মোট ডেটল জলের পরিমাণ $= 36$ লিটার
মিশ্রণে, জল ও ডেটলের অনুপাত $= 5 : 1$
$\therefore$ জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}$
ডেটলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}$
$\therefore$ মিশ্রণে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{5}{6} \times 36\right)$ লিটার $= 30$ লিটার
$\therefore$ মিশ্রণে ডেটলের পরিমাণ $=\left(\frac{1}{6} \times 36 \right)$ লিটার = 6 লিটার
ধরি, মিশ্রণে আরও $x$ লিটার ডেটল মেশালে জল ও
ডেটলের অনুপাত হবে $3:1$
তখন ডেটলের পরিমাণ হবে $= (6 + x)$ লিটার
প্রশ্নানুসারে, $\frac{30}{6+x}=\frac{3}{1}$
বা, $18+3 x=30$
বা, $3 x=30-18=12$
বা, $x=\frac{12}{3}=4$
$\therefore$ $4$ লিটার ডেটল মেশাতে হবে।

তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত $= 5 : 2$
$\therefore$ তামার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+2}=\frac{5}{7}$
দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{5+2}=\frac{2}{7}$
মোট পিতল-এর পরিমাণ $= 28$ কিগ্রা
$\therefore$ পিতলে তামার পরিমাণ $=\left(\frac{5}{7} \times 28 \right)$ কিগ্ৰা = 20 কিগ্রা
পিতলে দস্তার পরিমাণ $=\left(\frac{2}{7} \times 28 \right)$ কিগ্রা $= 8$ কিগ্রা
এখন $20$ কিগ্রা তামার সঙ্গে আরও $4$ কিগ্রা তামা মেশালে তামার পরিমাণ হয় $= (20 + 4)$ কিগ্রা $= 24$ কিগ্রা তামা
$\therefore$ এখন তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত হবে, $=24: 8=\frac{24}{8} =3: 1$

মোট ফিনাইল গোলা জলের পরিমাণ $= 60$ লিটার
ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত $= 2:23$
$\therefore$ ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{2+23}=\frac{2}{25}$
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{23}{2+23}=\frac{23}{25}$
60 লিটার মিশ্রণে, ফিনাইলের পরিমাণ$=\left(\frac{2}{25} \times 60 \right)$ লিটার $=\frac{24}{5}$ লিটার
$\therefore$ জলের পরিমাণ $=\left(\frac{23}{25} \times 60 \right)$ লিটার $=\frac{276}{5}$ লিটার
আবার, নতুন মিশ্রণে ফিনাইল : জল $= 9:46$
ধরি, আর $x$ লিটার ফিনাইল মেশানো হল।
$\therefore$ নতুন মিশ্রণে ফিনাইলের পরিমাণ $=\left(\frac{24}{5}+x\right)$ লিটার
প্রশ্নানুসারে,
$\left(\frac{24}{5}+x\right): \frac{276}{5}=9: 46$
বা, $\frac{\frac{24}{5}+x}{\frac{276}{5}}=\frac{9}{46}$
বা, $\frac{\frac{24+5 x}{5}}{\frac{276}{5}}=\frac{9}{46}$
বা, $\frac{24+5 x}{276}=\frac{9}{46}$
বা, $24+5 x=\frac{9}{46} \times 276$
বা, $24+5 x=9 \times 6$
বা, $24+5 x=54$
বা, $5 x=54-24$
বা, $x=\frac{30 }{5}=6$
বা, $5 x=30$
$\therefore$ আরও $6$ লিটার ফিনাইল মেশানো হল।

গাঁথুনির মশলাতে বালি : সিমেন্ট $= 7 : 1$
$\therefore$ বালির পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{7}{7+1}=\frac{7}{8}$
এবং সিমেন্টের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{1}{7+1}=\frac{1}{8}$
$\therefore$ $72$ কিগ্রা মশলাতে বালির পরিমাণ $=\left(\frac{7}{8} \times 72 \right)$ $= 63$ কিগ্রা
এবং সিমেন্টের পরিমাণ $=\left(\frac{1}{8} \times 72 \right)$ কিগ্রা $= 9$ কিগ্রা
নতুন মশলায় বালি : সিমেন্ট $= 6 : 1$
ধরি, $x$ কেজি সিমেন্ট মেশানো হয়েছিল।
বর্তমানে সিমেন্টের পরিমাণ $(9 + x)$ কেজি।
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{9+x}{63}=\frac{1}{6}$
বা, $9+x=\frac{63}{6}$
বা, $2(9+x)=21$
বা, $18+2 x=21$
বা, $2 x=21-18$
বা, $2 x=3$
বা, $x=\frac{3}{2}=1.5$
$\therefore$ আমিনাবিবি $1.5$ কিগ্রা সিমেন্ট মিশিয়েছেন।

জার্মান সিলভারে তামা : দস্তা : নিকেল $= 4 : 3 : 2$
$\therefore$ জামার্ন সিলভারে তামার পরিমাণের আনুপাতিক
ভাগহার $=\frac{4}{4+3+2}=\frac{4}{9}$
জার্মান সিলভারে দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{3}{4+3+2}=\frac{3}{9}$
জার্মার্ন সিলভারে নিকেলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{2}{4+3+2}=\frac{2}{9}$
$\therefore$ $54$ কিগ্রা জার্মান সিলভারে,
তামার পরিমাণ $=\left(\frac{4}{9} \times 54\right)$ কিগ্ৰা $= 24$ কিগ্রা
দস্তার পরিমাণ $=\left(\frac{3}{9} \times 54 \right)$ কিগ্রা $= 18$ কিগ্রা
নিকেলের পরিমাণ $=\left(\frac{2}{9} \times 54{}\right)$ কিগ্ৰা $= 12$ কিগ্রা
ধরি, $54$ কিগ্রা জার্মান সিলভারে $x$ কিগ্রা দস্তা মেশানো হয়েছে
$\therefore$ এখন দস্তার পরিমাণ = $(18 + x)$ কিগ্রা
বর্তমানে নতুন তামা : দস্তা : নিকেল $= 6 : 5 : 3$
প্রশ্নানুসারে,
$24:(18+x)=6: 5$
বা, $\frac{24}{18+x}=\frac{6}{5}$
বা, $6(18+x)=24 \times 5$
বা, $18+x=\frac{24 \times 5}{6}$
বা, $18+x=20$
বা, $x=20-18=2$
$\therefore$ আরও $2$ কিগ্রা দস্তা মেশাতে হবে।
[একইভাবে, দস্তা ও নিকেলের অনুপাত থেকেও সমস্যাটির সমাধান করা যাবে]

প্রথম প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা : সাবান গুঁড়ো $= 2 : 3$
$\therefore$ গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$
$10$ কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে, সোডার পরিমাণ
$=\left(\frac{2}{5} \times 10\right)$ কিগ্রা = 4 কিগ্রা
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $=\left(\frac{3}{5} \times 10 \right)$ কিগ্রা = $6$ কিগ্রা
দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা : সাবান গুঁড়ো $= 4 : 5$
গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$
গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{4+5}=\frac{5}{9}$
18 কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণ $=\left(\frac{4}{9} \times 18\right)$ কিগ্রা $=8$ কিগ্রা
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $=\left(\frac{5}{9} \times 18^{}\right)$ কিগ্রা $= 10$ কিগ্রা
($10$ কিগ্রা $+ 18$ কিগ্ৰা)$= 28$ কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে মোট সাবান
গুঁড়োর পরিমাণ $= (6+10)$ কিগ্ৰা $= 16$ কিগ্রা
$\therefore$ নতুন গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণ
$=\frac{16}{28}$ অংশ
$=\frac{4}{7}$ অংশ

দুটি সমান আয়তনের পাত্রে যথাক্রমে $\frac{1}{3}$ ও $\frac{1}{4}$ অংশ ফলের রস আছে।
ধরি, পাত্রগুলির আয়তন 1
প্রথম পাত্রে অবশিষ্ট অংশ $=\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$ অংশ
এবং দ্বিতীয় পাত্রে অবশিষ্ট অংশ $=\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}$ অংশ
$\therefore$ নতুন পাত্রে মোট ফলের রস $=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)$ অংশ
$=\frac{4+3}{12}$ অংশ $=\frac{7}{12}$ অংশ
এবং জলের মোট অংশ $=\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)$ অংশ
$=\frac{8+9}{12}$ অংশ $=\frac{17}{12}$ অংশ
$\therefore$ নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের নতুন অনুপাত হল
$=\frac{7}{12}: \frac{17}{12}=7: 17$

তিনটি সমান মাপের পাত্র রেশমি খাতুন পূর্ণ করেছে।
প্রথম পাত্রের শরবতের জল ও সিরাপের অনুপাত $=3: 1$
$\therefore$ জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}$
দ্বিতীয় পাত্রের শরবতের জল ও সিরাপের অনুপাত $= 5 : 3$
$\therefore$ জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$
সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{5+3}=\frac{3}{8}$
আবার, তৃতীয় পাত্রের শরবতের জল ও সিরাপের অনুপাত $= 9 : 7$
$\therefore$ জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{9}{9+7}=\frac{9}{16}$
সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{7}{9+7}=\frac{7}{16}$
$\therefore$ নতুন বড়ো পাত্রে, মোট জলের পরিমাণ $=\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{9}{16}\right)$
$=\left(\frac{12+10+9}{16}\right)=\frac{31}{16}$
$\therefore$ মোট সিরাপের পরিমাণ $=\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{7}{16}\right)=\left(\frac{4+6+7}{16}\right)=\frac{17}{16}$
$\therefore$ বড়ো পাত্রে জল ও সিরাপের অনুপাত হল $=\frac{31}{16}: \frac{17}{16}$
$=31 : 17$

দুই প্রকার পিতল $5 : 2$ অনুপাতে মেশানো আছে।
ধরি, নতুন পিতলে প্রথম প্রকার পিতল আছে $= 5x$ একক
নতুন পিতলে দ্বিতীয় প্রকার পিতল আছে $= 2x$ একক
যেখানে $x$ হল অশূন্য আনুপাতিক ধ্রুবক।
প্রথম প্রকার পিতলে, তামা : দস্তা $= 8 : 3$
তামার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{8}{8+3}=\frac{8}{11}$
দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{8+3}=\frac{3}{11}$
$\therefore$ প্রথম প্রকার পিতলে,
তামার পরিমাণ$=\left(\frac{8}{11} \times 5 x\right)$ একক $=\frac{40 x}{11}$ একক
দস্তার পরিমাণ $=\left(\frac{3}{11} \times 5 x\right)$ একক $=\frac{15 x}{11}$ একক
আবার, দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা : দস্তা $= 15 : 7$
তামার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{15}{15+7}=\frac{15}{22}$
দস্তার পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{7}{15+7}=\frac{7}{22}$
$\therefore$ দ্বিতীয় প্রকার পিতলে,
তামার পরিমাণ $=\left(\frac{15}{22} \times 2 x\right)$ একক $=\frac{15 x}{11}$ একক
দস্তার পরিমাণ $=\left(\frac{7}{22} \times 2 x\right)$ একক $=\frac{7 x}{11}$ একক
$\therefore$ নতুন পিতলে মোট তামার পরিমাণ $=\left(\frac{40 x}{11}+\frac{15 x}{11}\right)$ একক
$=\left(\frac{40 x+15 x}{11}\right)$ একক
$=\left(\frac{55 x}{11}\right)$ একক
$= 5x$ একক
নতুন পিতলে মোট দস্তার পরিমাণ $=\left(\frac{15 x}{11}+\frac{7 x}{11}\right)$ একক
$=\left(\frac{15 x+7 x}{11}\right)$ একক
$=\left(\frac{22 x}{11}\right)$ একক
=$2x$ একক
$\therefore$ নতুন প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত
$=5 x: 2 x=5: 2$

ধরি, প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিল $x$ একক ও দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিল $y$ একক মেশাতে হবে।
প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিলের মধ্যে ক্রোমিয়াম : স্টিল $= 2:11$
প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টিলে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{2+11}=\frac{2}{13}$
স্টিলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{11}{2+11}=\frac{11}{13}$
$\therefore$ প্রথম প্রকারে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণের $=\left(\frac{2}{13} \times x\right)$একক$=\frac{2 x}{13}$ একক
স্টিলের পরিমাণ $=\left(\frac{11}{13} \times x\right)$ একক$=\frac{11x}{13}$ একক
দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিলের মধ্যে ক্রোমিয়াম : স্টিল $= 5:21$
দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টিলে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+21}=\frac{5}{26}$
স্টিলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{21}{5+21}=\frac{21}{26}$
দ্বিতীয় প্রকারে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণ $=\left(\frac{5}{26} \times y\right)$ একক $=\frac{5 y}{26}$ একক
স্টিলের পরিমাণ $=\left(\frac{21}{26} \times y\right)$ একক $=\frac{21 y}{26}$ একক
নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টিলে, মোট ক্রোমিয়াম
$=\left(\frac{2 x}{13}+\frac{5 y}{26}\right)$ একক $=\frac{4 x+5 y}{26}$ একক
নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টিলে, মোট স্টিল
$=\left(\frac{11 x}{13}+\frac{21 y}{26}\right)$ একক $=\frac{22 x+21 y}{26}$একক
নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টিলে, ক্রোমিয়াম : স্টিল
$=\left(\frac{4 x+5 y}{26}\right):\left(\frac{22 x+21 y}{26}\right)$
শর্তানুসারে,
$\frac{\frac{4 x+5 y}{26}}{\frac{22 x+21 y}{26}}=\frac{7}{32}$
বা, $\frac{4 x+5 y}{22 x+21 y}=\frac{7}{32}$
বা, $32(4 x+5 y)=7(22 x+21 y)$
বা, $128 x+160 y=154 x+147 y$
বা, $128 x-154 x=147 y-160 y$
বা, $-26 x=-13 y$
বা, $\frac{x}{y}=\frac{-13}{-26}=\frac{1}{2}$
বা, $x:y=1:2$
$\therefore$ দু-প্রকার স্টেনলেস স্টিল $1 : 2$ অনুপাতে মেশাতে হবে।

একপাত্র শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত $= 5 : 2$
$\therefore$ সম্পূর্ণ শরবতে, সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{5}{5+2}$ অংশ $=\frac{5}{7}$ অংশ
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{5+2}$ অংশ $=\frac{2}{7}$ অংশ
তথ্য সাপেক্ষে শরবতের কিছু অংশ তুলে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান হবে,
অর্থাৎ তাদের পরিমাণের অনুপাত হবে $1 : 1$।
$\therefore$ নতুন শরবতে সিরাপের পরিমাণের আনুপাতিক
ভাগহার = জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{1}{2}$ অংশ
প্রথমে সিরাপ ছিল $=\frac{5}{7}$ অংশ, পরে সিরাপের পরিমাণ $=\frac{1}{2}$ অংশ
অর্থাৎ এমন পরিমাণ মিশ্রণ তুলতে হবে যাতে $\left(\frac{5}{7}-\frac{1}{2}\right)$ অংশ
$=\left(\frac{10-7}{14}\right)$ অংশ $=\frac{3}{14}$ অংশ সিরাপ উঠে আসে।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল,
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার (অংশ) } & \text{শরবতের পরিমাণ (অংশ)} \\ \hline \frac{5}{7} & 1 \\ \hline \frac{3}{14} & x \text { (ধরি) }\\ \hline \end{array}$
সিরাপের আনুপাতিক ভাগহারের পরিমাণ কমলে শরবতের পরিমাণ কমবে।
এক্ষেত্রে, সম্পর্কটি সরল সম্পর্কযুক্ত।
$\therefore$ সমানুপাতটি হল, $\frac{5}{7}: \frac{3}{14}:: 1: x$
$\therefore \frac{5}{7} \times x=1 \times \frac{3}{14}$
বা, $x=\frac{3}{{14}} \times \frac{7}{5}$
$\therefore x=\frac{3}{10}$
$\therefore$ $\frac{3}{10}$ অংশ শরবত তুলে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান সমান হবে।
বিকল্প পদ্ধতি :
শরবতে সিরাপ : জল $= 5 : 2$
$\therefore$ সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+2}=\frac{5}{7}$
এবং জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{7}$
মনে করি, y একক শরবত থেকে $x$ একক শরবত তুলে নিয়ে সমপরিমাণ অর্থাৎ, $x$ একক জল ঢালা হল।
অর্থাৎ, সমগ্র শরবতের $\frac{x}{y}$ অংশ শরবত তুলে নিলে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান হয়।

গল্প 1 :
আজ দোল। একে অপরকে রং মাখানোর জন্য সমীর ও মিহির দুই ভাই দুটি বালতিতে জলে লাল রং দিয়ে রং তৈরি করেছিল। সমীর জল ও লাল রং $5 : 4$ অনুপাতে এবং মিহির $3 :2$ অনুপাতে মিশিয়েছিল। দুজনের মিশ্রণ থেকে সমান পরিমাণ নিয়ে মিশিয়ে তাদের এক বন্ধু রামিত রং তৈরি করল। রামিতের তৈরি করা মিশ্রণে জল ও লাল রঙের পরিমাণের অনুপাত কত হয়েছিল ?
সমীর ও মিহিরের রং-এ জল : লাল রং যথাক্রমে $5 : 4$ ও $3 : 2$
দুটি মিশ্রণ থেকেই সমান পরিমাণ নিয়েছে রামিত
$\therefore$ মোট জল নিয়েছে $=\left(\frac{5}{9}+\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{25+27}{45}\right)=\frac{52}{45}$
এবং লাল রং নিয়েছে $=\left(\frac{4}{9}+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{20+18}{45}\right)=\frac{38}{45}$
রামিতের মিশ্রণে জল : লাল রং $=\frac{52}{45}: \frac{38}{45}=52: 38=26: 19$
গল্প 2 :
একটি পাত্রে দুধ ও জল $4 : 5$ অনুপাতে এবং অপর একটি পাত্রে $5 : 1$ অনুপাতে মেশানো আছে।
ওই দুটি পাত্র থেকে কী অনুপাতে মিশ্রণ নিয়ে অন্য একটি পাত্রে মেশানো হলে মিশ্রিত দুধ ও জলের অনুপাত $5 : 4$ হবে ?
ধরি, প্রথম পাত্র থেকে $x$ একক এবং দ্বিতীয় পাত্র থেকে $y$
একক মিশ্রণ নেওয়া হল।
নতুন পাত্রে দুধ : জল $= 5 : 4$
প্রথম পাত্রে দুধ ও জলের অনুপাত $4 : 5$
$\therefore$ প্রথম পাত্রে দুধের পরিমাণের অনুপাতিক ভাগহার $=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{4+5}=\frac{5}{9}$
$\therefore$ $x$ এককে দুধ-এর অংশ $=\frac{4 x}{9}$ একক
এবং জল-এর অংশ $=\frac{5 x}{9}$ একক
দ্বিতীয় পাত্রে, দুধ ও জলের অনুপাত $5 : 1$
$\therefore$ দ্বিতীয় পাত্রে,
দুধের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}$
এবং জলের আনুপাতিক ভাগহার$=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}$
$\therefore$ $y$ এককে দুধ-এর অংশ $=\frac{5 y}{6}$ একক
এবং জলের অংশ $=\frac{ y}{6}$ একক
শর্তানুসারে, $\frac{\frac{4 x}{9}+\frac{5 y}{6}}{\frac{5 x}{9}+\frac{y}{6}}=\frac{5}{4}$
বা, $\frac{8 x+15 y}{18} \times \frac{18}{10 x+3 y}=\frac{5}{4}$
বা, $4(8 x+15 y)=5(10 x+3 y)$
বা, $32 x+60 y=50 x+15 y$
বা, $32 x-50 x=15 y-60 y$
বা, $\not-18 x=\not-45 y$
বা, $x:y=5:2$
গল্প 3 :
একটি শরবতের দোকানে দুটি বোতলে দুই ধরনের মিশ্রিত সিরাপ আছে। একটিতে জল ও সিরাপের অনুপাত $3 : 4$ এবং অপরটিতে জল ও সিরাপের অনুপাত $9 : 5$। আলি দোকানদারকে ওই দুটি বোতল থেকে $1 : 2$ অনুপাতে মিশিয়ে এক গ্লাস শরবত তাকে দিতে বলল। শরবতে জল ও সিরাপের অনুপাত কত হবে ?
আলির শরবতের গ্লাসে প্রথম বোতল ও দ্বিতীয় বোতলের মিশ্রণের অনুপাত $= 1:2$
ধরি, দোকানদার প্রথম বোতল থেকে $x$ একক ও দ্বিতীয় বোতল থেকে $2x$ একক মিশ্রণ দিয়েছেন যেখানে, $x$ আনুপাতিক ধ্রুবক $(x>0)$
প্রথম বোতলে জল : সিরাপ $= 3 : 4$
জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}$
সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7}$
জলের পরিমাণ $=\left(\frac{3}{7} \times x\right)$ একক $=\frac{3 x}{7}$ একক
সিরাপের পরিমাণ $=\left(\frac{4}{7} \times x\right)$ একক $=\frac{4 x}{7}$ একক
দ্বিতীয় বোতলে জল : সিরাপ $= 9 : 5$
জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{9}{9+5}=\frac{9}{14}$
সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{9+5}=\frac{5}{14}$
$\therefore$ জলের পরিমাণ $=\left(\frac{9}{14} \times 2 x\right)$ একক $=\frac{9 x}{7}$ একক
সিরাপের পরিমাণ $=\left(\frac{5}{14} \times 2 x\right)$ একক $=\frac{5 x}{7}$ একক
আলিকে দেওয়া গ্লাসে, মোট জলের পরিমাণ
$=\left(\frac{3 x}{7}+\frac{9 x}{7}\right)$ একক $=\frac{12 x}{7}$ একক
মোট সিরাপের পরিমাণ $=\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 x}{7}\right)$ একক $=\frac{9 x}{7}$ একক
আলিকে দেওয়া গ্লাসে জল : সিরাপ $=\frac{12 x}{7}: \frac{9 x}{7}=12: 9=4: 3$
গল্প 4 :
দুটি পাত্রে জল ও গ্লিসারিন 2 : 3 এবং 5 : 4 অনুপাতে আছে। পাত্র দুটি থেকে কী অনুপাতে জল ও গ্লিসারিন মিশ্রণ নিয়ে বড়ো একটি পাত্রে মেশালে বড়ো পাত্রে জল ও গ্লিসারিনের অনুপাত সমান হবে?
ধরি, প্রথম পাত্র থেকে $x$ একক ও দ্বিতীয় পাত্র থেকে $y$ একক মিশ্রণ নেওয়া হল।
প্রথম পাত্রের ক্ষেত্রে, জল : গ্লিসারিন $= 2 : 3$
জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
গ্লিসারিনের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$
$\therefore$ $x$ এককে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{2}{5} \times x\right)$ একক $=\frac{2 x}{5}$ একক
গ্লিসারিনের পরিমাণ $=\left(\frac{3}{5} \times x\right)$ একক $=\frac{3 x}{5}$ একক
দ্বিতীয় পাত্রের ক্ষেত্রে, জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+4}=\frac{5}{9}$
গ্লিসারিনের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9}$
$\therefore$ $y$ এককে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{5}{9} \times y\right)$ একক $=\frac{5 y}{9}$ একক
গ্লিসারিনের পরিমাণ $=\left(\frac{4}{9} \times y\right)$ একক $=\frac{4 y}{9}$ একক
বড়ো পাত্রে, মোট জলের পরিমাণ $=\left(\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}\right)$ একক
মোট গ্লিসারিনের পরিমাণ $=\left(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}\right)$ একক
শর্তানুসারে $\left(\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}\right):\left(\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}\right)=1: 1$
বা, $\frac{\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}}{\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}}=\frac{1}{1}$
বা, $\frac{2 x}{5}+\frac{5 y}{9}=\frac{3 x}{5}+\frac{4 y}{9}$
বা, $\frac{2 x}{5}-\frac{3 x}{5}=\frac{4 y}{9}-\frac{5 y}{9}$
বা, $\frac{-x}{5}=\frac{-y}{9}$
বা, $\frac{x}{y}=\frac{5}{9}$
বা, $x:y=5:9$
$\therefore$ দুটি পাত্র থেকে $5 : 9$ অনুপাতে মিশ্রণ নেওয়া হয়েছে।
গল্প 5 :
ডালিয়া একটি জগে জল ও চিনি $4:3$ অনুপাতে মিশিয়ে চিনির শরবত তৈরি করেছে। অহনা অপর একটি জগে $5 : 2$ অনুপাতে জল ও চিনি মিশিয়ে আর-একটি চিনির শরবত তৈরি করল। শ্রীজিতা একা ওই দুই প্রকার মিশ্রণ নিয়ে পুনরায় একটি শরবত তৈরি করল যাতে জল ও চিনির অনুপাত $9:5$ ।
শ্রীজিতা কী অনুপাতে ডালিয়া ও অহনার শরবত মিশিয়েছিল ?
ধরি, শ্রীজিতা প্রথম পাত্র থেকে $x$ একক ও দ্বিতীয় পাত্র থেকে $y$ একক পরিমাণ শরবত নিয়েছে।
ডালিয়ার তৈরি শরবতের ক্ষেত্রে,
জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$
চিনির আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{4+3}=\frac{3}{7}$
$x$ একক জলের পরিমাণ $=\left(\frac{4}{7} \times x\right)$ একক $=\frac{4 x}{7}$ একক
চিনির পরিমাণ $=\left(\frac{3}{7} \times x\right)$ একক $=\frac{3 x}{7}$ একক
অহনার তৈরি শরবতের ক্ষেত্রে,
জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{5}{5+2}=\frac{5}{7}$
চিনির পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{5+2}=\frac{2}{7}$
$y$ এককে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{5}{7} \times y\right)$ একক $=\frac{5 y}{7}$ একক
চিনির পরিমাণ $=\left(\frac{2}{7} \times y\right)$ একক $=\frac{2 y}{7}$ একক
$\therefore$ মোট জলের পরিমাণ $=\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}\right)$ একক
মোট চিনির পরিমাণ $=\left(\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}\right)$ একক
শর্তানুসারে,
$\left(\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}\right):\left(\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}\right)=9: 5$
বা, $\frac{\frac{4 x}{7}+\frac{5 y}{7}}{\frac{3 x}{7}+\frac{2 y}{7}}=\frac{9}{5}$
বা, $\frac{4 x+5 y}{3 x+2 y}=\frac{9}{5}$
বা, $9(3 x+2 y)=5(4 x+5 y)$
বা, $27 x+18 y=20 x+25 y$
বা, $27 x-20 x=25 y-18 y$
বা, $7 x=7 y$
বা, $\frac{x}{y}=\frac{1}{1}$
বা, $x: y=1: 1$
$\therefore$ মিশ্রণ দুটি সমপরিমাণ নেওয়া হয়েছিল।

ক্রমিক নং	দুটি মিশ্রণের প্রত্যেকটিতে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত	নতুন মিশ্রণে মিশ্রণ দুটির পরিমাণের অনুপাত	নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত
1	5 : 4 এবং 3 : 2	মিশ্রণ দুটি সমান পরিমাণ নিয়ে	26 : 19
2	4 : 5 এবং 5 : 1	5 : 2	5 : 4
3	3 : 4 এবং 9 : 5	1 : 2 অনুপাতে	4 : 3
4	2 : 3 এবং 5 : 4	5 : 9	1 : 1
5	4 : 3 এবং 5 : 2	1 : 1 বা, সমান পরিমাণ মিশ্রণ দুটি নিয়ে	9 ; 5

মোট মিশ্রণের পরিমাণ 700 লিটার, এর মধ্যে তিন প্রকার তরল আছে।
প্রথম প্রকার তরল : দ্বিতীয় প্রকার তরল = 2 : 3
দ্বিতীয় প্রকার তরল : তৃতীয় প্রকার তরল = 4 : 5
প্রথম প্রকার তরল : দ্বিতীয় প্রকার তরল : তৃতীয় প্রকার তরল
$=2 \times 4: 3 \times 4: 3 \times 5=8: 12: 15$
প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{8}{8+12+15}=\frac{8}{35}$
দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{12}{8+12+15}=\frac{12}{35}$
তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার
$=\frac{15}{8+12+15}=\frac{15}{35}$
700 লিটার মিশ্রণে, প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণ
$=\left(\frac{8}{35} \times 700 \right)$ লিটার = 160 লিটার
দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ
$=\left(\frac{12}{35} \times 700 \right)$ লিটার = 240 লিটার
তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ
$=\left(\frac{15}{35} \times 700 \right)$ লিটার = 300 লিটার
ধরি, $x$ লিটার প্রথম প্রকারের তরল এবং y লিটার দ্বিতীয় প্রকারের তরল মেশালে তিন প্রকার তরলের অনুপাত 6 : 5 : 3 হয়।
এক্ষেত্রে, তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণে কোনো পরিবর্তন হয়নি।
এখন, প্রথম প্রকার তরলের পরিমাণ $= (160+x)$ লিটার
দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ $= (240 + y)$ লিটার
শর্তানুসারে,
$\frac{\text{প্রথম প্রকার তরল}}{\text{তৃতীয় প্রকার তরল}}=\frac{6}{3}$
বা, $\frac{160+x}{300}=\frac{6}{3}$
বা, $160+x=\frac{6}{3} \times 300 =600$
বা, $x=600-160=440$
আবার, $\frac{\text{ দ্বিতীয় প্রকার তরল }}{\text{তৃতীয় প্রকার তরল }} = \frac{5}{3}$
বা, $= \frac{240+y}{300}=\frac{5}{3}$
বা, $240+y=\frac{5}{3} \times 300 =500$
বা, $y=500-240=260$
$\therefore$ প্রথম প্রকার তরল 440 লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার তরল 260 লিটার মেশাতে হবে।

প্রদত্ত, সিরাপে জল : অবশিষ্টাংশ $= 89:11$
মোট সিরাপের পরিমাণ $= 22$ লিটার
সিরাপে জলের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{89}{89+11}=\frac{89}{100}$
সিরাপে অবশিষ্টাংশের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{11}{89+11}$
$=\frac{11}{100}$
22 লিটার সিরাপে, জলের পরিমাণ $=\left(\frac{89}{100} \times 22\right)$লিটার
$=\frac{1958}{100}$ লিটার
অবশিষ্টাংশের পরিমাণ $=\left(\frac{11}{100} \times 22\right)$ লিটার
$=\frac{242}{100}$ লিটার
ধরি, এই মিশ্রণে আরও $x$ লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের অনুপাত হবে $=90:10$
শর্তানুসারে,
$\left(\frac{1958}{100}+x\right): \frac{242}{100}=90: 10$
বা, $\frac{\frac{1958}{100}+x}{\frac{242}{100}}=\frac{90}{10}$
বা, $\frac{1958+100 x}{242}=\frac{90}{10}$
বা, $1958+100 x=242 \times 9=2178$
বা, $100 x=2178-1958=220$
বা, $x=\frac{220}{100}=2.2$
$\therefore$ আরও $2.2$ লিটার জল মেশাতে হবে।

তিনটি বোতলের আয়তনের পরিমাণের অনুপাত $5 : 3 : 2$
প্রথম বোতলের $\frac{1}{3}$ অংশ, দ্বিতীয় বোতলের $\frac{1}{2}$ অংশ
এবং তৃতীয় বোতলের $\frac{2}{3}$ অংশ একসঙ্গে মেশানো হয়েছে।
তিনটি বোতলের আয়তন হিসেবে অনুপাত
$=\left(5 \times \frac{1}{3}\right):\left(3 \times \frac{1}{2}\right):\left(2 \times \frac{2}{3}\right)$
$=\frac{5}{3}: \frac{3}{2}: \frac{4}{3}$
$=\frac{5}{3} \times 6: \frac{3}{2} \times 6: \frac{4}{3} \times 6 \quad$ [$\because$ $2$ ও $3$-এর লসাগু $= 6$]
$= 10 : 9 : 8$
$\therefore$ ধরি, তিন প্রকার বোতলের আয়তন যথাক্রমে
$10x$ একক, $9x$ একক, $8x$ একক, যেখানে $x$ = অশূন্য আনুপাতিক ধ্রুবক
প্রথম বোতলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত $= 2 : 3$
$\therefore$ প্রথম বোতলে ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$
প্রথম বোতলে ফিনাইলের পরিমাণ $=\left(\frac{2}{5} \times 10x \right)$ একক $=4x$ একক
এবং প্রথম বোতলে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{3}{5} \times 10x \right)$ একক $=6x$ একক
$\therefore$ দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত $= 1 : 2$
দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$
দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণ $=\left(\frac{1}{3} \times 9 x\right)$ একক $= 3x$ একক
এবং দ্বিতীয় বোতলে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{2}{3} \times 9 x\right)$ $= 6x$একক
তৃতীয় বোতলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত $= 1 : 3$
$\therefore$ তৃতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$
এবং জলের পরিমাণের আনুপাতিক ভাগহার $\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}$
তৃতীয় বোতলে ফিনাইলের পরিমাণ $=\left(\frac{1}{4} \times 8 x\right)$ একক $= 2x$ একক
এবং তৃতীয় বোতলে জলের পরিমাণ $=\left(\frac{3}{4} \times{} 8 x\right)$ একক $=6 x$ একক
নতুন মিশ্রণে, মোট ফিনাইলের পরিমাণ $= (4x + 3x + 2x)$ একক $= 9x$ একক
মোট জলের পরিমাণ $= (6x + 6x + 6x)$ একক $= 18x$ একক
$\therefore$ নতুন মিশ্রণে ফিনাইল : জল $= 9x : 18x = 9 : 18 = 1 : 2$