PS বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ $\angle PRS$ ও $\angle PQS$
$\therefore$ $\angle PQS$ = $\angle PRS$ = 65°
$\therefore$ $\angle SQP$ = 65°
আবার, RS বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন দুটি বৃত্তস্থ কোণ $\angle \mathrm{RQS}$ ও $\angle \mathrm{RPS}$
$\therefore$ $\angle RQS$ = $\angle RPS$
$\Rightarrow \angle \mathrm{RPS}=45^{\circ}$ [$\because$ $\angle RQS$ = 45°]
তাহলে, $\Delta$PRS-এ, $\angle RSP$ + $\angle PRS$ + $\angle RPS$ = 180°
বা, $\angle RSP$ + 65° + 45° = 180° [$\because$ $\angle RPS$ = 45°]
বা, $\angle RSP$ = 180° - 65° – 45° = 180° – 110° = 70°
$\therefore$ $\angle SQP$ = 65° এবং $\angle RSP$ = 70°.

দেওয়া আছে, $\angle XBC$ = $82^{\circ}$
$\therefore$ $\angle ABC$ = 180° - $\angle XBC$ = 180° - $82^{\circ}$ = 98°$\left[\because \angle X B C=82^{\circ}\right]$
আবার, AB চাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ $\angle ADB$ ও $\angle ACB$
$\therefore$ $\angle ADB$ = $\angle ACB$
$\therefore$ $\angle ACB$ = $47^{\circ}$
এখন, $\triangle ABC$ -এ $\angle BAC$ + $\angle ACB$ + $\angle ABC$ = 180°
বা, $\angle BAC$ + 47° + 98° = 180°
বা, $\angle B A C+145^{\circ}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-145^{\circ}=35^{\circ}$
$\therefore$ $\angle BAC$ = 35°

RS বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ = $\angle RQS$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle ROS$ = 80° [প্রদত্ত]
$\therefore \angle \mathrm{RQS}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ROS}$ [ $\because$ কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণর দ্বিগুন ]
$=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}$
এখন, $\angle ROP$ = $\angle ROQ$ + $\angle POQ$ = 60° + 110° [$\because$ $\angle QOR$ = 60° এবং $\angle POQ$ = $110^{\circ}$] = $170^{\circ}$
তাহলে, $\angle RSP$ = $\frac{1}{2} \angle \mathrm{ROP} [\because \widehat{\mathrm{RQP}}$ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle RSP$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle ROP$]
$=\frac{1}{2} \times 170^{\circ}=85^{\circ}$
আবার, $\angle SOQ$ = $\angle QOR$ + $\angle SOR$ = 60° + 80° = 140°
তাহলে, $\angle \mathrm{SPQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{SOQ} \quad[\because \overparen{\mathrm{SRQ}}$ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle SPQ$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle \mathrm{SOQ}$]
$=\frac{1}{2} \times 140^{\circ}=70^{\circ}$
$\therefore \triangle P T S-$এ $\angle PTS$ + $\angle SPT$ + $\angle PST$ = 180°
বা, $\angle \mathrm{PTS}$ + 70° + 85° = 180° [$\because \angle \mathrm{SPQ}$ = 70° ও $\angle RSP$ = 85°]
বা, $\angle PTS$ = 180° - 70° - 85° = 25° $\therefore$ $\angle RQS$ = 40° ও $\angle QTR$ = $25^{\circ}$

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
$\therefore$ ACQP চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে
$\angle CAP$ + $\angle PQC$ = 180° $\ldots\ldots$ (1)
এবং BPQD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে
$\angle PBD$ + $\angle PQD$ = 180° $\ldots\ldots$ (2)
এখন, (1) ও (2) যােগ করে পাই,
$\angle C A P+\angle P B D+\angle P Q C+\angle P Q D=180^{\circ}+180^{\circ}$
$\angle CAP$ + $\angle PBD$ + $\angle PQC$ + $\angle PQD$ = 360°
বা, $\angle CAP$ + $\angle PBD$ + $\angle CQD$ = 360° [$\because$ $\angle PQC$ + $\angle PQD$ = $\angle CQD$ = 1 সরলকোণ = 180°] |
বা, $\angle CAP$ + $\angle PBD$ + 180° = 360°
বা, $\angle CAP$ + $\angle PBD$ = 360° - 180°
বা, $\angle CAP$ + $\angle PBD$ = 180°
কিন্তু AC ও BD সরলরেখা দুটির সাধারণ ছেদক AB-এর একই পার্শ্বস্থ দুটি সন্নিহিত কোণ $\angle CAB$ এবং $\angle DBA$, যাদের সমষ্টি 180°
$\therefore$ AC || BD [$\because$ দুটি সমান্তরাল সরলরেখার সাধারণ ছেদক-এর একই পার্শ্বস্থ দুটি সন্নিহিত কোণের মান 180°]
$\therefore$ AC || BD. (প্রমাণিত)

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle BAD$ ও $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডক দুটি বৃত্তের পরিধির উপর মিলিত হবে।
অঙ্কন : $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক AP অঙ্কন করা হল। ধরি, AP বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করে। P, C যুক্ত করে Q পর্যন্ত বর্ধিত করি।
প্রমাণ : $\angle BCP$ = $\angle QCE$ [$\because$ বিপ্রতীপ কোণ] $\ldots\ldots$ (1)
এখন, ADCP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle PAD$ + $\angle PCD$ = 180° $\ldots\ldots$(2)
কিন্তু চিত্রানুসারে, $\angle PCD$ + $\angle DCQ$ = 180° $\ldots\ldots$(3)
$\therefore$ (2) ও (3) থেকে পাই, $\angle PAD$ + $\angle PCD$ = $\angle PCD$ + $\angle DCQ$
বা, $\angle PAD$ =$\angle DCQ$
বা, $\angle PAB$ = $\angle DCQ$ $\ldots\ldots$(4) [$\because$ AP, $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক]।
বা, $\angle PCB$ = $\angle DCQ$ [$\because$ BP চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ]
বা, $\angle QCE$ = $\angle DCQ$ [(1) থেকে]
বা, $\angle ECQ$ = $\angle DCQ$
$\therefore$ CQ, $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডক
অর্থাৎ, PQ, $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ P বিন্দুটি বৃত্তটির পরিধির উপর অবস্থিত।
সুতরাং $\angle BAD$ ও $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডক দুটি বৃত্তের পরিধির উপর মিলিত হয়। (প্রমাণিত)

ABDC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।।
$\therefore$ $\angle ABD$ + $\angle ACD$ = 180° $\ldots\ldots$ (1)
আবার, $\angle XCA$ + $\angle ACD$ = 1 সরলকোণ = 180° $\ldots\ldots$ (2)
তাহলে, (2) থেকে (1) বিয়ােগ করে পাই, $\angle X C A+\angle A C D-\angle A B D-\angle A C D$
$=180^{\circ}-180^{\circ}$
$\angle XCA$ - $\angle ABD$ = 0
বা, $\angle XCA$ = $\angle ABD$
আবার, ABDC চতুর্ভুজের $\angle BAC$ + $\angle BDC$ = 180° $\ldots\ldots$ (3)
এবং $\angle XAC$ + $\angle BAC$ = 1 সরলকোণ = 180° $\ldots\ldots$(4)
তাহলে, (4) থেকে (3) বিয়ােগ করে পাই, $\angle B A C+\angle B D C-\angle X A C-\angle B A C$
$=180^{\circ}-180^{\circ}$
$\angle XAC$ - $\angle BDC$ = 0
বা, $\angle XAC$ = $\angle BDC$
$\therefore \triangle \mathrm{XAC}$ ও $\triangle \mathrm{XBD}$ ত্রিভুজদ্বয়ের $\angle XCA$ = $\angle XBD$ [$\because$ $\angle ABD$ = $\angle XBD$ ]
এবং $\angle XAC$ = $\angle XDB$
$\therefore$ $\triangle \mathrm{XAC}$ ও $\triangle \mathrm{XBD}$ ত্রিভুজদ্বয়ের দুটি করে কোণ সমান। (প্রমাণিত)

P, R, P, S এবং Q, S যােগ করি।
প্রশ্নানুসারে, PQ || RS; PS এদের ছেদক।
$\therefore$ $\angle SPQ$ = $\angle RSP$$\ldots\ldots$ (1) [$\because$ একান্তর কোণ]
একইভাবে, PQ || RS; GH এদের ছেদক।
$\therefore$ $\angle PGH$ = $\angle SHG$ $\ldots\ldots$ (2) [$\because$ একান্তর কোণ]
আবার, PRHG চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ। $\therefore$ $\angle PGH$ + $\angle PRH$ = 180° $\ldots\ldots$ (3)
একইভাবে, QSHG চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ। $\therefore \angle SQG$ + $\angle SHG$ = 180° $\ldots\ldots$(4)
(3) ও (4) থেকে পাই, $\angle PGH$ + $\angle PRH$ = $\angle SQG$ + $\angle SHG$
বা, $\angle S H G+\angle P R H=\angle S Q G+\angle S H G$
বা, $\angle PRH$ = $\angle SQG$ [(2) থেকে]
বা, $\angle PRS$ = $\angle SQP$ $\ldots\ldots$ (5)
এখন, $\Delta$PRS ও $\Delta$PQS-এর $\angle PSR$ = $\angle QPS$ [(1) থেকে]
$\angle PRS$ = $\angle SQP$ [(5) থেকে]
এবং PS সাধারণ বাহু।
$\therefore$ $\triangle \mathrm{PRS} \cong \Delta \mathrm{PQS}$ [সর্বসমতার A-A-S শর্তানুসারে]
$\therefore$ RS = PQ $\therefore$ PQ = RS (প্রমাণিত)

$\triangle \mathbf{A B C}$-এর AB = AC,
$\therefore$ $\angle ABC$ = $\angle ACB$ $\ldots\ldots$(1)
এখন, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ABC$ + $\angle ADC$ = 180° $\ldots\ldots$
বা, $\angle ACB$ + $\angle ADC$ = 180° $\ldots\ldots$(2) [(1) থেকে]
আবার, $\angle ACB$ + $\angle ACE$ = 1 সরলকোণ = 180° $\ldots\ldots$ (3)
(2) ও (3) থেকে পাই, $\angle ACB$ + $\angle ADC$ = $\angle ACB$ + $\angle ACE$
বা, $\angle ADC$ = $\angle ACE$
বা, $\angle DCE$ + $\angle DEC$ = $\angle ACD$ + $\angle DCE$
[$\because$ বহিস্থ কোণ = অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি]
বা, $\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{ACD}$
$\therefore$ $\angle ACD$ = $\angle DEC$ $[\because \angle D E C=\angle A E C]$
$\therefore$ $\angle ACD$ = $\angle AEC$ (প্রমাণিত)

BC-চাপের উপর বৃত্তস্থ দুটি কোণ হল
$\angle BAC$ ও $\angle BDC$
$\therefore$ $\angle BAC$ = $\angle BDC$$\ldots\ldots$ (1)
CE চাপ দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হল $\angle CAE$ ও $\angle CDE$
$\therefore$ $\angle CAE$ = $\angle CDE$ $\ldots\ldots$ (2)
এখন, $\angle FDE$ + $\angle CDE$ + $\angle BDC$ = 1 সরলকোণ = 180°
বা, $\angle CDE$ + $\angle CDE$ + $\angle BDC$ = 180° [$\because$ DE, $\angle FDC$-এর সমদ্বিখণ্ডক, $\therefore$ $\angle FDE$ = $\angle CDE$ ]
বা, 2 $\angle CDE$ + $\angle BDC$ = 180° $\ldots\ldots$ (3)
আবার, $\angle GAE$ + $\angle CAE$ + $\angle BAC$ = 1 সরলকোণ = 180° $\ldots\ldots$(4)
(3) ও (4) থেকে পাই, 2 $\angle CDE$ + $\angle BDC$ = $\angle GAE$ + $\angle CAE$ + $\angle BAC$
বা, $2 \angle C D E+\angle B D C=\angle G A E+\angle C A E+\angle B D C$ বা, 2 $\angle CDE$ = $\angle GAE$ + $\angle CAE$ [(1) থেকে)
বা, 2 $\angle CAE$ = $\angle GAE$ [ চিত্রানুসারে ]
বা, $\angle CAE$ = $\frac{1}{2} \angle \mathrm{GAC}$
$\therefore$ AE, $\angle GAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
$\therefore$ AE, $\angle BAC$ -এর বহির্সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

$\mathrm{BE} \perp \mathrm{AC}$, $\therefore$ $\angle BEC$ = 90°
CF $\perp$ AB, $\therefore$ $\angle BFC$ = 90° |
$\therefore$ $\angle BEC$ = $\angle BFC$
অর্থাৎ BC বাহুর একই পার্শ্বে দুটি বিন্দু E ও F-এ উৎপন্ন দুটি কোণ সমান।
$\therefore$ B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)
এখন, $\triangle AEF$-এর $\angle AEF$ = $\angle AEB$ - $\angle BEF$
= 90° - $\angle BEF$ [$\because$ $\angle AEB$ = 90°]
= 90° - $\angle BCF$ [$\because$ $\angle BEF$ = $\angle BCF$, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
= $\angle CBF$ [$\because$ $\angle BFC$ = 90°]
আবার, $\angle AFE$ = $\angle AFC$ - $\angle CFE$
= 90° - $\angle CFE$ [$\because$ $\angle AFC$ = 90°]
= 90° - $\angle CBE$ [$\because$ $\angle CFE$ = $\angle CBE$, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
= $\angle BCE$ [$\because$ $\angle BEC$ = 90°]
$\therefore$ $\triangle AEF$ ও $\triangle ABC$-এর $\angle AEF$ = $\angle ABC$ [$\because$ $\angle CBF$ = $\angle ABC$ ]
এবং $\angle AFE$ = $\angle ACB$ [$\because$ $\angle BCE$ = $\angle ACB$ ]
অর্থাৎ $\triangle AEF$ ও $\triangle ABC$-এর দুটি করে কোণ সমান। (প্রমাণিত)

প্রদত্ত ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি AD-কে E বিন্দুতে এবং BC-কে F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
প্রমাণ: চিত্রানুসারে, $\angle AEF$ + $\angle DEF$ = 1 সরলকোণ = 180° $\ldots\ldots$ (1)
আবার, $\angle ABC$ + $\angle BCD$ = 180° $\ldots\ldots$ (2) [$\because$ এরা ABCD সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ]
বা, 180° - $\angle AEF$ + $\angle BCD$ = 180° [$\because$ ABEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ,
$\because \angle \mathrm{ABF}+\angle \mathrm{AEF}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{ABF}=180^{\circ}-\angle \mathrm{AEF}$
বা, $\left.\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{AEF}\right]$
বা, $\angle \mathrm{DEF}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}$
$\left[\because 180^{\circ}-\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{DEF}\right]$
বা, $\angle \mathrm{DEF}+\angle \mathrm{FCD}=180^{\circ}$
অর্থাৎ, E F C D চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
$\therefore$ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

ABCD-একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। $\Delta$BCP এবং $\Delta$CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, P, T, R সমরেখ।
প্রমাণ : CP জ্যা দ্বারা গঠিত $\angle CBP$ ও $\angle CTP$ দুটি একই বৃত্তস্থ কোণ,
$\therefore$ $\angle CBP$ = $\angle CTP$ $\ldots\ldots$ (1)
CR জ্যা দ্বারা গঠিত $\angle CDR$ ও $\angle CTR$ দুটি বৃত্তস্থ কোণ,
$\therefore$ $\angle CDR$ = $\angle CTR$ $\ldots\ldots$ (2)
এখন, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ,
$\therefore$ $\angle ABC$ + $\angle ADC$ = 180°
[$\because$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।]
বা, 180° - $\angle CBP$ + 180° - $\angle CDR$ = 180° [$\because$ $\angle ABC$ + $\angle CBP$ = 180° এবং $\angle ADC$ + $\angle CDR$ = 180°]
বা, $\angle CBP$ + $\angle CDR$ = 180°
বা, $\angle CTP$ + $\angle CTR$ = 180° [ (1) ও (2) থেকে]
$\therefore$ $\angle PTR$ = সরলকোণ
$\therefore$ P T, R সমরেখ। (প্রমাণিত)

ধরি, $\triangle \mathrm{ABC}$-এর BC, CA ও AB বাহুত্রয়ের উপর উহার বিপরীত শীর্ষ থেকে অঙ্কিত লম্বত্রয় যথাক্রমে AD, BE ও CF পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, O, ABC-এর লম্ববিন্দু।
D, E; E, F এবং F, D যুক্ত করি।
তাহলে, $\Delta$DEF, $\Delta$ABC-এর পাদত্রিভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, O, $\Delta$DEF-এর অন্তঃকেন্দ্র।
প্রমাণ : A, C, D, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [কারণ FD-এর একই পার্শ্বস্থ C ও A দুটি বিন্দুতে উৎপন্ন দুটি কোণ $\angle DCF$ ও $\angle DAF$ পরস্পর সমান, $\angle DCF$ = 90° - $\angle ABD$ = $\angle BAD$ = $\angle FAD$
এখন, AF জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ দুটি কোণ হল $\angle ADF$ ও $\angle ACF$
$\therefore$ $\angle ADF$ = $\angle ACF$
= 90° - $\angle EAF$ [$\because$ $\angle AFC$ = 90° $\therefore$ $\angle ACF$ + $\angle CAF$ = 90°]
=$\angle ABE$ [$\because$ $\angle AEB$ = 90°, $\therefore$ $\angle ABE$ + $\angle EAB$ = 90°]
= $\angle ADE$ [$\because$ A, B, D, E বৃত্তস্থ এবং $\angle ABE$ ও $\angle ADE$, AE জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
অর্থাৎ, $\angle ODF$ = $\angle ODE$, $\therefore$ OD, $\angle EDF$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, OE ও OF যথাক্রমে $\angle DEF$ ও $\angle DFE$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
সুতরাং, O, $\Delta$DEF-এর কোণগুলির অন্তর্দ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত এবং অন্তর্দ্বিখন্ডকগুলির ছেদবিন্দু।
$\therefore$ O, $\Delta$DEF-এর অন্তঃকেন্দ্র। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AC, $\angle BAD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। AD-কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হয়েছে যে, DE = AB।
প্রমাণ করতে হবে যে, CE = CA
প্রমাণ : ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ABC$ + $\angle ADC$ = 180° $\ldots\ldots$ (1)
আবার, $\angle ADC$ + $\angle CDE$ = 1 সরলকোণ = 180° $\ldots\ldots$ (2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
$\angle ABC$ + $\angle ADC$ = $\angle ADC$ + $\angle CDE$
$\Rightarrow$ $\angle ABC$ = $\angle CDE$ $\ldots\ldots$ (3)
এখন, $\triangle ABC$ ও $\triangle CDE$-এর মধ্যে AB = DE (প্রদত্ত)।
BC = CD [$\because$ BC জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAC$ এবং CD জ্যা দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ $\angle CAD$ এবং $\angle BAC$ = $\angle CAD$, $\therefore$ BC = CD]
এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle ABC$ = অন্তর্ভুক্ত $\angle CDE$ [(3) থেকে]
$\therefore$ $\triangle ABC$ $\cong$ $\triangle CDE$ [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
$\therefore$ CA = CE [$\because$ সর্বসম $\Delta$ দ্বয়ের অনুরূপ বাহু৷]
$\therefore$ CE = CA (প্রমাণিত)।

ধরি, C কেন্দ্রীয় বৃত্তটি O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের O বিন্দুগামী। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PAR, O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
P, B ও B, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, PR = PB
অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, R যুক্ত করি
প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OB = OR [$\because$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$\therefore$ $\angle OBR$ = $\angle ORB$ $\ldots\ldots$ (1)
আবার, PAOB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle PAO$ + $\angle PBO$ = 180° $\ldots\ldots$(2)
এখন, $\angle PAO$ + $\angle OAR$ = 1 সরলকোণ = 180° . $\ldots\ldots$ (3)
তাহলে, (2) ও (3) থেকে পাই, $\angle PAO$ + $\angle PBO$ = $\angle PAO$ + $\angle OAR$
বা, $\angle PBO$ = $\angle OAR$
বা, $\angle PBO$ = $\angle ORA$ [$\because$ OA = OR, $\therefore$ $\angle OAR$ = $\angle ORA$] $\ldots\ldots$ (4)
এখন $\angle PBR$ = $\angle PBO$ + $\angle OBR$ [চিত্রানুসারে)
= $\angle ORA$ + $\angle ORB$ [(4) ও (1) থেকে] = $\angle PRB$
$\therefore$ $\Delta$PBR-এর $\angle PBR$ = $\angle PRB$, $\therefore$ PR = PB (প্রমাণিত)

ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ। $\therefore$ AB = BC = CD = DE = EA
প্রমাণ করতে হবে যে, পঞ্চভুজের যে-কোনাে চারটি শীর্ষবিন্দু, ধরি, A, B, C, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন : A, C এবং B, E যুক্ত করি।
প্রমাণ : $\triangle ABC$ ও $\triangle ABE$-এর মধ্যে
BC = AE [$\because$ ABCDE সুষম পঞ্চভুজ ]
AB সাধারণ বাহু এবং $\angle ABC$ = $\angle BAE$ [$\because$ সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলি সমান]
$\therefore$ $\triangle ABC$ $\cong$$\triangle ABE$ [সর্বসমতার S-A-S শর্তানুসারে]
$\therefore$ $\angle ACB$ =$\angle AEB$
অর্থাৎ, AB বাহুর একই পাশে অবস্থিত C ও E বিন্দু দুটিতে উৎপন্ন কোণ দুটি সমান।
$\therefore$ A, B, C, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অনুরূপভাবে, যে-কোনাে চারটি বিন্দু নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে, বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
$\therefore$ একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনাে চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ABC$ + $\angle ADC$ = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, $\angle ABC$ + 120° = 180°
বা, $\angle ABC$ = 60°
আবার, AOB একটি ব্যাস। $\therefore$ $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore$ $\angle ACB$ = 90°
তাহলে, $\Delta$ABC-এ $\angle BAC$ + $\angle ABC$ + $\angle ACB$ = 180°
বা, $\angle$BAC + 60° + 90° = 180° [$\because$ $\angle ABC$ = 60°, $\angle ACB$ = 90°]
বা, $\angle BAC$ = 180° - 150° = 30°
$\because$ (c) উত্তরটি সঠিক।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ব্যাস।
$\therefore$ $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। $\therefore$ $\angle ACB$ = 90°[অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
এখন, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ADC$ + $\angle ABC$ = 180°
বা, $\angle ADC$ + 65° = 180°
বা, $\angle ADC$ = 180° – 65° = 115°
$\therefore$ $\Delta$ACD-এ $\angle ACD$ + $\angle ADC$ + $\angle CAD$ = 180°
বা, $\angle ACD$ + 115° + 40° = 180°
বা, $\angle ACD$ = 180° – 155°
বা, $\angle ACD$ = 25°
$\therefore$ $\angle$BCD = $\angle ACB$ + $\angle ACD$ = 90° + 25° = $115^{\circ}$,
$\therefore$ (c) উত্তরটি সঠিক।

AOB বৃত্তটির ব্যাস।
$\therefore$ $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore$ $\angle ACB$ = $90^{\circ}$ [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]
এখন, $\angle ABC$ = 180° - ($\angle$BAC + $\angle$ACB)
= 180° - (25° + 90°) = 180° – $115^{\circ}$ = 65°
আবার, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\therefore$ $\angle ADC$ + $\angle ABC$ = 180°
বা, $\angle ADC$ + 65° = 180°
বা, $\angle ADC$ = 180° – 65° = $115^{\circ}$
AB || DC এবং AC তাদের ভেদক।
$\therefore$ $\angle ACD$ = একান্তর $\angle BAC$ = 25°
$\therefore$ $\angle$DAC = 180° - ($\angle$ADC + $\angle$ACD)
$\therefore$ 180° - (115° + 25°) = 180° – 140° = 40°
$\therefore$ (d) উত্তরটি সঠিক।

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ABC$ + $\angle ADC$ = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 92° + $\angle ADC$ = 180° [$\because$ $\angle ABC$ = 92° প্রদত্ত]
বা, $\angle ADC$ = 180° – 92° = 88°
আবার, দেওয়া আছে, AE || CD এবং AD ভেদক।
$\therefore$ $\angle CDA$ = একান্তর $\angle$DAE
বা, 88° = $\angle DAE$ [$\because \angle$CDA = 88°]
$\therefore$ $\angle$DAE = 88°
$\therefore$ $\angle DAF$ =$\angle$DAE + $\angle EAF$ = 88° + $20^{\circ}$ = 108° [$\because \angle \mathrm{DAE}=88^{\circ}$]
$\therefore$ (c) উত্তরটি সঠিক।

C ও D বিন্দু দুটি যােগ করা হল (চিত্র দেখাে)।
যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক,
সুতরাং $\angle BAD + \angle BCD = 180°$
বা, $75^{\circ}+B C D=180^{\circ}\left(\because \angle B A D=75^{\circ}\right)$
বা, $\angle B C D=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
$\therefore$ $\angle D C F=180^{\circ}-\angle B C D=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$
$\therefore$ $\angle D C F+\angle D E F=180^{\circ} \quad$ বা, $75^{\circ}+\angle D E F=180^{\circ}$
বা, $\angle D E F=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
$\therefore$ (d) নং সঠিক।

মিথ্যা। কারণ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরম্পর সম্পূরক।

সত্য।

সমবৃত্তস্থ

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক,
অর্থাৎ বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°।
যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান, সুতরাং বৃত্তস্থ সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ 90° হবে।
$\therefore$ বৃত্তস্থ সামান্তরিক আয়তক্ষেত্র হবে।

সমবৃত্তস্থ

ARBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ARB$ + $\angle ACB$ = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 150° + $\angle ACB$ = 180°
বা, $\angle ACB$ = 180° - 150° = 30°
আবার, $\angle ACD$ = $\angle ACB$ + $\angle BCD$ = 1 সরলকোণ = 180°
বা, 30° + $\angle$BCD = 180°
বা, $\angle BCD$ = 180° – 30°
বা, $\angle$BCD = 150°
এখন, Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $\angle$BCD একটি বৃত্তস্থ কোণ এবং প্রবৃদ্ধ $\angle BQD$ তার কেন্দ্রস্থ কোণ। $\therefore$ প্রবৃদ্ধ $\angle BQD$ = 2 $\angle BCD$
বা, $360^{\circ}-\angle \mathrm{BQD}=2 \angle \mathrm{BCD}$
বা, 360° - $x^{\circ}=2 \times 150^{\circ}$
বা, $360^{\circ}-x^{\circ}=300^{\circ}$ বা, $x^{\circ}=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$
$\therefore$ $x = 60$

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ADPQ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ADP$ + $\angle AQP$ = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 84° + $\angle AQP$ = 180° [$\because$ $\angle$ADP = 84°]
বা, $\angle AQP$ $= 180° – 84° = 96°$
এখন, $\angle BQP$ + $\angle AQP$ = 1 সরলকোণ = 180°
বা, $\angle BQP$ + $96^{\circ}$ = 180° [$\because$ $\angle$AQP = 96°]
বা, $\angle BQP$ = 180° – 96° = 84°
আবার, BQPC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle \mathrm{BCP}+\angle \mathrm{BQP}=180^{\circ}$
বা, $\angle \mathrm{BCP}+84^{\circ}=180^{\circ}$ [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, $\angle BCP$ $= 180° - 84° = 96°$
এখন, $\angle DPQ$ + $\angle DAQ$ = 180°
বা, $\angle$DPQ + 80° = 180° বা, $\angle DPQ$ = 180° - 80° = 100°
$\therefore$ $\angle DPQ$ + $\angle QPC$ = 1 সরলকোণ = 180°
বা, 100° + $\angle QPC$ = 180°
বা, $\angle QPC$ = 180° - 100° বা, $\angle QPC$ = 80°
আবার, $\angle QPC$ + $\angle QBC$ = 180° [$\because$ BQPC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]
বা, $80^{\circ}$ + $\angle QBC$ = 180°
বা, $\angle QBC$ = 180° - 80°
বা, $\angle QBC$ = 100°
$\therefore$ $\angle QBC$ = 100°, $\angle BCP$ = 96°

$\angle DPC$ = $\angle APB$ [চিত্রানুসারে।
= 180° - ($\angle$PAB + $\angle$PBA)
$= 180° – (60° + 80°) = 180° - 140° = 40°$
আবার, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore$ $\angle ADC$ + $\angle ABC$ = 180° [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, $\angle ADC$ $+ 80° = 180°$
বা, $\angle ADC$ $= 180° - 80° = 100°$
$\therefore$ $\angle QDA$ = 100°
$\therefore$ $\angle BQC$ = $\angle AQD$
$=180^{\circ}-(\angle \mathrm{QAD}+\angle \mathrm{QDA})$
$= 180° – (60° + 100°)$ [$\because$ $\angle$QAD = 60° (প্রদত্ত), $\angle QDA$ = 100°]
$= 180° – 160° = 20°$
$\therefore$ $\angle DPC$ = 40° এবং $\angle BQC$ = 20°

দেওয়া আছে, DC || EB এবং CE এদের ছেদক।
$\therefore$ $\angle DCE$ = $\angle BEC$ [$\because$একান্তর কোণ] $\ldots\ldots$ (1)
এখন, $\angle AOB$ = 2 $\angle ACB$ [ $\because$ কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
বা, 80° = 2$\angle ACB$ [$\because$ $\angle AOB$ = 80° প্রদত্ত]
বা, $\angle ACB$ = $\frac{80^{\circ}}{2}=40^{\circ}$ এখন, $\angle BOC$ = 180° - $\angle AOB$ = 180° – 80° = 100°
এখন, BC জ্যা দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle B E C$
$\therefore$ $\angle BEC$ = $\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$ [$\because$ $\angle B O C$ = 100°]
$\therefore$ $\angle ECD$ = 50° [(1) থেকে]
এখন, $\angle B C D$ = $\angle BCA$ + $\angle ACE$ + $\angle ECD$ = 40° + 10 + 50° = 100°
আবার, $\angle BED$ + $\angle BCD$ = 180° [$\because$ BCDE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]
বা, $\angle BED$ = 180° - $\angle BCD$
$=40^{\circ}+10^{\circ}+50^{\circ}=100^{\circ}$
$\therefore$ $\angle BED$ = 80°

দেওয়া আছে, $\angle AOD$ = 140°,
$\therefore$ প্রবৃদ্ধ $\angle AOD$ = 360° - 140° = 220°
আবার, $\widehat{A B D}$ চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = প্রবৃদ্ধ $\angle AOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = $\angle ACD$
$\therefore$ প্রবৃদ্ধ $\angle AOD$ = 2 $\angle ACD$[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক]
বা, 220° = 2 $\angle ACD$
বা, 2 $\angle ACD$ = 220°
বা, $\angle \mathrm{ACD}=\frac{220^{\circ}}{2}=110^{\circ}$
দেওয়া আছে, $\angle CAB$ = 50°
এখন, $\Delta$ACE-এ $\angle AEC$ + $\angle EAC$ + $\angle ACE$ = 180°
বা, $\angle AEC$ + 50° + 110° = 180°
বা, $\angle AEC$ = 180° – 50° - 110° = 180° – 160° = 20°
$\therefore$ $\angle BED$ = 20°