যেহেতু, সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি,
$\therefore$ সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল = ভূমির দৈর্ঘ্য $\times$ উচ্চতা
$= (5 \times 4)$ বর্গসেমি
= 20 বর্গসেমি

মনে করি, সামান্তরিকটির উচ্চতা $x$ সেমি।
অর্থাৎ, ভূমির দৈর্ঘ্য $2x$ সেমি।
প্রশ্নানুসারে, $2 x \times x=98$
বা, $2 x^{2}=98$
বা, $x^{2}=49$
$\therefore x=7\quad$ [$\because$ ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
$\therefore$ সামান্তরিকটির উচ্চতা 7 সেমি ও ভূমির দৈর্ঘ্য
$=(2 \times 7)$ সেমি
= 14 সেমি

ধরি, ABCD সামান্তরিকের BC = 15 মিটার, AB = 13 মিটার ও কর্ণ AC = 14 মিটার।
$\triangle \mathrm{ABC}$-এর অর্ধপরিসীমা $(s)=\left(\frac{13+14+15}{2}\right)$ মিটার
$=\left(\frac{42}{2}\right)$ মিটার
= 21 মিটার
$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$-এর ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ বর্গমিটার
$=\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$ বর্গমিটার
$=\sqrt{3 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 3 \times 2}$ বর্গমিটার
$=(2 \times 2 \times 3 \times 7)$ বর্গমিটার
= 84 বর্গমিটার
আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
$\therefore$ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=(2 \times 84)$ বর্গমিটার
= 168 বর্গমিটার

ABCD সামান্তরিকের
AB = 15 সেমি, BC = 25 সেমি এবং কৰ্ণ AC = 20 সেমি
$\triangle \mathrm{ABC}$ র অর্ধপরিসীমা $(s) =\frac{15+25+20}{2}$ সেমি
$=\frac{60}{2}$ সেমি
= 30 সেমি
$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$-র ক্ষেত্রফল
$=\sqrt{30(30-15)(30-25)(30-20)}$ বর্গসেমি
$=\sqrt{30 \times 15 \times 5 \times 10}$ বর্গসেমি
$=\sqrt{3 \times 10 \times 3 \times 5 \times 5 \times 10}$ বর্গসেমি
$=(3 \times 10 \times 5)$ বর্গসেমি
$=150$ বর্গসেমি
মনে করি, 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকটির উচ্চতা $AP = h$ সেমি অর্থাৎ, $\triangle \mathrm{ABC}$-এর BC ভূমির সাপেক্ষে উচ্চতা h সেমি।
প্রশ্নানুসারে, $\frac{1}{2} \times 25 \times h=150$
বা, $\mathrm{h}=\frac{150\times 2}{25}$
বা, $h=6 \times 2=12$
$\therefore$ 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকটির উচ্চতা 12 সেমি।

মনে করি, বৃহত্তর বাহু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $h$ সেমি
প্রশ্নানুসারে, $BC \times AP = CD \times AQ$
বা, $12 \times 7.5 = AB \times h$
বা, $\frac{12\times 75}{{10} \times 15}=h\quad[\because A B=15]$
$\therefore h=6$
$\therefore$ বৃহত্তম বাহু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $6$ সেমি ।

ABCD রম্বসের কর্ণ (AC) = 20 মিটার ও কর্ণ (BD) = 15 মিটার
$\because$ রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে,
$\therefore O A=\frac{1}{2} A C=\left(\frac{1}{2} \times 20\right)$ মিটার = 10 মিটার এবং
$O B=\frac{1}{2} B D=\left(\frac{1}{2} \times 15\right)$ মিটার $=\frac{15}{2}$ মিটার
$\because \triangle \mathrm{AOB}$ সমকোণী যার $\angle A O B=90^{\circ}$
$\therefore A B^{2} =O^{2}+O B^{2}$
$=(10)^{2}+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$
$=100+\frac{225}{4}$
$=\frac{625}{4}$
$\therefore \mathrm{AB}=\frac{25}{2}\quad$ [$\because$ ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
$\therefore$ ABCD রম্বসের পরিসীমা $=4 \mathrm{AB}=\left(4 \times \frac{25}{2}\right)$ মিটার
= 50 মিটার
এবং ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল
$=\left(\frac{1}{2} \times 20\times 15\right)$ বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার
মনে করি, শীর্ষবিন্দু D হতে AB -এর উচ্চতা = DP = h মিটার
সূত্রানুসারে, $A B \times h=150$
বা, $\frac{25}{2} \times h=150$
বা, $h=\frac{150 \times 2}{25}$
$\therefore h=12$
$\therefore$ ABCD রম্বসের উচ্চতা 12 মিটার।

রম্বসের পরিসীমা = 440 মিটার
$\therefore$ রম্বসটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $=\frac{440}{4}$ মিটার
= 110 মিটার
রম্বসের সমান্তরাল বাহু দুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার অর্থাৎ রম্বসটির উচ্চতা 22 মিটার।
$\therefore$ রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ভুমির দৈর্ঘ্য $\times$ উচ্চতা
$=110 \times 22$ বর্গমিটার
$=2420$ বর্গমিটার

$\because A B C D$ রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি
$\therefore$ প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $=\frac{20}{4}$ সেমি = 5 সেমি
$\triangle \mathrm{ABC}$-র $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=5$ সেমি এবং $A C=6$ সেমি
$\therefore$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2} \times A C \times \sqrt{(A B)^{2}-\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}}$
$=\left[\frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{5^{2}-\left(\frac{6}{2}\right)^{2}}\right]$ বর্গসেমি
$=[3 \times \sqrt{25-9}]$ বর্গসেমি
$= 3 \times 4$ বর্গসেমি
= 12 বর্গসেমি
$\therefore$ ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল $=2 \times \triangle \mathrm{ABC}$-র ক্ষেত্রফল
$= (2 \times 12)$ বর্গসেমি
= 24 বর্গসেমি

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গডেকামিটার।
সমান্তরাল বাহুদ্বয় (AD ও BC)-র মধ্যে লম্ব দূরত্ব = AP = 20 ডেকামিটার $AD : BC = 3 : 4$
মনে করি, $AD = 3x$ ডেকামিটার ও $BC = 4x$ ডেকামিটার
প্রশ্নানুসারে, $\frac{1}{2}(A D+B C) \times A P=1400$
বা, $\frac{1}{2} \times(3 x+4 x) \times 20=1400$
বা, $7 x=\frac{1400}{10}$
বা, $x=\frac{140}{7}$
$\therefore x=20$
$\therefore A D=(3 \times 20)$ ডেকামিটার
= 60 ডেকামিটার
$BC = (4 \times 20)$ ডেকামিটার
= 80 ডেকামিটার
$\therefore$ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 60 ডেকামিটার ও 80 ডেকামিটার।

সুষম ষড়ভূজের কর্ণগুলি অঙ্কন করলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়, যাদের ক্ষেত্রফল সমান।
$\therefore 8$ সেমি বাহুবিশিষ্ট ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল
$= 6\times 8$ সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
$=\left(6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^{2}\right)$ বৰ্গসেমি
$=\left(6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8 \times 8\right)$ বর্গসেমি
$=96 \sqrt{3}$ বর্গসেমি

সমকোণী ত্রিভুজ ABC-র $\angle A B C = 90^{\circ}$
AB = 5 মিটার ও BC = 12 মিটার
$\therefore A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}\quad$ [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]
$=5^{2}+12^{2}$
$=25+144$
$=169$
$\therefore$ $AC = 13$
$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ -এর ক্ষেত্রফল
$=\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 5\right)$ বর্গমিটার
= 30 বর্গমিটার
$\triangle \mathrm{ADC}$-এর AD = 15 মিটার, AC = 13 মিটার ও CD = 14 মিটার
$\therefore$ অর্ধপরিসীমা $(s)=\frac{15+13+14}{2}$ মিটার
$=\frac{42}{2}$ মিটার
= 21 মিটার
$\therefore \triangle \mathrm{ADC}$-র ক্ষেত্রফল
$=\sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}$ বর্গমিটার
$=\sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7}$ বর্গমিটার
$=\sqrt{3 \times 7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7}$ বর্গমিটার
$=(3 \times 7 \times 2 \times 2)$ বর্গমিটার
= 84 বর্গমিটার
$\therefore$ ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
= (30 + 84) বর্গমিটার
= 114 বর্গমিটার

ABCD ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ BD = 11 সেমি
$\mathrm{AP} \perp \mathrm{BD}$ ও $\mathrm{CQ} \perp \mathrm{BD}$
AP = 5 সেমি ও CQ = 11 সেমি
$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$ এর ক্ষেত্রফল
$=\left(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\right)$ বর্গএকক
$=\left(\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AP}\right)$ বর্গএকক
$=\left(\frac{1}{2} \times 11 \times 5 \right)$ বর্গসেমি
$=\frac{55}{2}$ বর্গসেমি
এবং $\triangle \mathrm{BCD}$-এর ক্ষেত্রফল
$=\left(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\right)$ বর্গএকক
$=\left(\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{CQ}\right)$ বর্গএকক
$=\left(\frac{1}{2} \times 11 \times 11 \right)$ বর্গসেমি
$=\frac{121}{2}$ বর্গসেমি
$\therefore A B C D$ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
$=\triangle \mathrm{ABD}$-এর ক্ষেত্রফল $+\triangle \mathrm{BCD}$-এর ক্ষেত্রফল
$=\left(\frac{55}{2}+\frac{121}{2}\right)$ বর্গসেমি
$=\frac{176}{2}$ বর্গসেমি
= 88 বর্গসেমি

ABCDE পঞ্চভুজের $BC \| AD$ এবং $E P \perp B C,$
$\therefore E Q \perp A D$
BC = 7 সেমি, AD = 13 সেমি, PE = 9 সেমি
$P Q=\frac{4}{9} P E=\left(\frac{4}{9} \times 9\right)$ সেমি
= 4 সেমি
$EQ = PE - PQ = (9 - 4)$ সেমি
= 5 সেমি
$\therefore$ ABCDE পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল
= ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $+\triangle \mathrm{ADE}$-র ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2}(B C+A D) \times P Q+\frac{1}{2} \times A D \times E Q$
$=\left[\frac{1}{2}(7+13) \times 4+\frac{1}{2} \times 13 \times 5\right]$ বর্গসেমি
$= (40 + 32.5)$ বর্গসেমি
= 72.5 বর্গসেমি

মনে করি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি,
$\therefore$ কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে $a \sqrt{2}$ সেমি
প্রশ্নানুসারে, $a \sqrt{2}=40 \sqrt{2}$
$\therefore a=40$
$\therefore$ রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 40 সেমি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 3 : 4
মনে করি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে $3x$ সেমি ও $4x$ সেমি,
যেখানে $x \neq 0$ একটি আনুপাতিক ধ্রুবক।
$\therefore$ রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়
$\left(\frac{3 x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{4 x}{2}\right)^{2}=40^{2}$
বা, $\frac{9 x^{2}}{4}+4 x^{2}=40 \times 40$
বা, $\frac{9 x^{2}+16 x^{2}}{4}=40 \times 40$
বা, $\frac{25 x^{2}}{4}=40 \times 40$
বা, $x^{2}=\frac{40 \times 40\times 4}{25}$
বা, $x^{2}=8 \times 8 \times 2 \times 2$
বা, $x=\sqrt{8 \times 8 \times 2 \times 2}=16$
$\therefore$ কর্ণদ্বয় যথাক্রমে $(3\times16)$ সেমি = 48 সেমি ও $(4 \times 16)$ সেমি = 64 সেমি
$\therefore$ রম্বসটির ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল
$=\frac{1}{2} \times 48 \times 64$ বর্গসেমি
= 1536 বর্গসেমি

ABCD ট্রাপিজিয়ামের $AD \| BC$,
যেখানে AD = 5 সেমি এবং BC = 17 সেমি।
তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য AB = DC =10 সেমি।
$A P \perp B C$ এবং $D Q \perp B C$ অঙ্কন করা হল।
APQD একটি আয়তক্ষেত্র কারণ $AD \| PQ$ ও $AP \| DQ$
এবং $\angle A P Q = 90^{\circ} PQ = AD = 5$ সেমি এবং $AP = DQ$
এখন, $\triangle \mathrm{APB}$ ও $\triangle \mathrm{DQC}$-এর
$\therefore A P=D Q, \angle A P B=\angle D Q C(=90^{\circ})$ এবং $A B=D C$
$\therefore \triangle \mathrm{APB} \cong \triangle \mathrm{DQC}\quad$ [R-H-S শর্তানুসারে]
$\therefore \mathrm{BP}=\mathrm{QC}=x \text { সেমি (ধরি) }$
$\therefore \mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QC}=17$
বা, $x+5+x=17$
বা, $2 x=12$
$\therefore x=6$
$\therefore B P=C Q=6$ সেমি
সমকোণী $\triangle \mathrm{ABP}$ -এর
$A P^{2} =A B^{2}-B P^{2}=100-36=64$
$\therefore A P=\sqrt{64}$
$\therefore A P=8$
আবার, সমকোণী $\triangle \mathrm{APC}$-র
$A C^{2}=A P^{2}+P C^{2}$
$=A P^{2}+(P Q+Q C)^{2}$
$=8^{2}+(5+6)^{2}$
$=64+121$
$=185$
$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{185}$ সেমি
$\therefore$ সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{185}$ সেমি।
$\therefore$ ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2} \times(A D+B C) \times A P$ বর্গসেমি
$=\left[\frac{1}{2} \times(5+17) \times 8\right]$ বর্গসেমি
$=(22 \times 4)$ বর্গসেমি
= 88 বর্গসেমি

ABCD ট্রাপিজিয়ামের $AD \| BC$ এবং AD = 9 সেমি, BC = 19 সেমি, AB = 6 সেমি এবং CD = 8 সেমি।
$C D \| A E$ ও $A F \perp B C$ অঙ্কন করা হল।
$\because AD \| EC$ এবং $AE \| CD$
$\therefore$ AECD একটি সামান্তরিক যার AE = CD = 8 সেমি এবং AD = EC = 9 সেমি।
$\therefore$ EC = 9 সেমি এবং BC = 19 সেমি
$\therefore$ $BE = (19-9)$ সেমি = 10 সেমি
এখন, $\triangle \mathrm{ABE}$-এর অর্ধপরিসীমা
$=\frac{6+10+8}{2}$ সেমি
= 12 সেমি
$\therefore \triangle \mathrm{ABE}$-এর ক্ষেত্রফল
$=\sqrt{12(12-6)(12-10)(12-8)}$ বর্গসেমি
$=\sqrt{12 \times 6 \times 2 \times 4}$ বর্গসেমি
$=\sqrt{2 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2}$ বর্গসেমি
$=(2 \times 6 \times 2)$ বর্গসেমি
= 24 বর্গসেমি
আবার, $\triangle \mathrm{ABE}$-এর ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2} \times B E \times A F$
$=\left(\frac{1}{2} \times 10 \times A F\right)$ বর্গসেমি
$=(5 \times \mathrm{AF})$ বর্গসেমি
শর্তানুসারে, 5AF = 24
বা, $A F=\frac{24}{5}$
$\therefore$ ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2} \times(A D+B C) \times A F$
$=\left[\frac{1}{2} \times(9+19) \times \frac{24}{5}\right]$ বর্গসেমি
$=\left[\frac{28 \times 12}{5}\right]$ বর্গসেমি
= 67.2 বর্গসেমি

মনে করি, সামান্তরিকটির ভূমি $x$ সেমি
$\therefore$ উচ্চতা $=\frac{x}{3}$ সেমি
প্রশ্নানুসারে, $x \times \frac{x}{3}=192$
বা, $x^{2}=192 \times 3 \quad$
বা, $x^{2}=576 \quad$
বা, $x=\sqrt{576}=24$
$\therefore$ সামান্তরিকটির উচ্চতা $=\frac{24}{3}$ সেমি
$= 8$ সেমি

$\triangle \mathrm{ABC}$-এর AB = BC = 6 সেমি এবং $\angle A B C=60^{\circ}$
$\therefore \angle B A C+\angle B C A=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
$\therefore \angle B A C=\angle B C A=\frac{120}{2}=60^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ সমবাহু
$\therefore$ AC = 6 সেমি
$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল
$=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^{2}\right)$ বর্গসেমি
$=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 \times 6\right)$ বর্গসেমি
$=9 \sqrt{3}$ বর্গসেমি
$\therefore$ ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল $=2 \times \triangle \mathrm{ABC}$-এর ক্ষেত্রফল
$=2 \times 9 \sqrt{3}$ বর্গসেমি
$=18 \sqrt{3}$ বর্গসেমি

মনে করি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $x$ সেমি
$\therefore$ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য $3x$ সেমি
প্রশ্নানুসারে, $\frac{1}{2} \times x \times 3 x=96$
বা, $\frac{3}{2} \times x^{2}=96 \quad$
বা, $x^{2}=96 \times \frac{2}{3}$
বা, $x^{2}=64 \quad$
বা, $x=8$
$\therefore$ বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য $(3\times 8)$ সেমি
$= 24$ সেমি

ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্র ও BCEF রম্বস একই ভূমি BC-এর উপর অবস্থিত।
প্রদত্ত ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $x^{2}$ একক।
অর্থাৎ, $\mathrm{BC} \times \mathrm{BC}=x^{2}$
$\therefore$ আবার, BCEF রম্বসের ক্ষেত্রফল y বর্গএকক।
মনে করি, $\mathrm{FG} \perp \mathrm{BC}$,
$\therefore$ রম্বস BCEF র ক্ষেত্রফল $B C \times F G=y$
$\because$ BGF একটি সমকোণী ত্রিভুজের, $BF > FG$
বা, $BC > FG$
বা, $B C \cdot B C > F G \cdot B C$
বা, $x^{2} > y$
$\therefore y < x^{2}$

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2} \times$ (সমান্তরাল বাহুদুটির সমষ্টি) $\times$ উচ্চতা
বা, $162=\frac{1}{2}(23+x) \times 6\quad[x=$ অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য$]$
বা, $\frac{162}{3}=23+x$
বা, $x+23=54$
$\therefore x=31$

ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।
$\because$ সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
$\therefore$ $\triangle \mathrm{ABD}$-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{96}{2}$ বর্গসেমি = 48 বর্গসেমি
মনে করি, শীর্ষবিন্দু A হতে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = AE = h সেমি (ধরি)
$\therefore \frac{1}{2} \times B D \times h=48$
বা, $\frac{1}{2} \times 12 \times h=48$
বা, $h=\frac{48 \times 2}{12}=8$
$\therefore$ নির্ণেয় উচ্চতা 8 সেমি।

ABCD সামান্তরিকের বৃহত্তম বাহু (BC = AD) = 5 সেমি ক্ষুদ্রতম বাহু (AB = CD) = 3 সেমি
AD ও BC র মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব (AP) = 2 সেমি
মনেকরি, AB ও CD-এর মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব (AQ) = h সেমি
প্রশ্নানুসারে, $B C \times A P=C D \times A Q$
বা, $5 \times 2=3 \times h$
বা, $\mathrm{h}=\frac{10}{3}$
$\therefore h=3 \frac{1}{3}$
$\therefore$ ক্ষুদ্রতম বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $3 \frac{1}{3}$ সেমি।

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (ভূমির দৈর্ঘ্য $\times$ উচ্চতা) বর্গএকক
$= (5 \times 4)$ বর্গসেমি
= 20 বর্গসেমি
$\therefore$ রম্বসটির ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি।

ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের $AD \| BC$
এবং AB = CD = 62 সেমি
$A P \perp B C$ অঙ্কন করা হল।
যেহেতু, $\angle A B C\quad ($বা $\angle A B P) = 45^{\circ}$
$\triangle \mathrm{ABP}$ -এর $\angle A B P+\angle B A P+\angle A P B=180^{\circ}$
বা, $45^{\circ}+\angle B A P+90^{\circ}=180^{\circ}$
বা, $\angle B A P=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}$
বা, $\angle B A P=45^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{ABP}$ সমদ্বিবাহু যার $BP = AP = x$ সেমি (ধরি)
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$A P^{2}+B P^{2}=A B^{2}$
বা, $x^{2}+x^{2}=62^{2} \quad$
বা, $2 x^{2}=62 \times 62$
বা, $x^{2}=\frac{62 \times 62}{2}$
$\therefore x=31 \sqrt{2}$
$\therefore$ ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব $31 \sqrt{2}$ সেমি।

ABCD সামান্তরিকের AB = 4 সেমি, BC = 6 সেমি এবং $\angle A B C=30^{\circ}$
$A F \perp B C$ অঙ্কন করে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যাতে $AF = FE$ হয়।
এখন $\triangle \mathrm{ABF}$ ও $\triangle \mathrm{BEF}$-র
(i) $AF = FE$
(ii) $\angle \mathrm{AFB}=\angle \mathrm{BFE}\left(=90^{\circ}\right)$
(iii) BF সাধারণ বাহু
$\therefore \triangle \mathrm{ABF} \cong \triangle \mathrm{BEF}\quad$ [S-A-S শর্তানুসারে]
$\therefore \angle \mathrm{FBA}=\angle \mathrm{EBF}=30^{\circ}\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
এবং $AF = FE\quad$ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
$\therefore \angle B A F=\angle B E F=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+30^{\circ}\right)=60^{\circ}$
এখন, $\triangle \mathrm{ABE}$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ অর্থাৎ
AB = BE = AE = 4 সেমি
$\therefore \mathrm{AF}=\mathrm{FE}$
$=\frac{1}{2}(\mathrm{AF}+\mathrm{FE})$
$=\frac{1}{2} \times \mathrm{AE}$
$=\left(\frac{1}{2} \times 4\right)$ সেমি
= 2 সেমি
এখন, সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল $=\mathrm{BC} \times \mathrm{AF}$
$=(6 \times 2)$ বর্গসেমি
= 12 বর্গসেমি