a=k b\) এবং \(b = pc,\)
অর্থাৎ \(a=k p c=m c\) যেখানে \(k, p, m(=k p)\) সকলেই ভেদ ধ্রুবক।
এখন \(\frac{a^{3} b^{3}+b^{3} c^{3}+c^{3} a^{3}}{a b c\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)}\)
\(=\frac{m^{3} c^{3} \cdot p^{3} c^{3}+p^{3} c^{3} \cdot c^{3}+c^{3} \cdot m^{3} c^{3}}{m c \cdot p c \cdot c\left(m^{3} c^{3}+p^{3} c^{3}+c^{3}\right)}\)
\(=\frac{m^{3} p^{3} c^{6}+p^{3} c^{6}+m^{3} c^{6}}{m p c^{6}\left(m^{3}+p^{3}+1\right)}\)
\(=\frac{m^{3} p^{3}+p^{3}+m^{3}}{m p\left(m^{3}+p^{3}+1\right)}=\) একটি ধ্রুবক, যেহেতু m ও p উভয়ই ধ্রুবক
\(\therefore a^{3} b^{3}+b^{3} c^{3}+c^{3} a^{3} \propto a b c\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)\) (প্রমাণিত)

মনে করি, খরচের পরিমাণ (টাকায়) E যখন গভীরতা \(x\) ডেসিমিটার। তাহলে,
\(E=k_{1} x+k_{2} x^{2}\), যেখানে, \(k_{1}, k_{2}\) উভয়ই ধ্রুবক।
প্রশ্নানুসারে, \(x=100\) হলে, \(E=5000\) এবং \(x=200\) হলে, \(E=12000\);
\(\therefore \quad 5000=100 k_{1}+k_{2}(100)^{2}\)
বা, \(5000=100 k_{1}+10000 k_{2}\)
\(50=k_{1}+100 k_{2}\ldots\) (i)
এবং \(12000=200 k_{1}+k_{2}(200)^{2}\)
বা, \(12000=200 k_{1}+40000 k_{2}\)
বা, \(120=2 k_{1}+400 k_{2}\)
বা, \(60=k_{1}+200 k_{2}\ldots\) (ii)
(i) থেকে (i) বিয়ােগ করে পাই, \(10=100 k_{2}\)
বা, \(k_{2}=\frac{10}{100}\)
\(\therefore k_{2}=\frac{1}{10}\)
(i) নং সমীকরণে \(k_{2}=\frac{1}{10}\) বসিয়ে পাই,
\(50=k_{1}+100 \times \frac{1}{10}\)
বা, \(50=k_{1}+10\)
বা, \(k_{1}=50-10\)
\(\therefore\) \(k_{1}=40\)
\(\therefore E=40 x+\frac{x^{2}}{10}\)
যখন \(x=250\) তখন
\(E=40 \times 250+\frac{(250)^{2}}{10}\)
\(=10000+\frac{62500}{10}\)
\(=10000+6250\)
\(=16250\)
উত্তর : 250 ডেসিমিটার কুপ খনন করতে খরচ পড়বে 16250 টাকা।

ধরি, চোঙের আয়তন = V, ভূমির ব্যাসার্ধ = R এবং উচ্চতা = H
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{V} \infty \mathrm{R}^{2} \mathrm{H} \Rightarrow \mathrm{V}=k \cdot \mathrm{R}^{2} \mathrm{H}\) [যেখানে = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এখন, ধরি চোঙ দুটির আয়তন \(\mathrm{V}_{1} ও \mathrm{V}_{2}\) এবং তাদের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(2 r ও 3 r\) এবং উচ্চতা যথাক্রমে \(5 h ও 4 h\) [\(\because\) ব্যাসার্ধের অনুপাত \(2 : 3\) এবং উচ্চতার অনুপাত \(5 : 4\)]
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(\mathrm{V}_{1}=k \cdot(2 r)^{2} 5 h=20 k r^{2} h[\because \mathrm{R}=2 r\) এবং \(\mathrm{H}=5 h]\)
এবং \(\mathrm{V}_{2}=k_{\imath}(3 r)^{2} \cdot 4 h=36 \mathrm{k} r^{2} h[\because \mathrm{R}=3 r\) এবং \(\mathrm{H}=5 h]\)
\(\therefore \quad \frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{~V}_{2}}=\frac{20 \mathrm{kr}^{2} h}{36 \mathrm{kr}^{2} h}=\frac{5}{9} \)
\( \therefore \mathrm{V}_{1}: \mathrm{V}_{2}=5: 9\)
\(\therefore\) চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত \(= 5 : 9\)

ধরি, জমির পরিমাণ = G বিঘা, লাঙলের সংখ্যা = P এবং চাযের সময় = D দিন।
আমরা জানি, লাঙলের সংখ্যা ধ্রুবক থাকলে, জমির পরিমাণের সঙ্গে চাযের সময় সরল ভেদে থাকে; \(\therefore \mathrm{G} \infty \mathrm{D}\) [যখন P = ধ্রুবক]
আবার, চাষের সময় ধ্রুবক থাকলে, জমির পরিমাণের সঙ্গে লাঙলের সংখ্যা সরল ভেদে থাকে; \(\therefore \mathrm{G} \infty \mathrm{D}\) [যখন D = ধ্রুবক] তাহলে, যৌগিক ভেদের সূত্রানুসারে, \(G \infty PD\) (যখন P ও D উভয়ই চল)
\(\Rightarrow \mathrm{G}=k \cdot \mathrm{PD}\) [যেখানে k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] ....(1)
প্রশ্নানুসারে, \(G = 2400, P = 25\) হলে \(D = 36\)
\(\therefore\) (1) নং থেকে পাই, \(2400=k .25 \times 36\)
বা, \(k=\frac{2400}{25 \times 36}=\frac{96}{36}=\frac{8}{3}\)
(1) নং থেকে পাই, \(\mathrm{G}=\frac{8}{3} \mathrm{PD}\)....(2)
এখন, (2) নং -এ \(\mathrm{G}=\frac{2400}{2}=1200\) এবং \(D = 30\) বসিয়ে পাই, \(1200=\frac{8}{3} \times \mathrm{P} \times 30\)
বা, \(P=\frac{1200 \times 3}{8 \times 30}=15\)
\(\therefore\) লাঙ্গলের সংখ্যা \(= 15\)
\(\therefore\) \(1\) টি ট্রাক্টর \(15\) টি লাঙলের সমান চাষ করে।

ধরি, গােলকের আয়তন = v, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = A এবং বাসার্ধ = R
প্রশ্নানুসারে, \(\mathrm{V} \infty \mathrm{R}^{3} \Rightarrow \mathrm{V}=k_{1} \cdot \mathrm{R}^{3}\) [যেখানে \(k_{1}\) = অশুন্য ভেদ ধ্রুবক] ....(1)
এবং \(\mathrm{A} \infty \mathrm{R}^{2} \Rightarrow \mathrm{A}=k_{2} \cdot \mathrm{R}^{2},\left[k_{2}=\right.\) অশুন্য ভেদ ধ্রুবক] ....(2)
এখন, (1) থেকে পাই, \(\mathrm{R}^{3}=\frac{\mathrm{V}}{k_{1}}\)
বা, \(\mathrm{R}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{k_{1}}}\)
তাহলে, (2) থেকে পাই, \(\mathrm{A}=k_{2} \cdot\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{k_{1}}}\right)^{2}\)
বা, \(\mathrm{A}^{3}=\left\{k_{2} \cdot\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{k_{1}}}\right)^{2}\right\}^{3}\) [ঘন করে]
বা, \(\mathrm{A}^{3}=k_{2}{ }^{3} \cdot \frac{\mathrm{V}^{2}}{k_{1}{ }^{2}}\)
বা, \(\mathrm{V}^{2}=\frac{\mathrm{k}_{1}^{2}}{k_{2}{ }^{3}} \cdot \mathrm{A}^{3}\)
বা, \(\mathrm{V}^{2}=k \cdot \mathrm{A}^{3}\) [যেখানে, \(\left.k=\frac{k_{1}^{2}}{k_{2}^{3}} \neq 0, \because k_{1}, k_{2} \neq 0\right]\)
\(\therefore \quad V^{2} \infty A^{3}[\because k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
\(\therefore\) গােলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।(প্রমাণিত)

\(x{\rm{ }} \propto {\rm{ }}\frac{1}{y}\)
বা, \(x=\frac{k}{y}\)[k= অশূন্য ধ্রুবক]
বা, \(xy=k\)
(d) \(x\)y = অশূন্য ধ্রুবক।

\(x\propto y\)
বা, \(x=ky\) [k= অশূন্য ধ্রুবক]
বা, \(x ^2 =k ^2y^2\)
\(\therefore {x^2} \propto {y^2}\)
(d) \({x^2} \propto {y^2}\)

\(x \infty y \Rightarrow x=k y(k=\) ভেদ ধ্রুবক) . . . . . .(1)
দেওয়া আছে, \(y = 8\) যখন \(x= 2\)
\(\therefore \quad 2=k .8 \Rightarrow k=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(x=\frac{1}{4} y, \ldots \ldots .\)(2)
(2)-এ \(y = 16\) বসিয়ে পাই, \(x=\frac{1}{4} \times 16=4 .\) \(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

\(x \infty y^{2} ; \therefore x=k . y^{2}(k=\) ভেদ ধ্রুবক \(i \neq 0) \ldots\) (1)
প্রশ্নানুসারে, \(y = 4\) যখন \(x = 8\) \(\therefore\) (1) থেকে পাই,
\(8=k \cdot 4^{2}\)
বা, \(8=16 \mathrm{k}\)
বা, \(k=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \quad x=\frac{1}{2} y^{2}[\) থেকে]..... (2)
(2) নং-এ \(x = 32\) বসিয়ে পাই, \(32=\frac{1}{2} y^{2}\)
বা, \(y^{2}=64\)
বা, \(y=8\) (ধনাত্মক মান নিয়ে),
\(\therefore\) \(y\)-এর নির্ণেয় মান \(8\)
\(\therefore\) (b) উত্তরটি সঠিক।

\((y-z) \propto \frac{1}{x} \quad \therefore(y-z)=\frac{k}{x}\), যেখানে \( k\) হল ভেদ ধ্রুবক।
\(\therefore x(y-z)=k\ldots\) (i)
\((z-x) \propto \frac{1}{y} \quad \therefore z-x=\frac{l}{y}\),
যেখানে \(l\) হল ভেদ ধ্রুবক।
\(\therefore y(z-x)=l \ldots\) (ii)
এবং \((x-y) \propto \frac{1}{z} \quad \therefore x-y=\frac{m}{z}\), যেখানে \(m\) হল ভেদ ধ্রুবক।
\(\therefore z(x-y)=m\ldots\) (iiii)
এখন, (i), (ii) এবং (iii) থেকে পাই,
\(x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=k+l+m\)
\(x y-x z+y z-x y+x z-y z=k+l+m\)
\(0=k+l+m\)
\(\therefore\) \(k+l+m=0\)
উত্তর : ভেদ ধ্রুবক তিনটির যােগফল 0.

\(y \infty \frac{1}{x} \)
\(\Rightarrow y=k \cdot \frac{1}{x}(k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক;
\(\Rightarrow x y=k \Rightarrow x y=\) অশূন্য ধ্রুবক
\(\therefore\) বিবৃতিটি মিথ্যা।

\(x \propto z \)
\(\Rightarrow x=k_{1} z\left(k_{1}=\right.\) অশুন্য ভেদ ধ্রুবক) .... (1)
\(y \propto z \)
\(\Rightarrow y=k_{2} z\left(k_{2}=\right.\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক) .... (2)
\(\therefore \quad x y=k_{1}z\cdot k_{2} z=k_{1} k_{2} . z^{2}=k \cdot z^{2}\left[k=k_{1} k_{2}\right]\)
\(\therefore \quad x y=k.z^{2}, \quad \therefore x y \propto z^{2}\)
\(\therefore\) বিবৃতিটি মিথ্যা।

যেহেতু \(x \propto \frac{1}{y}\) এবং \(y \propto \frac{1}{z}\),
অতএব \(x=\frac{k_{1}}{y}\) এবং \(y=\frac{k_{2}}{z}\),
যেখানে \(k_{1} ও k_{2}(\neq 0)\) উভয়েই ধ্রুবক।
\(\therefore x=\frac{k_{1}}{\frac{k_{2}}{z}}=\frac{k_{1} z}{k_{2}}\)
বা, \(x \propto z\), যেহেতু \(\frac{k_{1}}{k_{2}}=\) একটি ধ্রুবক।

\(x \infty y \Rightarrow x=k y(k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\Rightarrow(x)^{n}=(k y)^{n}\) (উভয়পক্ষের \(n\)-ঘাত নিয়ে)
\(\Rightarrow x^{n}=k^{n} \cdot y^{n} \Rightarrow x^{n}=m y^{\prime \prime}\) (যখন, \(m=k^{n}=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\therefore x^{n} \infty y^{n}(\because m=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\therefore\) শূন্যস্থানে \(y^{n}\) বসবে।

\(x=k_1 y\)
\(x=k_2 y\)
\(y+z= \frac{2}{k_1+k_2}x\)
\({\rm{( y + z ) }} \propto x \)
\(\therefore x\)

\(x \infty y^{2} \Rightarrow x=k . y^{2} \ldots \ldots \ldots \text { (1) }[k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
যখন \(x=a, y=2 a\) \(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(a=k \cdot(2 a)^{2}\)
\(\Rightarrow a=k \cdot 4 a^{2}\)
\(\Rightarrow k=\frac{a}{4 a^{2}}=\frac{1}{4 a}\)
\(\therefore\) (1) থেকে পাই, \(x=\frac{1}{4 a} \cdot y^{2}\)
বা, \(y^{2}=4 a x\)
\(\therefore x ও y\)-এর মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্ক \(y^{2}=4 a x\)

যেহেতু \(x \propto y \quad \therefore x=k_{1} \cdot y\) যেখানে \(k_{1}\) ভেদ ধ্রুবক।
\(y \propto z \quad \therefore y=k_{2} \cdot z\) যেখানে \(k_{2}\) ভেদ ধ্রুবক ।
\(z \propto x \quad \therefore z=k_{3} \cdot x\) যেখানে \(k_{3}\) ভেদ ধ্রুবক।
এখন, \(x \cdot y \cdot z=k_{1} y \cdot k_{2} z \cdot k_{3} x\)
বা, \(x y z=k_{1} k_{2} k_{3} x y z\)
বা, \(k_{1} k_{2} k_{3}=\frac{x y z}{x y z}\)
\(\therefore\) \(k_{1} k_{2} k_{3}=1\)
উত্তর : ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1

\(x \infty \frac{1}{y} \Rightarrow x=k_{1} \cdot \frac{1}{y}\left(k_{1}=\right.\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)....(1)
আবার, \(y \infty \frac{1}{z} \Rightarrow y=k_{2} \cdot \frac{1}{z}\left(k_{2}=\right.\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)....(2)
এখন, (1) নং-এ \(y=k_{2} \cdot \frac{1}{z}\) বসিয়ে পাই,
\(x=\frac{k_{1}}{k_{2} \cdot \frac{1}{z}}=\frac{k_{1}}{k_{2}} \cdot z=k \cdot z\) [যখন \(k=\frac{k_{1}}{k_{2}} \neq 0\)]
\(\therefore\) \(x=k \cdot z\)(যখন \(k =\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\therefore x \propto z\)
\(\therefore \quad x, z\)-এর সঙ্গে সরল ভেদে আছে।

\(x \infty yz \Rightarrow x=k_{1}, yz [k_{1}=\) অশুন্য ভেদ ধ্রুবক)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{k_{1} z} \cdots\)(1)
আবার, \(y \infty z \Rightarrow y=k_{2} \cdot a r \mid k_{2}=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
\(\Rightarrow \frac{x}{k_{1} z =}\)\(k_{2}. z x\) [(1) থেকে]
\(\Rightarrow z^{2}=\frac{1}{k_{1} k_{2}} \Rightarrow z=\sqrt{\frac{1}{k_{1} k_{2}}} \cdots \cdots\) (2)
\(\because k_{1}, h_{2}\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক। সুতরাং \(\frac{1}{k_{1} k_{2}}\) ভেদ ধ্রুবক
\(\therefore\) \(z\) একটি অশুন্য ধ্রুবক। (প্রমাণিত)

\(b \propto a^{3} \Rightarrow b=k \cdot a^{3}(k=\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক) ....(1)
এখন a-এর বৃদ্ধি হয় \(2 : 3\) অনুপাতে,
(1) নং -এ a-এর পরিবর্তে \(a \times \frac{3}{2}=\frac{3 a}{2}\) বসিয়ে পাই,
\(b=h \cdot\left(\frac{3 a}{2}\right)^{3} \Rightarrow b=k \cdot \frac{27 a^{3}}{8} \cdots \). (2)
এখন (1) ও (2) থেকে পাই, নির্ণেয় অনুপাত \(=\frac{k a^{3}}{k \cdot \frac{27 a^{3}}{8}}=\frac{8}{27}=8: 27\)
\(\therefore b\)-এর বৃদ্ধি হয় \(8 : 27\) অনুপাতে।