গণিত প্রকাশ সমাধান সামান্তরিকের ধর্ম (Class-9) কষে দেখি 6 || West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 6 সামান্তরিকের ধর্ম || West Bengal Board Class 9 Math Solution Chapter 6 || Class 9 Solution koshe dekhi 6 || সামান্তরিকের ধর্ম || WBBSE Class 9 Math koshe dekhi 6 || Ganit Prakash Class 9 Solution koshe dekhi 6 || Ganit Prakash Solution Class 9 In Bengali || গণিত প্রকাশ সমাধান নবম শ্রেণী
Share this page using :
Ganit Prakash Class 9 Math Solution || Class 9 Chapter 6 || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 6 kosi dakhi 6 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 6 || সামান্তরিকের ধর্ম
কষে দেখি - 6
Ganit Prakash Class 9 Math Solution || Class 9 Chapter 6 || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 6 kosi dakhi 6 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 6 || সামান্তরিকের ধর্ম
1. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে, সামান্তরিকটি একটি আয়তকার চিত্র।
ধরা যাক, \(ABCD\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(AC\) ও \(BD\) পরস্পর সমান অর্থাৎ, \(AC = BD\)
প্রামাণ্য বিষয় : \(ABCD\) একটি আয়তাকার চিত্র, অর্থাৎ, \(ABCD\)-র যে-কোনো একটি কোণের মান \(90^{\circ}\)।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABC}\) ও \(\triangle B C D\)-র
\(AB = DC\quad\) [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(BC\) সাধারণ বাহু
\(AC = BD\quad\) [স্বীকার]
\(\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{BCD}\quad\) [\(S – S – S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore \angle A B C=\angle B C D\)
\(\quad\quad\)[\(\because \) সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়] \(\ldots(i)\)
আবার, \(\angle A B C+\angle B C D=180^{\circ}\)
\(\quad\quad\) [\(\because \) সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^{\circ}\)]
বা, \(\angle A B C+\angle A B C=180^{\circ}\)
বা, \(2 \angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle A B C=90^{\circ}\)
\(\because ABCD\) সামান্তরিকের \(\angle A B C=90^{\circ},\)
\(\therefore ABCD\) একটি আয়তাকার চিত্র। (প্রমাণিত)
2. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, সামান্তরিকটি একটি বর্গাকার চিত্র হবে।
ধরা যাক, \(ABCD\) সামান্তরিকের, কর্ণ \(AC =\) কর্ণ \(BD\) এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{DOA}=90^{\circ}\)
প্রামাণ্য বিষয় : \(ABCD\) একটি বগাকার চিত্র।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{AOB}\) ও \(\triangle \mathrm{AOD}\)-র
\(OB = OD\quad\) [\(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হয়]
\(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOD}\left[=90^{\circ}\right]\)
\(OA\) সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB} \cong \mathrm{AOD}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore AB = AD\quad\) [\(\because \) সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়]
আবার, \(\because ABCD \) সামান্তরিক,
\(\therefore AD = BC\) এবং \(AB = DC\)
\(\therefore AB = BC = CD = DA\)
\(\because AC = BD\)
বা, \(\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} B D\)
বা, \(OA = OB \)
\(\therefore \angle O B A=\angle O A B\quad\) [সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়]
একইভাবে দেখানো যায়, \(\angle O A D=\angle O D A\)
এখন \(\triangle \mathrm{ADB}\)-র
\(\angle B D A+\angle B A D+\angle A B D=180^{\circ}\)
বা, \(\angle O D A+\angle B A D+\angle O B A=180^{\circ} \)
বা, \(\angle O A D+\angle B A D+\angle O A B=180^{\circ} \)
বা, \(\angle B A D+(\angle O A D+\angle O A B)=180^{\circ} \)
বা, \(\angle B A D+\angle B A D=180^{\circ} \)
বা, \(2 \angle B A D=180^{\circ} \)
\(\therefore \angle B A D=90^{\circ}\)
\(\therefore ABCD\) সামান্তরিকের \(AB = BC = CD = DA\) এবং \(\angle B A D=90^{\circ}\)
\(\therefore ABCD\) একটি বর্গাকার চিত্র।
3. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
ধরা যাক, \(ABCD\) সামান্তরিকের, \(AC\) ও \(BD\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(ABCD\) একটি রম্বস।
প্রমাণ : যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore\) \(OB = OD\ldots(1) \)
এখন \(\triangle \mathrm{AOB}\) ও \(\triangle A O D\)-র
(i) \(OB = OD\quad\) [\((1)\) থেকে পাই]
(ii) \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOD}\quad\) [\(=90^{\circ}\), স্বীকার]
(iii) \(OA\) সাধারণ বাহু
\(\therefore \triangle \mathrm{AOB} \cong \triangle \mathrm{AOD}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore AB = AD\ldots(i)\quad\) [\(\because \) সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়]
আবার, \(ABCD\) সামান্তরিক হওয়ায়
\( \left.\begin{array}{l}A B=D C \\ \text { এবং } A D=B C\end{array}\right\} \ldots(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই, \(AB = BC = CD = AD\)
\(\therefore ABCD\) সামান্তরিকটি একটি রম্বস। (প্রমাণিত)
4. ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। O বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখা AB ও DC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে \(OP = OQ\)
প্রদত্ত : \(ABCD\) সামান্তরিকের, \(AC\) ও \(BD\) কর্ণ পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(O\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা \(AB\) ও \(DC\)-কে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(OP = OQ\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{APO}\) ও \(\triangle \mathrm{COQ}\)-র
\(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{COQ}\quad\) [এরা বিপ্রতীপ কোণ]
\(AO = OC\quad\) [\(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]
\(\angle \mathrm{OAP}(=\angle \mathrm{CAB})=\angle \mathrm{OCQ}(=\angle \mathrm{ACD})\)
\(\quad [\because AB \| DC\) এবং \(AC\) ভেদক \(\therefore \angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACD}\) (একান্তর কোণ)\(]\)
\(\therefore \triangle \mathrm{APO} \cong \triangle \mathrm{COQ}\quad\) [\(A-S-A\) শর্তানুসারে]
\(\therefore OP=OQ\) (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়) (প্রমাণিত)
5. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহ টাপিজিয়ামের যে-কোনো সমান্তরাল বাহুসংলগ্ন দুটি কোণ পরস্পর সমান।
ধরা যাক, \(ABCD\) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার \(AD \| BC\) এবং \(AB = DC\)
প্রামাণ্য বিষয় : \(\angle A B C=\angle D C B\) এবং \(\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}\)
অঙ্কন : শীর্ষবিন্দু \(D\) থেকে \(DE \| AB\) অঙ্কন করা হল যা \(BC\)-কে \( E\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : \(ABED\) চতুর্ভুজের,
\(AD \| BE\quad\) [স্বীকার]
এবং \( AB \| DE\quad\) [অঙ্কন অনুসারে]
\(\therefore ABED\) একটি সামান্তরিক।
\(\therefore AB = DE\) এবং \(AB \| DE\)
\(\because AB \| DE\) এবং \(BC\) ছেদক
\(\therefore \angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{DEC}\quad\) [এরা অনুরূপ কোণ] \(\ldots(i)\)
আবার, \(AB = DE\) এবং \(AB = DC\) হওয়ায় \(DE = DC\)
\(\therefore \angle D C E=\angle D E C\ldots(ii)\)
সুতরাং \((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই, \(\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{DCE}\)
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCB}\) (প্রমাণিত)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, \(\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}\)
\(\therefore\) একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যে-কোনো সমান্তরাল বাহুসংলগ্ন কোণ পরস্পর সমান। (প্রমাণিত)
6. ABCD বর্গাকার চিত্রে BC বাহুর উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। B বিন্দু থেকে AP এর উপর অঙ্কিত লম্ব DC বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, \(AP = BQ\)
প্রদত্ত : \(ABCD\) বর্গাকার চিত্রের \(BC\) বাহুর উপর \(P\) যে-কোনো একটি বিন্দু।
\(B\) বিন্দু থেকে \(AP\)-র উপর অঙ্কিত লম্বের বর্ধিতাংশ \(DC\)-কে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AP\) ও \(BQ\) পরস্পরকে \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(AP= BQ\)
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{ABP}\) ও \(\triangle \mathrm{BPR}\)-র
\(\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{BRP}\quad [\because \mathrm{AB} \perp \mathrm{BP}\quad \mathrm{AP} \perp \mathrm{BR}]\)
\(\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{RPB}\) [একই কোণ]
\(\therefore\) অবশিষ্ট \(\angle B A P=\angle R B P\) অর্থাৎ \(\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{QBC} \ldots(i)\)
এখন \(\triangle \mathrm{ABP}\) ও \(\triangle B Q C\)-র
\(\angle A B P=\angle B C Q\left[=90^{\circ}\right]\)
\(AB = BC\quad\) [\(\because ABCD\) বর্গাকার চিত্র]
\(\angle B A P=\angle Q B C\quad\) [\((i)\) হতে পাই]
\(\therefore \triangle \mathrm{ABP} \cong \triangle \mathrm{BCQ}\quad\) [\(A-S-A\) শর্তানুসারে]
\(\therefore AP = BQ\) [অনুরূপ বাহু] (প্রমাণিত)
7. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ পরস্পর সমান ও দুটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল হলে, চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
ধরা যাক, \(ABCD\) চতুর্ভুজের \(\angle A B C=\angle A D C\) এবং \(AB \| DC\)
প্রামাণ্য বিষয় : \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : \(AC\) কৰ্ণ অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, \(AB \| DC\) এবং \(AC\) ভেদক
\(\therefore \angle B A C=\) একান্তর \(\angle A C D\)
এখন \(\triangle A B C\) ও \(\triangle \mathrm{ADC}\)-র
\(\angle A B C=\angle A D C\quad\) [স্বীকার]
\(\angle B A C=\angle A C D\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
অবশিষ্ট \(\angle B C A=\angle C A D\), কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
\(AD \| BC\)
এখন \(ABCD\) চতুর্ভুজের \(A B \| D C\) (স্বীকার) এবং
\(A D \| B C\quad\) (পূর্বে প্রমাণিত)
\(\therefore ABCD\) একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
8. \(\triangle \mathrm{ABC}\)-এর BP ও CQ মধ্যমা দুটি যথাক্রমে R ও S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যে, \(BP = PR\) এবং \(CQ = QS\) হয়। প্রমাণ করি যে, \(S, A, R\) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
প্রদত্ত : \(\triangle \mathrm{ABC}\)-র \(BP\) ও \(CQ\) মধ্যমাদ্বয় যথাক্রমে \(R\) ও \(S\) পর্যন্ত এরূপে বর্ধিত করা হল যাতে \(BP = PR\) এবং \(CQ = QS\) হয়।
প্রামাণ্য বিষয় : \(S, A, R\) সমরেখ।
অঙ্কন : \(B, S\) এবং \(C, R\) যোগ করা হল।
প্রমাণ : \(BCRA\) চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় \(BR\) ও \(AC\) পরস্পরকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\therefore BP = PR\) [স্বীকার] এবং \(AP = PC\) [\(P, AC\)-র মধ্যবিন্দু]
\(\therefore BCRA\) চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় \(BR\) ও \(AC, P\) বিন্দুতে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore BCRA\) একটি সামান্তরিক।
\(\therefore BC \| AR \ldots(i)\)
আবার, \(BCAS\) চতুর্ভুজের \(AB\) ও \(CS\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(\because CQ = QS\) [স্বীকার] এবং \(AQ = QB\quad\) [\(\because Q, AB\)-র মধ্যবিন্দু]
\(\therefore BCAS\) চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় \(AB\) ও \(CS\) পরস্পরকে \(Q\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
\(\therefore BCAS\) একটি সামান্তরিক।
\(\therefore\) \(BC || AS \ldots(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে দেখা যাচ্ছে যে, \(A\) বিন্দুগামী দুটি রেখাংশ একই রেখাংশ \(BC\)-র সমান্তরাল।
\(\therefore\) ইহা সম্ভব হবে তখনই যখন \(A\) বিন্দুগামী রেখাংশদ্বয় একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে।
\(\therefore S, A, R\) সমরেখ। (প্রমাণিত)
Ganit Prakash Class 9 Math Solution || Class 9 Chapter 6 || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 6 kosi dakhi 6 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 6 || সামান্তরিকের ধর্ম
9. PQRS সামান্তরিকের SQ কর্ণ K ও L বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়েছে। PK, SR-কে M বিন্দুতে এবং RL, PQ কে N বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে PMRN একটি সামান্তরিক।
প্রদত্ত : \(PQRS\) সামান্তরিকের \(QS\)-এর উপর \(L\) ও \(K\) এমন দুটি বিন্দু যেখানে \(QL = LK =KS\)।
বর্ধিত \(RL, PQ\)-কে \(N\) বিন্দুতে এবং বর্ধিত \(PK, SR\)-কে \(M\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয় : \(PMRN\) একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ : \(\triangle \mathrm{LQR}\) ও \(\triangle \mathrm{PKS}\)-এর
\(QR = PS\quad\) [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\angle \mathrm{LQR}=\angle \mathrm{PSK}\quad\) [\(\because QR \| PS\) এবং \(QS\) ছেদক]
\(\therefore \angle \mathrm{RQS}=\) একান্তর \(\angle \mathrm{PSQ}\)
\(QL = KS\quad\) (স্বীকার)
\(\therefore \triangle \mathrm{LQR} \cong \triangle \mathrm{PSK}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে ]
\(\therefore \angle \mathrm{QRL}=\angle \mathrm{KPS}\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের সমান সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।]
\(\therefore \angle \mathrm{QRN}=\angle \mathrm{MPS}\)
\(\triangle \mathrm{QRN}\) ও \(\triangle \mathrm{PMS}\)-র \(\angle \mathrm{QRN}=\angle \mathrm{MPS}\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
\(QR = PS\quad\) [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\angle \mathrm{NQR}=\angle \mathrm{PSM}\quad\) [\(\because \) সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]
\(\therefore \triangle \mathrm{QRN} \cong \triangle \mathrm{PMS}\quad\) [\(A-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore QN = SM\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজের সমান সমান কোণগুলির বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান] \(\ldots(i)\)
\(\because PQRS\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore PQ=SR\)
বা, \(PQ - QN = SR - SM\quad\) [\((i)\) হতে পাই]
\(\therefore P N=R M\)
\(\therefore PMRN\) চতুর্ভুজের \(PN = RM\)
এবং \(PN \| RM\quad[\because \mathrm{PQ} \| \mathrm{RS}]\)
\(\therefore PMRN\) একটি সামান্তরিক। [\(\because \) কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজ একটি সামান্তরিক হয়।] (প্রমাণিত)
10. ABCD ও AECF দুটি সামান্তরিকেরই AC একটি কর্ণ। B, E, D, F বিন্দুগুলি সমরেখ না হলে, প্রমাণ করি যে, BEDF একটি সামান্তরিক।
প্রদত্ত : \(ABCD\) ও \(AECF\) দুইটি সামান্তরিকেরই \(AC\) একটি কর্ণ। \( B, E, D, F\) বিন্দুগুলি সমরেখ নয়।
প্রামাণ্য বিষয় : \(BEDF\) একটি সামান্তরিক।
প্রমাণ : যেহেতু, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{ACB}\quad\) [\(AD \| BC\) এবং \(AC\) ভেদক] \(\ldots(i) \)
\(\because AECF\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore \angle \mathrm{FAC}=\) একান্তর \(\angle A C E\)
\(\quad\quad [ AE \| FC\) এবং \(AC\) ভেদক\(] \ldots(ii)\)
\((i) + (ii) \therefore \angle \mathrm{CAD}+\angle \mathrm{FAC}=\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ACE}\)
\(\therefore \angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{BCE}\)
\(\triangle \mathrm{AFD}\) ও \(\triangle \mathrm{BCE}\)-র \(AF = CE\)
\(\quad[\because AF\) ও \(CE, AECF\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু\(]\)
\(\angle \mathrm{FAD}=\angle \mathrm{BCE}\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
\(AD = BC\quad\) [\(\because AD\) ও \(BC, ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\therefore \triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{BCE}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore FD = BE\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
আবার, \(\because ABCD\) একটি সামান্তরিক যার \(AB \| CD\) এবং \(AC\) ভেদক
\(\therefore \angle B A C=\) একান্তর \(\angle A C D\ldots(iii)\)
\((ii)-(iii) \therefore \angle \mathrm{FAC}-\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACE}-\angle \mathrm{ACD} \)
\(\therefore \angle \mathrm{FAB}=\angle \mathrm{DCE} \)
\(\triangle \mathrm{FAB}\) ও \(\triangle \mathrm{DCE}\)-র
\(FA = CE\quad\) [\(AECF\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\angle \mathrm{FAB}=\angle \mathrm{DCE}\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
\(AB = CD\quad\) [\(ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\therefore \triangle \mathrm{FAB} \cong \triangle \mathrm{DCE}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore FB = DE\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
\(\therefore BEDF\) চতুর্ভুজের \(FD = BE\) এবং \(FB = DE\)
\(\therefore BEDF\) একটি সামান্তরিক।
[\(\because \) কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান হলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হয়।] (প্রমাণিত)
11. ABCD একটি চতুর্ভুজ। ABCE ও BADF দুটি সামান্তরিক অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করি যে CD ও EF পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রদত্ত : \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ। \(ABCE\) ও \(BADF\) দুটি সামান্তরিক। \(E, F\) যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \(CD\) ও \(EF\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : \(C, F\) এবং \(D, E\) যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, \(ABCE\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore AB = CE\) এবং \(AB \| CE\ldots(i)\)
আবার, \(\because BADF\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore AB = DF\) এবং \(AB \| DF\ldots(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) থেকে পাই,
\(C E=D F\) এবং \(CE \| DF\)
অর্থাৎ, \(CFDE\) একটি সামান্তরিক যার কর্ণদ্বয় \(CD\) ও \(EF\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।
\(\therefore CD\) ও \(EF\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)
12. ABCD সামান্তরিকের \(AB = 2 AD\) ; প্রমাণ করি যে \(\angle BAD \) ও \(\angle ABC \) -এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় DC বাহুর মধ্যবিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়।
প্রদত্ত : \(ABCD\) সামান্তরিকের \( \angle B A D \)-র সমদ্বিখণ্ডক \(DC\) বাহুকে \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(B, R\) যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : (i) \(R, DC\)-র মধ্যবিন্দু।
(ii) \(BR, \angle A B C\)-র সমদ্বিখণ্ডক।
এবং (iii) \(\angle \mathrm{ARB}=90^{\circ}\)
প্রমাণ : \(\angle D A R=\angle R A B\quad\) [\(\because A R, \angle B A D\)-র সমদ্বিখণ্ডক]
আবার, \(\angle \mathrm{RAB}=\angle \mathrm{ARD}\quad\) [\(\because A B \| D C\) এবং \(AR\) ছেদক, তাই এরা একান্তর কোণ]
\(\therefore \angle \mathrm{DAR}=\angle \mathrm{ARD} \)
\(\therefore \mathrm{DR}=\mathrm{AD}\quad\) [সমান কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান]
বা, \(D R=\frac{1}{2} A B\quad[\because A B=2 A D]\)
\(\therefore D R=\frac{1}{2} D C\quad\) [\(\because AB = DC, ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\therefore R, DC\)-র মধ্যবিন্দু। (\((i)\) নং প্রমাণিত)
আবার, \(RC = RD\quad\) [\(\because R, DC\)-র মধ্যবিন্দু]
বা, \(RC = RD = AD \)
বা, \(RC = AD\)
\(\therefore RC = BC\quad\) [\(\because AD = BC, ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
\(\therefore \angle \mathrm{RBC}=\angle \mathrm{BRC}\quad\) [\(\because \) ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়]
আবার, \(AB \| DC\) এবং \(RB\) ছেদক হওয়ায়
\(\angle B R C=\) একান্তর \(\angle \mathrm{RBA}\)
\(\therefore \angle \mathrm{BRC}=\angle \mathrm{RBC}=\angle \mathrm{RBA}\)
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{RBC}=\angle \mathrm{RBA}\)
\(\therefore BR, \angle A B C\)-র সমদ্বিখণ্ডক। (\((ii)\) নং প্রমাণিত)
আবার, \(\because ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\(\therefore \angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ}\)
\(\quad\quad\)[\(\because \) সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^{\circ}\)]
বা, \( \frac{1}{2} \angle D A B+\frac{1}{2} \angle A B C=\frac{1}{2} \times 180^{\circ} \)
বা, \(\angle R A B+\angle R B A=90^{\circ} \)
এখন, \(\triangle \mathrm{RAB}\)-র \(\angle \mathrm{RAB}+\angle \mathrm{RBA}+\angle \mathrm{ARB}=180^{\circ}\)
\(\quad\quad\) [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(180^{\circ}\)]
বা, \(90^{\circ}+\angle \mathrm{ARB}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle A R B=90^{\circ}\quad\) (\((iii)\) নং প্রমাণিত)
Ganit Prakash Class 9 Math Solution || Class 9 Chapter 6 || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 6 kosi dakhi 6 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 6 || সামান্তরিকের ধর্ম
13. ABCD সামান্তরিকের AB ও AD বাহুর উপর যথাক্রমে ABPQ ও ADRS বর্গাকার চিত্র অঙ্কন করা হলো যারা সামান্তরিকটির বাইরে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, PRC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহ।
প্রদত্ত : \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(AD\) বাহুর উপর যথাক্রমে \(ABPQ\) ও \(ADRS\) বর্গাকার চিত্র অঙ্কন করা হল যারা সামান্তরিকটির বাইরে অবস্থিত।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{PRC}\) সমদ্বিবাহু।
প্রমাণ : যেহেতু, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}\quad\) [\(\because \) সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]
বা, \(\angle A B C+90^{\circ}=\angle \mathrm{ADC}+90^{\circ}\)
বা, \(\angle A B C+\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ADR}\)
\(\quad\quad\) [\(\because ADRS\) ও \(ABPQ\) দুটি বর্গাকার চিত্র]
বা, \(360^{\circ}-(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ABP})=360^{\circ}-(\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ADR})\)
\(\therefore \angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{RDC}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{PBC}\) ও \(\triangle \mathrm{RDC}\)-র
\( B C=R D\quad[\because B C=A D=R D]\)
\( B P=D C\quad[\because D C=A B=B P] \)
\(\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{RDC}\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
\(\therefore \triangle \mathrm{PBC} \cong \triangle \mathrm{RDC}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore PC = RC\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]
\(\because \triangle \mathrm{PRC}\)-র \(PC = RC,\)
\(\therefore\) \( \triangle \mathrm{PRC}\) সমদ্বিবাহু। (প্রমাণিত)
14. ABCD সামান্তরিকের \(\angle BAD \) স্থূলকোণ ; AB ও AD বাহুর উপর দুটি সমবাহু ত্রিভুজ ABP ও ADQ অঙ্কন করা হলো যারা সামান্তরিকের বাইরে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, CPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রদত্ত : \(ABCD\) একটি সামান্তরিক যার \(\angle B A D\) স্থূলকোণ।
\(\triangle \mathrm{ABP}\) ও \(\triangle \mathrm{ADQ}\) সামান্তরিক \(ABCD\)-র বাইরের দিকে অবস্থিত দুটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রামাণ্য বিষয় : \(\triangle \mathrm{CPQ}\) সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : যেহেতু, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\(\therefore \angle A D C=\angle A B C\quad\) [\(\because \) সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]
বা, \(\angle A D C+60^{\circ}=\angle \mathrm{ABC}+60^{\circ}\)
বা, \(\angle A D C+\angle A D Q=\angle A B C+\angle A B P\)
\(\quad[\because \triangle \mathrm{ADQ}\) ও \(\triangle \mathrm{ABP}\) সমবাহু এবং সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান \(60^{\circ}]\)
বা, \(\angle \mathrm{QDC}=\angle \mathrm{PBC}\)
এখন, \(\triangle \mathrm{PBC}\) ও \(\triangle \mathrm{DQC}\)-র
\(BC = QD\quad\) [\(\because B C=A D=Q D ; \triangle A D Q\) সমবাহু এবং \(ABCD\) সামান্তরিক]
\(\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{QDC}\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
\(BP = DC\quad\) [\(\because D C=A B=B P ; \triangle A B P\) সমবাহু এবং \(ABCD\) সামান্তরিক]
\(\therefore \triangle \mathrm{PBC} \cong \triangle \mathrm{DQC}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore PC = CQ\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু] \(\ldots(i)\)
এখন \(\angle \mathrm{QDC}=\angle \mathrm{QDA}+\angle \mathrm{ADC}\)
\(=60^{\circ}+180^{\circ}-\angle \mathrm{DAB}\)
\(\quad\quad\) [\(\because \angle \mathrm{ADC}\) ও \(\angle D A B, A B C D\) সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ]
\(=240^{\circ}-\left(360^{\circ}-\angle D A Q-\angle Q A P-\angle B A P\right)\)
\(\quad\quad [ \because A\) কেন্দ্রীয় সকল কোণের সমষ্টি \(360^{\circ}] \)
\(=240^{\circ}-\left(360^{\circ}-60^{\circ}-\angle Q A P-60^{\circ}\right)=\angle Q A P\)
এখন, \(\triangle \mathrm{QDC}\) ও \(\triangle \mathrm{AQP}\)-র
\(QD = AQ\quad\) [\(\because \triangle \mathrm{ADQ}\) সমবাহু এবং \(ABCD\) সামান্তরিক]
\(\angle \mathrm{QDC}=\angle \mathrm{QAP}\quad\) [পূর্বে প্রমাণিত]
\(\mathrm{CD}=\mathrm{AP}\quad\)[\(\because \mathrm{CD}=\mathrm{AB}=\mathrm{AP}, \triangle \mathrm{ABP}\) সমবাহু]
\(\therefore \triangle \mathrm{QDC} \cong \triangle \mathrm{AQP}\quad\) [\(S-A-S\) শর্তানুসারে]
\(\therefore QC = PQ\quad\) [সর্বসম ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহু]\( \ldots(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই, \(PC = CQ = PQ\)
\(\therefore \triangle \mathrm{CPQ}\) সমবাহু। (প্রমাণিত)
15. \(OP, OQ\) ও \(OR\) তিনটি সরলরেখাংশ। \(OPAQ, OQBR\) এবং \(ORCP\) সামান্তরিক তিনটি অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করি যে, \(AR, BP\) ও \(CQ\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রদত্ত : \(OP, OQ\) ও \(OR\) তিনটি সরলরেখাংশ।
\(OPAQ, OQBR\) এবং \(ORCP\) তিনটি সামান্তরিক অঙ্কন করা হল।
প্রামাণ্য বিষয় : \(AR, BP\) ও \(CQ\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : \(P, R; A, B; R, Q; B, C; P, Q\) এবং \(C, A\) যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : যেহেতু, \(OPAQ\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore OP = QA\) এবং \(OP \| QA\ldots(i) \)
আবার, \(\because ORCP\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore OP = RC\) এবং \(OP \| RC\ldots(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই, \(QA = RC\) এবং \(QA \| RC\)
\(\because RCAQ\) চতুর্ভুজের \(QA = RC\) এবং \(QA\|RC\)
\(\therefore RCAQ\) একটি সামান্তরিক। [\(\because \) কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি সামান্তরিক হয়।]
\(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore RCAQ\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(AR\) ও \(CQ\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\ldots(iii)\)
আবার, \(\because OPAQ\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore PA = OQ\) এবং \(PA \| OQ\ldots(iv)\)
আবার, \(OQBR\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore OQ = BR\) এবং \(OQ \| BR \ldots(v)\)
\(\therefore (iv)\) ও \((v)\) হতে পাই, \(PA = BR\) এবং \(PA \| BR\)
\(\because PRBA\) চতুর্ভুজের \(PA = BR\) এবং \(PA \| BR\)
\(\therefore PRBA\) একটি সামান্তরিক।
যার কর্ণদ্বয় \(AR\) ও \(BP\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\ldots(iv)\)
অনুরূপে \(ORCP\) ও \(OQBR\) সামান্তরিক থেকে পাওয়া যায়,
\(CP \| BQ\) ও \(CP = BQ\)
\(\therefore PCBQ\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(CQ\) ও \(BP\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\ldots(vii)\)
\(\therefore (iii), (vi)\) ও \((vii)\) হতে পাই, \(AR, BP\) ও \(CQ\) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)
16. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q) :
(i) ABCD সামান্তরিকের \(\angle BAD \) = \(75^{\circ}\) এবং \(\angle CBD \) = \(60^{\circ}\) হলে, \(\angle BDC \) এর পরিমাপ
(a) \(60^{\circ}\) (b) \(75^{\circ}\) (c) \(45^{\circ}\) (d) \(50^{\circ}\)
(a) \(60^{\circ}\) (b) \(75^{\circ}\) (c) \(45^{\circ}\) (d) \(50^{\circ}\)
\(\angle B A D+\angle A B C=180^{\circ}\quad\) [\(\because ABCD\) সামান্তরিক]
বা, \(75^{\circ}+\angle \mathrm{DBA}+\angle \mathrm{DBC}=180^{\circ}\)
বা, \( 75^{\circ}+\angle B D C+60^{\circ}=180^{\circ} \)
\(\quad\quad[\because \angle \mathrm{DBA}=\) একান্তর \(\angle B D C]\)
বা, \(\angle B D C=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}\)
(ii) নিম্নলিখিত জ্যামিতিক চিত্রগুলির কোনটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান তা লিখি। (a) সামান্তরিক (b) রম্বস (c) ট্রাপিজিয়াম (d) আয়তাকার চিত্র
আয়তাকার চিত্রের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।
\(\therefore\) আয়তাকার চিত্র
\(\therefore\) আয়তাকার চিত্র
(iii) ABCD সামান্তরিকের \(\angle BAD \) = \(\angle ABC \) হলে, ABCD সামান্তরিকটি
(a) রম্বস (b) ট্রাপিজিয়াম (c) আয়তাকার চিত্র (d) কোনটিই নয়
(a) রম্বস (b) ট্রাপিজিয়াম (c) আয়তাকার চিত্র (d) কোনটিই নয়
যেহেতু, \(ABCD\) সামান্তরিক
\(\therefore \angle B A D+\angle A B C=180^{\circ}\)
বা, \(\angle B A D+\angle B A D=180^{\circ}\quad[\because \angle B A D=\angle A B C]\)
বা, \( 2 \angle B A D=180^{\circ} \)
বা, \(\angle B A D=90^{\circ} \)
যে সামান্তরিকের একটি কোণ \(90^{\circ},\) তা একটি আয়তক্ষেত্র।
(iv) ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের মধ্যবিন্দু M; BM, \(\angle ABC \) কে সমদ্বিখণ্ডিত করলে, \(\angle AMB \) এর পরিমাপ (a) 45° (b) 60° (c) 90° (d) 75°
যেহেতু, \(BM\) (বা \(BD\)), \(\angle A B C\)-র সমদ্বিখণ্ডক,
\(\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{DBC}=\theta\), (ধরি)
আবার, \(AD \| BC\) এবং \(BD\) ভেদক হওয়ায়
\(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{DBC}=\theta\)
\(\therefore \triangle \mathrm{ABD}\)-র \(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ABD}=\theta\)
\(\therefore A B=A D\)
\(\therefore ABCD\) সামান্তরিকটি বর্গক্ষেত্র বা রম্বস।
\(\because \) রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং \(M, BD\)-র মধ্যবিন্দু,
\(\therefore \angle A M B=90^{\circ}\)
(v) ABCD রম্বসের \(\angle ACB \) = 40° হলে, \(\angle ADB \) এর পরিমাপ
(a) 50° (b) 110° (c) 90° (d) 120°
(a) 50° (b) 110° (c) 90° (d) 120°
যেহেতু, \(ABCD\) রম্বস এবং যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore \angle \mathrm{DOA}=90^{\circ} \)
\(\because \angle \mathrm{ACB}=40^{\circ},\)
\( \therefore \angle \mathrm{DAC}=40^{\circ}\)
\(\quad [ \because A D \| B C\) ও \(AC\) ভেদক
\(\quad\quad\therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DAC}\) (একান্তর কোণ)\(]\)
অর্থাৎ, \(\angle \mathrm{DAO}=40^{\circ}\)
এখন \(\triangle \mathrm{AOD}\)-র,
\(\angle A O D+\angle D A O+\angle A D O=180^{\circ}\)
বা, \(90^{\circ}+40^{\circ}+\angle \mathrm{ADB}=180^{\circ} \)
বা, \(\angle \mathrm{ADB}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}\)
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন :
(i) ABCD সামান্তরিকের \(\angle A : \angle B = 3:2\) হলে, সামান্তরিকটির কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
\(\angle A: \angle B=3: 2\)
ধরি, \(\angle \mathrm{A}=3 x\) এবং \(\angle B=2 x\quad\)(যেখানে \(x\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক)
\(\because ABCD\) একটি সামান্তরিক
\(\therefore 3 x+2 x=180^{\circ}\)
বা, \(5 x=180^{\circ}\)
\(\therefore x=36^{\circ}\)
\(\therefore 3 x^{\circ}=3 \times 36^{\circ}=108^{\circ}\) এবং \(2 x^{\circ}=2 \times 36^{\circ}=72^{\circ}\)
\(\therefore \angle A=\angle C=108^{\circ}\) এবং \(\angle B=\angle D=72^{\circ}\)
Ganit Prakash Class 9 Math Solution || Class 9 Chapter 6 || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 6 kosi dakhi 6 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 6 || সামান্তরিকের ধর্ম
(ii) ABCD সামান্তরিকের \(\angle A \) ও \(\angle \mathrm{B}\) এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় CD বাহর উপর E বিন্দুতে মিলিত হয়। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সেমি হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
যেহেতু, \(\angle D A B\)-র সমদ্বিখণ্ডক \(AE \)
\(\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAB}=\theta\) (ধরি)\(\ldots(1)\)
আবার, \(AB \| DC\) এবং \(AE\) ভেদক হওয়ায়
\(\angle \mathrm{DEA}=\angle \mathrm{BAE}=\theta\ldots(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) থেকে পাই, \(\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAB}=\angle \mathrm{DEA}=\theta\)
\(\therefore \triangle \mathrm{DAE}\) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
অর্থাৎ, \(AD = DE\)
বা, \( D E=B C\quad[\because A D=B C] \)
বা, \(DE = 2\) সেমি \(\quad\)[\(\because BC = 2\) সেমি]
একইভাবে পাওয়া যায়, \(EC = 2\) সেমি
\(\therefore \mathrm{DC}=\mathrm{DE}+\mathrm{EC}=(2+2)\) সেমি \(= 4\) সেমি \(= AB\)
\(\quad\quad[\because ABCD\) সামান্তরিক তাই \(DC = AB]\)
\(\therefore\) \(AB\)-র দৈর্ঘ্য \(4\) সেমি।
(iii) ABCD বর্গাকার চিত্রের ভিতর সমবাহু ত্রিভুজ AOB অবস্থিত। \(\angle \mathrm{COD}\) এর পরিমাপ লিখি।
যেহেতু, \(ABCD\) একটি বর্গাকার চিত্র, \(\angle A B C=90^{\circ}\)
আবার \(\because \triangle \mathrm{AOB}\) সমবাহু
\(\therefore \angle \mathrm{OBA}=60^{\circ}\)
\(\therefore \angle O B C=\angle A B C-\angle O B A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)
\(A B=O B=C B\quad\) [\(\because \triangle A O B\) সমবাহু ও \(ABCD\) বর্গক্ষেত্র]
\(\because \triangle O B C\)-র \(OB=BC,\)
\(\therefore \angle O C B=\angle B O C\)
\(\therefore \triangle \mathrm{OBC}\)-র \(\angle O B C+\angle O C B+\angle B O C=180^{\circ}\)
বা, \(30^{\circ}+\angle B O C+\angle B O C=180^{\circ}\quad[\because \angle O C B=\angle B O C]\)
বা, \(2 \angle B O C=150^{\circ}\)
\(\therefore \angle B O C=75^{\circ}\)
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, \(\angle A O D=75^{\circ}\)
\(\therefore \angle C O D=360^{\circ}-(\angle B O C+\angle A O B+\angle A O D)\)
\(=360^{\circ}-\left(75^{\circ}+60^{\circ}+75^{\circ}\right)\)
\(\quad[\because \angle A O B=60^{\circ}, \triangle A O B\) সমবাহু ত্রিভুজের একটি অন্তঃকোণ\(]\)
\(=360^{\circ}-210^{\circ}=150^{\circ}\)
\(\therefore \angle C O D=150^{\circ}\)
(iv) ABCD বর্গাকার চিত্রের AD বাহুর উপর M একটি বিন্দু যাতে \(\angle \mathrm{CMD}=30^{\circ}\) হয়। কর্ণ BD, CM কে P বিন্দুতে ছেদ করলে, \(\angle DPC \) -এর পরিমাপ কত তা লিখি।
যেহেতু, \(ABCD\) একটি বর্গাকার চিত্র
\(\therefore \angle \mathrm{ADC}(=\angle \mathrm{MDC})=90^{\circ}\)
এখন \(\triangle \mathrm{MDC}\)-র,
\(\angle \mathrm{MDC}+\angle \mathrm{CMD}+\angle \mathrm{MCD}=180^{\circ}\)
বা, \(90^{\circ}+30^{\circ}+\angle \mathrm{MCD}=180^{\circ}\)
\(\therefore \angle \mathrm{PCD}=60^{\circ}\)
\(\because BD, ABCD\) বর্গাকার চিত্রের একটি কর্ণ
\(\therefore \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{PDC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ADC}\)
\(=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}\)
এখন \(\triangle \mathrm{PDC}\)-র, \(\angle \mathrm{PDC}+\angle \mathrm{PCD}+\angle \mathrm{DPC}=180^{\circ}\)
বা, \(45^{\circ}+60^{\circ}+\angle D P C=180^{\circ} \)
বা, \(\angle D P C=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}\)
(v) ABCD রম্বসের AB বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং \(\angle B C D=60^{\circ}\) হলে, কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
যেহেতু, \(ABCD\) একটি রম্বস,
\(\therefore BC=CD\)
বা, \(\angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{CBD}=\theta\), (ধরি)
এখন \(\triangle \mathrm{BCD}\)-র
\(\angle \mathrm{CDB}+\angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ}\)
বা, \(\theta+\theta+60=180^{\circ}\quad[\because \angle B C D=60^{\circ},\) প্রদত্ত\(]\)
বা, \(2 \theta=120^{\circ}\)
\(\therefore \theta=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle B C D\)-র \(\angle \mathrm{BCD}=\angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{CBD}=60^{\circ}\)
\(\therefore \triangle \mathrm{BCD}\) সমবাহু,
\(\therefore B C=C D=B D\)
\(\because ABCD\) রম্বসের প্রতিটি বাহু অর্থাৎ
\(AB = BC = CD = DA = 4\) সেমি
\(\therefore BD=4\) সেমি
\(\therefore BD\) কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\) সেমি।
Ganit Prakash Class 9 Math Solution || Class 9 Chapter 6 || West Bengal Board Class 9 Math || Class 9 Chapter 6 kosi dakhi 6 || নবম শ্রেণী কষে দেখি 6 || সামান্তরিকের ধর্ম
এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা নিষিদ্ধ। ভারতীয় Copywright আইন 1957 এর ধারা 63 অনুযায়ী, এই ফাইলটির সমস্ত অধিকার 'ছাত্র মিত্র Mathematics' অ্যাপ দ্বারা সংরক্ষিত। ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি করা বা সম্পাদনা করা আইনত দন্ডনীয় অপরাধ। কেউ ছাত্র মিত্রের অনুমতি ছাড়া, এই Page টি বা এই Website টির কোন প্রকার বিষয়বস্তু কপি বা সম্পাদনা করলে ছাত্র মিত্র কতৃপক্ষ তার বিরুদ্ধে সকল প্রকার কঠোর আইনি পদক্ষেপ করবে।
West Bengal Board of Secondary Education Official Site
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
Class 8 : গণিত প্রভা (অষ্টম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali.
Class 10 : মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Class 10 Maths Solution WBBSE Bengali
Class 7 : গণিত প্রভা (সপ্তম শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান
www.wbresults.nic.in Official
Class 6 : গণিত প্রভা (ষষ্ঠ শ্রেণি) বইয়ের সমস্ত সমাধান Maths solutions for WBBSE in Bengali
Class 9 : গণিত প্রকাশ (নবম শ্রেণি) বইয়ের সমাধান Maths Solution WBBSE Bengali
আজই Install করুন Chatra Mitra
