যেহেতু, সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি,
\(\therefore\) সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল = ভূমির দৈর্ঘ্য \(\times\) উচ্চতা
\(= (5 \times 4)\) বর্গসেমি
= 20 বর্গসেমি

মনে করি, সামান্তরিকটির উচ্চতা \(x\) সেমি।
অর্থাৎ, ভূমির দৈর্ঘ্য \(2x\) সেমি।
প্রশ্নানুসারে, \(2 x \times x=98\)
বা, \(2 x^{2}=98 \)
বা, \(x^{2}=49\)
\(\therefore x=7\quad\) [\(\because\) ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
\(\therefore\) সামান্তরিকটির উচ্চতা 7 সেমি ও ভূমির দৈর্ঘ্য
\(=(2 \times 7)\) সেমি
= 14 সেমি

ধরি, ABCD সামান্তরিকের BC = 15 মিটার, AB = 13 মিটার ও কর্ণ AC = 14 মিটার।
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর অর্ধপরিসীমা \((s)=\left(\frac{13+14+15}{2}\right)\) মিটার
\(=\left(\frac{42}{2}\right)\) মিটার
= 21 মিটার
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-এর ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{3 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 3 \times 2}\) বর্গমিটার
\(=(2 \times 2 \times 3 \times 7)\) বর্গমিটার
= 84 বর্গমিটার
আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\(\therefore\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \( =(2 \times 84)\) বর্গমিটার
= 168 বর্গমিটার

ABCD সামান্তরিকের
AB = 15 সেমি, BC = 25 সেমি এবং কৰ্ণ AC = 20 সেমি
\(\triangle \mathrm{ABC}\) র অর্ধপরিসীমা \((s) =\frac{15+25+20}{2}\) সেমি
\(=\frac{60}{2}\) সেমি
= 30 সেমি
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফল
\(=\sqrt{30(30-15)(30-25)(30-20)}\) বর্গসেমি
\(=\sqrt{30 \times 15 \times 5 \times 10}\) বর্গসেমি
\(=\sqrt{3 \times 10 \times 3 \times 5 \times 5 \times 10}\) বর্গসেমি
\(=(3 \times 10 \times 5)\) বর্গসেমি
\(=150\) বর্গসেমি
মনে করি, 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকটির উচ্চতা \(AP = h\) সেমি অর্থাৎ, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর BC ভূমির সাপেক্ষে উচ্চতা h সেমি।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{1}{2} \times 25 \times h=150\)
বা, \(\mathrm{h}=\frac{150\times 2}{25}\)
বা, \(h=6 \times 2=12\)
\(\therefore\) 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকটির উচ্চতা 12 সেমি।

মনে করি, বৃহত্তর বাহু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(h\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(BC \times AP = CD \times AQ\)
বা, \(12 \times 7.5 = AB \times h\)
বা, \(\frac{12\times 75}{{10} \times 15}=h\quad[\because A B=15] \)
\(\therefore h=6\)
\(\therefore\) বৃহত্তম বাহু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(6\) সেমি ।

ABCD রম্বসের কর্ণ (AC) = 20 মিটার ও কর্ণ (BD) = 15 মিটার
\(\because\) রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে,
\(\therefore O A=\frac{1}{2} A C=\left(\frac{1}{2} \times 20\right)\) মিটার = 10 মিটার এবং
\(O B=\frac{1}{2} B D=\left(\frac{1}{2} \times 15\right)\) মিটার \(=\frac{15}{2}\) মিটার
\(\because \triangle \mathrm{AOB}\) সমকোণী যার \(\angle A O B=90^{\circ}\)
\(\therefore A B^{2} =O^{2}+O B^{2}\)
\( =(10)^{2}+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}\)
\(=100+\frac{225}{4}\)
\(=\frac{625}{4}\)
\(\therefore \mathrm{AB}=\frac{25}{2}\quad\) [\(\because\) ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
\(\therefore\) ABCD রম্বসের পরিসীমা \(=4 \mathrm{AB}=\left(4 \times \frac{25}{2}\right)\) মিটার
= 50 মিটার
এবং ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times\) কর্ণদ্বয়ের গুণফল
\(=\left(\frac{1}{2} \times 20\times 15\right)\) বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার
মনে করি, শীর্ষবিন্দু D হতে AB -এর উচ্চতা = DP = h মিটার
সূত্রানুসারে, \(A B \times h=150\)
বা, \( \frac{25}{2} \times h=150 \)
বা, \( h=\frac{150 \times 2}{25}\)
\(\therefore h=12 \)
\(\therefore\) ABCD রম্বসের উচ্চতা 12 মিটার।

রম্বসের পরিসীমা = 440 মিটার
\(\therefore\) রম্বসটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=\frac{440}{4}\) মিটার
= 110 মিটার
রম্বসের সমান্তরাল বাহু দুটির মধ্যে দূরত্ব 22 মিটার অর্থাৎ রম্বসটির উচ্চতা 22 মিটার।
\(\therefore\) রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ভুমির দৈর্ঘ্য \(\times\) উচ্চতা
\(=110 \times 22\) বর্গমিটার
\(=2420\) বর্গমিটার

\(\because A B C D\) রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি
\(\therefore\) প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=\frac{20}{4}\) সেমি = 5 সেমি
\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=5\) সেমি এবং \(A C=6\) সেমি
\(\therefore\) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times A C \times \sqrt{(A B)^{2}-\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}}\)
\(=\left[\frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{5^{2}-\left(\frac{6}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=[3 \times \sqrt{25-9}]\) বর্গসেমি
\(= 3 \times 4\) বর্গসেমি
= 12 বর্গসেমি
\(\therefore\) ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=2 \times \triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফল
\(= (2 \times 12)\) বর্গসেমি
= 24 বর্গসেমি

ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গডেকামিটার।
সমান্তরাল বাহুদ্বয় (AD ও BC)-র মধ্যে লম্ব দূরত্ব = AP = 20 ডেকামিটার \(AD : BC = 3 : 4\)
মনে করি, \(AD = 3x \) ডেকামিটার ও \(BC = 4x\) ডেকামিটার
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{1}{2}(A D+B C) \times A P=1400\)
বা, \(\frac{1}{2} \times(3 x+4 x) \times 20=1400\)
বা, \(7 x=\frac{1400}{10}\)
বা, \(x=\frac{140}{7} \)
\( \therefore x=20\)
\(\therefore A D=(3 \times 20)\) ডেকামিটার
= 60 ডেকামিটার
\(BC = (4 \times 20)\) ডেকামিটার
= 80 ডেকামিটার
\(\therefore\) সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 60 ডেকামিটার ও 80 ডেকামিটার।

সুষম ষড়ভূজের কর্ণগুলি অঙ্কন করলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়, যাদের ক্ষেত্রফল সমান।
\(\therefore 8\) সেমি বাহুবিশিষ্ট ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল
\(= 6\times 8\) সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\left(6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^{2}\right)\) বৰ্গসেমি
\(=\left(6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8 \times 8\right)\) বর্গসেমি
\(=96 \sqrt{3}\) বর্গসেমি

সমকোণী ত্রিভুজ ABC-র \(\angle A B C = 90^{\circ} \)
AB = 5 মিটার ও BC = 12 মিটার
\(\therefore A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}\quad\) [পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে]
\(=5^{2}+12^{2}\)
\(=25+144\)
\(=169\)
\(\therefore\) \(AC = 13\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\) -এর ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 5\right)\) বর্গমিটার
= 30 বর্গমিটার
\(\triangle \mathrm{ADC}\)-এর AD = 15 মিটার, AC = 13 মিটার ও CD = 14 মিটার
\(\therefore\) অর্ধপরিসীমা \((s)=\frac{15+13+14}{2}\) মিটার
\(=\frac{42}{2}\) মিটার
= 21 মিটার
\(\therefore \triangle \mathrm{ADC}\)-র ক্ষেত্রফল
\(=\sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{3 \times 7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7}\) বর্গমিটার
\(=(3 \times 7 \times 2 \times 2)\) বর্গমিটার
= 84 বর্গমিটার
\(\therefore\) ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
= (30 + 84) বর্গমিটার
= 114 বর্গমিটার

ABCD ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ BD = 11 সেমি
\(\mathrm{AP} \perp \mathrm{BD}\) ও \(\mathrm{CQ} \perp \mathrm{BD}\)
AP = 5 সেমি ও CQ = 11 সেমি
\(\therefore \triangle \mathrm{ABD}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\right)\) বর্গএকক
\(=\left(\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AP}\right)\) বর্গএকক
\(=\left(\frac{1}{2} \times 11 \times 5 \right)\) বর্গসেমি
\(=\frac{55}{2}\) বর্গসেমি
এবং \(\triangle \mathrm{BCD}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\right)\) বর্গএকক
\(=\left(\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{CQ}\right)\) বর্গএকক
\(=\left(\frac{1}{2} \times 11 \times 11 \right)\) বর্গসেমি
\(=\frac{121}{2}\) বর্গসেমি
\(\therefore A B C D\) ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
\(=\triangle \mathrm{ABD}\)-এর ক্ষেত্রফল \(+\triangle \mathrm{BCD}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{55}{2}+\frac{121}{2}\right)\) বর্গসেমি
\(=\frac{176}{2}\) বর্গসেমি
= 88 বর্গসেমি

ABCDE পঞ্চভুজের \(BC \| AD\) এবং \(E P \perp B C,\)
\(\therefore E Q \perp A D\)
BC = 7 সেমি, AD = 13 সেমি, PE = 9 সেমি
\(P Q=\frac{4}{9} P E=\left(\frac{4}{9} \times 9\right)\) সেমি
= 4 সেমি
\(EQ = PE - PQ = (9 - 4)\) সেমি
= 5 সেমি
\(\therefore\) ABCDE পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল
= ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল \(+\triangle \mathrm{ADE}\)-র ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}(B C+A D) \times P Q+\frac{1}{2} \times A D \times E Q\)
\(=\left[\frac{1}{2}(7+13) \times 4+\frac{1}{2} \times 13 \times 5\right]\) বর্গসেমি
\(= (40 + 32.5)\) বর্গসেমি
= 72.5 বর্গসেমি

মনে করি, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি,
\(\therefore\) কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে \(a \sqrt{2}\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(a \sqrt{2}=40 \sqrt{2}\)
\( \therefore a=40\)
\(\therefore\) রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 40 সেমি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 3 : 4
মনে করি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \(3x\) সেমি ও \(4x\) সেমি,
যেখানে \(x \neq 0\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক।
\(\therefore\) রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়
\(\left(\frac{3 x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{4 x}{2}\right)^{2}=40^{2}\)
বা, \(\frac{9 x^{2}}{4}+4 x^{2}=40 \times 40 \)
বা, \(\frac{9 x^{2}+16 x^{2}}{4}=40 \times 40\)
বা, \(\frac{25 x^{2}}{4}=40 \times 40\)
বা, \(x^{2}=\frac{40 \times 40\times 4}{25}\)
বা, \(x^{2}=8 \times 8 \times 2 \times 2\)
বা, \(x=\sqrt{8 \times 8 \times 2 \times 2}=16\)
\(\therefore\) কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \((3\times16)\) সেমি = 48 সেমি ও \((4 \times 16)\) সেমি = 64 সেমি
\(\therefore\) রম্বসটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times\) কর্ণদ্বয়ের গুণফল
\(=\frac{1}{2} \times 48 \times 64\) বর্গসেমি
= 1536 বর্গসেমি

ABCD ট্রাপিজিয়ামের \(AD \| BC\),
যেখানে AD = 5 সেমি এবং BC = 17 সেমি।
তির্যক বাহুর দৈর্ঘ্য AB = DC =10 সেমি।
\(A P \perp B C\) এবং \(D Q \perp B C\) অঙ্কন করা হল।
APQD একটি আয়তক্ষেত্র কারণ \(AD \| PQ\) ও \(AP \| DQ\)
এবং \(\angle A P Q = 90^{\circ} PQ = AD = 5\) সেমি এবং \(AP = DQ \)
এখন, \(\triangle \mathrm{APB}\) ও \(\triangle \mathrm{DQC}\)-এর
\(\therefore A P=D Q, \angle A P B=\angle D Q C(=90^{\circ})\) এবং \(A B=D C\)
\(\therefore \triangle \mathrm{APB} \cong \triangle \mathrm{DQC}\quad\) [R-H-S শর্তানুসারে]
\(\therefore \mathrm{BP}=\mathrm{QC}=x \text { সেমি (ধরি) }\)
\(\therefore \mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QC}=17\)
বা, \(x+5+x=17\)
বা, \(2 x=12 \)
\( \therefore x=6\)
\(\therefore B P=C Q=6\) সেমি
সমকোণী \(\triangle \mathrm{ABP}\) -এর
\( A P^{2} =A B^{2}-B P^{2}=100-36=64\)
\(\therefore A P=\sqrt{64} \)
\( \therefore A P=8\)
আবার, সমকোণী \(\triangle \mathrm{APC}\)-র
\(A C^{2}=A P^{2}+P C^{2}\)
\(=A P^{2}+(P Q+Q C)^{2}\)
\(=8^{2}+(5+6)^{2}\)
\(=64+121\)
\(=185\)
\(\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{185}\) সেমি
\(\therefore\) সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{185}\) সেমি।
\(\therefore\) ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times(A D+B C) \times A P\) বর্গসেমি
\(=\left[\frac{1}{2} \times(5+17) \times 8\right]\) বর্গসেমি
\(=(22 \times 4)\) বর্গসেমি
= 88 বর্গসেমি

ABCD ট্রাপিজিয়ামের \(AD \| BC\) এবং AD = 9 সেমি, BC = 19 সেমি, AB = 6 সেমি এবং CD = 8 সেমি।
\(C D \| A E\) ও \( A F \perp B C\) অঙ্কন করা হল।
\(\because AD \| EC\) এবং \(AE \| CD\)
\(\therefore\) AECD একটি সামান্তরিক যার AE = CD = 8 সেমি এবং AD = EC = 9 সেমি।
\(\therefore\) EC = 9 সেমি এবং BC = 19 সেমি
\(\therefore\) \(BE = (19-9)\) সেমি = 10 সেমি
এখন, \(\triangle \mathrm{ABE}\)-এর অর্ধপরিসীমা
\(=\frac{6+10+8}{2}\) সেমি
= 12 সেমি
\(\therefore \triangle \mathrm{ABE}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=\sqrt{12(12-6)(12-10)(12-8)}\) বর্গসেমি
\(=\sqrt{12 \times 6 \times 2 \times 4}\) বর্গসেমি
\(=\sqrt{2 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2}\) বর্গসেমি
\(=(2 \times 6 \times 2)\) বর্গসেমি
= 24 বর্গসেমি
আবার, \(\triangle \mathrm{ABE}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times B E \times A F\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 10 \times A F\right)\) বর্গসেমি
\(=(5 \times \mathrm{AF})\) বর্গসেমি
শর্তানুসারে, 5AF = 24
বা, \(A F=\frac{24}{5}\)
\(\therefore\) ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times(A D+B C) \times A F\)
\(=\left[\frac{1}{2} \times(9+19) \times \frac{24}{5}\right]\) বর্গসেমি
\(=\left[\frac{28 \times 12}{5}\right]\) বর্গসেমি
= 67.2 বর্গসেমি

মনে করি, সামান্তরিকটির ভূমি \( x\) সেমি
\(\therefore\) উচ্চতা \(=\frac{x}{3}\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(x \times \frac{x}{3}=192\)
বা, \(x^{2}=192 \times 3 \quad\)
বা, \(x^{2}=576 \quad\)
বা, \(x=\sqrt{576}=24\)
\(\therefore\) সামান্তরিকটির উচ্চতা \(=\frac{24}{3}\) সেমি
\(= 8\) সেমি

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর AB = BC = 6 সেমি এবং \(\angle A B C=60^{\circ}\)
\(\therefore \angle B A C+\angle B C A=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\)
\(\therefore \angle B A C=\angle B C A=\frac{120}{2}=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\) সমবাহু
\(\therefore\) AC = 6 সেমি
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^{2}\right)\) বর্গসেমি
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 \times 6\right)\) বর্গসেমি
\(=9 \sqrt{3}\) বর্গসেমি
\(\therefore\) ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=2 \times \triangle \mathrm{ABC}\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=2 \times 9 \sqrt{3}\) বর্গসেমি
\(=18 \sqrt{3}\) বর্গসেমি

মনে করি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি
\(\therefore\) অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য \(3x\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{1}{2} \times x \times 3 x=96\)
বা, \(\frac{3}{2} \times x^{2}=96 \quad\)
বা, \(x^{2}=96 \times \frac{2}{3}\)
বা, \(x^{2}=64 \quad\)
বা, \(x=8\)
\(\therefore\) বড় কর্ণটির দৈর্ঘ্য \((3\times 8)\) সেমি
\(= 24\) সেমি

ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্র ও BCEF রম্বস একই ভূমি BC-এর উপর অবস্থিত।
প্রদত্ত ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(x^{2}\) একক।
অর্থাৎ, \(\mathrm{BC} \times \mathrm{BC}=x^{2}\)
\(\therefore\) আবার, BCEF রম্বসের ক্ষেত্রফল y বর্গএকক।
মনে করি, \(\mathrm{FG} \perp \mathrm{BC}\),
\(\therefore\) রম্বস BCEF র ক্ষেত্রফল \(B C \times F G=y\)
\(\because\) BGF একটি সমকোণী ত্রিভুজের, \(BF > FG\)
বা, \(BC > FG\)
বা, \(B C \cdot B C > F G \cdot B C\)
বা, \(x^{2} > y \)
\( \therefore y < x^{2}\)

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times\) (সমান্তরাল বাহুদুটির সমষ্টি) \(\times\) উচ্চতা
বা, \(162=\frac{1}{2}(23+x) \times 6\quad[x=\) অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য\(] \)
বা, \(\frac{162}{3}=23+x\)
বা, \(x+23=54\)
\(\therefore x=31\)

ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।
\(\because\) সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{ABD}\)-এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{96}{2}\) বর্গসেমি = 48 বর্গসেমি
মনে করি, শীর্ষবিন্দু A হতে BD কর্ণের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য = AE = h সেমি (ধরি)
\(\therefore \frac{1}{2} \times B D \times h=48\)
বা, \(\frac{1}{2} \times 12 \times h=48\)
বা, \(h=\frac{48 \times 2}{12}=8\)
\(\therefore\) নির্ণেয় উচ্চতা 8 সেমি।

ABCD সামান্তরিকের বৃহত্তম বাহু (BC = AD) = 5 সেমি ক্ষুদ্রতম বাহু (AB = CD) = 3 সেমি
AD ও BC র মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব (AP) = 2 সেমি
মনেকরি, AB ও CD-এর মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব (AQ) = h সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(B C \times A P=C D \times A Q\)
বা, \(5 \times 2=3 \times h\)
বা, \( \mathrm{h}=\frac{10}{3} \)
\(\therefore h=3 \frac{1}{3}\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রতম বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 3 \frac{1}{3} \) সেমি।

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (ভূমির দৈর্ঘ্য \(\times\) উচ্চতা) বর্গএকক
\(= (5 \times 4)\) বর্গসেমি
= 20 বর্গসেমি
\(\therefore\) রম্বসটির ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি।

ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের \(AD \| BC \)
এবং AB = CD = 62 সেমি
\(A P \perp B C\) অঙ্কন করা হল।
যেহেতু, \(\angle A B C\quad (\)বা \(\angle A B P) = 45^{\circ}\)
\(\triangle \mathrm{ABP}\) -এর \(\angle A B P+\angle B A P+\angle A P B=180^{\circ}\)
বা, \(45^{\circ}+\angle B A P+90^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle B A P=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}\)
বা, \(\angle B A P=45^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABP}\) সমদ্বিবাহু যার \(BP = AP = x\) সেমি (ধরি)
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(A P^{2}+B P^{2}=A B^{2}\)
বা, \(x^{2}+x^{2}=62^{2} \quad\)
বা, \(2 x^{2}=62 \times 62\)
বা, \(x^{2}=\frac{62 \times 62}{2}\)
\( \therefore x=31 \sqrt{2}\)
\(\therefore\) ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(31 \sqrt{2}\) সেমি।

ABCD সামান্তরিকের AB = 4 সেমি, BC = 6 সেমি এবং \(\angle A B C=30^{\circ}\)
\( A F \perp B C \) অঙ্কন করে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যাতে \(AF = FE\) হয়।
এখন \(\triangle \mathrm{ABF}\) ও \(\triangle \mathrm{BEF}\)-র
(i) \(AF = FE\)
(ii) \(\angle \mathrm{AFB}=\angle \mathrm{BFE}\left(=90^{\circ}\right)\)
(iii) BF সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle \mathrm{ABF} \cong \triangle \mathrm{BEF}\quad\) [S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore \angle \mathrm{FBA}=\angle \mathrm{EBF}=30^{\circ}\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
এবং \(AF = FE\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
\(\therefore \angle B A F=\angle B E F=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+30^{\circ}\right)=60^{\circ}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{ABE}\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ অর্থাৎ
AB = BE = AE = 4 সেমি
\(\therefore \mathrm{AF}=\mathrm{FE}\)
\(=\frac{1}{2}(\mathrm{AF}+\mathrm{FE})\)
\(=\frac{1}{2} \times \mathrm{AE}\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 4\right)\) সেমি
= 2 সেমি
এখন, সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল \(=\mathrm{BC} \times \mathrm{AF}\)
\(=(6 \times 2)\) বর্গসেমি
= 12 বর্গসেমি