\(\because \triangle A B C\) র \(A B=B C=C A=10\) সেমি
\(\therefore\) ABC ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
\(\therefore\) ABC সমবাহু ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2}\right)\) বর্গসেমি
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{5} \times 10^{5}\right)\) বর্গসেমি
\(=25 \sqrt{3}\) বর্গসেমি

\(\because \triangle \mathrm{ABC}\)-র \(A B=A C=10\) সেমি এবং ভূমি \(B C=8\) সেমি
\(\therefore ABC\) ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
\(\therefore\triangle ABC\) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\left[\frac{1}{2} \times B C \times \sqrt{(A B)^{2}-\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=\left[\frac{1}{2} \times 8^{4} \times \sqrt{10^{2}-\left(\frac{8}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=[4 \times \sqrt{100-16}]\) বর্গসেমি
\(=[4 \times \sqrt{84}]\) বর্গসেমি
\(=[4 \times 2 \sqrt{21}]\) বর্গসেমি
\(=8 \sqrt{21}\) বর্গসেমি

ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
= BCDE আয়তক্ষেত্রের \(+\triangle \mathrm{AEB}\) -এর ক্ষেত্রফল
\(=C D \times B C+\frac{1}{2} \times B E \times A E\)
\(=\left[(3 \times 4)+\frac{1}{2} \times C D \times(A D-D E)\right]\) বর্গসেমি \(\quad[\because \mathrm{CD}=\mathrm{BE}]\)
\(=\left[12+\frac{1}{2} \times 3 \times(5-4)\right]\) বর্গসেমি \(\quad[\because \mathrm{DE}=\mathrm{BC}]\)
\(=\left[12+\frac{1}{2} \times 3 \times 1\right]\) বর্গসেমি
\(=(12+1.5)\) বর্গসেমি
\(=13.5\) বর্গসেমি

\(\because A B \| D C\) এবং \(\angle A D C=90^{\circ}\)
\(\therefore \mathrm{ABCD}\) ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}(A B+D C) \times A D\)
\(=\left[\frac{1}{2}(15+40) \times 9\right]\) বর্গসেমি
\(=\left[\frac{1}{2} \times 55 \times 9\right]\) বর্গসেমি
\(=247.5\) বর্গসেমি

ABCD চতুর্ভুজের \(AB\|DC, AD\|BC\) এবং \(\angle A D C=90^{\circ}\)
\(\therefore A B C D\) একটি আয়তক্ষেত্র, যার কর্ণ \(A C=42\) সেমি এবং \(CD=38\) সেমি
\(\therefore A D=\sqrt{A C^{2}-C D^{2}}=\sqrt{42^{2}-38^{2}}\) সেমি
\(=\sqrt{1764-1444}\) সেমি
\(=\sqrt{320}\) সেমি
\(=8 \sqrt{5}\) সেমি
\(\therefore\) ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=(38 \times 8 \sqrt{5})\) বর্গসেমি
\(=304 \sqrt{5}\) বর্গসেমি

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(= a\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(3 a=48 \)
\(\therefore a=16\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16^{2}\right)\) বর্গসেমি
\( =\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 16^{4} \times 16\right) \) বর্গসেমি
\(= 64 \sqrt{3}\) বর্গসেমি

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{\sqrt{3}}{2} x=5 \sqrt{3}\)
বা, \(x = 10\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা \(=(3 \times 10)\) সেমি
\(=30\) সেমি
এবং ক্ষেত্রফল \(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2}\right)\) বর্গসেমি
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 10 \times 10\right)\) বর্গসেমি
\(=25 \sqrt{3}\) বর্গসেমি

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times \text { ভূমির দৈর্ঘ্য }\times \sqrt{(\text { সমান বাহুর একটির দৈর্ঘ্য })^{2}-(\text { ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধেক })^{2}}\)
\(=\left[\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \sqrt{10^{2}-\left(\frac{4}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=[2 \times \sqrt{100-4}]\) বর্গসেমি
\(=[2 \times \sqrt{96}]\) বর্গসেমি
\(=[2 \times 4 \sqrt{6}]\) বর্গসেমি
\(=8 \sqrt{6}\) বর্গসেমি

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times \text{ভূমির দৈর্ঘ্য} \times \sqrt{(\text{সমান বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য})^{2}-( \text{ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধেক})^{2}}\)
\(=\left[\frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{10^{2}-\left(\frac{12}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\( =[6 \times \sqrt{100-36}] \) বর্গসেমি
\(= [6 \times \sqrt{64}]\) বর্গসেমি
\(=(6 \times 8)\) বর্গসেমি
\(= 48\) বর্গসেমি

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য \(=x\) সেমি
\(\therefore\) সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য \(=\left(x \times \frac{5}{6}\right)\) সেমি \(=\frac{5 x}{6}\) সেমি
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{5 x}{6}+\frac{5 x}{6}+x=544\)
বা, \(\frac{5 x+5 x+6 x}{6}=544\)
বা, \(\frac{16 x}{6}=544\)
বা, \(x=\frac{544 \times 6}{16}=204\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য \( 204\) সেমি এবং সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য \(=\frac{5 \times 204}{6}\) সেমি \(=170\) সেমি
\(\therefore\) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
\(=\left[\frac{1}{2} \times 204 \times \sqrt{(170)^{2}-\left(\frac{204}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=\left[102 \times \sqrt{(170)^{2}-(102)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=[102 \times \sqrt{28900-10404}]\) বর্গসেমি
\(=[102 \times \sqrt{18496}]\) বর্গসেমি
\(=[102 \times 136]\) বর্গসেমি
\( = 13872\) বর্গসেমি

মনে করি, সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি।
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
\(x^{2}+x^{2}=(12 \sqrt{2})^{2}\)
বা, \(2 x^{2}=2 \times 12 \times 12\)
বা, \(x^{2}=12 \times 12\)
বা, \(x = 12\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-র \(AB = BC = 12\) সেমি
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফল \(=\left(\frac{1}{2} \times B C \times A B\right)\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 12\right)\) বর্গসেমি
\(=72\) বর্গসেমি

যেহেতু, সামান্তরিকটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি ও 8 সেমি অর্থাৎ অসমান এবং এরা পরস্পর 90° কোনে নত,
\(\therefore\) সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
ABCD রম্বসের AC = 8 সেমি এবং BD = 6 সেমি
যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত হয়,
\(\therefore \mathrm{OA}=\frac{8}{2}\) সেমি \(=4\) সেমি এবং \(\mathrm{OB}=\frac{6}{2}\) সেমি \(=3\) সেমি
এখন, \(\triangle \mathrm{AOB}\)-এর, \(O A^{2}+O B^{2}=A B^{2}\)
বা, \(4^{2}+3^{2}=A B^{2} \quad\)
বা, \(A B^{2}=25 \quad\)
বা, \(A B=5\)
\(\therefore\) সামন্তরিকটির (রম্বসের) প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি।

যেহেতু, ত্রিভুজাকৃতি পার্কের বাহুগুলির অনুপাত 2 : 3 : 4
\(\therefore\) মনে করি, বাহুগুলি যথাক্রমে \(2x\) মিটার, \(3x\) মিটার, ও \(4x\) মিটার, যেখানে \(x (\neq 0)\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক।
প্রশ্নানুসারে, \(2x + 3x + 4x = 216\)
বা, \(9x = 216\)
বা, \(x=\frac{216}{9}=24\)
\(\therefore\) প্রথম বাহুটির দৈর্ঘ্য \(= (2 \times 24)\) মিটার = 48 মিটার
দ্বিতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য \(= (3 \times 24)\) মিটার = 72 মিটার
তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য \(= (4 \times 24)\) মিটার = 96 মিটার
এখন, ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা \(=\frac{216}{2}\) মিটার = 108 মিটার
\(\therefore\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
\(=\sqrt{108(108-48)(108-72)(108-96)}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{108 \times 60 \times 36 \times 12}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{3 \times 3 \times 12 \times 2 \times 2 \times 15 \times 6 \times 6 \times 12}\) বর্গমিটার
\(=3 \times 12 \times 2 \times 6 \times \sqrt{15}\) বর্গমিটার
\(=432 \sqrt{15}\) বর্গমিটার
\(\therefore\) পার্কটির ক্ষেত্রফল \(432 \sqrt{15}\) বর্গমিটার [(i)]
মনে করি, বিপরীত শীর্ষবিন্দু A থেকে বৃহত্তম বাহু BC = 96 মিটার -এর উচ্চতা AD = h মিটার
\(\therefore \frac{1}{2} \times 96 \times \mathrm{h}=432 \sqrt{15}\)
বা, \(h=\frac{3 \times 12 \times 2 \times 6 \times \sqrt{15}}{48}=9 \sqrt{15}\)
পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে \(9 \sqrt{15}\) মিটার পথ হাঁটতে হবে। [(ii)]

ত্রিভুজাকৃতি মাঠটির তিনপাশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার ও 30 মিটার।
\(\therefore\) মাঠটির পরিসীমা \(= (26+28+ 30)\) মিটার
= 84 মিটার
অর্থাৎ, অর্ধপরিসীমা \(=\frac{84}{2}\) মিটার
= 42 মিটার
\(\therefore\) ত্রিভুজাকার মাঠটির ক্ষেত্রফল
\(=\sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12}\) বর্গমিটার
\(=\sqrt{3 \times 14 \times 4 \times 4 \times 14 \times 2 \times 2 \times 3}\) বর্গমিটার
\(=(3 \times 14 \times 4 \times 2)\) বর্গমিটার
= 336 বর্গমিটার
(i) প্রতি বর্গমিটারে 5 টাকা হিসেবে 336 বর্গমিটারে ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে \(= (336 \times 5)\) টাকা = 1680 টাকা
(ii) যেহেতু, গেট করার জন্য 5 মিটার ছাড়তে হবে,
\(\therefore\) গেট বাদ দিয়ে অবশিষ্ট অংশের পরিসীমা \(= (84-5)\) মিটার = 79 মিটার
এখন, প্রতি মিটার 18 টাকা হিসেবে 79 মিটার বেড়া দিতে মোট খরচ হবে \(= (79 \times 18)\) টাকা = 1422 টাকা

চিত্রের, \(\triangle P Q R\) অন্তঃস্থ একটি বিন্দু O থেকে QR, RP, PQ-এর উপর যথাক্রমে OA, OB, OC লম্ব, যেখানে OA = 8 সেমি, OB = 10 সেমি ও OC = 12 সেমি।
\(\because \triangle \mathrm{PQR}\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ,
\(\therefore PQR\)-এর \(PQ = QR = RP = x\) সেমি (ধরি)
এখন, \(\triangle P Q R\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=(\triangle \mathrm{OQR}+\triangle \mathrm{OPR}+\triangle \mathrm{OPQ})\)-এর ক্ষেত্রফল
বা, \(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}=\frac{1}{2} \times Q R \times O A+\frac{1}{2} \times P R \times O B+\frac{1}{2} \times P Q \times O C\)
বা, \(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}=\frac{1}{2} \times x \times 8+\frac{1}{2} \times x \times 10+\frac{1}{2} \times x \times 12\)
বা, \(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}=15 x\)
বা, \(x=\frac{15 \times 4}{\sqrt{3}}=\frac{60 \times \sqrt{3}}{3}=20 \sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle P Q R\) ক্ষেত্রফল \(=(15 \times 20 \sqrt{3})\) বর্গসেমি
\(=300 \sqrt{3}\) বর্গসেমি

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর \(\angle B A C=45^{\circ}\)
এবং \(AB = AC = 20\) সেমি \(\mathrm{BP} \perp \mathrm{AC}\) অঙ্কন করা হল।
\(\therefore \angle \mathrm{ABP}+\angle \mathrm{BAP}+\angle \mathrm{APB}=180^{\circ}\)
\(45^{\circ}+\angle B A P+90^{\circ}=180^{\circ}\)
বা, \(\angle B A P=45^{\circ}\)
\(\therefore\) সমকোণী ত্রিভুজ \(BPA\)-র \(\angle A B P=45^{\circ}\)
\(\therefore \angle B A P(=\angle B A C)=\angle A B P\)
\(\therefore\) \(AP = BP = x \) সেমি
সমকোণী সমদ্বিবাহু \(ABP\)-এর
\(A P^{2}+B P^{2}=A B^{2}\)
বা, \(x^{2}+x^{2}=20^{2}\)
বা, \(2x^{2} = 400\)
বা, \(x^{2}=200\)
বা, \(x=10 \sqrt{2}\quad\) [\(\because\) ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
অর্থাৎ, \(B P=10 \sqrt{2}\) সেমি
এখন, \(\triangle \mathrm{ABC}\) ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times A C \times B P\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 20 \times 10 \sqrt{2}\right)\) বর্গসেমি
\(=100 \sqrt{2}\) বর্গসেমি

\(\triangle \mathrm{ABC}\)-র AB = AC = 20 সেমি এবং \(\angle B A C=30^{\circ}\)।
\(B E \perp A C\) অঙ্কন করে বর্ধিত করা হল এবং বর্ধিতাংশ থেকে BE = ED কেটে নিয়ে A, D যুক্ত করা হল।
\( \because \triangle \mathrm{ABE}\)-এর \(\angle \mathrm{BAE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{AEB}=90^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{ABE}=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)
\(\triangle \mathrm{ABE}\) ও \(\triangle \mathrm{ADE}\)-র
(i) \(BE = ED\) (অঙ্কনানুসারে)
(ii) \( \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{AED}\left(=90^{\circ}\right) \) এবং
(iii) AE সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{ADE}\quad\) [S-A-S শর্তানুসারে]
\(\therefore \angle A B E=\angle A D E=60^{\circ}\) এবং \(\angle B A E=\angle D A E=30^{\circ}\)
এখন, \(\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BAE}+\angle \mathrm{DAE}=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{ABD}\)-র \(\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজ ABD সমবাহু যার BD = AB = AD = 20 সেমি এবং
\(\because\) BE = ED
\(\therefore B E=\left(\frac{1}{2} B D\right)=\left(\frac{1}{2} \times 20\right)\) সেমি = 10 সেমি
সুতরাং, \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র ক্ষেত্রফল \(\left(\frac{1}{2} \times A C \times B E\right)\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 20 \times 10\right)\) বর্গসেমি
= 100 বর্গসেমি

মনে করি, \(\triangle \mathrm{ABC}\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু যার
\(\angle A B C=90^{\circ}\) এবং \(AB = BC = x\) সেমি,
\(\therefore\) পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
\(x^{2}+x^{2}=\mathrm{AC}^{2}\)
বা, \(A C^{2}=2 x^{2}\)
\(\therefore\) \(\mathrm{AC}=\sqrt{2} x\)
প্রশ্নানুসারে, \(x+x+\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1\)
\(\quad\quad [\because\) ত্রিভুজটির পরিসীমা \(\sqrt{2}+1\) সেমি\(]\)
বা, \(2 x+\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1\)
বা, \(\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) x=(\sqrt{2}+1)\)
বা, \(x=\frac{(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}\)
\(\therefore\left(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য \(=\left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) সেমি = 1 সেমি
এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{1}{2} \times B C \times A B\right)\) বর্গএকক
\(=\left(\frac{1}{2} \times x \times x\right)\) বর্গসেমি
\(=\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) বর্গসেমি
\(=\frac{1}{4}\) বর্গসেমি
= 0.25 বর্গসেমি

মারিয়া 60 মিনিটে যায় \(=18\) কিমি
\(\therefore\) মারিয়া 1 মিনিটে যায় \(=\frac{18}{60}\) কিমি
\(\therefore\) মারিয়া 10 মিনিটে যায় \(=\frac{18 \times 10}{60}\) কিমি = 3 কিমি
সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা = 3 কিমি
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(=\frac{3}{3}\) কিমি = 1 কিমি
ওই ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের একটি কৌনিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহু পর্যন্ত সোজা পথের দৈর্ঘ্য = সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা
\(=(\frac{\sqrt{3}}{2} \times\) বাহু\()\) একক
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1\right)\) কিমি
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) কিমি
সাইকেলটি 18 কিমি পথ যায় = 60 মিনিটে
\(\therefore\) 1 কিমি পথ যায় \(=\frac{60}{18}\) মিনিটে
\(\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}\) কিমি পথ যায় \(=\frac{60 \times \sqrt{3}}{2 \times 18}\) মিনিটে
\(=\frac{5 \times 1.732}{3}\) মিনিটে
\(=2.89\) মিনিটে (প্রায়)

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(= x\) মিটার
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল \(=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}\) বর্গমিটার
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(1\) মিটার বৃদ্ধি পেলে সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে \((x+1)\) মিটার এবং ক্ষেত্রফল হবে \(\frac{\sqrt{3}}{4}(x+1)^{2}\) বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{\sqrt{3}}{4}(x+1)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}+\sqrt{3}\)
বা, \((x+1)^{2}=x^{2}+4\)
বা, \(x^{2}+2 x+1-x^{2}=4\)
বা, \(2 x=3\)
বা, \(x=\frac{3}{2}=1.5\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(1.5\) মিটার।

মনে করি, বর্গক্ষেত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x \) সেমি
\(\therefore\) কর্ণের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{2} x\) সেমি এবং ক্ষেত্রফল \(x^{2}\) বর্গসেমি
প্রশ্নানুসারে, \(\sqrt{2} x=60\)
বা, \(x=\frac{60 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{60 \sqrt{2}}{2}\)
বা, \(x=30 \sqrt{2}\)
\(\therefore x^{2}=(30 \sqrt{2})^{2}=(900 \times 2)=1800\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল : বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{3}: 2\)
\(\because\) \(\frac{\text { সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল }}{1800}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{\sqrt{3} \times 1800}{2}\)
বা, \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times\) একটি বাহুর বর্গ \(=900 \times \sqrt{3}\)
বা, একটি বাহুর বর্গ \(=900 \times \sqrt{3} \times \frac{4}{\sqrt{3}}\)
বা, একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{900 \times 4}\)
বা, একটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=30 \times 2=60\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 60 সেমি
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা \(= (3 \times60)\) সেমি = 180 সেমি

সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা 30 সেমি ও অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।
\(\because\) সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= অর্ধপরিসীমা \(\times\) (অর্ধপরিসীমা \(-\) অতিভুজ)
\(=\frac{30}{2}\left(\frac{30}{2}-13\right)\) বৰ্গসেমি
\(= 15(15-13)\) বর্গসেমি
\(= [15 \times 2]\) বর্গসেমি
= 30 বর্গসেমি
বিকল্প পদ্ধতি : সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা 30 সেমি
অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 সেমি
ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a সেমি এবং b সেমি।
\(\therefore a^{2}+b^{2}=13^{2}\)
বা, \(a^{2}+b^{2}=169\ldots(i)\)
অপরপক্ষে, \(a + b + 13 = 30\)
বা, \(a + b = 30 - 13\)
বা, \(a+b=17\ldots(ii)\)
(ii) নং সমীকরণের উভয়দিকে বর্গ করে পাই
\((a+b)^{2}=(17)^{2}\)
বা, \(a^{2}+2 a b+b^{2}=289\)
বা, \(169+2 a b=289\)
বা, \(2ab = 289 - 169\)
বা, \(2 a b=120\)
বা, \(a b=60\)
\(\therefore\) সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2} \times a \times b\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 60\right)\) বর্গসেমি = 30 বর্গসেমি।

ABC সমকোণী ত্রিভুজের AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি
এবং \(\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}\) ।
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-এর ক্ষেত্রফল \(=\left(\frac{1}{2} \times A B \times B C\right)\)
\(=\left(\frac{1}{2} \times 5 \times 12\right)\) বর্গসেমি
= 30 বর্গসেমি
আবার, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
\(A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}\)
বা, \(A C^{2}=5^{2}+12^{2} \)
বা, \( A C^{2}=25+144 \)
বা, \( A C^{2}=169 \)
\(\therefore\) \( A C=13\)
মনে করি, সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজ AC-এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য AD।
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC}\)-এর ক্ষেত্রফল = 30 বর্গসেমি
বা, \(\frac{1}{2} \times A C \times B D=30 \)
বা, \( \frac{1}{2} \times 13 \times B D=30\)
বা, \(\mathrm{BD}=\frac{30 \times 2}{13}=\frac{60}{13}\)
বা, \(\mathrm{BD}=4.61538\)
\(\therefore B D=4.615\) (প্রায়)
\(\therefore\) লম্বের দৈর্ঘ্য 4.615 সেমি (প্রায়)।

মনে করি, বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) সেমি
\(EF = FC = CD = DE = x\) সেমি
\( BC = 4\) সেমি
\(\therefore\) \(BF = (4 - x)\) সেমি
\(A C=3\) সেমি
\(\therefore A D=(3-x)\) সেমি
এখন, \(\triangle A B C\)-এর ক্ষেত্রফল
\(=(\triangle \mathrm{BEF}+\triangle \mathrm{AED}+\) বর্গক্ষেত্র \(EFCD)\)-এর ক্ষেত্রফল
বা, \(\frac{1}{2} \times 4\times 3=\frac{1}{2} \times(4-x)\times x+\frac{1}{2} \times x \times(3-x)+x^{2} \)
বা, \( 12=4 x-x^{2}+3 x-x^{2}+2 x^{2}\)
বা, \(7 x=12\)
বা, \(x=\frac{12}{7}=1 \frac{5}{7}\)
\(\therefore\) বৃহত্তম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(1 \frac{5}{7}\) সেমি।

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা \(= \frac{\sqrt{3}}{2} \times\) একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
\(= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4\) সেমি
\(= 2 \sqrt{3}\) সেমি

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য \(a\) একক হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য \(a \sqrt{2}\) একক।
\(\therefore\) সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা \((a+a+a \sqrt{2})\) একক
\(=(2 a+a \sqrt{2})\) একক
\(=(2+\sqrt{2}) a\) একক

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) একক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল \((a) =\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}\) বর্গএকক
পরিসীমা \((s) = 3x\) একক
এবং উচ্চতা \((h)=\frac{\sqrt{3}}{2} x\) একক
\(\therefore \frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{sh}}=\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}}{3 x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} x}=\frac{\sqrt{3} x^{2}}{2} \times \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3} \cdot x^{2}}=\frac{1}{3}\)

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2} \times \text{ভূমির দৈর্ঘ্য} \times \sqrt{(\text{সমান বাহুর একটির দৈর্ঘ্য})^{2}-(\text{ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধেক})^{2}}\)
\(=\left[\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{5^{2}-\left(\frac{6}{2}\right)^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(=\left[\frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{5^{2}-3^{2}}\right]\) বর্গসেমি
\(= (3 \times 4)\) বর্গসেমি
\(= 12\) বর্গসেমি

যেহেতু, \(AD : DC = 3 : 2 \)
ধরি, \(AD = 3x\) একক
এবং \(DC = 2x\) একক,
যেখানে \(x \neq 0\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক।
এখন, \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{BDC}}=\frac{(3 x+2 x)}{2 x}\)
[\(\because\) একই শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের উহাদের ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের সমান]
বা, \(\frac{40}{\Delta \mathrm{BDC}}=\frac{5}{2}\)
বা, \(\triangle \mathrm{BDC}=\frac{40 \times 2}{5}\)
\(\therefore\) \(\triangle \mathrm{BDC}=16\)
\(\therefore \triangle B D C\)-র ক্ষেত্রফল 16 বর্গসেমি

মনে করি, ত্রিভুজটির তিনটি বাহু যথাক্রমে a একক, b একক, c একক ও পরিসীমা s একক
\(\therefore s-a=8, s-b=7, s-c=5\)
\(\therefore s-a+s-b+s-c=8+7+5\)
বা, \(3 s-(a+b+c)=20\)
বা, \(3 s-2 s=20\)
\(\therefore s=20\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) বর্গএকক
\(=\sqrt{20 \times 8 \times 7 \times 5}\) বর্গসেমি
\(=\sqrt{5 \times 4 \times 4 \times 2 \times 7 \times 5}\) বর্গসেমি
\(=4 \times 5 \times \sqrt{14}\) বর্গসেমি
\(=20 \sqrt{14}\) বর্গসেমি

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) একক
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x\)
বা, \(x=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore\) সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য \(= 2\) একক

ধরি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে a একক, b একক ও c একক।
\(\therefore\) অর্ধপরিসীমা \((s) =\frac{a+b+c}{2}\)
এবং ক্ষেত্রফল \((A)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) বর্গএকক
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে বাহুগুলি হবে 2a একক 2b একক ও 2c একক এবং অর্ধপরিসীমা
\(=\frac{2 a+2 b+2 c}{2}\) একক
\(= (a + b + c)\) একক
\(= 2s\) একক
এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
\(=\sqrt{2 s(2 s-2 a)(2 s-2 b)(2 s-2 c)}\) বর্গএকক
\(=\sqrt{2 s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}\) বর্গএকক
\(=4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) বর্গএকক
\(= 4A\) বর্গএকক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি \(= (4A - A)\) বর্গএকক
\(= 3A\) বর্গ একক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার \(=\frac{3 A}{A} \times 100 \%=300 \%\)

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(x\) একক, \(y\) একক ও \(z\) একক।
\(\therefore\) অর্ধপরিসীমা \((s)=\frac{x+y+z}{2}\) একক
এবং ক্ষেত্রফল \((A)=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\) বর্গএকক
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করলে বাহুগুলি হবে যথাক্রমে \(3x\) একক, \(3y\) একক ও \(3z\) একক এবং অর্ধপরিসীমা
\(=\frac{3 x+3 y+3 z}{2}\) একক
\(=3\left(\frac{x+y+z}{2}\right)\) একক
এখন, ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{3 s(3 s-3 x)(3 s-3 y)(3 s-3 z)}\) বর্গএকক
\(=\sqrt{3 s \cdot 3(s-x) \cdot 3(s-y) \cdot 3(s-z)}\) বর্গএকক
\(=9 \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\) বর্গএকক
\(= 9A\) বর্গএকক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি \(= (9A – A)\) বর্গএকক
\(= 8A\) বর্গএকক
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার \(=\frac{8 A}{A} \times 100 \%=800 \%\)

যেহেতু, সমকোণী ত্রিভুজটির তিনটি বাহু যথাক্রমে \((x-2)\) সেমি, \(x \) সেমি ও \((x + 2)\) সেমি।
সুতরাং, \((x + 2)\) সেমি অবশ্যই ত্রিভুজটির অতিভুজ হবে কারণ,
\((x + 2) > x > x-2\)
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
\((x+2)^{2}=x^{2}+(x-2)^{2}\)
বা, \(x^{2}+4 x+4=x^{2}+x^{2}-4 x+4\)
বা, \(0=2 x^{2}-4 x+4-4 x-4-x^{2}\)
বা \( x^{2}-8 x=0 \)
বা, \(x(x-8)=0\)
অর্থাৎ, হয় \(x = 0\), যাহা অসম্ভব অথবা \(x - 8 = 0\)
\(\therefore\) \(x = 8\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য \(= (8 + 2)\) সেমি \(= 10\) সেমি

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ধরি \(x\) একক
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}\) বর্গএকক
এবং ত্রিভুজটির উচ্চতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2} x\) একক
ত্রিভুজটির উচ্চতার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)^{2}\) বর্গএকক
\(=\frac{3}{4} x^{2}\) বর্গএকক
\(\therefore\) ত্রিভুজ ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}: \frac{3}{4} x^{2}\)
\(=1: \sqrt{3}\)